最新流体力学6-势流理论整理

第六章：势流理论一．内容总结：二元流动包括平面流动和轴对称流动。

对于不可压缩流体的平面定常势流可以引入流函数和速度势函数。

而不可压缩平面势流速度势函数和流函数均满足拉普拉斯方程。

速度势函数的等值线与流函数等值线正交，流函数的等值线与流线重合。

本章研究物体在静止理想流体中平面运动时,流体对物体的作用力。

求解势流问题的思路为：当物体在流体中运动，即物体与流体之间产生相对运动时,物体受到流体的作用力。

对于理想流体的运动不存在切应力，理想流体中运动的物体表面上只受到法向的压力作用。

因此要解决在流场中物体所受的作用力,只要把物体表面上合压力求出即可。

由伯努利方程可知，若物面上（理想流体中无分离绕流时物面与流线重合）的速度分布已知可求出物面上压力分布，再沿物面积分便可求出物体受到的合压力。

因此，问题归结为求出流场的速度分布，对于不可压缩平面流动，求速度分布的问题又可归结为求速度势函数和流函数问题。

1． 势流问题求解的思路 基本方程 ： 20ϕ∇= 无旋流动20ψ∇=二维不可压缩流动V grad φ=G即得到三个速度分量u v 伯努立方程压力,,w →→P 再由边界条件→ 积分 spds ∫便求得了合力，因此只要确定V ϕ→→p G就可积分求合力了。

对于二维不可压缩无旋流动，整个问题的关键在于找到满足边界条件的ϕ或ψ。

求速度势ϕ的方法：因为方程是线性方程, 几个解的线性之和仍满足拉普拉斯方程。

20ϕ∇=根据已知知识确定应选的势流. 简单平面势流的表示式 1) 等速直线运动等速V 平行x 轴的平行流动速度势和流函数为： 0V x ϕ= 0V y ψ=2) 源和汇源心在坐标原点时速度势和流函数在平面极坐标下为： ln 2Q r ϕπ= 2Q ψθπ= 式中为源 为汇0Q >0Q <3) 旋涡速度势和流函数在平面极坐标下为： 2ϕθπΓ= ln 2r ψπΓ=−4)偶极子速度势和流函数为：222M x z x y ϕπ=+ 222M yx yψπ=−+ 221214sin p p p c V θρ∞∞−==− 在位置上,指向与X 轴成β角. 0z M ：称偶极矩,由汇指向源。

第六章 不可压缩流体的平面势流§6-1 有势流动的速度势函数一、速度势函数ϕ对于无旋流动，有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂y u x x w z u z y w υυ (1) 根据数学分析可知：上式成立是z w y x u d d d ++υ成为某一函数),,,(t z y x ϕ的全微分的充要条件。

ϕ称为速度势函数，简称速度势。

即：z w y x u d d d d ++=υϕ 又有：z z y yx x d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕx u ∂∂=∴ϕ，y ∂∂=ϕυ，zw ∂∂=ϕ 又由矢量分析：k z i y i x k w i i u V v v v v vv v ∂∂+∂∂+∂∂=++=ϕϕϕυϕϕ∇==grad (2)即速度势的梯度等于流场的速度。

在柱坐标中：径向速度：rr ∂∂=ϕυ切向速度：θϕϕυθ∂∂=∂∂=r s 轴向速度：zz ∂∂=ϕυ由此可见，ϕ对任意方向的偏导数，就是速度V v在该方向的投影，这是ϕ的一个重要性质。

函数),,,(t z y x ϕ称为速度势函数，简称速度势，对无旋流动)0rot (=V v，总有速度势存在，所以，无旋流动也称为有势流动。

在有势流动中，Γ和ϕ的关系为：()∫∫++=⋅=B ABAAB z w y x u s V Γd d d d υv v A B BAϕϕϕ−==∫d (3)即在有势流动中，沿AB 曲线的切向速度线积分(速度环量)等于终点B 与起点A 的速度势之差。

又：在有势流动中，沿任一封闭周线K 的速度环量()∫∫++=⋅=KKz w y x u s V Γd d d d υvv ∫Kϕd ＝若ϕ是单值或由斯托克斯定理，则0d =∫Kϕ二、势函数方程将x u ∂∂=ϕ，y ∂∂=ϕυ，zw ∂∂=ϕ代入不可压流体连续方程： 0=∂∂+∂∂+∂∂zwy x u υ 则有：02222222=∇=∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕz y x (4)(其中2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=Δ=∇称为拉普拉斯算子)即在不可压流体的有势流动中，速度势ϕ满足拉普拉斯方程。

势流理论笔记：01势流理论基础前⾔：势流理论复习笔记，没想到⾃⼰⼜重新学了⼀遍势流理论。

所以记个笔记笔记内容基本摘抄⾃朱仁传⽼师的《船舶在波浪上的运动理论》，写得好哇基础理论均匀、不可压缩理想流体的流场中，连续性⽅程与欧拉⽅程可以描述为：∇v=0∂∂t+v⋅∇v=−∇pρ+gzv(x,y,z)与p(x,y,z)分别为速度⽮量与压⼒场，存在向量关系∇v22=∇v⋅v2=(v⋅∇)v+v×(∇×v)欧拉⽅程可以改写为以下形式，称为兰姆⽅程(Lamb′sEquation)∂v∂t+∇v22−v×(∇×v)=−∇pρ+gz以上共四个⽅程，四个未知数，⽅程封闭。

如果流体流动⽆旋有势，⽅程可以进⼀步简化v=∇ϕ(x,y,z,t)∇2ϕ(x,y,z,t)=∂2ϕ∂x2+∂2ϕ∂y2+∂2ϕ∂z2=0pρ+gz+v22+∂ϕ∂t=C(t)格林函数法船舶在波浪中的运动问题关键在于求解流畅中的速度势，即求在确定边界条件下的拉普拉斯⽅程。

格林函数法(Green′s function method)是⼀类成熟常⽤的求解⽅法。

格林函数法的基础势格林公式（散度定理）推导得到，对三维空间中有界区域τ，有以下关系式∭τ∇⋅A dτ=∬S n⋅A d S其中，S为空间域τ充分光滑的边界⾯；n为曲⾯S的单位外法向⽮量（从流体域内指向外部），⽮量A在封闭区域τ+S上连续。

现令A=ϕ∇ψ，于是有∇A=∇(ϕ∇ψ)=∇ϕ⋅∇ψ+ϕ∇2ψn⋅A=n⋅(ϕ∇ψ)=ϕ∂ψ∂n将A=ϕ∇ψ代⼊格林公式得到∬Sϕ∂ψ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τϕ⋅∇2ψdτ将A=ψ∇ϕ代⼊格林公式得到∬Sψ∂ϕ∂n d S=∭τ∇ϕ⋅∇ψdτ+∭τψ⋅∇2ϕdτ两式作差得到{()() ()()()()∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =∭τϕ⋅∇2ψ−ψ⋅∇2ϕd τ若ϕ,ψ在τ内处处调和，即: ∇2ϕ=0,∇2ψ=0，则有∬S ψ∂ϕ∂n −ϕ∂ψ∂n d S =0∬S ψ∂ϕ∂n d S =∬S ϕ∂ψ∂n d S称作格林第⼆公式。

第六章势流理论课堂提问：为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同？本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。

求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。

其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。

２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。

本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。

2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。

6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。

例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。

如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。

这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。

一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ积分： φ＝Vox （６-4）流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分： ψ＝Vo ｙ （６-5）由（６-4）和（６-5）可得： 流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线。

第六章势流理论本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。

求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。

其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。

２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。

本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。

2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。

6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理3．附加惯性力，附加质量的概念§６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。

例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动，如图６-２所示。

如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。

这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。

一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度V o ，如图６-5所示，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ 积分：φ＝V ox （６-4） 如图６-3 流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分：ψ＝V o ｙ （６-5） 如图６-4 由（６-4）和（６-5）可得：流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线，如图６-3中的实线。