对称矩阵的对角化
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§4 对称矩阵的对角化
于是得正交阵
1 0 0 P = ( P1 , P2 , P3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
则
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 1. 求A的特征值 λ1 , λ2 ,, λn ; 2. 由( A − λi E ) x = 0, 求出 A的特征向量; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5. 写出正交阵 P = ( P1 , P2 , , Pn ) ，
由于 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 . 第四步 将特征向量单位化 ξi , i = 1,2,3. 令 Pi = ξi
得
− 2 3 23 P1 = 2 3 , P2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
2−λ −2 0 A − λE = − 2 1 − λ − 2 = (4 − λ )(λ − 1)(λ + 2) = 0 0 −2 −λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
第二步 由( A − λi E ) x = 0, 求出A的特征向量
对 λ1 = 4,由( A − 4 E ) x = 0, 得 2 x1 + 2 x2 = 0 − 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . − 1 2x + 4x = 0 2 3 对 λ2 = 1,由( A − E ) x = 0, 得
− x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x &#ξ 2 = 1 . − 2
5.3实对称矩阵的对角化
令x3 = 2, 得属于5的特征向量为 3 = (1, −2,2)T .
12
显然1 = (2,2,1)T , 2 = ( −2,1,2)T , 3 = (1, −2,2)T 正交.
(2) 求单位向量组. 1 = 2 = 3 = 3, 所以得单位正交向量组 T T T 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = , , , 2 = , − , − , 3 = , − , . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (3) 求正交矩阵Q. 1 则 2 2 令 3 3 3 −1 0 0 2 1 2 −1 Q = ( 1 , 2 , 3 ) = − − , Q AQ = 0 2 0 = . 3 3 3 0 0 5 1 2 2 3 −3 3
T T T T 1 A = 11 , 1 A 2 = 11 2
T T 21 2 = 11 2 ,
T (2 − 1 )1 2 = 0
T 1 2 = 0
3
定理 若实对称矩阵A的特征值 的重数为k，则A 恰有k个对应于 的线性无关的特征向量. 定理 n阶实对称矩阵A一定有n个正交的特征向量. 设矩阵A的互不相同的特征值分别为 1 ( k1重) : 11 , 12 , , 1k1 , 正 11 , 12 , , 1k1 , 交 , , , , 2 k2 2 ( k2重) : 21 , 22 , , 2 k2 , 化 21 22 后 , , 得 m 1 , m 2 , , mkm , m ( km 重) : m 1 , m 2 , , mkm , 11 ,12 , ,1k1 , 1 单 其中,k1 + k2 + + km = n. 位 , , , , 21 22 2 k2 2 化 T ij ks = 0, i k . 后 , 得 m 1 ,m 2 , , mkm , m
对称阵的对角化
i
( iii ) 将 上 面 求 得 的 特 征 向 量 为 列 , 排 成 一 个 n 阶 方 阵 H , 则
H ( 1 1 , 1 2 , , 1 r , 2 1 , , 2 r , , s 1 , , s r s ) 1 2
1
此为所求的可逆方阵, H
1
相似
= =
正交 相似
正交 相似
三、矩阵的相似对角化的条件
存在一个 n 阶可逆阵 P , 使 L P A 与对角阵 L 相似 ?
1 p 1 , p 2 , , p n )， L 设 P( n 1
1
AP
( Ap 1 , Ap 2 , , Ap n )
A A A ,
x 是其对应的特征向量 , 即 Ax x
A x A x ( Ax ) ( x ) x
x T A x ( x T A T ) x ( A x )T x ( x )T x x T x
另一方面
x T A x x T (A x ) x T x x T x
( i ) 求 出 A 的 所 有 相 异 的 特 征 值 1 , 2 , , s ; 它们的重数依次为 r1 , r 2 , r s ( r 1 r 2 r s n )
( ii ) 对 每 个 r i 重 特 征 值 i , 求 出 对 应 的 r i 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 i 1 , i 2 , , ir ( 方 程 组 ( A i E ) x O 的 基 础 解 系 ， 1 , 2 , , m ) i
( iii ) 将 上 面 求 得 的 特 征 向 量 为 列 , 排 成 一 个 n 阶 方 阵 H , 则
H ( 1 1 , 1 2 , , 1 r , 2 1 , , 2 r , , s 1 , , s r s ) 1 2
1
此为所求的可逆方阵, H
1
相似
= =
正交 相似
正交 相似
三、矩阵的相似对角化的条件
存在一个 n 阶可逆阵 P , 使 L P A 与对角阵 L 相似 ?
1 p 1 , p 2 , , p n )， L 设 P( n 1
1
AP
( Ap 1 , Ap 2 , , Ap n )
A A A ,
x 是其对应的特征向量 , 即 Ax x
A x A x ( Ax ) ( x ) x
x T A x ( x T A T ) x ( A x )T x ( x )T x x T x
另一方面
x T A x x T (A x ) x T x x T x
( i ) 求 出 A 的 所 有 相 异 的 特 征 值 1 , 2 , , s ; 它们的重数依次为 r1 , r 2 , r s ( r 1 r 2 r s n )
( ii ) 对 每 个 r i 重 特 征 值 i , 求 出 对 应 的 r i 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 i 1 , i 2 , , ir ( 方 程 组 ( A i E ) x O 的 基 础 解 系 ， 1 , 2 , , m ) i
线性代数课件-对称矩阵的对角化
所以正交阵不唯一。
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1) 第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i Ex 0,求出A的特征向量
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将
1
,
2
,
3单位化,
令p i
i i
i 1, 2, 3得
0
p1 1 2 ,
1
2
1
p2
0
,
0
0
p3 1 2 .
1
2
于是得正交阵
0 1 0
P
p1
,
p2
,
p3
1
2
0 1 2
1
2
01
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
第16课 实对称矩阵的对角化
1 1 p3 = , 单位化得 η 3 2 1 1 5 2 = − 5 0
1 2 1 = = 3 2 1
2 3 1 3 2 3
0−λ 0 − 1 例：A = 1 0 , | A − λE |= 1
性质1 性质1的意义
−1 = λ2 + 1 ∴ λ = ±i. 0−λ
为实数， 因为对称矩阵 A 的特征值 λi 为实数，所以齐次线性方程组 是实系数方程组。 ( A − λi E ) x = 0 是实系数方程组。 又因为 A − λi E = 0，可知该齐次线性方程组一定有实的 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。
λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 3,
1 1 1 η1 = 1 ,η2 = 0 ,η3 = −2 , 相应的特征向量是 1 −1 1 求矩阵 A.
维向量， 阶方阵。 解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。 因为特征向量是 维向量 个不同的特征值， 可以对角化。 因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P −1 AP = Λ
η1 ,η2 ,L ,ηn
4. 以η1 ,η 2 ,L ,η n 为列向量构成正交矩阵 T = (η1 ,η 2 ,L ,η n ) 有 T −1 AT = Λ
λ1 O λ1 即 T −1 ⋅ AT = Λ = O λr O λr
−2 2 0
2 x1 = 2 x3 即 p1 = −2 . 得基础解系 x 2 = −2 x 3 1 当 λ2 = 1 时，由 ( A − E ) x = 0,
线性代数5.4 对称矩阵的对角化
i1
i1
故 0 即 这就说明是实数.
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结束
铃
❖定理1
对称阵的特征值为实数.
显然 当特征值i为实数时 齐次线性方程组 (AiE)x0
是实系数方程组 由|AiE|0知必有实的基础解系 所以对应
的特征向量可以取实向量.
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p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
于是P(p1 p2 p3)为正交阵 并且P1APdiag(2 1 1).
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结束
铃
例2 设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
P1AP 或APP1
从而
AnPnP1
提示
因为A对称 故A可对角化 即有可逆向量P及对角阵
使P1AP. 于是APP1 从而AnPnP1.
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结束
铃
例2 设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
(3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P 便有
P1APPTAP. 注意中对角元的排列次序应与P中列向量的
实对称矩阵的对角化
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
对称矩阵的对角化
5.4 实对称矩阵的对角化
5/3 0 2/ 3 1 3 , p 2 / 5 , p 2 5 /15 p1 2 3 2 3 1/ 5 4 5 /15
第三步
1 8, 2 3 1
Q AQ , Q AQ
T
1
5.4 实对称矩阵的对角化
二、实对称矩阵的对角化
对称矩阵对角化的步骤: (1) 求全部特征值; (2) 求特征值对应的线性无关的特征向量:
若特征值为单根,对特征向量单位化;
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
1 2 p p2 0.
T 1
1 2 , p1 p2 0. 即p1与p2正交.
T
5.4 实对称矩阵的对角化
定理3
使 Q AQ
设A为n阶对称矩阵,则必有n阶正交矩阵Q , 1 2 1
n
其中 1 ,2 , ,n 是A的全部特征值.
5.4 实对称矩阵的对角化
A:对称矩阵
1 满足Q AQ 求正交阵Q , ,
1 由A的特征值构成
2
n
Q 若特征值为单根,对特征向量单位化 若特征值为重根, 对特征向量正交化、单位化 由A的特征向量构成 Q p1 , p2 ,, pn .
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
Q ( p1 , p2 ,, pn )为正交阵,且 Q 1 AQ
5.4 实对称矩阵的对角化
( A x )T x ( x ) Ax ( x A) x ( x A ) x T T ( x ) x ( x ) x T ( )( x ) x 0TT来自TT2
5/3 0 2/ 3 1 3 , p 2 / 5 , p 2 5 /15 p1 2 3 2 3 1/ 5 4 5 /15
第三步
1 8, 2 3 1
Q AQ , Q AQ
T
1
5.4 实对称矩阵的对角化
二、实对称矩阵的对角化
对称矩阵对角化的步骤: (1) 求全部特征值; (2) 求特征值对应的线性无关的特征向量:
若特征值为单根,对特征向量单位化;
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
1 2 p p2 0.
T 1
1 2 , p1 p2 0. 即p1与p2正交.
T
5.4 实对称矩阵的对角化
定理3
使 Q AQ
设A为n阶对称矩阵,则必有n阶正交矩阵Q , 1 2 1
n
其中 1 ,2 , ,n 是A的全部特征值.
5.4 实对称矩阵的对角化
A:对称矩阵
1 满足Q AQ 求正交阵Q , ,
1 由A的特征值构成
2
n
Q 若特征值为单根,对特征向量单位化 若特征值为重根, 对特征向量正交化、单位化 由A的特征向量构成 Q p1 , p2 ,, pn .
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
Q ( p1 , p2 ,, pn )为正交阵,且 Q 1 AQ
5.4 实对称矩阵的对角化
( A x )T x ( x ) Ax ( x A) x ( x A ) x T T ( x ) x ( x ) x T ( )( x ) x 0TT来自TT2
4-3-2 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的相似对角化P88第三节 实对称矩阵的对角化v 实对称矩阵的对角化定理8 n阶实对称矩阵的特征值为实数，且必 有n个线性无关的特征向量.（实对称矩阵必能对角化）定理9 实对称矩阵不同的特征值所对应的特征 向量必相互正交. 证明 设AP ，AP 1 =l 1P 1 2 = l2 P 2 (l1 ¹ l2 )T T T ( AP 1 AP 2 =l 1P 1 P 2 1 ) = (l 1P 1) Þ P 1 A =l 1P 1 ÞP T TT 2 1 T 1 1 TTTÞ l P P2 = l P P2 Þ (l1 - l2 ) P1 P2 = 0T 1Þ P P2 = 0 Þ ( P1 , P2 ) = 0P88定理 设l 是实对称矩阵 A的k重特征值，则对应于 l恰有 k 个线性无关的特征向量 . 定理10设A为n阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵Q , 使æ l1 ç ç Q -1 AQ = QT AQ = L = ç ç ç è 为A的 n 个特征值.利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的具体步骤为： 1.求A的特征值;（P88）2. 求每个特征值对应的线性无关的特征向量； 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化； 5. 得出结论。
l2ö ÷ ÷ ÷, 其中 l1 , l2 , L , ln O ÷ ln ÷ ø例4 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵Q， -1 使Q AQ 为对角阵. æ 2 -2 0 ö æ 4 0 0ö ç ÷ ç ÷ (1) A = ç - 2 1 - 2 ÷ , ( 2) A = ç 0 3 1 ÷ ç 0 -2 0 ÷ ç 0 1 3÷ è ø è ø 解 (1)第一步 求 A 的特征值第二步 由(li E - A)x = 0, 求出A的特征向量 ì x1 = 2 x3 对 l1 = 4, 求解 (4 E - A) x = 0 ï\é2 2 0ù é1 0 - 2ù ú ê ú 4E - A = ê ê2 3 2ú ® ê0 1 2 ú ê ë0 2 4ú û ê ë0 0 0 ú ûí x 2 = -2 x 3 ïx = x3 î 3得 l1 = 4, l2 = 1, l3 = -2.l -2 2 0 lE - A = 2 l -1 2 = (l - 4)(l - 1)(l + 2)= 0 0 2 l对 l2 = 1, 求解 ( E - A) x = 0é- 1 2 0ù é1 0 ú ê E-A=ê ê 2 0 2ú ® ê0 1 ê ë 0 2 1ú û ê ë0 0ì x1 = - x 3 ï 1 ï \ í x2 = - x3 2 ï 1ù ï x3 é î x3 =é2ù ú \ p1 = ê ê -2 ú . ê1û ú ë1ú 2ú 0ú û-1 ù ê 1ú \ p2 = ê - ú . ê 2ú ê 1 ú ë û1对 l3 = -2, 求解 ( -2 E - A) x = 01ù é 0 ù ê1 0 - ú \ é2 2 2 ú ê ú - 2E - A = ê ê2 - 3 2 ú ® ê0 1 - 1 ú ê ë 0 2 - 2ú û ê0 0 0 ú ê ú ë ûê ú \ p3 = ê 1 ú . ê1ú ê ú 第三步 将特征向量正交化 ë û 由于p1 , p2 , p3是属于A的3个不同特征值l1 , l2 ,第四步 将特征向量单位化 p 令 pi 0 = i , i = 1, 2, 3. pi1 ì ï x1 = 2 x 3 ï í x 2 = x3 ïx = x 1 ù 3é ï 3 ê2ú î得æ1 3ö æ -2 3 ö æ 23ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 0 0 p = ç -2 3 ÷ , p2 = ç -1 3 ÷ , p3 = ç 2 3 ÷ . ç 13 ÷ ç 2 3÷ ç 23÷ è ø è ø è ø0 1æ 2 -2 1 ö 1ç ÷ 作 Q = ( p10 , p2 0 , p30 ) = ç -2 -1 2 ÷ , 3ç 2 2÷ è 1 øl3的特征向量, 故它们必两两正交.则æ4 0 0 ö ç ÷ Q -1 AQ = ç 0 1 0 ÷ . ç 0 0 -2 ÷ è øæ 4 0 0ö ç ÷ (2) A = ç 0 3 1 ÷ ç 0 1 3÷ è ø l -4解： lE - A =对 l1 = 2, 求解 ( 2 E - A) x = 00 l -3 -120 00 -1l -3é- 2 0 0 ù é1 0 0ù ú ê ú 2E - A = ê ê 0 - 1 - 1ú ® ê0 1 1ú ê 0 - 1 - 1ú ê0 0 0û ú ë û ëì x1 = 0 ï \ í x2 = - x3 ïx = x 3 î 3= (l - 2)(l - 4) ,得特征值 l1 = 2, l2 = l3 = 4.é0ù ú \ p1 = ê ê -1ú . ê1û ú ë对 l2 = l3 = 4, 求解 ( 4 E - A) x = 0é0 0 0 ù é0 1 - 1ù ú ê ú 4E - A = ê ê0 1 - 1ú ® ê0 0 0 ú ê0 - 1 1 ú ê0 0 0 û ú ë û ëp2与p3恰好正交 ,所以 p1 , p2 , p3两两正交.再将 p1 , p2 , p3单位化, 令pi 0 =æ 0 ö æ 1ö ç ÷ ç ÷ 0 p = ç -1 2 ÷ , p2 = ç 0 ÷ , ç 0÷ ç ÷ è ø è1 2 ø0 1ì x1 = x1 ï \ í x2 = x3 ï î x3 = x3é1 ù é 0ù ú , p = ê1 ú . \ p2 = ê 0 ê ú 3 ê ú ê ê ë 0ú û ë1 ú ûpi pi0( i = 1, 2, 3) 得æ 0 ö ç ÷ p3 = ç 1 2 ÷ . ç ÷ è1 2 ø2于是得正交阵0 11 0 ö æ 0 ç ÷ Q = ( p , p2 , p3 ) = ç - 1 2 0 1 2 ÷ ç ÷ è 1 2 0 1 2ø0 0æ 2 0 0ö ç ÷ Q -1 AQ = ç 0 4 0 ÷ . ç 0 0 4÷ è ø3。
实对称矩阵的对角化
取 3 3 则１，２，３是矩阵A的正交特征向量组
单位化
e1
1
1
1
1 (1, 0, 1) 2
e2
1
2
2
1 32
(1, 4,1)
令 P (e1, e2 , e3)
1
1 2
2
32
3
=
0
4 32
1
3
1 2
1 32
2 3
e3
1
3
3
1 3
(2,1, 2)
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1 0
第三节 实对称矩阵的对角化
➢ 对称矩阵
如果方阵A满足 AT A, 就称A为对称矩阵
例 如
110 11
0 3
03
3 2 4 2 0 7 4 7 5
方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等
➢ 实对称矩阵的性质
性质4.3 （1）实对称矩阵的特征值必为实数。 （2）实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。
0 0 8
• 作业 • P88 • 4.4
即
4 2 4 x1 0
2
1
2
x2
0
4 2 4 x3 0
得到两个线性无关的特征向量 1 （1，0，1） ，2 （1， 2，0）
对于 3 8 1 1，
得到特征向量 3 （2，1，2）
2
2
[ 2，1 ] [ 1，1 ]
1
1
2
0
1
1 2
0
1
0.5
2
0.5
由 A E 0 得特征值 1 2 1, 3 10
第四节 对称矩阵的对角化
一、对称矩阵的性质
二、对称矩阵的对角化
三、小结
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E ) x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
当2 2 时，由 A 2 E x 0,
4 A 2 E 2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 2 0 1 0 1 0 0
1 x3 2 x1 p3 2 . 即 得基础解系 x2 2 x1 2 1 3 只需把 p3 单位化，得 3 2 3 . 2 3
第三步
将特征向量正交化
1 1 p1 2 , 先正交化： 令 4 0 5 0 1 ( p2 , 1 ) 4 2 2 p2 1 2 2 5 5 ( 1 , 1 )
1 A E 2 0 2 0 2 0 1 2 0 0 1 2 2 0 0 1 0
2 x1 2 x2 p2 1 . 即 得基础解系 x 3 2 x 2 2 23 只需把 p2 单位化，得 2 1 3 , 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T 1 , 2 , 3 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 2
Байду номын сангаас 三、小结
二、对称矩阵的对角化
三、小结
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值i 为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E ) x 0 是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解 系, 从而对应的特征向量可 以取实向量.
当2 2 时，由 A 2 E x 0,
4 A 2 E 2 0 2 3 2 0 2 2 2 0 2 0 1 0 1 0 0
1 x3 2 x1 p3 2 . 即 得基础解系 x2 2 x1 2 1 3 只需把 p3 单位化，得 3 2 3 . 2 3
第三步
将特征向量正交化
1 1 p1 2 , 先正交化： 令 4 0 5 0 1 ( p2 , 1 ) 4 2 2 p2 1 2 2 5 5 ( 1 , 1 )
1 A E 2 0 2 0 2 0 1 2 0 0 1 2 2 0 0 1 0
2 x1 2 x2 p2 1 . 即 得基础解系 x 3 2 x 2 2 23 只需把 p2 单位化，得 2 1 3 , 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T 1 , 2 , 3 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT 0 1 0 . 0 0 2
Байду номын сангаас 三、小结
实对称矩阵的对角化
四. 实对称矩阵的对角化
实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化. 实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化. 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP = ∧ 更可找到正交矩阵 更可找到正交矩阵 T ,使得 T 1 AT = ∧ 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 定理1:实对称矩阵的特征值为实数. 的任一特征值,( ,(往证 证:设 λ 是 A 的任一特征值,(往证 λ = λ ) 的特征向量, α 是对应于 λ 的特征向量, 则
1 x3 = 2 x1 p3 = 2 . 即 得基础解系 x2 = 2 x1 2 1 3 只需把 单位化, 只需把 p3 单位化,得 η 3 = 2 3 . 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T = (η1 , η 2 , η 3 ) = 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT = 0 1 0 . 0 0 2
x1 考虑 x2 T α α = ( x1 , x2 , , xn ) = x1 x1 + x2 x2 + + xn xn 2 2 2 x = x1 + x2 + xn > 0 n
∴λ λ = 0 ∴λ = λ
定理1的意义: 定理1的意义:
为实数. 即 λ 为实数.
得正交矩阵 T = (η1 ,η 2 ,η 3 )
1 5 2 = 5 0
3 5 2 3 5 5 3 5
4
2 3 1 3 2 3
1 有 T 1 AT = 1 8
2 2 0 例2:设 A = 2 1 2 , 求正交矩阵 T , : 0 2 0 使得T 1 AT 为对角阵. 为对角阵.
λ1 , λ2 , , λ s
由定理,特征值 λi (重数为 ri )对应的线性无关的 由定理, 特征向量为 ri 个. 把它们正交化,再单位化, 个单位正交的特征向量. 把它们正交化,再单位化,即得 ri 个单位正交的特征向量.
实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化. 实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化. 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP = ∧ 更可找到正交矩阵 更可找到正交矩阵 T ,使得 T 1 AT = ∧ 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 定理1:实对称矩阵的特征值为实数. 的任一特征值,( ,(往证 证:设 λ 是 A 的任一特征值,(往证 λ = λ ) 的特征向量, α 是对应于 λ 的特征向量, 则
1 x3 = 2 x1 p3 = 2 . 即 得基础解系 x2 = 2 x1 2 1 3 只需把 单位化, 只需把 p3 单位化,得 η 3 = 2 3 . 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T = (η1 , η 2 , η 3 ) = 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT = 0 1 0 . 0 0 2
x1 考虑 x2 T α α = ( x1 , x2 , , xn ) = x1 x1 + x2 x2 + + xn xn 2 2 2 x = x1 + x2 + xn > 0 n
∴λ λ = 0 ∴λ = λ
定理1的意义: 定理1的意义:
为实数. 即 λ 为实数.
得正交矩阵 T = (η1 ,η 2 ,η 3 )
1 5 2 = 5 0
3 5 2 3 5 5 3 5
4
2 3 1 3 2 3
1 有 T 1 AT = 1 8
2 2 0 例2:设 A = 2 1 2 , 求正交矩阵 T , : 0 2 0 使得T 1 AT 为对角阵. 为对角阵.
λ1 , λ2 , , λ s
由定理,特征值 λi (重数为 ri )对应的线性无关的 由定理, 特征向量为 ri 个. 把它们正交化,再单位化, 个单位正交的特征向量. 把它们正交化,再单位化,即得 ri 个单位正交的特征向量.
第四节 实对称矩阵的对角化
3. 对基础解系i1,i2 ,L ,iri 进行施密特正交化和单位化 得到正交的单位向量组i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
4. 令P (11,12 ,L ,1r1 ,L , s1,L , srs ), 则P为正交阵且有 PT AP=P1AP diag(1Er1 , 2Er2 ,L , s Er s ) .
二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 由特征方程 E A 0解得 A的所有特征值, 设所有的 不同的特征值为1,L ,s;
2. 对每个i分别求出齐次线性方程组 (iE A) X 0 的 基础解系 , 设之为i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
第二步 由iE A X 0,求出A的正交的特征向量组
对 1 2,解齐次线性方程组2E A X 0,由
1 2 2 1 2 2
2E
A
2
2
4 4
4
4
0 0
0 0
0
0
得基础解系
2 2
1
1
,
2
0
.
0
1
对1,
正交化得
2
2
1
=1
=
1
,
0
2
=2
2 , 1,
1 1
1
=
2 5
4 5
1
.
对 3 7,解齐次线性方程组7E A X 0,由
8 2 2 0 18 18
7E
A
2
2
5 4
4
5
2
0
5 9
4
9
1
0
4. 令P (11,12 ,L ,1r1 ,L , s1,L , srs ), 则P为正交阵且有 PT AP=P1AP diag(1Er1 , 2Er2 ,L , s Er s ) .
二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 由特征方程 E A 0解得 A的所有特征值, 设所有的 不同的特征值为1,L ,s;
2. 对每个i分别求出齐次线性方程组 (iE A) X 0 的 基础解系 , 设之为i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
第二步 由iE A X 0,求出A的正交的特征向量组
对 1 2,解齐次线性方程组2E A X 0,由
1 2 2 1 2 2
2E
A
2
2
4 4
4
4
0 0
0 0
0
0
得基础解系
2 2
1
1
,
2
0
.
0
1
对1,
正交化得
2
2
1
=1
=
1
,
0
2
=2
2 , 1,
1 1
1
=
2 5
4 5
1
.
对 3 7,解齐次线性方程组7E A X 0,由
8 2 2 0 18 18
7E
A
2
2
5 4
4
5
2
0
5 9
4
9
1
0
线性代数 §4 对称矩阵对角化
定理7 设A为n阶对称,矩 则阵 必有正交 P,使 矩阵 P1AP,其中 是以 A的n个特征值为对 素的对角. 矩阵
推论 设A为n阶对称,矩 是 阵 A的特征方r程 重根 ,则矩阵 AE的秩R(AE)nr,从而 对应特征 恰值有 r个线性无关的.特征向
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
第四步 将特征向量单位化
令Pi ii , i1,2,3.
2 3
23
得
P1 2 3 ,
P2 1 3 ,1 32 3 1 3 P3 2 3 . 2 3
作PP1,P2,P31 3 21 2
2 1 2
1 2, 2
则
P1AP04
0 1
0 0.
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
再1 ,将 2 ,3 单,令 位 P ii化 i 1 ,2 ,3 得 i
0
P1 1 2 ,
1 2
1 P2 0 ,
0
0 P3 1 2 . 1 2
于是得正交阵
PP1,P2,P3
0 12
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2
2 0 0
则
P1AP0
4
0.
0 0 4
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
0 1 3
4 0 0
AE 0 3 1 242,
0 1 3
得特 1 征 2 , 2值 3 4 .
0
对 1 2 ,由 A 2 E x 0 ,得基 1 础 11 解
对 23 4 ,由 A 4 E x 0 ,得基础
1
0
2 0,
3 1.
推论 设A为n阶对称,矩 是 阵 A的特征方r程 重根 ,则矩阵 AE的秩R(AE)nr,从而 对应特征 恰值有 r个线性无关的.特征向
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化 的方法
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
第四步 将特征向量单位化
令Pi ii , i1,2,3.
2 3
23
得
P1 2 3 ,
P2 1 3 ,1 32 3 1 3 P3 2 3 . 2 3
作PP1,P2,P31 3 21 2
2 1 2
1 2, 2
则
P1AP04
0 1
0 0.
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
再1 ,将 2 ,3 单,令 位 P ii化 i 1 ,2 ,3 得 i
0
P1 1 2 ,
1 2
1 P2 0 ,
0
0 P3 1 2 . 1 2
于是得正交阵
PP1,P2,P3
0 12
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2
2 0 0
则
P1AP0
4
0.
0 0 4
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
0 1 3
4 0 0
AE 0 3 1 242,
0 1 3
得特 1 征 2 , 2值 3 4 .
0
对 1 2 ,由 A 2 E x 0 ,得基 1 础 11 解
对 23 4 ,由 A 4 E x 0 ,得基础
1
0
2 0,
3 1.
对称矩阵的对角化
1 1 当 l1 = −2时，对应的特征向量为 p1 1 ； 3 1 当 l2 = l3 = 1 时，对应的特征向量为 1 1 1 1 p2 1 , p3 1 2 6 0 2
• •
矩阵 A −lE 的秩等于 n − k， 恰有 k 个线性无关的特征向量与特征值 l 对应．
0 1 1 例：设 A 1 0 1 ，求正交阵 P，使P−1AP = L对角阵. 1 1 0
解：因为 A 是对称阵，所以 A 可以对角化．
l | A l E | 1 1 1 l 1 1 1 ( l 1)2 ( l 2) l
把对称阵 A 对角化的步骤为：
1. 求出 A 的所有各不相同的特征值 l1, l2, …, ls ，它们的重
数依次为k1, k2, …, ks （k1 + k2 + … + ks = n）． 2. 对每个 ki 重特征值 li ，求方程组 | A−li E | = 0 的基础解 系，得 ki 个线性无关的特征向量． 把这 ki 个线性无关的特征向量正交化、单位化，得到 ki
1 3 1 于是 p1, p2, p3 构成正交阵 P ( p1 , p2 , p3 ) 3 2 0 0 1 1 从而 P AP L 0 1 0 ． 1 6 2 6
于是把 2, 3 正交化：
1 1 [ 3 ,h 2 ] 1 h2 2 1 , h3 3 h2 1 [h 2 ,h 2 ] 2 0 2 此时1⊥h2 ， 1⊥h3 ，h2⊥h3 ．
单位化：
1 0 1 于是 P AP ，即 L A P L P 0 3
对称矩阵的对角化
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施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
b1 a1
[b1, a2 ] b2 a2 b1 [b1, b1] [b1, ar ] [b2, ar ] [br 1, ar ] br ar b1 b2 br 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [br 1, br 1] 容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 等价
2(1 1 0)T 3(1 0 1)T
p2 1 (1, 1, 0)T p3 1 (1, 1, 2)T 2 6 于是P(p1 p2 p3)为正交阵 并且P1APdiag(2 1 1)
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例2 设 A 2 1 求An 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
§5.4 对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具 有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都 能对角化 但实对称矩阵都是可以对角化的
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 （x y）x1y1x2y2 xnyn （x y）称为向量x与y的内积，记作xTy
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铃
单位化；
正交：当（x y）0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x 与任何向量都正交
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
b1 a1
[b1, a2 ] b2 a2 b1 [b1, b1] [b1, ar ] [b2, ar ] [br 1, ar ] br ar b1 b2 br 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [br 1, br 1] 容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 等价
2(1 1 0)T 3(1 0 1)T
p2 1 (1, 1, 0)T p3 1 (1, 1, 2)T 2 6 于是P(p1 p2 p3)为正交阵 并且P1APdiag(2 1 1)
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例2 设 A 2 1 求An 1 2 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
§5.4 对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具 有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都 能对角化 但实对称矩阵都是可以对角化的
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向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 （x y）x1y1x2y2 xnyn （x y）称为向量x与y的内积，记作xTy
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单位化；
正交：当（x y）0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x 与任何向量都正交
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对称矩阵的对角化
（1）求出A的所有不同的特征值λ1,λ2,…,λm. （2）对每个ki重特征值λi，求(A－λiE)x=0的基础 解系，得ki个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单 位化，得ki个两两正交的单位特征向量.因 k1+…+ks=n， 故总共可得n个线性无关的特征向量. （3）把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵 Q，便有Q－1AQ=QTAQ=Λ.注意Λ中对角元的排列次序 应与Q中列向量的排列次序相对应.
对称矩阵的对角化
根据定理6-15，实对称矩阵A的不同特征 值对应的特征向量两两正交，故这n个特征向 量构成规范正交向量组.以它们为列构成矩阵Q， 则Q为正交矩阵，并有Q－1AQ=Λ，其中对角 矩阵Λ含有k1个λ1，k2个λ2，…,km个λm，恰是 A的n个特征值.证毕.
根据定理6-17，我们可以得到把实对称矩 阵对角化化
对称矩阵的对角化
【例6-14】
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
谢谢聆听
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
从上一节我们看到，一般的方阵不一定 可对角化，但对于在应用中常遇到的实对称 矩阵（满足AT=A的实矩阵），不仅一定可 以对角化，而且解决起来也要简便得多，这 是由于实对称矩阵的特征值与特征向量具有 一些可注意的特性.
对称矩阵的对角化
定理6-14
实对称矩阵的特征值必为实数. 证明 （略） 由于实对称矩阵的特征值是实数，从 而对应的特征向量也是实特征向量.
对称矩阵的对角化
定理6-16
设λ为n阶实对称矩阵A的k重特征 值，则对应特征值λ恰有k个线性无关的 特征向量.
证明 （略）
对称矩阵的对角化
定理6-17
设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交阵Q，使 Q－1AQ=QTAQ=Λ
其中，Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵. 证明 设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λm，它们的 重数依次为k1,k2,…,km，于是k1+k2+…+km=n.根据定理616知，对应特征值λi恰有ki个线性无关的特征向量，把它们 单位正交化，即得ki个单位正交的特征向量，i=1,2,…,m.由 k1+k2+…+km=n知这样的特征向量恰有n个.
对称矩阵的对角化
定理6-15
设λ1,λ2是实对称矩阵的两个特征值，p1,p2是对应的特征向量.若 λ1≠λ2，则p1与p2正交.
证明 因Ap1=λ1p1,Ap2=λ2p2. 对Ap1=λ1p1两边转置，由AT=A，可得pT1A=λ1pT1，再同时右乘上 p2，得 pT1Ap2=λ1pT1p2 对Ap2=λ2p2，同时左乘pT1，得 pT1Ap2=λ2pT1p2 两式相减，得(λ1－λ2)pT1p2=0 但λ1≠λ2，故pT1p2=0，即p1与p2正交. 这就是说，实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量两两正交.