最新初中数学毕业试题

初中数学毕业试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2.0B. πC. 0.33333...D. √42. 一个数的相反数是它自己，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 23. 一个数的倒数是它自己，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 如果a和b是两个实数，且a > b，那么下列哪个不等式一定成立？A. a + 1 > b + 1B. a - 1 > b - 1C. 2a > 2bD. a/b > b/a5. 一个等腰三角形的两边长分别为5和8，那么这个三角形的周长是：A. 18C. 23D. 266. 一个二次方程ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的判别式Δ = b^2 - 4ac，当Δ > 0时，方程的根的情况是：A. 无实数根B. 有两个不相等的实数根C. 有两个相等的实数根D. 无法确定7. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π8. 一个正方体的体积是8立方厘米，那么它的棱长是：A. 2厘米B. 4厘米C. 8厘米D. 16厘米9. 一个函数y = 2x + 3的图象是一条直线，这条直线的斜率是：A. 2B. 3C. -2D. -310. 一个函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0C. 8D. 16二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的绝对值是5，这个数可以是______。

12. 一个数的平方是9，这个数可以是______。

13. 一个数的立方是-8，这个数是______。

14. 一个角的补角是120°，这个角是______。

15. 一个角的余角是30°，这个角是______。

三、解答题（每题5分，共55分）16. 计算：(3x - 2)(x + 1) = 0，求x的值。

17. 计算：(2x + 3)(2x - 3) = 0，求x的值。

初中数学毕业试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的60%是120，那么这个数是多少？A. 180B. 192C. 200D. 2203. 一个长方形的长是14cm，宽是10cm，那么它的周长是多少？A. 34cmB. 42cmC. 28cmD. 56cm4. 下列哪个数是质数？A. 2B. 9C. 15D. 165. 一个数的75%加上它的25%等于这个数的多少？A. 75%B. 100%C. 125%D. 200%6. 一本书的价格是35元，如果打8折，那么折扣后的价格是多少？A. 28元B. 30元C. 42元D. 56元7. 一个数的1/3加上它的2/3等于多少？A. 1B. 2/3C. 5/3D. 1/38. 下列哪个选项表示的是负数？A. -5B. 5C. 0D. 39. 一个班级有40名学生，其中3/4是男生，那么女生有多少人？A. 10B. 12C. 15D. 2010. 一个数的2倍减去它的一半等于这个数的多少？A. 3/2倍B. 1/2倍C. 1倍D. 2倍二、填空题（每题4分，共20分）11. 圆的周长公式是__________。

12. 一个数的1/2与它的1/3的差是这个数的__________。

13. 一本书的原价是50元，如果打7折，那么折扣后的价格是__________元。

14. 一个长方体的体积公式是__________。

15. 一个数的1/4加上3/4等于__________。

三、解答题（共50分）16. （10分）小明和小红合作完成一项工作，小明单独完成需要4小时，小红单独完成需要6小时。

现在他们合作，共同完成这项工作需要多少时间？17. （15分）一个长方体的长是15cm，宽是8cm，高是10cm。

求这个长方体的表面积和体积。

18. （15分）某商店购进一批玩具，每个进价是20元，标价是30元。

初中毕业数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…B. √2C. 4D. π答案：B2. 一个等腰三角形的底边长为6，高为4，其周长是多少？A. 16B. 14C. 18D. 20答案：C3. 函数y=2x+3的图象与x轴的交点坐标是？A. (0,3)B. (-3/2,0)C. (3/2,0)D. (0,-3)答案：B4. 一个数的相反数是-5，这个数是？A. 5C. 0D. 1答案：A5. 若a=2b，且b=3，则a的值是多少？A. 6B. 3C. 2D. 1答案：A6. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B7. 一个长方体的长、宽、高分别是4、3、2，那么它的体积是多少？A. 24B. 36C. 48D. 60答案：A8. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？B. -5C. 5或-5D. 0答案：C9. 一个数的平方根是3，这个数是？A. 9B. -9C. 3D. -3答案：A10. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是多少？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果一个底角是40°，那么顶角是____。

答案：100°2. 一个数的立方根是2，那么这个数是____。

答案：83. 一个数的平方是16，那么这个数是____。

答案：±44. 函数y=x^2-4x+4的最小值是____。

答案：05. 一个圆的直径是10，那么它的周长是____。

答案：31.46. 一个长方体的体积是60，长和宽都是3，那么高是____。

答案：6.67（保留两位小数）7. 一个等差数列的首项是1，公差是2，那么第10项是____。

答案：198. 一个数的绝对值是7，那么这个数是____。

答案：±79. 一个数的倒数是2，那么这个数是____。

江苏省苏州市初中毕业暨升学考试试卷数学一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1．12()2⨯-的结果是A ．－4B ．－1C ．14-D ．32【答案】B 。

【考点】有理数乘法。

【分析】利用有理数运算法则，直接得出结果数。

2．△ABC 的内角和为A ．180°B ．360°C ．540°D ．720° 【答案】A【考点】三角形的内角和定理。

【分析】利用三角形的内角和定理，直接得出.3．已知地球上海洋面积约为316 000 000km 2，316 000 000这个数用科学记数法可表示为 A ．3.61×106 B ．3.61×107 C ．3.61×108 D ．3.61×109 【答案】C 。

【考点】科学记数法。

【分析】利用科学记数法的计算方法，直接得出结果。

4．若m ·23＝26，则m 等于A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D ．【考点】指数运算法则。

【分析】利用指数运算法则，直接得出结果，6363322228m -=÷===。

5．有一组数据：3，4，5，6，6，则下列四个结论中正确的是 A ．这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，6 B ．这组数据的平均数、众数、中位数分别是5，5，5 C ．这组数据的平均数、众数、中位数分别是4.8，6，5 D ．这组数据的平均数、众数、中位数分别是5，6，6 【答案】C ．【考点】平均数、众数、中位数。

【分析】平均数=345564.85++++=,众数6, 中位数5。

6．不等式组30,32x x -≥⎧⎪⎨<⎪⎩的所有整数解之和是A ．9B ．12C ．13D ．15【答案】B 。

【考点】不等式组。

【分析】解不等式组可得36x <≤,其间所有整数解之和是3+4+5=12。

7．已知1112a b -=，则ab a b -的值是 A ．12 B ．－12C ．2D ．－2【答案】D 。

黑龙江省龙东地区2024年初中毕业学业统一考试数学试题考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共三道大题，总分120分一、选择题（每小题3分，共30分）1．下列计算正确的是（）A ．326a a a ⋅=B ．()527a a =C ．()339328a b a b -=-D ．()()22a b a b a b-++=-2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）A ．3B ．4C ．5D ．64．一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）A ．1B ．0.8C ．0.6D ．0.55．关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠6．已知关于x 的分式方程2333x xkx -=--无解，则k 的值为（）A ．2k =或1k =-B ．2k =-C ．2k =或1k =D ．1k =-7．国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（）A ．5B ．4C ．3D ．28．如图，双曲线()120y x x=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（）A ．4.5B ．3.5C ．3D ．2.59．如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为（）A B ．5C ．5D 10．如图，在正方形ABCD 中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），90BHF ∠=︒，HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于点N ，连接BD ．则下列结论：①45HBF ∠=︒；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则sin 10NBC ∠=；④BN =；⑤若12AH D H =，则112BND AHM S S =△△，其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①③⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤二、填空题（每小题3分，共30分）11．国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为．12．在函数y =中，自变量x 的取值范围是．13．已知菱形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O ，添加条件可使菱形ABCD成为正方形．14．七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是．15．关于x 的不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是．16．如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD∠︒．17．若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是︒．18．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，1AD =，线段AD 绕点A 旋转，点P 为CD 的中点，则BP 的最大值是．19．矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将AB 沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线BC 于点P （点P 不与点B 重合），点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC 长为．20．如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，OAB 在正方形OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边（方向为O M N P O M →→→→→→ ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A 的对应点记为1A ，1A 的坐标是()2,0；第二次滚动后，1A 的对应点记为2A ，2A 的坐标是()2,0；第三次滚动后，2A 的对应点记为3A ，3A 的坐标是1322⎛⎫-⎝⎭；如此下去，……，则2024A 的坐标是．三、解答题（满分60分）21．先化简，再求值：22222111m m m m m m ⎛⎫-+÷- ⎪-+⎝⎭，其中cos60m =︒．22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,3B -，()5,2C -．(1)画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；(2)画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）23．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()1,0B ，()0,3C ．(1)求抛物线的解析式．(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，使得APC △的面积最大．若存在，请直接写出点P 坐标和APC △的面积最大值；若不存在，请说明理由．24．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：组别分组（cm ）频数A 50100x <≤3B 100150x <≤m C150200x <≤20D 200250x <≤14E250300x <≤5(1)频数分布表中m =，扇形统计图中n =．(2)本次调查立定跳远成绩的中位数落在组别．(3)该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm 为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？25．甲、乙两货车分别从相距225km 的A 、B 两地同时出发，甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，乙货车沿同一条公路从B 地驶往A 地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，结果比甲货车晚半小时到达B 地．如图是甲、乙两货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：(1)甲货车到达配货站之前的速度是km/h ，乙货车的速度是km/h ；(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B 地的过程中，甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式；(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．26．已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，12MAN BAC ∠=∠，MAN ∠在BAC ∠的内部，点M 、N 在BC 上，点M 在点N 的左侧，探究线段BM NC MN 、、之间的数量关系．（1）如图①，当90BAC ∠=︒时，探究如下：由90BAC ∠=︒，AB AC =可知，将ACN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABP ，则CN BP =且90PBM ∠=︒，连接PM ，易证AMP AMN △≌△，可得MP MN =，在Rt PBM △中，222BM BP MP +=，则有222BM NC MN +=．（2）当60BAC ∠=︒时，如图②：当120BAC ∠=︒时，如图③，分别写出线段BM NC MN 、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．27．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？(2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？28．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边OB 在x 轴上，点A 在第一象限，OA 的长度是一元二次方程2560x x --=的根，动点P 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA AB -运动，动点Q 从点O 出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB BA -运动，P 、Q 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t 秒（0 3.6t <<），OPQ △的面积为S ．(1)求点A的坐标；(2)求S与t的函数关系式；(3)在（2）的条件下，当S M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．1．C【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选项的结果后再进行判断即可．【详解】解：A 、3256a a a a ⋅=≠，故选项A 计算错误，此选项不符合题意；B 、()52107a a a =≠，故选项B 计算错误，此选项不符合题意；C 、()339328a b a b -=-，此选项计算正确，符合题意；D 、()()()()22a b a b b a b a b a -++=-+=-，故选项D 计算错误，此选项不符合题意；故选：C ．2．B【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B 选项符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 选项不合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D 选项不合题意．故选：B ．3．B【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体．【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．故选B ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．4．D【分析】本题主要考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果．【详解】平均数为：()233443+++÷=方差为：()()()()222221233333434S ⎡⎤=⨯-+-+-+-⎣⎦()110014=⨯+++0.5=故选：D ．5．D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=-的意义得到20m -≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，然后解不等式组即可得到m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有实数根，20m ∴-≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，解得：4m ≤，m ∴的取值范围是4m ≤且2m ≠．故选：D ．6．A【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．【详解】解：去分母得，2(3)3kx x --=-，整理得，(2)9k x -=-，当2k =时，方程无解，当2k ≠时，令3x =，解得1k =-，所以关于x 的分式方程2333x xkx -=--无解时，2k =或1k =-．故选：A ．7．B【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，利用总价=单价⨯数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，再结合x ，y 均为正整数，即可得出购买方案的个数．【详解】解：设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，依题意得：3228x y +=，3142y x ∴=-．又x ，y 均为正整数，∴211x y =⎧⎨=⎩或48x y =⎧⎨=⎩或65x y =⎧⎨=⎩或82x y =⎧⎨=⎩，∴共有4种不同的购买方案．故选：B ．8．A【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明AFE ODE ∽，有AF AE EF OD OE DE ==，根据E 为AO 的中点，可得AF OD =，EF DE =，进而有1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a===，可得6B y OD a ==，2B x a =，则有32BE BD DE a =-=，问题随之得解．【详解】如图，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0a >，∵BD y ⊥轴，AF BD ⊥，∴AF y ∥轴，DF a =，∴AFE ODE ∽，∴AF AE EF OD OE DE==，∵E 为AO 的中点，∴AE OE =，∴1AF AE EF OD OE DE===，∴AF OD =，EF DE=∴1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a ===，∵B OD y =，∴6B y OD a ==，∴2B x a =，∴2B BD x a ==，∴32BE BD DE a =-=，∴11639 4.52222ABE S AF BE a a =⨯⨯=⨯⨯== ，故选：A ．9．C【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．先由菱形性质可得对角线AC 与BD 交于点O ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得2OA OC OM ===，进而由菱形对角线求出边长，由sin sin 5MAC OBC ∠=∠=解三角形即可求出sin 5MC AC MAC =∠=，tan 5MN BM OBC =∠=．【详解】解：连接AC ，如图，∵菱形ABCD 中，AC 与BD 互相垂直平分，又∵点O 是BD 的中点，∴A 、O 、C 三点在同一直线上，∴OA OC =，∵2OM =，AM BC ⊥，∴2OA OC OM ===，∵8BD =，∴142OB OD BD ===，∴BC ===21tan 42OC OBC OB ===∠，∵90ACM MAC ∠+∠=︒，90ACM OBC ∠+∠=︒，∴MAC OBC∠=∠∴sin sin OC MAC OBC BC ∠=∠==∴sin MC AC MAC =∠=∴55BM BC MC =-=-=，∴1tan 525MN BM OBC =∠=⨯=故选：C ．10．A【分析】连接DG，可得BD AB=AC 垂直平分BD ，先证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，即可判断①；根据AC 垂直平分BD ，结合互余可证明DG FG =，即有DG FG BG ==，则可判断②正确；证明ABM DBN ∽，即有BN BD BM AB ==212ABM DBN S AB S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，根据12AH D H =可得3AH AD =，再证明AHM CBM ∽，可得13AHM ABM S HM S BM == ，即可判断⑤；根据点H 是AD 的中点，设2AD =，即求出BH =，同理可证明AHM CBM ∽，可得23BM BH ==，即可得BN ==，进而可判断③．【详解】连接DG ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BDC BAC ADB ∠=∠=∠=︒，BD AB=90BAD ADC ∠=∠=︒，AC 垂直平分BD ，∴90CDP ∠=︒，∵DF 平分CDP ∠，∴1452CDF CDP CDB ∠=∠=︒=∠，∴90BDF CDF CDB ∠=∠+∠=︒，∵90BHF BDF ∠=︒=∠，∴点B 、H 、D 、F 四点共圆，∴45HFB HDB ∠=∠=︒，DHF DBF ∠=∠，∴18045HBF HFB FHB ∠=︒-∠-∠=︒，故①正确，∵AC 垂直平分BD ，∴BG DG =，∴BDG DBG ∠=∠，∵90BDF ∠=︒，∴90BDG GDF DBG DFG ∠+∠=︒=∠+∠，∴GDF DFG ∠=∠，∴DG FG =，∴DG FG BG ==，∴点G 是BF 的中点，故②正确，∵90BHF BAH ∠=︒=∠，∴90AHB DHF AHB ABH ∠+∠=︒=∠+∠，∴DHF ABH ∠=∠，∵DHF DBF ∠=∠，∴ABH DBF ∠=∠，又∵45BAC DBC ∠=∠=︒，∴ABM DBN ∽，∴BN BD BM AB==，∴BN =，故④正确，∴212ABM DBN S AB S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，若12AH D H =，则()1122AH HD AD AH ==-，∴3AH AD =，∴13=AH AD ，即13H H A A BC AD ==，∵AD BC ∥，∴AHM CBM ∽，∴13HM AH BM BC ==，∴13AHM ABM S HM S BM == ，∴3ABM AHM S S = ，∵12ABM DBN S S = ，∴26BND ABM AHM S S S == △，故⑤错误，如图，③若点H 是AD 的中点，设2AD =，即2AB BC AD ===，∴112AH AD ==，∴BH ==，同理可证明AHM CBM ∽，∴12HM AH BM BC ==，∴32HM BM BH BM BM+==，∴23BM BH ==，∵BN =，∴BN =，∵2BC =，∴在Rt BNC △中，23NC ==，sin NC NBC BN ∠==，故③正确，则正确的有：①②③④，故选：A ．【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，ABM DBN ∽，是解答本题的关键．11．121.390810⨯【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．【详解】1 亿81.010=⨯，13908亿48121.39081010 1.390810=⨯⨯=⨯故答案为：121.390810⨯12．3x ≥##3x≤【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，30x -≥，且20x +≠，解得，3x ≥，故答案为：3x ≥．13．AC BD =或AB BC⊥【分析】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，依据正方形的判定定理进行判断即可.【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC BD =；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB BC ⊥；故添加的条件为：AC BD =或AB BC ⊥．14．35【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：123205=，故答案为：35．15．102a -≤<【分析】本题考查解一元一次不等式（组)，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，即可得到关于a 的不等式组，然后求解即可．【详解】解：由420-≥x ，得：2x ≤，由102x a ->，得：2x a >， 不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，∴这3个整数解是0，1，2，120a ∴-≤<，解得102a -≤<，故答案为：102a -≤<．16．65【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD ，根据直径所对的圆周角是直角得出=90ACD ∠︒，根据同弧所对的圆周角相等得出25D B ∠=∠=︒，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．【详解】解：如图所示，连接CD ，∵ABC 内接于O ，AD 是直径，∴=90ACD ∠︒，∵ AC AC =,25B ∠=︒，∴25D B ∠=∠=︒∴902565CAD ∠=︒-︒=︒，故答案为：65．17．90【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式πS rl =求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．【详解】根据圆锥侧面积公式：πS rl =，可得π336πl ⨯⨯=解得：12l =，2π1236π360n ⨯∴=，解得90n =，∴侧面展开图的圆心角是90︒．故答案为：90．18．12【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出BP 取最大值时B 、P 、M 三点的位置关系．取AC 的中点M ，连接PM 、BM ，利用解三角形求出BM ==，利用三角形中位线定理推出1122PM AD ==，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值．【详解】解：取AC 的中点M ，连接PM 、BM ．∵90ACB ∠=︒，1tan 2BAC ∠=，2BC =，∴124tan 2BC AC BAC ==÷=∠，∴122AM CM AC ===，∴BM ===∵P 、M 分别是CD AC 、的中点，∴1122PM AD ==．如图，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值，最大值为12BM MP +=+，故答案为：12．19．52或72或10【分析】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，先根据点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC 即可．【详解】解：①点B 的对称点落在矩形对角线BD 上，如图1，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，由折叠性质可知：BB AP '⊥，∴BAP BPA BPA CBD∠+∠=∠+∠∴=BAP CBD∠∠∴3tan =tan =4CD BAP CBD BC ∠∠=，∴39tan 642BP AB BAP =∠=⨯=∴97822PC BC BP =-=-=；②点B 的对称点B '落在矩形对角线AC 上，如图2，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，∴5AC ===，∴4cos 5BC ACB AC ∠==，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴532B C AC AB ''=-=-=∴452cos 52B C PC ACB '==÷=∠；③点B 的对称点B '落在矩形对角线CA 延长线上，如图3，∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，∴5AC ===，∴4cos 5BC ACB AC ∠==，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，∴538B C AC AB ''=+=+=∴4810cos 5B C PC ACB '==÷=∠；综上所述：则PC 长为52或72或10．故答案为：52或72或10．20．()1,3【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A 的对应点1A ，2A ， ，12A 的坐标，发现规律即可解决问题．【详解】解： 正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，3OM MN NP OP ∴====,OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，∴等边三角形高为2，由题知，1A 的坐标是()2,0；2A 的坐标是()2,0；3A 的坐标是1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；继续滚动有，4A 的坐标是()3,2；5A 的坐标是()3,2；6A 的坐标是5,32⎛ ⎝⎭；7A 的坐标是()1,3；8A 的坐标是()1,3；9A 的坐标是52⎫⎪⎪⎝⎭；10A 的坐标是()0,1；11A 的坐标是()0,1；12A 的坐标是12⎛ ⎝⎭；13A 的坐标是()2,0； 不断循环，循环规律为以1A ，2A ， ，12A ，12个为一组， 2024121688÷= ，∴2024A 的坐标与8A 的坐标一样为()1,3，故答案为：()1,3．21．1m -+，12【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可．【详解】解：原式()()()()21111m m m m m m-+=⋅+--1m =-+，当1cos 602m =︒=时原式12=．22．(1)作图见解析，()12,3B (2)作图见解析，()23,0B -【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．（1）根据题意画出即可；关于y 轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；（2）根据网格结构找出点B 、C 以点A 为旋转中心逆时针旋转90︒后的对应点，然后顺次连接即可；（3）先求出AB 90︒，利用弧长公式即可求出．【详解】（1）解：如图，111A B C △为所求；点1B 的坐标为()2,3，（2）如图，22AB C 为所求；()23,0B -，（3）AB =，点B 旋转到点2B =．23．(1)223y x x =--+(2)存在，点P 的坐标是315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，APC △的面积最大值是278【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：（1）将B ，C 两点坐标代入函数解析式，求出b ，c 的值即可；（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，设()2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，根据APC APE AOC PCOE S S S S =+- 梯形可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.【详解】（1）解：将()1,0B ，()0,3C 代入2y x bx c =-++得，103b c c -++=⎧⎨=⎩解得：23b c =-⎧⎨=⎩223y x x ∴=--+（2）解：对于223y x x =--+，令0,y =则2230,x x --+=解得，123,1x x =-=，∴()3,0A -，∴3,OA =∵()0,3C ，∴3OC =，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，如图，设()2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，∴,3,OE x AE x =-=+∴APC APE AOCPCOE S S S S =+- 梯形()111222AE PE OC PE OE OA OC =⨯++⨯-⨯()()()()2211132332333222x x x x x x =+--++--+--⨯⨯23327228x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵302-<，∴S 有最大值，∴当32x =-时，S 有最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭24．(1)8，40(2)C(3)估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人【分析】本题主要考查了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体，（1）用A 组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得B 组的人数，用C 组的人数除以总人数即可求解；（2）根据中位数的求法，即可求解；（3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解．【详解】（1）解：被抽取的学生数为：36%50÷=(人)故503201458m =----=（人），%205040%n =÷=，即40n =，故答案为：8，40；（2）解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，382526+<< ，5142526+<<，∴把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C 组，故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C 组，答案为：C ；（3）解：14560022850+⨯=（人）答：该校立定跳远成绩合格的男生有228人．25．(1)30，40(2)EF 的函数解析式是()802154 5.5y x x =-≤≤(3)经过1.5h 或45h 14或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，乙货车到达配货站路程为120km ，到达后返回，所用时间为6h ，根据速度=距离÷时间即可得；（2）甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象结合已知条件可知(4,105)E 和点(5.5,225)F ，再利用待定系数法求出y 与x 的关系式即可得答案；（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B 地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x 的值即可得答案．【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，所以甲货车到达配货站之前的速度是105 3.5=30÷（km/h ）∴乙货车到达配货站路程为225105=120(km)-，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，总路程为240km ，总时间是6h ，∴乙货车速度240640km /h =÷=，故答案为：30；40（2）甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象可知(4,105)E 和点(5.5,225)F 设(4 5.5)EF y kx b x =+≤≤∴41055.5225k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：21580b k =-⎧⎨=⎩，∴甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式()802154 5.5y x x =-≤≤（3）设甲货车出发h x ，甲、乙两货车与配货站的距离相等，①两车到达配货站之前：1053012040x x -=-，解得：32x =,②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：1053040120x x -=-，解得：4514x =，③甲货车在配货站卸货后驶往B 地时：0802151054012x x =---，解得：5x =，答：经过1.5h 或45h 14或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等．26．图②的结论是：222BM NC BM NC MN ++⋅=；图③的结论是：222BM NC BM NC MN +-⋅=；证明见解析【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，选②，以点B 为顶点在ABC 外作60ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，构造全等三角形，得出AN AQ =，CAN QAB ∠=∠，再证明AQM ANM △≌△，得到MN QM =；在Rt QHM△中由勾股定理得222QH HM QM +=，即222122BQ BM BQ QM ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得结论；选③方法同②【详解】解：图②的结论是：222BM NC BM NC MN ++⋅=证明：∵,60,AB AC BAC =∠=︒∴ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，以点B 为顶点在ABC 外作60ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，AB AC = ，C ABQ ∠=∠，CN BQ=ACN ABQ∴△≌△AN AQ ∴=，CAN QAB∠=∠又30CAN BAM ∠+∠=︒30BAM QAB ∴∠+∠=︒即QAM MAN∠=∠又AM AM = ，AQM ANM ∴△≌△，MN QM ∴=；∵60,60,ABQ ABC ∠=︒∠=︒∴60QBH ∠=︒，∴30,BQH ∠=︒12B BH Q ∴=，2QH BQ =∴12HM BM BH BM BQ =+=+，在Rt QHM △中,可得：222QH HM QM +=即222122BQ BM BQ QM ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得222BM BQ B Q M M B Q ⋅++=222NC B M N N B M M C ∴=⋅++图③的结论是：222BM NC BM NC MN +-⋅=证明：以点B 为顶点在ABC 外作30ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，AB AC = ，C ABQ ∠=∠，CN BQ=ACN ABQ∴△≌△AN AQ ∴=，CAN QAB∠=∠又60CAN BAM ∠+∠=︒60BAM QAB ∴∠+∠=︒即QAM MAN∠=∠又AM AM = ，AQM ANM ∴△≌△，MN QM∴=在Rt BQH 中，60QBH ∠=︒，30BQH ∠=︒12B BH Q ∴=，QH BQ =12HM BM BH BM BQ =-=-，在Rt QHM △中,可得：222QH HM QM +=即222122BQ BM BQ QM ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得222BM BQ B Q M M B Q ⋅+-=222NC B M N N B M M C ∴=⋅+-27．(1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元(2)共有3种购买方案(3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，（1）设购买一个甲种品牌毽子需a 元，购买一个乙种品牌毽子需b 元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解；（2）设购买甲种品牌毽子x 个，购买乙种品牌毽子31002x ⎛⎫- ⎪⎝⎭个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）设商家获得总利润为y 元，即有一次函数3541002y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需a 元，购买一个乙种品牌毽子需b 元．由题意得：1052001510325a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1510a b =⎧⎨=⎩，答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；（2）解：设购买甲种品牌毽子x 个，购买乙种品牌毽子1000153100102x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭个．由题意得：3510023161002x x x x ⎧⎛⎫≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：14586417x ≤≤，x 和31002x ⎛⎫-⎪⎝⎭均为正整数，60x ∴=，62，64，3100102x -=，7，4，∴共有3种购买方案．（3）设商家获得总利润为y 元，3541002y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，400y x =-+，10k =-< ，y ∴随x 的增大而减小，∴当60x =时，340y =最大，答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元．28．(1)点A的坐标为(A(2)()())2202233 3.6t S t t ⎧<≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<<⎪⎩(3)存在，(12,4N +，()24N，(3N -，4N ⎛ ⎝【分析】（1）运用因式分解法解方程求出OA 的长，根据等边三角形的性质得出6,60OA OB AC OAB AOB ABO ===∠=∠=∠=︒，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，求出AC 的长即可；（2）分02t <≤，23t <≤和3 3.6t <<三种情况，运用三角形面积公式求解即可；（32=2t =，得4OP =，分OP 为边和对角线两种情况可得点N 的坐标；当2+=+时不存在以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形【详解】（1）解：2560x x --=，解得16x =，21x =-OA 的长度是2560x x --=的根，6OA ∴=∵OAB 是等边三角形，∴6,60OA OB AC OAB AOB ABO ===∠=∠=∠=︒，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，在Rt AOC 中，60,AOC ∠=︒∴30,OAC ∠=︒116322OC OA ∴==⨯=，∴AC ===∴点A 的坐标为(A （2）解：当02t <≤时．过P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，∴2OP t =，3OQ t =，30OPD ∴∠=︒∴,OD t =∴PD ==，2113222S OQ PD t t ∴=⨯⨯=⨯⨯=；当23t <≤时，过Q 作QE OA ⊥，垂足为点E∵60,A ∠=︒∴30,AQE ∠=︒又123,AQ t =-∴13622AE AQ t ==-，2t QE =又2OP t =，21222S t ⎛⎫∴=⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭当3 3.6t <<时，过O 作OF AB ⊥，垂足为F∴()1823185PQ t t t =-+=-，同理可得，132BF OB ==，∴2233OF OB BF =-=；()11533185327322S t t ∴=⨯⨯-=-+综上所述()()()223302233632321532733 3.62t t S t t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<<⎪⎩（3）解：当233263t =时，解得，2,t =∴224OP =⨯=，过点P 作PG x ⊥轴于点G ，则12,2OG OP ==∴2222423,PG OP OG =--∴点P 的坐标为(2,3；当OP 为边时，将OP 沿y 轴向下平移4个单位得()2,34N ，此时()0,4M -，四边形POMN 是菱形；将OP 沿y 轴向上平移4个单位得()2,34N ，此时()0,4M ，四边形POMN 是菱形；如图，作点P 关于y 轴的对称点(2,N -，当(0,M 时，四边形PMNO 是菱形；当OP 为对角线时，设OP 的中点为T ，过点T 作TM OP ⊥，交y 轴于点M ，延长MT 到N ,使,TN TM =连接ON ,过点N 作NH x ⊥轴于点H ，则30,MOT NOT HON ∠=∠=∠=︒2,OT =∴2,ON TN =∴222ON OT TN =+,即222122ON ON ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得，ON =∴NH =2,OH =。

初中毕业考试数学试题（4）解析满分：150分 时间：120分钟一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.自贡恐龙博物馆是世界三大恐龙博物馆之一.今年“五一黄金周”共接待游客8.87万人次，人数88700用科学记数法表示为（ ）A.50.88710⨯B.38.8710⨯C.48.8710⨯D.388.710⨯2.如图是一个正方体的展开图，把展开图叠成小正方体后，有“迎”字一面的向对面上的字是（ ）A.百B.党C.年D.喜3.下列运算正确的是（ ）A.22541a a -=B.23246()a b a b -=C.933a a a ÷= D.222(2)4ab a b -=-4.下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）5.如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，∠ACD 的度数是（ ） A.72° B.36° C.74° D.88°6.学校为了解“阳光体育”活动展开情况，随机调查了50名学生一周参加体育锻炼时间，数据如下表所示：这些学生一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A.16,15 B.11,15 C.8,8.5 D.8,97.已知23120,x x --=则代数式2395x x -++的值是（ ） A.31 B.-31 C.41 D.-418.如图，A （8,0），C （-2,0），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）9.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A.函数解析式为13I R=B.蓄电池的电压是18VC.当10I ≤A 时， 3.6R ≥ΩD.当6R =Ω时，4I A =时10.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点F ，OE ⊥AC 于点E ，若OE=3，OB=5，则CD 的长度是（ ）A.9.6B. D.1011.如图，在正方形ABCD 中，AB=6，M 是AD 边上的一动点，AM ：MD=1:2,将△BMA 沿BM 对折至△BMN ，连接DN ，则DN 的长是（ ）A.5212.如图，直线22y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线3y x =-+于点Q ，△OPQ 绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（ ）A.23π B.12π C.1116π D.2132π二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13.请写出一个满足不等式7x >的整数解 .14.某中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占30%，期末考试成绩占70%.小彤的这两项成绩依次是90,80.则小彤这学期的体育成绩是 .15.化简：22824a a -=-- . 16.如图，某学校“桃李餐厅”把WIFI 密码做成了数学题.小红在餐厅就餐时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“桃李餐厅”的网络，那么她输入的密码是 .17.如图，△ABC 的顶点均在正方形网格格点上，只用不带尺度的直尺，作出△ABC 角平分线BD （不写作法，保留作图痕迹）18.当自变量13x -≤≤时，函数||y x k =-（k 为常数）的最小值为3k +，则满足条件的k 的值为 .三.解答题（共8个题，共78分）19.本题满分（80|7|(2-+.20.（本题满分8分）如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点.求证：DE=BF21.（本题满分8分）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B 处测得办公楼底部D 处的俯角是53°，从综合楼底部A 处测得办公楼顶部C 处的仰角恰好是30°，综合楼高24米.请你帮小明求出办公楼的高度（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，,1.73）22.（本题满分8分）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业,现有A ，B 两种型号的无人机都被用来送快递，A 型机比B 型机平均每小时多运送20件，A 型机运送700件所有时间与B 型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？ 23. （本题满分8分）为了弘扬爱国主义精神，某校组织了“共和国成就”知识竞赛，将成绩为：A （优秀）、B （优良）、C （合格）、D （不合格）四个等级.小李随机调查了部分同学的竞赛成绩，绘制成了如下统计图（1）本次抽样调查的样本容量是 ，请补全条形统计图；（2）已知调查对象中只有两位女生竞赛成绩不合格，小李准备随机回访两位竞赛成绩不合格的同学，请用树状图或列表法求出恰好回访到一男一女的概率；（3）该校共有2000名学生，请你估计该校竞赛成绩“优秀”的学生人数.24. （本题满分8分）函数图象是研究函数的重要工具.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合自己已有的学习经验，画出函数284xy x =-+的图象，并探究其性质. 列表如下：（1）直接写出表中a ，b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）观察函数284xy x =-+的图象，判断下列关于该函数性质的命题： ①当22x -≤≤时，函数图象关于直线y x =对称； ②2x =时，函数有最小值，最小值为-2 ③11x -<<时，函数y 的值随x 的增大而减小.其中正确的是 （请写出所有正确命题的番号） （3）结合图象，请直接写出不等式2844xx >+的解集为 .25.（本题满分12分）如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ，AE ⊥CD 于点E ，交⊙O 于点F ，连接AD ，FD. （1）求证：∠DAE=∠DAC ； （2）求证：DF ·AC=AD ·DC ； （3）若sin ∠C=14，AD=，求EF 的长.26.（本题满分14分）如图，抛物线(x 1)(x a)y =+-(其中1a >)与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C.（1）直接写出∠OCA 的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为△ABC 的外心，且△BCD 与△ACO 4，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(x 1)(x a)y =+-上是否存在一点P ，使得∠CAP=∠DBA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案与解析一.选择题1.【解析】科学记数法表示为a ×10N ，其中1≤|a|＜10，故答案为C 2.【解析】根据正方体展开图可得，“迎”与“党”相对，故答案为B3.【解析】A 正确答案为a 2，B 选项正确，C 选项答案为a 6，D 选项为a 2−4ab +4b2，故答案为B4.【解析】A 选项，对称轴1条，B 选项和C 选项为中心对称图形，D 选项对称轴两条，故答案为D5.【解析】正5边形每一个内角为(n 2)180108n-︒=︒，∵AB=BC ，∴∠ACB=36°，∴∠ACD=72°，故答案为A6.【解析】众数是出现次数最多的数，故众数为8，中位数即将数据排序后，中间两个数（8和9）的平均数8.5，故答案为C7.【解析】2223=12393639531x x x x x x -⇒-+=-⇒-++=-，故答案为B8.【解析】AB=AC=10，AO=8，在Rt △AOB 中，根据勾股定理可得OB=6，故B （0,6），故答案为D 9.【解析】函数解析式为36y x=故A 选项错误，蓄电池电压是49=36⨯V ，D 选项，当6R =Ω时，6I A =，故答案为C10.【解析】在Rt △ACF 中，sin ∠BAC=CFAC，在Rt △AOE 中，sin ∠BAC=OE OA=35，故CD 的长度为245=4.8，故答案为A11.【解析】过N 作直线∥AB ，交AD 于H ，交BC 于G ，由翻折性质可知△AMB ≌△NMB ，∴∠BNM=90°，进而可得△MNH ∽△NBG ，∴MNNB =NH BG =13，设NH=y ，则BG=3y ，MH=3y-2，在Rt △MHN 中，MH 2+NH 2=MN 2，∴(3y −2)2+y 2=22,∴y =65，∴DH=CG=125，在Rt △DNH 中，DH ²+NH 2=DN 2，∴DN =6√55，故答案为D12.【解析】由旋转性质可知，该阴影部分的的面积等于以OQ 为大圆半径R ，OP 为小圆半径r 且圆心角为45°的扇形环的面积，即S 阴影=S 环=πR 28−πr 28，由题意可得，R 2=x 2+(−x +3)²r 2=x 2+(−2x +2)²，且0<x <1,∴R 2−r 2=−3（x −3）2+163,当x =13时，取得最大值163，故阴影部分面积最大值为2π3，故答案选A.二、填空题13.【解析】x >7−√2,故答案很多，最小整数为6，只需填6以上整数即可，答案不唯一 14.【解析】加权平均数计算方法为90×30%+80×70%=83，故答案为83 15.【解析】2(a+2)a 2−4−8a 2−4=2(a−2)(a+2)(a−2)=2a+2,故答案为2a+216.【解析】根据观察a ∗b 6=ac ，bc ，c （a+b ）运算的结果进行的顺序排列，故密码为244872. 17.【解析】以B 为圆心，任意长为半径画圆弧交∠B 两边于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点间距离为半径画圆弧产生的交点与点B 所连线段即为所求，18.【解析】当k ≥3时，x=3时函数取得最小值，∴k-3=k+3，不成立，当k ≤-1时，x=-1取得最小值，此时-k-1=k+3，∴k=-2满足题意，当-1＜k ＜3时，x=k 时取得最小值，∴k+3=0，k=-3不满足题意，综上所述，k=-2 三.解答题19.【解析】5-7+1=-120.【解析】证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴DC ∥AB 且DC=AB ，∵E 、F 分别为AB 、CD 的中点，∴BE=12AB ，DF=12CD ，∴DF ∥BE 且DF=BE ，∴四边形EBFD 为平行四边形，∴DE=BF.21.【解析】∵在B 处测得D 处的俯角为53°，∴∠BDA=53°，在Rt △BAD 中，tan ∠BDA=BAAD ，∴AD =24tan53°，在Rt △CAD 中，tan ∠CAD=CDAD ，且∠CAD=30°，CD =√3∴CD =√3tan53°≈8.0米22.【解析】设B 型机每小时运送x 件，则A 型机每小时运送x+20件 根据题意可得700x+20=500x，解之可得x =50，经检验x =50是方程的根，也符合实际意义，∴A 型机每小时运送70件，B 型机每小时运送50件 23.【解析】（1）100，补全图形如下：（2）作出树状图如下所示：随机回访两位竞赛成绩合格的同学共20种情况，其中一男一女共12种情况，所以恰好回访到一男一女的概率为1220=35（3）2000×0.35=700人，估计该校竞赛成绩“优秀”人数为700人 24.【解析】（1）作出函数图象如图所示（2）②③ （3）将不等式284x x x >+两边同时乘以-1可得284xx x -<-+可得不等式的解集为 2x <-或02x <<25.【解析】（1）连接OD ，∵DC 为⊙O 的切线，∴OD ⊥CD ，即∠ODC=90° ∵AE ⊥CD ，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠ODC=90°，∴AE ∥OD ，∴∠ODA=∠DAE又∵OD=OA=r，∴∠ODA=∠DAC，∴∠DAE=∠DAC（2）证明：连接BD，设∠DAE=α，又（1）可知∠CAD=∠DAE=α，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠ABD=90°-α，又∵四边形ABDF为⊙O的内接四边形，∴∠AFD+∠ABD=180°，∴∠AFD=90°+α∵∠CDO=90°，∴∠ADC=90°+α在△AFD和△ADC中有∠AFD=∠ADC，∠FAD=∠DAC，∴△AFD∽△ADC∴DFDC =ADAC，即DF·AC=AD·DC（3）设OD=x，在Rt△COD中sin∠C=14，∴OC=4x，根据勾股定理可得CD=√15x，∵OA、OB、OD均为⊙O的半径，∴OA=x，∵OD∥AE，∴△COD∽△CAE，∴ODAE =OCCA=CDCE，∴AE=54x，CE=5√154x，故DE=√154x.由（2）可知△AFD∽△ADC，∴ADAC =AFAD，且AD=4√10，可得AF=32x在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，∴2516x2+1516x2=160，∴x=8∴AF=32x =4，AE=54x=10，∴EF=AE-AF=10-4=626.【解析】（1）A（a，0），C（0，-a），可得OC=OA=a，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠OCA=45°，AB=√2a.（2）∵D为△ABC的外心，∴∠BAC为⊙D中弧BC所对的圆周角，∠BDC为弧BC所对圆心角，∴∠BDC=2∠BAC=90°，∴△BDC和△AOC均为等腰直角三角形，故△BCD∽△ACO∴△BCD与△ACO的周长之比等于相似比，记⊙D半径为R，∴Ra =√104，∴R=√104a∵在等腰直角△BCD中，BC=√1+a2，且BC=√2R，∴R=√1+a2√2∴√1+a 2√2=√104a ，解得a 2=4，又a >1,∴a=2，，故二次函数的解析式为y =x 2−x −2（3）当P 在AC 下方时，∠CBD=∠CAD=45°，且∠CAP=∠DBA ，∴∠PAO=∠CBO.tan ∠CBO=43，作PF ⊥x 轴于F ，∴43PF AF =，设AF=3m ，则PF=4m ，∴(23,4)P m m --代入二次函数可得59m =，∴120(,)39P -当P 在AC 上方时，作120(,)39-关于直线2y x =-对称点25(,)93M --，∴直线AM 的方程为3342y x =-，联立3342(1)(2)y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩得1212,4x x ==-，∴此时P 点横坐标为14-，将14-代入抛物线可得，P 点纵坐标为2716，所以此时P 127(,)416- 综上所述，存在P 点的坐标为120(,)39-和127(,)416-。

2024年扬州市初中毕业升学考试数学一、选择题（本大题共有8小题,每小题3分,共24分．在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.实数2的倒数是（）A.2- B.2C.12-D.122.“致中和,天地位焉,万物育焉”,对称之美随处可见．下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（）A. B. C. D.3.下列运算中正确的是（）A.222()a b a b -=-B.523a a a -=C.()235a a = D.236326a a a ⋅=4.第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生,共同守护光明未来”．某校积极响应,开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表:视力 4.34.44.54.64.74.84.95.0人数7447111053这45名同学视力检查数据的众数是（）A.4.6B.4.7C.4.8D.4.95.在平面直角坐标系中,点()1,2P 关于原点的对称点P'的坐标是()A.()1,2 B.()1,2- C.()1,2- D.()1,2--6.如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形,则该几何体是（）A.三棱锥B.圆锥C.三棱柱D.长方体7.在平面直角坐标系中,函数42=+y x 的图像与坐标轴的交点个数是（）A.0B.1C.2D.48.1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,……,这一列数满足:从第三个数开始,每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2024个数中,奇数的个数为（）A.676B.674C.1348D.1350二、填空题（本大题共有10小题,每小题3分,共30分．不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.近年来扬州经济稳步发展:2024年4月26日,扬州市统计局、国家统计局扬州调查队联合发布一季度全市实现地区生产总值约18700000万元,把18700000这个数用科学记数法表示为____．10.分解因式:2242a a -+=_____．11.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验,整理的实验数据如表:累计抛掷次数501002003005001000200030005000盖面朝上次数2854106158264527105615872650盖面朝上频率0.56000.54000.53000.52670.52800.52700.52800.52900.530随着实验次数的增大,“盖面朝上”的概率接近于__________（精确到0.01）．12.有意义,则x 的取值范围是___．13.若用半径为10cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径为____cm ．14.如图,已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象分别与x ,y 轴交于A,B 两点,若2OA =,1OB =,则关于x 的方程0kx b +=的解为_____．15.《九章算术》是中国古代的数学专著,是《算经十书》中最重要的一部,书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题,可理解为:速度快的人每分钟走100米,速度慢的人每分钟走60米,现在速度慢的人先走100米,速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要____分钟．16.物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图,燃烧的蜡烛（竖直放置）AB 经小孔O 在屏幕（竖直放置）上成像A B ''．设36cm AB =,24cm A B ''=．小孔O 到AB 的距离为30cm ,则小孔O 到A B ''的距离为_____cm ．17.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(1,0),点B 在反比例函数(0)ky x x=>的图像上,BC x ⊥轴于点C,30BAC ∠=︒,将ABC 沿AB 翻折,若点C 的对应点D 落在该反比例函数的图像上,则k 的值为_____．18.如图,已知两条平行线1l ,2l ,点A 是1l 上的定点,2AB l ⊥于点B,点C,D 分别是1l ,2l 上的动点,且满足AC BD =,连接CD 交线段AB 于点E,BH CD ⊥于点H,则当BAH ∠最大时,sin BAH ∠的值为_____．三、解答题（本大题共有10小题,共96分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（1）计算:0|3|2sin 302)π-+︒--（2）化简:2(2)1x x x -÷-+．20.解不等式组260412x x x -≤⎧⎪⎨-<⎪⎩,并求出它的所有整数解的和．21.2024年5月28日,神舟十八号航天员密切协同,完成出舱活动,活动时长达8.5小时,刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录,进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识,从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试,将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表:成绩统计表组别成绩x （分）百分比A 组60x <5%B 组6070x ≤<15%C 组7080x ≤<aD 组8090x ≤<35%E 组90100x ≤≤25%成绩条形统计图根据所给信息,解答下列问题:（1）本次调查的成绩统计表中=a ________%,并补全条形统计图（2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A,B,C,D 或E ）（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．22.2024年“五一”假期,扬州各旅游景区持续火热．小明和小亮准备到东关街、瘦西湖、运河三湾风景区、个园、何园（分别记作A,B,C,D,E ）参加公益讲解活动．（1）若小明在这5个景区中随机选择1个景区,则选中东关街的概率是______（2）小明和小亮在C,D,E 三个景区中,各自随机选择1个景区,请用画树状图或列表的方法,求小明和小亮选到相同景区的概率．23.为了提高垃圾处理效率,某垃圾处理厂购进A,B 两种机器,A 型机器比B 型机器每天多处理40吨垃圾,A 型机器处理500吨垃圾所用天数与B 型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B 型机器每天处理多少吨垃圾？24.如图1,将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起,得到四边形ABCD ．（1）试判断四边形ABCD 的形状,并说明理由（2）已知矩形纸条宽度为2cm ,将矩形纸条旋转至如图2位置时,四边形ABCD 的面积为28cm ,求此时直线AD CD 、所夹锐角1 的度数．25.如图,已知二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于(2,0)A -,(1,0)B 两点．（1）求b c 、的值（2）若点P 在该二次函数的图像上,且PAB 的面积为6,求点P 的坐标．26.如图,已知PAQ ∠及AP 边上一点C ．（1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O ,使得2COQ CAQ ∠=∠.（保留作图痕迹,不写作法）（2）在（1）的条件下,以点O 为圆心,以OA 为半径的圆交射线AQ 于点B ,用无刻度直尺和圆规在射线CP 上求作点M ,使点M 到点C 的距离与点M 到射线AQ 的距离相等.（保留作图痕迹,不写作法）（3）在（1）,（2）的条件下,若3sin 5A =,12CM =,求BM 的长．27.如图,点A B M E F 、、、、依次在直线l 上,点A B 、固定不动,且2AB =,分别以AB EF 、为边在直线l 同侧作正方形ABCD ,正方形EFGH ,90PMN ∠=︒,直角边MP 恒过点C ,直角边MN 恒过点H ．（1）如图1,若10BE =,12EF =,求点M 与点B 之间的距离（2）如图1,若10BE =,当点M 在点B E 、之间运动时,求HE 的最大值（3）如图2,若22BF =,当点E 在点B F 、之间运动时,点M 随之运动,连接CH ,点O 是CH 的中点,连接HB MO 、,则2OM HB +的最小值为_______．28.在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论．如图,已知ABC ,CA CB =,O 是ABC 的外接圆,点D 在 O 上（AD BD >）,连接AD ,BD ,CD ．【特殊化感知】（1）如图1,若60ACB ∠=︒,点D 在AO 延长线上,则AD BD -与CD 的数量关系为________【一般化探究】（2）如图2,若60ACB ∠=︒,点C ,D 在AB 同侧,判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=,直接写出AD ,BD ,CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示）2024年扬州市初中毕业升学考试数学解析一、选择题.题号12345678答案DCBBDCBD8.【解析】这一列数为:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…可以发现每3个数为一组,每一组前2个数为奇数,第3个数为偶数．由于202436742÷= 即前2024个数共有674组,且余2个数∴奇数有674221350⨯+=个．故选:D二、填空题.9.【答案】71.8710⨯10.【答案】()221a -11.【答案】0.5312.【答案】2x ≥13.【答案】514.【答案】2x =-15.【答案】2.516.【答案】2017.【答案】18.【答案】13【解析】解:∵两条平行线1l ,2l ,点A 是1l 上的定点,2AB l ⊥于点B ∴点B 为定点,AB 的长度为定值∵12l l ∥∴ACE BDE ∠=∠,CAE DBE=∠∠∵AC BD=∴()ASA ACE BDE ≌∴12BE AE AB ==∵BH CD ⊥∴90BHE ∠=︒∴点H 在以BE 为直径的圆上运动如图,取线段BE 的中点O,以点O 为圆心,OB 为半径画圆则点H 在O 上运动∴当AH 与O 相切时BAH ∠最大∴OH AH ⊥∵2AE OB OE ==∴3AO AE OE OE =+=∵OH OE =∴3sin 13OH OE AO O BAH E ==∠=故答案为:13．三、解答题.19.【答案】（1）3π-.（2）11x +20.【答案】132x <≤,整数和为621.【答案】（1）20,条形统计图见详解（2）D（3）300人【小问1详解】5153522105%%%%%a -=---=C 组人数为:20020%40⨯=补全条形统计图如图所示:故答案为:20【小问2详解】055124005%%%%%+=<+51532075505%%%%++=>+∴200名学生成绩的中位数会落在D 组．【小问3详解】120025%300⨯=（人）估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．22.【答案】（1）15（2）13【小问1详解】解:由题意得从这些景区随机选择1个景区,选中东关街的有1种可能∴选中东关街的概率是15故案䅁为:15【小问2详解】共有9种等可能结果,其中小明和小亮选到相同景区的结果有3种结果∴小明和小亮选到相同景区的概率:3193P ==答:小明和小亮选到相同景区的概率13．23.【答案】B 型机器每天处理60吨【解析】解:设B 型机器每天处理x 吨垃圾,则A 型机器每天处理(40)x +吨垃圾根据题意,得50030040x x=+解得60x =．经检验,60x =是所列方程的解．答:B 型机器每天处理60吨．24.【答案】（1）四边形ABCD 是菱形,理由见详解（2）130∠=︒【小问1详解】解:四边形ABCD 是菱形,理由如下如图所示,过点A 作AT NP ⊥于点T ,过点C 作CU EH ⊥于点U 根据题意,四边形EFGH ,四边形MNPQ 是矩形∴////EH FG MQ NP，∴////AB DC AD BC，∴四边形ABCD 是平行四边形∵宽度相等,即AT CU =,且90ATB CUB ABT CBU ∠=∠=︒∠=∠，∴()ATB CUB AAS ≌∴AB CB=∴平行四边形ABCD 是菱形【小问2详解】解:如图所示,过点A 作AR CD ⊥于点R根据题意,2AR cm=∵·8ABCD S CD AR ==四边形∴4CD =由（1）可得四边形ABCD 是菱形∴4AD =在Rt ATD 中,12AR AD =∴130∠=︒．25.【答案】（1）12b c =-=，（2）122434()()P P ---，，，【小问1详解】解:二次函数2y x bx c =-++的图像与x 轴交于(2,0)A -,(1,0)B 两点∴42010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩解得,12b c =-⎧⎨=⎩∴12b c =-=，【小问2详解】解:由（1）可知二次函数解析式为:22y x x =--+,(2,0)A -,(1,0)B ∴1(2)3AB =--=设(),P m n ∴1·62PAB S AB n == ∴4n =∴4n =±∴当224x x --+=时,1870∆=-=-<,无解,不符合题意,舍去当224x x --+=-时,13x =-,22x =∴122434()()P P ---，，，．26.【答案】（1）作图见详解（2）作图见详解（3）BM =【小问1详解】解:如图所示∴2COQ CAQ∠=∠点O 即为所求【小问2详解】解:如图所示连接BC ,以点B 为圆心,以BC 为半径画弧交AQ 于点1B ,以点1B 为圆心,以任意长为半径画弧交AQ 于点11C D ，,分别以点11C D ，为圆心,以大于1112C D 为半径画弧,交于点1F ,连接11B F 并延长交AP 于点M ∵AB 是直径∴90ACB ∠=︒,即BC AP⊥根据作图可得11111111B C B D C F D F ==，∴1MB AQ ⊥,即190MB B ∠=︒,1MB 是点M 到AQ 的距离∵1BC BB =∴()1Rt BCM Rt BB M HL ≌∴1CM B M=点M 即为所求点的位置【小问3详解】解:如图所示根据作图可得,212COQ CAQ MC MW MC AQ ∠=∠==⊥，，,连接BC ∴在Rt AMW 中,3sin 5WM A AM ==∴55122033WM AM ⨯===∴20128AC AM CM =-=-=∵AB 是直径∴90ACB ∠=︒∴3sin 5BC A AB ==设3BC x =,则5AB x =∴在Rt ABC 中,()()222538x x =+解得,2x =（负值舍去）∴36BC x ==在Rt BCM 中,BM ===．【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角,尺规作垂线,作平行线,勾股定理,锐角三角函数的计算方法等知识的综合,掌握以上知识的综合运用是解题的关键．27.【答案】（1）4或6.（2）12.5.（3）．【小问1详解】解:设BM x =,则10ME x =-∵四边形ABCD ,EFGH 是正方形∴90ABC CBM ∠=∠=︒,90HEF MEH ∠=∠=︒,2AB BC ==∴90CBM MEH ∠=∠=︒,90BCM CMB ∠+∠=︒∵90PMN ∠=︒∴90EMH CMB ∠+∠=︒∴BCM EMH∠=∠∴BCM EMH∽∴BC BM EM EH =,即21012x x =-,则210240x x -+=解得:6x =或4x =∴6BM =或4BM =【小问2详解】设BM x =,则10ME x=-∵四边形ABCD ,EFGH 是正方形∴90ABC CBM ∠=∠=︒,90HEF MEH ∠=∠=︒,2AB BC ==∴90CBM MEH ∠=∠=︒,90BCM CMB ∠+∠=︒∵90PMN ∠=︒∴90EMH CMB ∠+∠=︒∴BCM EMH∠=∠∴BCM EMH∽∴BC BM EM EH =,即210x x HE =-∴()22115512.522HE x x x =-+=--+当5BM =时,HE 有最大,最大值为12.5【小问3详解】连接FH∵四边形EFGH 是正方形∴45HFE ∠=︒即点H 在对角线FH 所在直线上运动如图,作B 关于FH 的对称点B ',连接B C ',过C 作CQ FG ⊥于点Q ∴'BF B F =,四边形BFQC 为矩形则点'B G Q 、、三点共线,2BC FQ ==,22CQ BF ==∴'22B F FB ==∴''20B Q B F FQ =-=∵90CMH ∠= ,点O 是CH 的中点∴12OM CH =∴2OM HB CH HB+=+∴当C H B '、、三点共线时,CH HB +有最小值B C '∴在Rt 'CB Q 中,由勾股定理得:2222'2220884221B C CQ B Q '=+=+==∴2OM HB +的最小值为2221故答案为:2221．28.【答案】（1）AD BD CD -=.（2）AD BD CD -=（3）当D 在 BC上时,2sin 2CD AD BD α⋅=-.当D 在 AB 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=+【解析】解:∵CA CB =,60ACB ∠=︒∴ABC 是等边三角形,则60CAB ∠=︒∵O 是ABC 的外接圆∴AD 是BAC ∠的角平分线,则30DAB ∠=︒∴AD BC⊥∵四边形ACDB 是圆内接四边形∴120CDB ∠=︒∴30DCB DBC ∠=∠=︒设,AD BC 交于点E ,则BE CE =设1BD =,则1CD BD ==在Rt BDE △中∴33cos3022BE BD BD =︒⋅==∴3BC =∵AD 是直径,则90ABD Ð=°在Rt △ABD 中,2AD BD =2=∴211AD BD -=-=∴AD BD CD-=（2）如图所示,在AD 上截取DF BD=∵ AB AB=∴60ADB ACB ∠=∠=︒∴DBF 是等边三角形∴BF BD =,则60BFD ∠=︒∴120AFB ∠=︒∵四边形ACDB 是圆内接四边形∴120CDB ∠=︒∴AFB CDB∠=∠∵CA CB =,60ACB ∠=︒∴ABC 是等边三角形,则60CAB ∠=︒∴AB BC=又∵ BDBD =∴BCD BAF=∠∠在,AFB CDB 中AFB CDB BAF BCD AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS AFB CDB ≌∴AF CD=∴AD BD AD DF AF CD -=-==即AD BD CD-=（3）解:①如图所示,当D 在 BC上时在AD 上截取DE BD=∵ AB AB=∴ACB ADB Ð=Ð又∵,CA CB DE DB==∴CAB DEB ∽,则ABC EBD ∠=∠∴AB BC EB BD =即AB EB BC BD =又∵ABC EBD ∠=∠∴ABE CBD ∠=∠∴ABE CBD V V ∽∴AE AB BE CD BC BD ==∵AE AD DE AD BD =-=-∴AD BD AB CD BC -=如图所示,作CF AB ⊥于点F在Rt BCF 中,1122BCF BAC α∠=∠=∴sin 2BC BF α⋅=∴2sin 2AB BC α=⋅∴2sin 2AD BD CD α-=,即2sin 2CD AD BD α⋅=-②当D 在 AB 上时,如图所示,延长BD 至G ,使得DG DA =,连接AG∵四边形ACDB 是圆内接四边形∴180GAD ACB ADB ∠=∠=︒-∠又∵,CA CB DG DA==∴CAB DAG ∽,则CAB DAG ∠=∠∴AC AB AD AG =即AC AD AB AG=又∵CAB DAG ∠=∠∴CAD BAG ∠=∠∴CAD BAG∽∴CD AC BG AB=∵BG BD DG BD AD=+=+同①可得2sin2AB AC α=⋅∴2sin 2CD AC AC BD AD AB AC α==+⋅∴2sin 2CD AD BD α⋅=+综上所述,当D 在 BC 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=-.当D 在 AB 上时,2sin 2CD AD BD α⋅=+．。

2024年浙江省初中毕业生学业模拟考试（台州卷）数 学 试题卷亲爱的考生：欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平. 答题时，请注意以下几点：1. 全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟.2. 答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.3. 答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题.4. 本次考试不得使用计算器.一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1. “中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球的距离约为380 000米，数据380 000用科学计数法可表示为（ ▲ ）.A. 38×104B.3.8×106C.3.8×105D.0.38×106 2.下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ▲ ）.A. B. C. D.3. 下列计算正确的是（ ▲ ）.A ．32x x xB ．523)(x xC ．33)x x （D ．326x x x4. 如图，直线AB ∥CD ，BC 平分∠ABD ，若∠1＝55°，则∠2＝（ ▲ ）.A ．70°B ．65°C ．60°D ．55°5. 对于平面图形上的任意两点P ，Q ，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P ′，Q ′，保持PQ ＝P ′Q ′，我们把这种变换称为“保距变换”，下列变换中不一定是“保距变换”的是（ ▲ ）. A . 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 6. 小明的期中与期末测试成绩如下表：A.小明期末与期中总分相同B.小明英语期末名次一定在中等以上C.小明数学期末成绩比期中有进步D.小明语文期末成绩比期中有退步(第4题) (第7题) （第10题）DC B AG FE D C B A 2 1 D C B A7. 如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，以点C 为圆心，BC 长为半径作圆弧交AC 于点D ，则AD 长在（ ▲ ）.A. 0与1之间 B . 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间8. 有如下数列：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，...，a n-2，a n-1，a n ，...，满足a n -2·a n ＝2a n -1，已知a 1＝1，a 3＝4， 则a 2024＝（▲）.A.8B.6C.4D.29. 学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（ ▲ ）. A ．甲360元，乙540元B ．甲450元，乙450元C ．甲300元，乙600元D ．甲540元，乙360元10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AB 为边向三角形外作正方形ABDE ，作EF ⊥BC 于点F ，交对角线AD 于点G ，连接BG. 要求△BFG 的周长，只需要知道（ ▲ ）. A.线段BF 的长度 B.线段AC 的长度 C.线段FG 的长度 D.线段BC 的长度 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：x 2 xy ＝ ▲ ．12. 一个不透明的口袋中有3个质地相同的小球，其中2个红色，1个蓝色. 随机摸取一个小球是红色小球的概率是 ▲ ．13. 小明用刻度尺（单位：cm ）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB=90°，D 是AB 的中点，点A ，B 对应的刻度分别是1，8，则CD ＝ ▲ cm ．14. 某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a 天用水m 吨，现改用喷灌方式，可使这些水所用的天数为2a 天，现在比原来每天节约用水 ▲ 吨．（用含a ，m 的代数式表示）15. 在平行四边形ABCD 中，点E ，F 在BC 边上，把△ABE 沿直线AE 折叠，△CDF 沿直线DF 折叠，使点B ，C 落在对角线AC 上的点G 处，若∠AGD ＝110°，则∠B 的度数为 ▲ ．(第13题) (第15题)16. 已知抛物线k x a y +=2)2(－上有A （－2，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3），D （5，y 4）四个点，某数学兴趣小组研究后得到三个命题：①若y 1＋y 3 > y 2＋y 4，则a > 0；②若y 2－y 3 > 0，则y 1－y 4 > 0； ③若y 2 y 3 = 0，则y 1 y 4 > 0. 属于真命题是 ▲ ．（填写序号）三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每小题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分） 17.π0(2)2 .18. 解不等式组：14,23.x x xEGFDCBAA BC D19. 图1是太阳能路灯的实物图，图2是其示意图，AB 垂直于地面l ，AB ＝800 cm ，BC ＝105 cm ，∠ABC＝108°，求点C 离地面的高度. (结果精确到1cm ，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95 ，tan18°≈0.31 )20. 如图，一次函数b kx y 与反比例函数xcy的图象相交于A ，B 两点，A ，B 的坐标分别为(2，n )，(－4，－2).（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；（2）已知点M (m ，c )，B (m ，d )，分别在一次函数和反比例函数上，当c ＞d 时，直接写出m 的取值范围．（第20题） （第21题）21. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 交AC 边于点D ，已知∠ADB ＝2∠ABD ．（1）求证：AB ²＝AD AC ；（2）若DC ＝2AD ＝2，求∠A 的度数．22. 某中学开展专家讲座，帮助学生合理规划周末使用手机的时间，并在讲座前后对本校学生周末手机使用时间情况进行随机抽样调查，制成如下统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）．（1）在讲座开展前抽取的学生中周末使用时长在哪个区间的人数最多？占抽取人数的百分之几？ （2）该校共有学生1500人，请估计讲座开展后全校周末使用手机8小时以上的学生人数；（3）小军认为，活动开展后的样本中周末使用手机6小时以上的人数与讲座前相比变化不大，所以讲座并没有起到效果．请结合统计图表，对小军分析数据的方法及讲座宣传活动的效果谈谈你的看法．DCBAlD BCA图1 图223. 图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线AB 为对称轴的轴对称图形，其中曲线AC ，AD ，BE ，BF 均是抛物线的一部分.图1 图2 图3素材1：某综合实践小组测量得到点A ，B 到地面距离分别为5米和4米.曲线AD 的最低点到地面的距离是4米，与点A 的水平距离是3米；曲线BF 的最低点到地面的距离是289米，与点B 的水平距离是4米．素材2：按图3的方式布置装饰灯带GH ，GI ，KL ，MN ，HJ ，布置好后成轴对称分布，其中GI ，KL ，MN ，HJ 垂直于地面， GI 与HJ 之间的距离比KL 与MN 之间的距离多2米．任务一：（1）在图２中建立适当的平面直角坐标系，求曲线AD 的函数解析式； 任务二：（2）若灯带GH 长度为d 米，求 MN 的长度．（用含ｄ的代数式表示）； 任务三：（3）求灯带总长度的最小值．24. 如图，半圆O 的直径AB ＝6.点C 在半圆O 上，连结AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 分别交BC ， AB于点E ，D ，连结AD 交BC 于点F . （1）求证：点D 是 BC的中点； （2）将点O 绕点F 顺时针旋转90 °到点G .①当点G 在线段AD 上，求AC 的长；②当点G 在线段AC 上，求sin ∠ABC 的值.(第24题)FBOA E CDBO备用图A数学答案第1页共5页2024年浙江省初中毕业生学业模拟考试（台州卷）数学参考答案和评分细则一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案CACADBBDBD二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11．x (x -y )12．2313．3.514．2m a15．75°16．①③三、解答题(本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每小题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分)17.（6分）解：原式=3+1－4…3分=0…6分18．（6分）解：由①得：5x <-…2分由②得：1x <…4分∴不等式组的解集为：5x <-.…6分19.（6分）解：过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E∵CE ⊥AD ，∴∠CEB ＝90°∴∠C ＝∠ABC －∠AEC ＝18°…2分∵BE ＝BC sin ∠C ，∴BE ＝105×0.31＝32.55≈33（cm ）…4分AE ＝AB ＋BE ＝833cm…6分答：点C 距离地面的高度是833cm20.（8分）解：（1）将B （－4，－2）代入xcy =42-=-c 得解得c=8…2分∴反比例函数的解析式：xy 8=令x=2代入得y=4∴A(2,4)将点A （2，4），点B （-4，-2）代入y =kx +b 得⎩⎨⎧+-=-+=bk b k 4224…4分数学答案第2页共5页解得⎩⎨⎧==21b k ∴一次函数的解析式为y =x +2…6分（2）-4<m <0或m >2（写对一个一分共2分）21.（8分）解证明：（1）∵BD 平分∠ABC ∴∠ABC ＝2∠ABD ＝2∠DBC∵∠ADB ＝2∠ABD ∴∠ABC ＝2∠ADB ……………1分∵∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ∴∠ABD ＝∠C………………2分∴△ABD ∽△ACB ………………3分∴ACABAB AD =即AB ²＝AD ⋅AC ………………4分（2）由（1）得∠DBC ＝∠C ∴BD ＝CD ＝2……………1分∵2AD =2∴AD =1∴AC ＝3∵AB ²＝AD ⋅AC ∴AB=3……………2分∴AB ²＋AD ²＝BD ²……………3分∴∠A =90°……………4分22.（10分）（1）在开展前周末手机使用时长为4～6小时的同学最多．……2分5＋8＋15＋12＋10＝50（人）15÷50×100％＝30％……4分（2）16＋24＋40＋16＋4＝100（人）4÷100×100％＝4％1500×4％＝60（人）……2分由样本估计总体，全校讲座开展后周末使用手机8小时以上大约有60人……3分（3）因为忽略了两次样本容量的差异，所以小军分析的方法不合理……1分样本中周末使用手机时长6小时以上的人数由44％下降为20％，所以此次讲座宣传活动是有效果的．……2分（未运用统计量说明的给1分）23.（10分）（1）如图，以地面所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系.设()234y a x =-+，代入()05A ,得：()25034a =-+，解得:19a =，()21349y x =-+ (3)分数学答案第3页共5页（2）2H d x =,12M d x =-,2113492M d y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭214523699d d =-+214523699MN d d =-+…4分(3)设曲线BF 的函数解析式为：()22849y a x =-+，代入()04B ,得：()2284049a =-+解得：118a =，()21284189y x =-+设灯带总长度为w ,GH d =,22w MN HJ GH=++22145212822436991829d d d d⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2111761239d d =-+,当2x =时，1739w =最小值.…3分24．（12分）解：（1）解法一：∵AB 是半圆O 直径∴∠C ＝90°……………………2分∵OD ∥AC∴∠OEB ＝∠C ＝90°，即OD ⊥BC……………………3分∴ BD＝ CD ，即点D 是 BC 的中点……………………4分解法二：∵OD ∥AC ∴∠D ＝∠CAD ……………………1分∵OA ＝OD ∴∠D ＝∠OAD …………………2分∴∠OAD ＝∠CAD……………………3分∴ BD＝ CD ，即点D 是 BC 的中点……………………4分解法三：连结CO ∵AB 是半圆O 直径∴∠ACB ＝90°……………………2分∵OD ∥AC ∴∠OEB ＝∠ACB ＝90°，即OD ⊥BC……………………3分∵OB ＝OC ，OE ＝OE ∴Rt △BOE ≌Rt △COE （HL ）∴∠BOD ＝∠COD ∴ BD ＝ CD ，即点D 是 BC的中点……………………4分（说明：各种方法合理均可.）（2）①解法一：连结OF ，作FG ＝OF∵点O 绕点F 顺时针旋转90°到点G ∴∠OFG ＝90°∴AF ＝DF……………………1分FBOAE CDF OAEC D G数学答案第4页共5页又∵OD ∥AC∴∠D ＝∠CAD ，∠C ＝∠DEC ∴△ACF ≌△DEF （AAS ）……………………2分（由平行线直接得△ACF ∽△DEF 也给分.）∴AC ＝DE ∵O 是AB 中点，OD ∥AC ∴AC ＝2OE ……………………3分∵直径AB ＝6∴OE ＋DE ＝OD ＝3∴AC ＝2……………………4分解法二：连结OF ，BD ，作FG ＝OF ∵点O 绕点F 顺时针旋转90°到点G ∴∠OFG ＝90°∴AF ＝DF……………………1分又∵AB 是半圆O 直径∴∠ADB ＝90°∴OF ∥BD∴△OEF ∽△DEB ，OF :BD ＝1:2……………………2分∴DE ＝2OE ∵直径AB ＝6∴OE ＝1……………………3分∵O 是AB 中点，OD ∥AC ∴AC ＝2OE ＝2……………………4分（2）②解法一：如图，构造对应图形易证△CFG ≌△EOF………………1分∴OE ＝CF 由①得，AC ＝2OE ，△ACF ∽△DEF .设OE ＝CF ＝x ，则AC ＝2x ，DE ＝3－x ∴CF :AC ＝EF :DE ＝1:2∴EF ＝……………………2分∴CE ＝BE ＝CF ＋EF ＝∴在Rt △BOE 中，解得：x ＝1.8……………………3分∴sin ∠ABC ＝＝0.6……………………4分（说明：各种方法合理均可.如：连结BD，通过比例和勾股定理求BD 的长等也可解决问题）解法二：如图，构造对应图形，作FH ⊥AB 于点H 易证△CFG ≌△EOF……………………1分∴OE ＝CF ，EF ＝CG ，∠OFE ＝∠CGF 易证△CFG ≌△HFO ，△CFA ≌△HFA ∴AC ＝AH ＝3，∠OFE ＝∠CGF ＝∠BOF ∴AG ＝AO ＝BO ＝BF ＝3……………………2分F B OAEC DGFBO AECD GF B O AE C DGH由①得，AC＝2OE.设OE＝CF＝x，EF＝CG＝y，则AC＝2x ∴2x－y＝AG＝3，x＋y＋y＝BF＝3（BC＝2CE＝2x＋2y，再由AC2＋BC2＝AB2也可）解得：x＝1.8……………………3分∴sin∠ABC＝＝0.6……………………4分数学答案第5页共5页19．（本题满分6分）(第19题)21．（本题满分8分）（1）（4分）(第21题)（2）（4分）考号[0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9]20．（本题满分8分）（1）（6分）（2）（2分）.(第20题)一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）18．（本题满分6分）解不等式组：1423.x x x ⎧⎨⎩＋＜－，＜＋2024年中考模拟考试（一）数学答题卷学校班级姓名说明1、准考证号和选择题请用2B 铅笔填涂；2、除选择题外请用0.5mm 黑色中性笔答题；3、保持答题卷整洁，请勿折叠.缺考标记：[](考生不得填涂)二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．．12．．13．．14．．15．．16．．.17．（本题满分6分）计算：9＋（π-2）0＋|－2|．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每小题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）◤□■◤◥24．（本题满分12分）（1）（4分）(第24题)（2）①（4分）②（4分）22．（本题满分10分）（1）（4分）（2）（3分）（3）（3分）23．（本题满分10分）（1）（3分）（图2）（2）（4分）（图3）（3）（3分）模拟（一）数学答题卷第3页共4页模拟（一）数学答题卷第4页共4页。

扬州市2022年初中毕业、升学统一考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. －2的相反数是（）A. 2B. －2C. ±2D. －12【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义直接解答即可.【详解】解：－2的相反数是2．故选：A．【点睛】本题考查相反数，相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．2. 在平面直角坐标系中，点P(﹣3，a2+1)所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【详解】∵a2⩾0，∴a2+1⩾1，∴点P(−3,a2+1)所在的象限是第二象限．故选B.3. 《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题，如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为（）A.354494x yx y+=ìí+=îB.354294x yx y+=ìí+=îC.944435x yx y+=ìí+=îD.352494x yx y+=ìí+=î【答案】D【解析】【分析】一只鸡1个头2个足，一只兔1个头4个足，利用共35头，94足，列方程组即可【详解】一只鸡1个头2个足，一只兔1个头4个足设鸡有x只，兔有y只由35头，94足，得：352494x y x y +=ìí+=î故选：D【点睛】本题考查方程组的实际应用，注意结合实际情况，即一只鸡1个头2个足，一只兔1个头4个足，去列方程4. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）A. 水落石出B. 水涨船高C. 水滴石穿D. 水中捞月【答案】D【解析】【分析】根据不可能事件的定义：在一定条件下一定不会发生的事件是不可能事件，进行逐一判断即可【详解】解：A 、水落石出是必然事件，不符合题意；B 、水涨船高是必然事件，不符合题意；C 、水滴石穿是必然事件，不符合题意；D 、水中捞月是不可能事件，符合题意；故选D【点睛】本题主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定义是解题的关键．5. 如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ）A. 四棱柱B. 四棱锥C. 三棱柱D. 三棱锥【答案】B【解析】【分析】根据各个几何体三视图的特点进行求解即可．【详解】解：∵该几何体的主视图与左视图都是三角形，俯视图是一个矩形，而且两条对角线是实线，∴该几何体是四棱锥，故选B ．【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．6. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ABC D ，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ）A. ,,AB BC CAB. ,,AB BC B ÐC. ,,AB AC B ÐD. ,,ÐÐA B BC【答案】C【解析】【分析】根据SSS ，SAS ，ASA 逐一判定，其中SSA 不一定符合要求．【详解】A. ,,AB BC CA ．根据SSS 一定符合要求；B. ,,AB BC B Ð．根据SAS 一定符合要求；C. ,,AB AC B Ð．不一定符合要求；D. ,,ÐÐA B BC ．根据ASA 一定符合要求．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS ，SAS ，ASA 三个判定定理．7. 如图，在ABC D 中，AB AC <，将ABC V 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE V ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①AFE DFC △△；②DA 平分BDE Ð；③CDF BAD Ð=Ð，其中所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵将ABC V 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE V ，∴ADE ABC V V ≌，E C \Ð=Ð，AFE DFC Ð=ÐQ ，\AFE DFC △△，故①正确；Q ADE ABC V V ≌，AB AD \=，ABD ADB \Ð=Ð，ADE ABC Ð=ÐQ ，ADB ADE \Ð=Ð，\DA 平分BDE Ð，故②正确；Q ADE ABC V V ≌，BAC DAE \Ð=Ð，BAD CAE \Ð=Ð，Q AFE DFC △△，CAE CDF \Ð=Ð，CDF BAD Ð=Ð\，故③正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8. 某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y 与该校参加竞赛人数x 的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论．【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为k y x=，则令甲()11,x y 、乙()22,x y 、丙()33,x y 、丁()44,x y ，过甲点作y 轴平行线交反比例函数于()11,x y ¢，过丙点作y 轴平行线交反比例函数于()33,x y ¢，如图所示：由图可知1133,y y y y ¢¢><，\()11,x y ¢、乙()22,x y 、()33,x y ¢、丁()44,x y 在反比例函数k y x=图像上，根据题意可知xy =优秀人数，则①2244x y k x y ==，即乙、丁两所学校优秀人数相同；②1111x y x y k ¢<=，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；③3333x y x y k ¢>=，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；综上所述：甲学校优秀人数<乙学校优秀人数=丁学校优秀人数<丙学校优秀人数，\在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校，故选：C ．【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）9. 扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是－2℃，那么当天的日温差是__．【答案】8℃．【解析】【详解】用最高温度减去最低温度即可得当天日温差：6－(－2)＝6＋2＝8℃．10.在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．【答案】1³x 【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：在实数范围内有意义，∴x -1≥0，解得x ≥1．故答案为：x ≥1．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．11. 分解因式233m -=_____．【答案】3（x-1）（x+1）【解析】【分析】注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解．【详解】解：3m 2-3=3（m 2-1）=3（m -1）（m +1）故答案：3（m -1）（m +1）．【点睛】本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用．分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．12. 请填写一个常数，使得关于x 方程22+-x x ____________0=有两个不相等的实数根．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案．【详解】解：设这个常数为a ，∵要使原方程有两个不同的实数根，的为的∴()2=240a D -->，∴1a <，∴满足题意的常数可以为0，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．13. 如图，函数()0y kx b k =+<的图像经过点P ，则关于x 的不等式3kx b +>的解集为________．【答案】1x <-【解析】【分析】观察一次函数图像，可知当y >3时，x 的取值范围是1x <-，则3kx b +>的解集亦同．【详解】由一次函数图像得，当y >3时，1x <-，则y =kx+b >3的解集是1x <-．【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键．14. 掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E 与震级n 的关系为1.510n E k =´（其中k 为大于0的常数），那么震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的________倍．【答案】1000【解析】【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．【详解】解：根据能量E 与震级n 的关系为 1.510n E k =´（其中k 为大于0的常数）可得到，当震级为8级的地震所释放的能量为： 1.58121010k k ´´=´，当震级为6级的地震所释放的能量为： 1.5691010k k ´´=´，12391010100010k k ´==´Q ，\震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．故答案为：1000．【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．15. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图所示，甲、乙两选手成绩的方差分别记为22S S 乙甲、，则2S 甲________2S 乙．（填“>”“<”或“=”）【答案】>【解析】【分析】分别求出平均数，再利用方差的计算公式计算甲、乙的方差，进行比较即可．【详解】根据折线统计图中数据，()51093857x =++++¸=甲，()8686757x =++++¸=乙，∴()()()()()222222157107973787 6.85s éù=´-+-+-+-+-=ëû甲，()()()()()222222187678767770.85s éù=´-+-+-+-+-=ëû乙，∴22s s >乙甲，故答案为：>．【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，掌握方差的计算公式是解答本题的关键．16. 将一副直角三角板如图放置，已知60E Ð=°，45C Ð=°，EF BC ∥，则BND Ð=________°．【答案】105【解析】【分析】根据平行线的性质可得45FAN B Ð=Ð=°，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】45B C аÐ==Q ，EF BC ∥，\45FAN B Ð=Ð=°，∵∠E =60°，∴∠F =30°，180105BND ANF F BAF \Ð=Ð=°-Ð-Ð=°故答案为：105【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．17. “做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B ¢处，折痕AD 交BC 于点D ；第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB ¢于点P ．若12BC =，则MP MN +=_____________．【答案】6【解析】【分析】根据第一次折叠的性质求得12BD DB BB ¢¢==和AD BC ^，由第二次折叠得到AM DM =，MN AD ^，进而得到MN BC P ，易得MN 是ADC V 的中位线，最后由三角形的中位线求解．【详解】解：∵已知三角形纸片ABC ，第1次折叠使点B 落在BC 边上的点B ¢处，折痕AD 交BC 于点D ，∴12BD DB BB ¢¢==，AD BC ^．∵第2次折叠使点A 落在点D 处，折痕MN 交AB ¢于点P ，∴AM DM =，AN ND =，∴MN AD ^，∴MN BC P ．∵AM DM =，∴MN 是ADC V 的中位线，∴12MP DB ¢=，12MN DC =．∵12BC =，2BD DC CB BD BC +=+¢=，∴()111162222MP MN DB DC DB DB B C BC +=+=+=¢+¢¢=¢．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键．18. 在ABC D 中，90C Ð=°，a b c 、、分别为A B C ÐÐÐ、、的对边，若2b ac =，则sin A 的值为__________．【解析】【详解】解：如图所示：在Rt ABC V 中，由勾股定理可知：222+=a b c ，2ac b =Q ，22a ac c \+=，0a >Q ， 0b >，0c >，2222a ac c c c +\=，即：21a a c cæö+=ç÷èø，求出a c =或a c =，\在Rt ABC V 中：in s a c A ==，【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在Rt ABC V 中，sin A A Ð=的对边斜边 ，cos A A Ð=的邻边斜边，tan A A A Ð=Ð的对边的邻边．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：（1）(02cos 45p °+-（2）22221121m m m m +æö+¸ç÷--+èø【答案】（1）1（2）12m -【解析】【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式进行计算即可；（2）先合并括号里的分式，再对分子和分母分别因式分解即可化简；【小问1详解】解：原式=21+-=1-．【小问2详解】解：原式=()()21211121m m m m m --æö+×ç÷--+èø=()()211121m m m m -+×-+=12m -．【点睛】本题主要考查分式的化简、特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题的关键．20. 解不等式组221213x x x x -£ìï+í-<ïî，并求出它的所有整数解的和．【答案】3【解析】【分析】先解每个不等式，求得不等式组的解集，然后找出所有整数解求和即可．【详解】解：221213x x x x -£ìïí+-<ïî①②解不等式①，得2x ³-，解不等式②，得4x <，∴不等式组的解集为24x -£<，∴不等式组的所有整数解为：2- ，1- ，0 ，1 ，2 ，3∴所有整数解的和为：()2101233-+-++++=．【点睛】本题考查了求不等式组的解集，正确地解每一个不等式是解题的关键．21. 某校初一年级有600名男生 ，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．（1）A 调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B 调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中_________（填“A ”或“B ”），调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；（2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：成绩/个23457131415人数/人11185121这组测试成绩的平均数为_________个，中位数为__________个；（3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．【答案】（1）B （2）7；5（3）90名【解析】【分析】（1）根据随机调查要具有代表性考虑即可求解；（2）利用加权平均数公式计算，再根据中位数的概念确定这组测试成绩的中位数即可；（3）根据中位数确定样本中不合格的百分比，再乘以该校初一男生的总人数即可求解．【小问1详解】解：∵随机调查要具有代表性，∴从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况，故答案为：B；【小问2详解】解：23458751314215=720+++´+´++´+；这组数据排序后，中位数应该是第10，11两个人成绩的平均数，而第10，11两人的成绩都是5，∴这组测试成绩的中位数为55=5 2+，故答案为：7；5【小问3详解】解：以（2）中测试成绩的中位数5作为该校初一男生引体向上的合格标准，则这组测试成绩不合格的人数有3人，∴不合格率为3100%=15% 20´，∴该校初一男生不能达到合格标准的人数为60015%=90´（名）．【点睛】本题考查了随机调查，中位数，众数以及利用样本估计总体，读懂题意，理解概念是解题关键．22. 某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．（1）用树状图列出所有等可能出现的结果；的（2）活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果；（2）根据树状图找出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球的情况，即可得解．【小问1详解】解：画树状图如下：由树状图知共有6种情况；【小问2详解】解：由（1）知抽到颜色相同的两球共有2种情况，抽到颜色不同的两球共有4种情况，所以抽到颜色相同的两球对应一等奖，抽到颜色不同的两球对应二等奖．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23. 某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【答案】每个小组有学生10名．【解析】【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设每个小组有学生x名，根据题意，得3603603 34-=x x，解这个方程，得x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，∴每个小组有学生10名．【点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题意是解本题的关键．24. 如图，在ABCD Y 中，BE 、D G 分别平分ABC ADC ÐÐ、，交AC 于点E G 、．（1）求证：,BE DG BE DG =∥；（2）过点E 作EF AB ^，垂足为F ．若ABCD Y 的周长为56，6EF =，求ABC D 的面积．【答案】（1）见详解（2）84【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质证()ABE CDG ASA D @D 即可求证；（2）作EQ BC ^，由ΔΔΔABC ABE EBC S S S =+即可求解；【小问1详解】证明：在ABCD Y 中，∵//AB CD ，∴BAE DCG Ð=Ð，∵BE 、D G 分别平分ABC ADC ÐÐ、，ABC ADC Ð=Ð，∴ABE CDG Ð=Ð，在ABE D 和CDG D 中，∵BAE DCG AB CDABE CDG Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴()ABE CDG ASA D @D ，∴BE DG AEB CGD =Ð=Ð，，∴BE DG ∥．【小问2详解】如图，作EQ BC ^，∵ABCD Y 的周长为56，∴28AB BC +=，∵BE 平分ABC Ð，∴6EQ EF ==，∴()1138422ABC ABE EBC S S S EF AB EQ BC AB BC D D D =+=×+×=+=．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．25. 如图，AB 为O e 的弦，OC OA ^交AB 于点P ，交过点B 的直线于点C ，且CB CP =．（1）试判断直线BC 与O e 的位置关系，并说明理由；（2）若sin 8A OA ==，求CB 的长．【答案】（1）相切，证明见详解（2）6【解析】【分析】（1）连接OB ，根据等腰三角形的性质得出A OBA Ð=Ð，CPB CBP Ð=Ð，从而求出90AOC OBC Ð=Ð=°，再根据切线的判定得出结论；（2）分别作OM AB ^交AB 于点M ，CN AB ^交AB 于N ，根据sin 8A OA ==求出OP ，AP 的长，利用垂径定理求出AB 的长，进而求出BP 的长，然后在等腰三角形CPB 中求解CB 即可．【小问1详解】证明：连接OB ，如图所示：CP CB OA OB ==Q ，，\A OBA Ð=Ð，CPB CBP Ð=Ð，APO CPB Ð=ÐQ ，APO CBP \Ð=Ð，OC OA ^Q ，即90AOP °=∠，90A APO OBA CBP OBC \Ð+Ð=°=Ð+Ð=Ð，OB BC \^，OB Q 为半径，经过点O ，\直线BC 与O e 的位置关系是相切．【小问2详解】分别作OM AB ^交AB 于点M ，CN AB ^交AB 于N ，如图所示：AM BM \=，CP CB AO CO =^Q ，，A APO PCN CPN \Ð+Ð=Ð+Ð，PN BN =，PCN BCNÐ=ÐA BCN\Ð==Ðsin A =Q ，8OA =，sin OM OP A OA AP \===4OM AM OP AP \====，2AB AM \==111()222PN BN PB AB AP \===-=´-=sin sin BN A BCN CB \=Ð==6CB \===．【点睛】本题考查了切线的证明，垂径定理的性质，等腰三角形，勾股定理，三角函数等知识点，熟练掌握相关知识并灵活应用是解决此题的关键，抓住直角三角形边的关系求解线段长度是解题的主线思路．26. 【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？【初步尝试】如图1，已知扇形OAB ，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O 作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；【问题联想】如图2，已知线段MN ，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN 为斜边的等腰直角三角形MNP ；【问题再解】如图3，已知扇形OAB ，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O 为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．（友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹）【答案】见解析【解析】【分析】【初步尝试】如图1，作∠AOB的角平分线所在直线即为所求；【问题联想】如图2，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图3先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形OAB所交的圆弧即为所求．【详解】【初步尝试】如图所示，作∠AOB的角平分线所在直线OP即为所求；【问题联想】如图，先作MN的线段垂直平分线交MN于点O，再以O为圆心MO为半径作圆，与垂直平分线的交点即为等腰直角三角形的顶点；【问题再解】如图，先作OB的线段垂直平分线交OB于点N，再以N为圆心NO为半径作圆, 与垂直平分线的交点为M，然后以O为圆心，OM为半径作圆与扇形OAB所交的圆弧CD即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，扇形的面积等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，掌握基本作图方法．27. 如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB 在x 轴上，且8AB =dm ，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y 轴，高度8OC =dm ．现计划将此余料进行切割：（1）若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB 上且面积最大，求此正方形的面积；（2）若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB 上且周长最大，求此矩形的周长；（3）若切割成圆，判断能否切得半径为3dm 圆，请说明理由．【答案】（1）(296dm - ；（2）20dm ；（3）能切得半径为3dm 的圆．【解析】【分析】（1）先把二次函数解析式求出来，设正方形的边长为2m ，表示在二次函数上点的坐标，代入即可得到关于m 的方程进行求解；（2）如详解2中图所示，设矩形落在AB 上的边DE =2n ，利用函数解析式求解F点坐标，进而表示出矩的形的周长求最大值即可；（3）设半径为3dm 的圆与AB 相切，并与抛物线小脚，设交点为N ，求出交点N 的坐标，并计算点N 是M e 与抛物线在y 轴右侧的切点即可．【小问1详解】由题目可知A （-4，0），B （4，0），C （0，8）设二次函数解析式为y=ax ²+bx+c ，∵对称轴为y 轴，∴b =0，将A 、C 代入得，a =12-，c =8则二次函数解析式为2182y x =-+，如下图所示,正方形MNPQ 即为符合题意得正方形，设其边长为2m ，则P 点坐标可以表示为（m ，2m ）代入二次函数解析式得，21822m m -+=，解得122,2m m =-=-（舍去），∴2m =4-，()()222496m ==-则正方形的面积为(296dm -；【小问2详解】如下如所示矩形DEFG ，设DE =2n ，则E （n ，0）将x =n 代入二次函数解析式，得2182y n =-+，则EF =2182n -+，矩形DEFG 的周长为：2（DE +EF ）=2（2n +2182n -+）=22416(2)20n n n -++=--+，当n =2时，矩形的周长最大，最大周长为20dm ；【小问3详解】若能切成圆，能切得半径为3dm 的圆，理由如下：如图，N 为M e 上一点，也是抛物线上一点，过点N 作M e 的切线交y 轴于点Q ，连接MN ，过点N 作NP ⊥y 轴于P ，设21,82N m m æö-+ç÷èø，由勾股定理得：222PM PN MN +=，∴222218332m m æö+-+-=ç÷èø解得：1m =，2m =-（舍去），∴()4N ，∴431PM =-=∵1cos 3PM MN NMP MN QM Ð===∴39QM MN ==∴()0,12Q 设QN 的解析式为：y kx b=+∴124b =ìïí+=ïî∴12k b ì=-ïí=ïî∴QN的解析式为：12y =-+与抛物线联立为：218122x -+=-+21402x -+=(214402D =--´´=所以此时N 为M e 与抛物线在y 轴右侧的唯一公共点，所以若切割成圆，能够切成半径为3dm 的圆．【点睛】本题考查了二次函数与几何结合，熟练掌握各图形的性质，能灵活运用坐标与线段长度之间的转换是解题的关键．28. 如图1，在ABC D 中，90,60BAC C Ð=°Ð=°，点D 在BC 边上由点C 向点B 运动（不与点B C 、重合），过点D 作DE AD ^，交射线AB 于点E ．（1）分别探索以下两种特殊情形时线段AE 与BE 的数量关系，并说明理由；①点E 在线段AB 的延长线上且BE BD =；②点E 在线段AB 上且EB ED =．（2）若6AB =．①当DE AD =AE 的长；②直接写出运动过程中线段AE 长度的最小值．【答案】（1）①2AE BE =②2AE BE =（2）①215②4【解析】【分析】（1）①算出ABD △各个内角，发现其是等腰三角形即可推出；②算出ADE V 各内角发现其是30°的直角三角形即可推出；（2）①分别过点A ，E 作BC 的垂线，得到一线三垂直的相似，即EGD DHA ∽△△，设DE =，2AD a =，利用30°直角三角形的三边关系，分别表示出ED ，AD ，EG ，DH ，列式求解a 即可；②分别过点A ，E 作BC 的垂线，相交于点G ，H ，证明EHD DGA △△∽可得AG DG DH EH =，然后利用完全平方公式变形得出AE ≥3+E H ，求出AE 的取值范围即可．【小问1详解】①∵在ABC D 中，90BAC Ð=°，60C Ð=°∴30ABC Ð=°∵BE BD=∴1152BDE ABC Ð=Ð=°，90901575BDA BDE Ð=°-Ð=°-°=°在ABD △中，180180307575BAD ABD BDA Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°∴75BAD BDA Ð=Ð=°∴AB BD BE==∴2AE BE =；②如图：∵BE DE =∴30EBD EDB Ð=Ð=°，60AED Ð=°∴在Rt ADE △中，30EAD =∠°∴2AE ED=∴2AE BE =；【小问2详解】①分别过点A ，E 作BC 的垂线，相交于点H ，G ，则∠EGD ＝∠DHA ＝90°，∴∠GED ＋∠GDE ＝90°，∵∠HDA ＋∠GDE ＝90°，∴∠GED ＝∠HDA ，∴EGD DHA ∽△△，设DE =，2AD a =，则AE ==，6BE =，在Rt ABC V 中，30ABC Ð=°，AB =6则AC ==，2BC AC ==在Rt BEG △中，30EBG Ð=°，6BE =则32BE EG ==-在Rt AHC V 中，60C Ð=°，AC =∴3AH ==∴DH ==由EGD DHA ∽△△得ED EG AD DH =，=解得：1a=2a=-（舍）故215AE==；②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，则∠EHD＝∠AGD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG，∵∠EHD＝∠AGD＝90°，∴EHD DGA△△∽，∴AG DGDH EH=，∴AG EH DH DG=g g，∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B=30°，∴111=36-)222AG AB BE AE==，E H=（，∴3DH DG EH=g，∴2222222AE AD DE AG DG DH EH=+=+++=2229DG DH EH+++，∵22DG DH+g≥2D GD H∴2292AE DG DH EH++g≥，∴22296AE EH EH++≥≥(3+E H)，∵0,0AE DH＞＞，∴AE≥3+E H，∵16-)2AE=E H（，∴1(6)2AE AE-≥3+，∴4AE≥，故AE的最小值为4.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，一线三垂直相似模型，垂线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，一线三垂直模型，垂线段最短原理是解题的关键．。