数值分析学位课考试B卷

《数值分析》硕士课程教学大纲课程名称：（中文）：《数值分析》课程名称：（英文）：《Numerical Analysis》课程编号：00010课程组长：课程性质：公共基础课程学分：2学分其中：理论教学2学分实验（实践）教学0学分总学时数：36学时其中：理论教学36学时实验（实践）教学0学时；适用专业：全校相关专业课程教材：颜庆津，数值分析（第三版），北京航空航天大学，2006年。

参考书目：1、蔡大用、白峰杉，高等数值分析（第一版），清华大学出版社，1998年；2、李庆扬，王能超、易大义，数值分析（第四版），清华大学出版社&Springer出版社，2002年。

教学方式：课堂讲授考核方式：闭卷考试先修课程：高等数学、线性代数编写日期：2012年06月28日课程目的与要求：该课程着重介绍工程技术中常用的、计算机上行之有效的数值计算方法和原理，是在高等院校工程类研究生中所开设的学位课之一。

本课程主要研究线性方程组与非线性方程数值解、插值法和拟合等内容。

1、 数值计算中的误差1、 了解误差的种类，清楚在数值计算中必须研究的两类误差——截断误差和舍入误差；2、 理解近似数有效位数的概念；3、 理解绝对误差、绝对误差限、相对误差和相对误差限概念；4、 掌握和、差、积、商的误差估计；5、 掌握数值计算中应该遵循的原则；6、 向量和矩阵的范数。

2、 非线性方程数值解1、 掌握二分法求解非线性方程；2、 掌握简单迭代法求解非线性方程；3、 掌握Newton迭代法求解非线性方程；4、 掌握弦截法求解非线性方程；5、 理解迭代收敛阶的概念；6、 掌握迭代收敛判定方法。

3、 解线性方程组的直接法的迭代法1、 掌握Gauss消元法和列主元消元法；2、 掌握求解三对角线性方程组的追赶法；3、 掌握方程组的性态判定；4、 掌握一般迭代法收敛的判定；5、 掌握Jacobi迭代法及收敛的判定；6、 掌握迭代计算的误差估计。

4、 插值法和拟合1、 理解代数插值及其余项表达式;2、 掌握Lagrange插值法；3、 掌握Newton插值法；4、 掌握Hermite插值法；5、 掌握三次样条插值三弯矩法；6、 掌握曲线拟合的最小二乘法。

2009年春季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷(总分：28.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：6，分数：12.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.已知x=0．045，y=2．013_____（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0．902×10 -4)解析：3.已知矩阵1 =______，‖A‖ 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：4.设函数f(x)=2x 3 -x+1，则f(x)以x 0 =-1，x 1 =0，x 2 =1为插值节点的二次插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：x+1)解析：5.设函数f(x)∈C 2 [x 0 -h，x 0 +h]，h＞0，则（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：6.______，该公式的代数精度为_____．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)7.(0，+∞)内实根的分布情况，并用迭代法求出该方程在(0，+∞)内的全部实根，精确至3位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设，显然f(x)=0在(2，+∞)内无根．在(0，2]内，f"(x)=cosx-，当时，f"(x)=0．又注意到f(0)=0，故在内，f"(x)＞0，函数单凋递增，f(0)=0，因此方程无根；在内，f"(x)＜0，函数单调递减，f(2)＜0，有唯一根．所以方程sinx-=0在(0，+∞)内有唯一根x *∈ 求解该方程的Newton迭代格式为x k+1 =x k k=0,1,2…)解析：8.给定方程组Ax=b，其中x，b∈R 3，ω∈R．试确定ω的取值范围，使求解该方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss—Seidel迭代格式都收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：Jacobi迭代矩阵的特征方程为即λ3—4ω2λ=0，求得λ1=0，λ2=2ω，λ3=-2ω，当且仅当｜2ω｜＜1，即｜ω｜＜时，Jacobi格式收敛．Gauss—Seidel迭代格式迭代矩阵的特征方程为即λ3—4λ2ω2 =0，求得λ1,2 =0，λ3 =4ω<)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)9.已知函数f(x)在区间[x 0，x 2 ]上有定义，且x 1f(x)的三次插值多项式p(x)，使之满足p(x 0 )=f(x 0 )，p"(x 1 )=0，p"(x 1 )=0，p(x 2 )=f(x 2 )．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：方法1：由于p"(x 1)=0，P"(x 1)=0，可设p"(x)=A(x—x 1) 2，两边积分得p(x)=(x—x 0 ) 3 +B．由p(x 0 )=f(x 0 )得(x 0 -x 1 ) 3 +B=f(x 0 )，由p(x 2 )=f(x )解析：10.求函数[0，1]上的一次最佳平方逼近多项式P 1 (x)=a+bx．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设φ0 (x)=1，φ1 (x)=x，则(φ0 ,φ0)=∫ 01 1dx,(φ0 ,φ1)=∫ 01 xdx=，(φ1 ,φ1)=∫ 01 x 2,(φ0 ,f)=)解析：11.已知函数f(x)∈C 4 [-a，a]，I(f)= ． 1)试确定求积公式=A 0 f(-a)+A 1 f(0)+A 2 f(a)中的参数A 0，A 1，A 2，使的代数精度达到最高，并指出此时该求积公式的代数精度次数； 2)求I(f)- 形如的截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)由代数精度定义有求得当f(x)=x 3时，有当f(x)=x 4时，有故该公式有3次代数精度． 2)以H(-a)=f(-a)，H(0)=f(0)，H(a)=f(a)，H"(0)=f"(0)为插值条件作3次插值多项式H(x)，则有f(x)-H(x)= (x+a)(x-a)x 2，而=A 0H(-a)+A 1H(0)+A 2H(a)=,且)解析：12.给定常微分方程初值问题取n为整数；x i=a+ih，1≤i≤n．记y i≈y(x i)，1≤i≤n；y 0 =y(a)． 1)求参数α，使求解上述初值问题的数值求解公式y i +1=y i +h[αf(x i，y i )+(1-α)f(x i+1，y i+1 )]局部截断误差阶达到最高； 2)应用Euler公式与1)中求得的公式构造预测-校正公式，并求出该预测-校正公式的局部截断误差表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)局部截断误差R i+1 =y(x i+1 )-y(x i )-h[αf(x i，y(x i ))+(1-α)f(x i+1，y(x i+1 ))]=y(x i )+hy"(x i )+ y"(x i y""(x i )+O(h 4 )-y(x i )[*)解析：13.对于定解问题取正整数M，N，令x i=ih,i=0,1,…,M; t k=kt,k=0,1,…,N 1)构造求解该初边值问题的隐式差分格式，并给出其截断误差表达式； 2)取应用1)中构造的求解公式计算以及的近似值（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)在节点(x i，t k )处考虑微分方程由Taylor展开得x i-1＜ξi ＜x i+1将上面两式代入方程得略去截断误差并令u i k≈u(x i，t k)得2)取要求的即为第一层的近似值．由差分格式整理得(1+2γ-τ)u i k)解析：14.已知A，B∈R n×n，其中A非奇异，B为奇异矩阵，试证明（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因B是奇异阵，A非奇异，则A -1B奇异，故必存在x∈R n且x≠0使A -1Bx=0．因此(I-A -1B)x=x．两边取范数得‖x‖=‖(I—A -1B)x‖≤‖(I—A -1B)‖．‖x‖．因为‖x‖≠0，所以‖I-A -1B)‖≥1，从而有1≤‖I—A -1B)‖=‖A -1 (A—B)‖≤‖(A—B)‖.‖A -)解析：。

控制理论与控制工程专业攻读硕士学位研究生培养方案一、培养目标本专业培养德、智、体全面发展的，适应21世纪我国发展需求具有开拓创新精神的控制理论与控制工程专业的高级科学技术人才。

本专业培养的研究生应具有严谨的科学态度和作风、创新求实的精神和较强创新能力并能独立从事本学科的科学研究；具有控制理论与控制工程学科领域的坚实基础理论、基本的实验技能和系统的专门知识，了解本专业的学科前沿动态。

掌握一门外国语，并能熟练地进行专业阅读和初步写作；能熟练运用计算机和信息化技术解决本学科领域的问题并有新的见解。

本专业培养的研究生可胜任本专业或相邻专业的教学、科研以及相关的技术、管理及研究工作。

有良好的心理素质和健康的体魄。

二、学习年限硕士研究生在校学习基本年限为3年。

优秀研究生最多可提前一年毕业，硕士研究生学习年限最长不超过4年（含休学）。

三、研究方向1.复杂混合系统控制2．智能仪表与检测技术3. 智能控制与机器人4. 计算机控制系统5. 系统分析与决策四、课程设置（具体见课程计划表）五、毕业学分要求本专业研究生应取得不低于28学分的课程学分，其中学位课应不低于20学分，本专业选修课至少修满4学分，公共选修课或跨专业课程至少修满2学分。

非课程学分：2学分，六、中期考核研究生中期考核是在研究生课程学习基本结束以后，以研究生的培养计划为依据，对研究生的思想政治表现，基础理论、专业知识的掌握和科研能力等方面进行的一次综合考核。

研究生综合考核工作至迟在第四学期内完成。

七、科学研究与学位论文1、论文开题：硕士研究生一般应在第三学期末确定学位论文题目并通过论文开题报告。

各单位可根据研究生的实际情况，确定论文开题的具体时间，如果条件成熟，也可在课程学习结束之前进行。

2、论文中期检查：在论文撰写过程中，要进行论文中期检查。

导师组要根据硕士生论文开题情况，检查论文写作计划的进展和完成情况，并针对论文写作中出现的问题加强指导，以保证硕士学位论文工作的顺利进行。

姓名 __________ 班级 ___________ 学号 _____________一、选择题i.F （2,5,-3,4）表示多少个机器数（C ）.A 64B 129C 257D 256 2. 以下误差公式不正确的是（D ）A ・ £（迎 *一七 *）« 5（Xj*）+£（£ *） c ，£（“*•£ *）«|^2 *k （-'l*） + |时住2 *）3. 设° =（、任_1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出°较好的近似值？ （D ）A ———B 99-70V2C （3-2V2）3D —— （V2 +1）6 （3 + 204. 一个30阶线性方程组，若用Crammer 法则来求解，则有多少次乘法？（A ） A31X29X30! B 30X30X30! C31X30X31! D 31X29X29!5. 用一把有亳米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度1235mm,桌子的精确长度 记为（D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5nun D 1235±0.5mm二、填空1. 构造数值算法的基本思想是 近似替代、离散化、递推化 。

2. 十进制123.3转换成二进制为1111011.0而1。

3. 二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。

4. 二进制o.ioi 转换成十进制为-o75.已知近似数X *有两位有效数字，则其相对误差限 5%。

6.1112=0.69314718...,精确到 10一’的近似值是 0.693。

* *7. x = ;r = 3.1415926・・・，则“ =3.1416 , =3.141的有效数位分别为5 和 3 __________ o8. 设卅=2.001,严=-0.8030是由精确值x 和y 经四舍五入得到的近似值，则兀* +y *的误差限____________________ o9.设x = 2.3149541•…，取5位有效数字，则所得的近似值卅二2.3150 。

2009年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷(总分：30.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：7，分数：14.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设多项式f(x)=4x 4十6x 3 +9x+1，则求f(x 0 )仅含有4次乘法运算的算法为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：[(4x 0 +6)x 02 +9]x 0 +1)解析：3.已知实对称矩阵A的全部特征值是3，2，1，则cond(A) 2 =______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：3)解析：4.设f(x)=x 3 -3x+1，则f(x)以0，1，2为插值节点的2次牛顿插值多项式为______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1-2x+3x(x-1))解析：5.用Simpson(保留小数点后3位小数)是______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：0.747)解析：6.Euler公式是______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：y i+1 =y i[f(x i，y i )+f(x i+1 ,y i，hf(x i，y i ))])解析：7.求解双曲型方程初边值问题的显格式稳定的条件是步长比s______，该差分格式关于空间步长_______阶收敛，关于时间步长______阶收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：≤1，2，2)解析：二、计算题(总题数：2，分数：4.00)8.分析方程x 5 -5x+1=0有几个正根，并用迭代法求此方程的最大正根，精确到4位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令f(x)=x 5—5x+1，则f"(x)=5x 4—5，当x=±1时f"(x)=0．注意到x∈(0，1)时f"(x)＜0，x∈(1，+∞)时f"(x)＞0．又因为f(0)=1＞0，f(1)=-3＜0，f(2)=23＞0，因此方程有2个正根分别在(0，1)和(1，2)中，故最大正根x *∈(1，2)．用Newton迭代法求解，迭代格式为x k+1 =x k -,k=0,1,2，…，取x 0)解析：9.用列主元Gauss（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求得x 1 =1，x 2 =1，x 3 =8．)解析：三、综合题(总题数：6，分数：12.00)10.设有求解线性方程组Ax=b的迭代格式Bx (k+1) +Cx (k) =b，k=0，1，…，(A)其中ξ和η的取值范围，使迭代格式(A)收敛．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由迭代格式(A)得x (k+1) =-B -1 Cx (k) +B -1 b，由迭代法基本定理知迭代格式收敛ρ(-B -1 C)＜1．-B -1 C的特征方程为｜λI+B -1 C｜=｜B -1｜｜λB+C｜=0，由此得λ[λ2 -(ξ+η)λ+ξη]=0，求得λ1 =0，λ2 =ξ，λ<)解析：11.设，∈C 4[a，a+2]，求一个3次多项式H(x)，使之满足H(a)=f(a)，H(a+1)=f(a+1)，H(a+2)=f(a+2)，H"(A)=f"(a)，并写出插值余项f(x)-H(x)的表达式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由Hermite插值，有H(x)=f(a)+f[a，a](x—a)+f[a，a，a+1](x—a) 2 +f[a，a，a+1，a+2](x-a) 2[x-(a+1)]．f[a，a]=f"(a)，f[a，a+1]=f(a+1)-f(a)，f[a+1，a+2]=f(a+2)-f(a+1)，f[a，a，a+1J=f(a+1)-f(a)-f"(a)，f[a，a+1，a+2]= [f(a+2)-2f(a+1)+f(a)]，f[a，a，a+1，a+2]=)解析：12.用最小二乘法确定经验公式u=a+be x中的参数a和b，使该曲线拟合下面的数据：（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令φ0 (x)=1，φ1 (x)=e x，则(φ0，φ0 )=4， (φ0，φ1 )=e -1 +1+e+e 2 =11．4752， (φ1，φ1 )=e -2 +1+e 2 +e 2 =63．1225，(φ )解析：13.设f(x)∈C 2 [a，b]，I(f)= ,h=(b-a)／n，x k =a+kh，k=0，1，…，n；=X k +h／2，k=0，1，…，n-1. 1)写出计算积分I(f)的一点Gauss公式G(f)以及对应的复化求积公式G n (f); 2)设Tn (f)是计算积分I(f)的复化梯形公式，求参数α，使得（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：1)求∫ -11 g(t)dt的一点Gauss公式为2g(0)，则所以2)复化梯形公式为所以)解析：14.给定常微分方程初值问题n，记h=(b—a)／n，x i =a+ih，i=0，1，2，…，n．给定求初值问题(B)的多步方法： y i+1 =--4y i +5y i-1 +h[β1 f(x 1，y 1 )+β2 f(x i+1，y i+1 )]． (C) 1)试确定公式(C)中的参数β1，β2，使求解公式具有尽可能高的阶数，写出局部截断误差表达式并指出最高阶数； 2)利用Euler公式和公式(C)构造一个预测-校正公式．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)多步公式(C)的局部截断误差为R i+1=y(x i+1)+4y(x i)-5y(x i-1)-h[β1f(x i，y(x i ))+β2 f(x i+1，y(x i+1 ))]=y(x i+1 )+4y(x i )-5y(x i-1 )-hβ )解析：15.给定初边值问题其中ψ(x)，α(t)，β(t)是光滑函数，且满足相容性条件．取正整数M，N，记h=(b—a)／M，τ=T／N，x i=a+ih(0≤i≤M)，t k =kτ(0≤k≤N)． 1)写出求上述定解问题的古典隐格式；2)设f(x，t)≡0，α(t)=β(t)≡0，{u i k｜0≤i≤M，0≤k≤N}是古典隐格式的解，记r=τ／h 2，,k=0，1，…，N.证明：对任意步长比r，有‖u k‖ ∞≤‖u 0‖ ∞,k=1,2,…,N（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：1)古典隐格式为2)当f(x,t)≡0．α(t)=β(t)≡0时，上述古典隐格式可写为由此可得对任意1≤i≤M-1，1≤k≤N有 (1+2r)｜u i k｜≤r(｜u i+1k｜+｜u i-1k｜)+｜u ik-1｜≤2r‖u k‖∞+‖u k-1‖∞)解析：。

线封密三峡大学试卷班级姓名学号2012年春季学期《数值分析》课程考试试卷( A 卷)答案及评分标准注意：1、本试卷共3页；2、考试时间:120 分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方；一、(16分)填空题1.设T x )3,4,2(-=,则 2x 29= (1分) ∞x4= (1分).2. 为尽量避免有效数字的严重损失，当1>>x 时，应将表达式x x -+1改写为xx ++11以保证计算结果比较精确（2分）.3.迭代过程),1,0)((1 ==+n x x n n ϕ收敛的一个充分条件是迭代函数)(x ϕ满足1|)(|<'x ϕ(2分).4. 设()1537++=x x x f ，则差商0]2,,2,2,2[821= f （2分）.5. 设)(x f 可微,求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是.2,1,0,)(1)(1='---=+k x f x f x x x k k k k k (2分) .6.矩阵范数),2,1(||||∞=p A p 与谱半径)(A ρ有一个不等式关系，表现为p A A ||||)(≤ρ（2分）.7.将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231264A 进行LU 分解(即Doolittle 分解),则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1301L (2分);⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5064U (2分).二、（10分）用最小二乘法解下列超定线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+7262353114221212121x x x x x x x x 解： +-+=221)1142(),(x x y x Q 221)353(--x x+-++221)62(x x 221)72(-+x x要使总残差达到最小，必有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0021x Q x Q⇒⎩⎨⎧-=-=-48463513182121x x x x⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9111327383021x x 或⎩⎨⎧≈≈24.104.321x x （10分）三、（10分）给定函数表84.087.090.092.094.096.097.098.099.011/sin 19.08.07.06.05.04.03.02.01.00x x x 利用所有数据，用复合辛普森（Simpson ）公式计算dxx xI ⎰=10sin 的近似值. 解: 用复合辛甫生Simpson 公式,小区间数5=n , 步长2.0)00.1(51=-⨯=h)90.094.097.099.0(21[62.05+++⨯+=≈S I]84.0)87.092.096.098.01(4++++++ 9453.0= （10分）线封密三峡大学试卷班级姓名学号四、（12分）设nn ij Ra A ⨯∈=)(对称,顺序主子式),,2,1(0n i i =≠∆则T LDL A =分解存在,其中L 为单位下三角形矩阵,D 为对角阵, 试写出求方程组b Ax =解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组：⎩⎨⎧=+=+635310121022121x x x x 解: 由T LDL A =可得b Ax =的方程为b x LDL T=,令y x DL T =,则b Ly =.计算步骤： (1) 将A 直接分解TLDL A =，求出 D L , (2) 求解方程b Ly =(3) 求解方程y D x L T 1-= （4分）⎢⎣⎡102 ⎥⎦⎤5310⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10121l ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100d d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10121l 比较矩阵两边的元素,可得: ,521=l ,21=d .32=d由b Ly =可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1501⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6312 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒31221y y 由y D x L T1-=得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=16 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒1112x x （12分）五、(12分) 取节点1,010==x x ,写出x e x y -=)(的一次插值多项式),(1x L 并估计插值误差.解: 建立Lagrange 公式为 ()x L 110100101y x x x x y x x x x --+--=1101101-⨯--+⨯--=e x x x e x 11-+-=. （8分） ())1)(0(!2)()()(11--''=-=x x y x L x y x R ξ )10(<<ξ ()1)0(max 2110--≤≤≤x x x 令 ),1()(-=x x x h 由0)(='x h ，求得一个驻点得211=x于是 =≤≤|)(|max 10x h x 41)}1(),(),0({max 110=≤≤h x h h x 所以有())()(11x L x y x R -=)(max 2110x h x ≤≤≤81= （12分）六、(10分) 在区间[0,2]上利用压缩映像原理验证迭代格式1012.k x k +==，，，的敛散性. 解：(1) 记x x +=2)(ϕ，则xx +='221)(ϕ.当]2,0[∈x 时,];2,0[]2,2[)]2(),0([)(⊂=∈ϕϕϕx (5分) (2) .1221)0(|)(|<='≤'ϕϕx 因此,对]2,0[0∈∀x ,迭代格式1012.k x k +==，，， 产生的序列∞=0}{k k x 收敛. (10分)线封密三峡大学试卷班级姓名学号七、（12分）已知方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a （1）写出解此方程组的雅可比(Jacobi)迭代法公式； （2）证明当4>a 时，雅可比(Jacobi)迭代法收敛； （3）取5=a ,T x)101,51,101()0(=，求出)2(x . 解：（1）对.,3,2,1 =i 从第i 个方程解出i x ，得雅可比法迭代公式为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--=+++ ,1,0,)21(1)222(1)21(1)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1n x x a x x x a x x x a x n n n n n n n n n （5分） （2）当4>a 时，A 为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛. （10分）（3）取5=a ，Tx )101,51,101()0(= 由迭代公式计算得 101)1(1=x ， 258)1(2=x ， 101)1(3=x . 25013)2(1=x ， 258)2(2=x ， 25013)2(3=x . （12分）八、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤++='0)0(10,122y x y x y , (1) 写出用Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进Euler 方法、取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的公式. 解: （1）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的Euler 公式为；9,,1,0),1(1.0),(0221==++⨯+=+=+y n y x y y x hf y y n n n n n n n （5分）（2）取步长1.0=h 解上述初值问题数值解的改进Euler 公式为：)2(21.0)1(1.002121221221=⎪⎩⎪⎨⎧+++++=++⨯+=++++y y x y x y y y x y y n n n n n n n n n n （10分）九、（8分）学完《数值分析》这门课程后，请你简述一下“插值、逼近、拟合”三者的区别和联系.解: 答案略.。

[考研类试卷]2007年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷
1 给定非线性方程e-x-2x=0． 1)判断该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出上述方程的根，精确至3位有效数字； 3)验证所用迭代法满足的收敛性条件，说明所用迭代格式是收敛的．
2 用列主元Gauss 消去法解线性方程组
3 给定线性方程组 1)写出Gauss-Seidel迭代格式；2)分析此迭代格式的收敛性
4 设f(x)=x4—3x3+x2-10，x0=1，x1=3，x2=-2，x3=0． 1)求f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Lagrange插值多项式L3(x)； 2)求f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Newton插值多项式N3(x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式．
5 求方程组的最小二乘解．
6 考虑积分I(f)= 1)写出计算I(f)的Simpson公式S(f)； 2)用多项式插值的思想推导出S(f). 3)写出复化梯形公式和复化Simpson公式之间的关系式．
7 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b—a)／
n，x i=a+ih，f i=f(x i，y i)，0≤i≤n．证明求解公式y i+1=y i +(55f i-59f i-1+37f i-2-9f i-3)是一个4阶公式，并给出局部截断误差的表达式．
答案见麦多课文库。