四川省广安市2021届新高考二诊数学试题含解析

B．合格铜圈进入磁场的过程中，通过该铜圈的的电荷量为
B错误；
C．要利用该系统识别不合格铜圈，对铜圈
铜圈所受安培力
解得铜圈与传送带之间的动摩擦因素为
C错误；
D．若该系统能识别同种材料制成的边长为 的不合格铜圈，则同规格合格铜圈安培力
满足
假设成立，D正确。
故选AD。
第Ⅱ卷（共计174分）
二、非选择题：
9.为研究小灯泡的伏安特性，实验室提供了下列器材：
【答案】（1）见详解（2）0.4
（3）铝板的厚度（4）大于
（5）不可行
【解析】
【小问1详解】
【小问2详解】
设斜面的倾角为θ，在斜面上铁块位移大小为x1，在水平面上铁块位移大小为x2，铝板的厚度为d，对整个过程，根据动能定理得
而铁块水平位移大小s为
联立以上两式解得
式中 即s-h图线的斜率，由图线可求得
B．当MN加速向左运动时，穿过右侧线圈的磁通量不断增大，且磁场方向向上，根据楞次定律可知，感应电流的磁场方向向下，根据右手螺旋定则可知，回路中电流方向为逆时针方向，所以a点电势低于b点电势，故B正确；
CD．当MN沿导轨简谐运动（不接触线圈）时，左侧回路中产生正弦交变电流，右侧回路也为交变电流，所以灯泡发光，电容器将进行充放电，电流表有示数，故C错误，D正确。
CD．甲运动员完成击球的时间∆t=0.01s，设甲对球的平均作用力大小为F，由动量定理得
将已知量代入上式可解得
F=650N
故C正确，D错误。
故选BC。
8.某工厂用水平绝缘传送带输送完全相同的正方形单匝铜圈。为了检测出个别未闭合的不合格铜圈，让图示传送带以速度v匀速通过一方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场区域，进入磁场前，铜圈与传送带相对静止且等距离排列，根据穿过磁场后铜圈间的距离，就能检测出不合格铜圈。已知铜圈质量为m，边长为L，每条边的电阻为R，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。则（ ）

四川省广安市第四中学2021年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则的面积为（A）（B）（C）（D）参考答案：B略2. 已知集合是函数的定义域，集合是函数的值域，则（）A． B．C．且 D．参考答案：B3. 已知在R上是奇函数,且（）A．B．2C．D．98参考答案：A4. 设连接双曲线与的四个顶点组成的四边形的面积为S1，连接其四个焦点组成的四边形的面积为S2，则S1 S2的最大值是( )(A)(B)(C)1 (D)2参考答案：B5. 若函数在上既是奇函数，也是减函数，则的图像是（）参考答案：A6. 已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”．则下列命题正确的是（）A．命题“∧”是真命题 B．命题“（┐）∧”是真命题C．命题“∧（┐）”是真命题 D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题参考答案：B7. 函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为( )A．B．C．D．参考答案：8. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别是，若（ ）A ．B ．60C ．120D ．150 参考答案： A 略9. 设为单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）A ．B ． 2C ．D ．1参考答案：A考点：平面向量的几何性质10. 已知集合A={x|﹣1＜x ＜2}，B={x|x 2+2x≤0}，则A∩B=（ ） A ．{x|0＜x ＜2}B ．{x|0≤x＜2}C ．{x|﹣1＜x ＜0}D ．{x|﹣1＜x≤0}参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合． 【分析】先求出集合A 和B ，由此能求出A∩B． 【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x ＜2}， B={x|x 2+2x≤0}={x|﹣2≤x≤0}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤0}． 故选：D ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数在闭区间上的最小值是.参考答案：12. 已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．参考答案：3 略13. 已知命题p ：m ＜0，命题q ：?x∈R，x 2+mx+1＞0成立，若“p∧q”为真命题，则实数m 的取值范围是 ．参考答案：﹣2＜m ＜0【考点】复合命题的真假．【分析】根据复合命题的真假性判断出命题p 、q 都是真命题，再逐一求出m 的范围，最后求它们的交集．【解答】解：因为“p∧q”为真命题，所以命题p 、q 都是真命题， 若命题q 是真命题，则?x∈R，x 2+mx+1＞0横成立， 所以△=m 2﹣4＜0，解得﹣2＜m ＜2， 又命题p ：m ＜0，也是真命题， 所以实数m 的取值范围是：﹣2＜m ＜0， 故答案为：﹣2＜m ＜0．14. 设向量=（sin15°，cos15°），=（cos15°，sin15°），则向量+与﹣的夹角为 ．参考答案：90°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知向量的坐标求得向量+与﹣的坐标，再结合两向量的数量积为0得答案．【解答】解：∵=（sin15°，cos15°），=（cos15°，sin15°），∴+=（sin15°+cos15°，sin15°+cos15°），﹣=（sin15°﹣cos15°，cos15°﹣sin15°）．∵（+）?（﹣）=sin215°﹣cos215°+cos215°﹣sin215°=0．∴向量+与﹣的夹角为90°．故答案为：90°．15. 已知x，y满足若的最小值为_________．参考答案：516. 甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为三个层次），得的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得或；乙说：我肯定得；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得的同学是．参考答案：若得的同学是甲，则甲、丙预测都准确，乙预测不准确，符合题意；若得的同学是乙，则甲、乙、丙预测都准确，不符合题意；若得的同学是丙，则甲、乙、丙预测都不准确，不符合题意。

2020届四川省广安市高三第二次诊断性考试试题数学（理）试题一、单选题1．已知集合|A x y ⎧==⎨⎩，{2,1,0,1,2,3}B =--，则()A B =R I ð（ ） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】利用函数定义域，化简集合A ，利用集合交集、补集的运算，即得解 【详解】由题意得集合|A x y ⎧==⎨⎩(,2)=-∞， 所以[2,)R A =+∞ð， 故(){2,3}R AB ⋂=ð． 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集和补集运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题2．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由共轭复数的定义得到z ，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解 【详解】 由题意得22sin cos 33z i ππ=--，因为2sin3π-=<，21cos 032π-=>， 所以z 在复平面内对应的点位于第二象限．【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题. 3．“8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求解函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称的等价条件，得到7,8k k ϕππ=+∈Z ，分析即得解.【详解】若函数()f x 的图象关于直线8x π=-对称，则3,82k k ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭Z ， 解得7,8k k ϕππ=+∈Z ， 故“8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的充分不必要条件． 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.4．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【解析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，即得解. 【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n 阶幻方对角线上数的和()f n 就等于每行（或每列）的数的和， 又n 阶幻方有n 行（或n 列），因此，2123()n f n n+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f +++⋅⋅⋅++==．故选：C 【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂B ．若m //n ，m //α，n α⊄，则n //αC ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //α 【答案】D【解析】根据线面平行和面面平行的性质，可判定A ；由线面平行的判定定理，可判断B ；C 中可判断α，β所成的二面角为090；D 中有可能n ⊂α，即得解. 【详解】选项A ：若m //α，α//β，根据线面平行和面面平行的性质，有m //β或m β⊂，故A 正确；选项B ：若m //n ，m //α，n α⊄，由线面平行的判定定理，有n //α，故B 正确； 选项C ：若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，故α，β所成的二面角为090，则αβ⊥，故C 正确；选项D ，若m n ⊥，m α⊥，有可能n ⊂α，故D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.6．()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为（ ） A ．20- B ．60 C ．70 D ．80【答案】B【解析】展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到，由二项式的通项，可得解 【详解】由题意，展开式中含4x 的项是由5(2)x +的展开式中含4x 和2x 的项分别与前面的常数项2-和2x 项相乘得到，所以()252(2)x x -+的展开式中含4x 的项的系数为1335522260C C -⨯+⨯=．故选：B 【点睛】本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题. 7．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则x yz+=（ ） A ．52-B ．2-C ．2D ．72【答案】A【解析】由题意，可得2x z y +=，2z xy =，消去y 得2220x xz z +-=,可得2xz=-，继而得到2zy =-，代入即得解 【详解】由x ，y ，z 成等差数列， 所以2x zy +=，又x ，z ，y 成等比数列， 所以2z xy =，消去y 得2220x xz z +-=，所以220x xz z⎛⎫+-=⎪⎝⎭，解得1xz=或2xz=-，因为x，y，z是不相等的非零实数，所以2xz=-，此时2zy=-，所以15222x yz+=--=-．故选：A【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）A．356B．328C．314D．14【答案】C【解析】分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.【详解】由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是233C=；仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是133C=，于是所求的概率2833314PC+==．故选：C【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.9．在ABC V 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，(0,0)AN AC μλμ=>>u u ur u u u r ，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．72【答案】B【解析】由M ，P ，N 三点共线，可得11122λμ+=，转化11()22λμλμλμ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式，即得解. 【详解】因为点P 为BC 中点，所以1122AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r，又因为AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，所以1122AP AM AN λμ=+u u u r u u u ur u u u r ． 因为M ，P ，N 三点共线， 所以11122λμ+=，所以111111()12222222λμλμλμλμμλ⎛⎫⎛⎫+=++=++++⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当,11122λμμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即1λμ==时等号成立，所以λμ+的最小值为2． 故选：B 【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.10．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB =2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 【答案】A【解析】将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在Rt OBE V 中，计算半径OB 即可. 【详解】由AB BC ⊥，PB BC ⊥，可知BC ⊥平面PAB ．将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上， 记ABP △的外心为E ，由ABD △为等边三角形， 可得1BE =．又12BCOE ==，故在Rt OBE V 中，2OB = 此即为外接球半径，从而外接球表面积为8π． 故选：A 【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.11．若函数()x f x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e【答案】D【解析】由题可知，可转化为曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点，可转化为方程2ln ax x -=有两解，构造函数2ln ()xh x x+=，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【详解】函数()x f x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在ln y x =上， 即曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点， 即方程2ln ax x -=有两解，即2ln xa x+=有两解， 令2ln ()xh x x +=，则21ln ()xh x x --'=，则当10x e<<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<，故1x e =时()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值， 当0x →时，()h x →-∞；当x →+∞时，()0h x →， 所以0a e <<满足条件． 故选：D 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.12．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=． 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断；对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断. 【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ， 显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确．将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+．于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++，所以()()22224224416124a r m mm -=+-++=．所以③正确． 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件10,330,0,x y x y y -+⎧⎪--⎨⎪⎩………则2z x y =+的最大值为________．【答案】7【解析】作出约束条件表示的可行域，转化目标函数2z x y =+为2y x z =-+，当目标函数经过点(2,3)时，直线的截距最大，取得最大值，即得解. 【详解】作出约束条件表示的可行域是以(2,3),(1,0),(1,0),A B C -为顶点的三角形及其内部， 转化目标函数2z x y =+为2y x z =-+ 当目标函数经过点(2,3)时，直线的截距最大 此时2237z =⨯+=取得最大值7． 故答案为：7 【点睛】本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是__________．【答案】30【解析】根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100分的频率，继而得解. 【详解】根据直方图知第二组的频率是0.040100.4⨯=，则样本容量是802000.4=， 又成绩在80～100分的频率是(0.0100.005)100.15+⨯=， 则成绩在区间[80,100]的学生人数是2000.1530⨯=． 故答案为：30本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题.15．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线与双曲线C 的两条渐近线顺次交于A ，B 两点若3FB FA =u u u r u u u r，则C 的离心率为________．【解析】设直线AB 的方程为x y c =-，与b y x a=±联立得到A 点坐标，由3FB FA=u u u r u u u r 得，3B A y y =，代入可得2b a =，即得解. 【详解】由题意，直线AB 的方程为x y c =-，与b y x a=±联立得A bc y a b =+，B bcy b a=-， 由3FB FA =u u u r u u u r得，3B A y y =，从而3bc bcb a b a=-+， 即2b a =，从而离心率ce a==．【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是___________．【答案】11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】构造2()()g x f x x =-，先利用定义判断()g x 的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化2(2)(1)321f x f x x x -->+-为(2)(1)g x g x >-，结合奇偶性，单调性求解不等式即可.令2()()g x f x x =-，则()g x 是R 上的偶函数，()()20g x f x x ''=-<，则()g x 在(0,)+∞上递减，于是在(,0)-∞上递增．由2(2)(1)321f x f x x x -->+-得22(2)(2)(1)(1)f x x f x x ->---， 即(2)(1)g x g x >-， 于是(|2|)(|1|)g x g x >-， 则|2||1|x x <-， 解得113x -<<． 故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X ，求X 的分布列和数学期望．附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关； （2）67元，见解析.【解析】（1）根据表格数据代入公式，结合临界值即得解；（2）X 的可能取值为40，60，80，90，根据题意依次计算概率，列出分布列，求数学期望即可. 【详解】 （1）由题得22200(40408040)50 5.556 5.02412080801209K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关. （2）由题意可知X 的可能取值为40，60，80，90．11(40)60%35P X ==⨯=，13(60)60%210P X ==⨯=，12(80)30%60%65P X ==+⨯=，1(90)10%10P X ===．则X 的分布列为所以，13214060809067510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了列联表，随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题. 18．已知a ，b ，c 分别是ABC V 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin a C A b c +=+．（1）求A ；（2）若a =3b c +=，求b ，c ．【答案】（1）3π； （2）1b =，2c =或2b =，1c =.【解析】（1）利用正弦定理，转化原式为sin cos sin sin sin A C C A B C +=+，结合B A C π=--，可得1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即得解；（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合题中数据，可得解 【详解】（1）由cos a C A b c +=+及正弦定理得sin cos sin sin sin A C C A B C +=+．因为B A C π=--，所以sin sin cos cos sin B A C A C =+，代入上式并化简得sin cos sin sin C A A C C =+．由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又0A π<<，故3A π=．（2）因为a =3b c +=，3A π=，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-即23()293b c bc bc bc =+--=-, 所以2bc =． 而3b c +=，所以b ，c 为一元二次方程2320x x -+=的两根． 所以1b =，2c =或2b =，1c =． 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，∠60BAD ∠=︒，PAD △是边长为2的正三角形，10PC =，E 为线段AD 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）若F 为线段PC 上一点，当二面角P DB F --5时，求三棱锥B PDF -的体积．【答案】（1）见解析； （2）59. 【解析】（1）先证明PE AD ⊥，BE AD ⊥可证AD ⊥平面PBE ，再由AD BC ∥可证BC ⊥平面PBE ，即得证；（2）以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系E xyz -，设(01)PF PC λλ=u u u r u u u r 剟，求解面DBP 的法向量m u r ，面DFB 的法向量n r ，利用二面角P DB F --5，可求解λ，转化B PDF P BDC F BDC V V V ---=-即得解. 【详解】（1）证明：因为PAD △是正三角形，E 为线段AD 的中点， 所以PE AD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以AD AB =． 因为60BAD ∠=︒，所以ABD △是正三角形， 所以BE AD ⊥，所以AD ⊥平面PBE ． 又AD BC ∥，所以BC ⊥平面PBE ． 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PBC ⊥平面PBE ． （2）由（1）知BC ⊥平面PBE ， 所以BC PB ⊥，226PB PC BC =-=而3PE BE ==所以222PB PE BE =+，PE EB ⊥．又PE AD ⊥，所以PE ⊥平面ABCD ．以E 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系E xyz -．则3,0),3),(3,0),(1,0,0)B P C D --．于是，3)DP =u u u r ，3,0)DB =u u u r．设面DBP 的一个法向量(,,)m x y z =u r，由0,0,m DB m DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得30,30.x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令3x =1y z ==-，即3,1,1)m =--u r．设(01)PF PC λλ=u u u r u u u r剟，易得(2333)F λλλ-，(12333)DF λλλ=-u u u r． 设面DFB 的一个法向量(,,)n x y z =r，由0,0,n DB n DF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得30,(12)3(33)0.x y x y z λλλ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩ 令3x =1y =-，131z λλ-=-，即133,1,1n λλ-⎫=-⎪-⎭r ．依题意5|cos ,|m n 〈〉=u r r，5=，令311t λλ-=-，则32t =-， 即31312λλ-=--，即59λ=．所以55159939B PDF P BDC F BDC P BDC V V V V ----=-==⨯=． 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合，考查了面面垂直的判断，二面角的向量求解，三棱锥的体积等知识点，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 20．已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为(1,0)，点A 在椭圆C 上，点B在直线y =上，且OA OB ⊥． （1）证明：直线AB 与圆221x y +=相切；（2）设AB 与椭圆C 的另一个交点为D ，当AOB V 的面积最小时，求OD 的长． 【答案】（1）见解析； （2【解析】（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设OA 的方程为y kx =，可求解得到22222||12k OA k+=+，22||22OB k =+，可得O 到AB 的距离为1，即得证； （2）表示AOB V的面积为21||||2S OA OB =⋅=，利用均值不等式，即得解.【详解】（1）由题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，且1b c ==，所以a =所以椭圆C 的方程为2212x y +=．由点B在直线y =上，且OA OB ⊥知OA 的斜率必定存在， 当OA 的斜率为0时，||OA =||OB =于是||2AB =，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切． 当OA 的斜率不为0时，设OA 的方程为y kx =，与2212x y +=联立得()22122k x +=，所以22212Ax k =+，222212A k y k =+，从而22222||12k OA k +=+．而OB OA ⊥，故OB 的方程为x ky =-，而B在y =上，故x =， 从而22||22OB k =+，于是22111||||OA OB +=． 此时，O 到AB 的距离为1，直线AB 与圆221x y +=相切． 综上，直线AB 与圆221x y +=相切． （2）由（1）知，AOB V 的面积为2211211||||122k S OA OB ++=⋅===+…，上式中，当且仅当0k =等号成立，所以AOB V 面积的最小值为1． 此时，点A在椭圆的长轴端点，B 为．不妨设A 为长轴左端点，则直线AB 的方程为y x =+代入椭圆C 的方程解得3D y =， 即289D y =，229D x =，所以||3OD = 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了直线和圆的位置关系判断，面积的最值问题，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于较难题.21．已知函数()ln x f x e x x ax =-+，()f x '为()f x 的导数，函数()f x '在0x x =处取得最小值．（1）求证：00ln 0x x +=；（2）若0x x …时，()1f x …恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析； （2）[1,)e -+∞.【解析】（1）对()f x 求导，令()ln 1x g x e x a =-+-，求导研究单调性，分析可得存在0112t <<使得()00g t '=，即010t e t -=，即得证；（2）分00110x a x ++-…，00110x a x ++-<两种情况讨论，当00110x a x ++-…时，转化()n 20mi 0001()f x f x x x a x ==++利用均值不等式即得证；当00110x a x ++-<，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ，分析可得()f x 的最小值为()2f x ，分1a e ≥-，1a e <-讨论即得解.【详解】（1）由题意()ln 1x f x e x a '=-+-， 令()ln 1x g x e x a =-+-，则1()xg x e x'=-，知()g x '为(0,)+∞的增函数， 因为(1)10g e '=->，1202g '⎛⎫=<⎪⎝⎭， 所以，存在0112t <<使得()00g t '=，即010t e t -=． 所以，当()00,x t ∈时()0()0g x g t ''<=，()g x 为减函数， 当()0,x t ∈+∞时()0()0g x g t ''>=，()g x 为增函数， 故当0x t =时，()g x 取得最小值，也就是()f x '取得最小值．故00x t =，于是有0010xe x -=，即001x e x =， 所以有00ln 0x x +=，证毕．（2）由（1）知，()ln 1xf x e x a '=-+-的最小值为0011x a x ++-， ①当00110x a x ++-…，即0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时，()f x 为[)0,x +∞的增函数， 所以()020min 0000001()ln x f x f x e x x x a x x a x ==-+=++， 2000000011111x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫++-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦…， 由（1）中0112x <<，得00111x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()1f x >．故0011a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…满足题意． ②当00110x a x ++-<，即0011a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭时，()f x '有两个不同的零点1x ，2x ， 且102x x x <<，即()22222ln 10ln 1x x f x e x a a x e '=-+-=⇒=-+，若()02,x x x ∈时()2()0f x f x ''<=，()f x 为减函数，（）若()2,x x ∈+∞时()2()0f x f x ''>=，()f x 为增函数，所以()f x 的最小值为()2f x ．注意到(1)1f e a =+=时，1a e =-，且此时(1)10f e a '=+-=，（ⅰ）当1a e ≥-时，()2(1)10f e a f x ''=+-=…， 所以201x <…，即210x -≥，又()()()22222222222222ln ln ln 11x x x x f x e x x ax e x x x e x x e x =-+=-+-+=-+ ()()22111x x e =--+，而210x e ->，所以()()221111x x e --+>，即()21f x >． 由于在0112x <<下，恒有001x e x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以00111e x x ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭． （ⅱ）当1a e <-时，()2(1)10f e a f x ''=+-<=，所以201x x >>，所以由（）知()21,x x ∈时，()f x 为减函数，所以()(1)1f x f e a <=+<，不满足0x x …时，()1f x …恒成立，故舍去． 故00111e a x x ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭…满足条件． 综上所述：a 的取值范围是[1,)e -+∞．【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了利用导数研究函数的最值和不等式的恒成立问题，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算能力，属于较难题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin .x y θθ=⎧⎨=⎩以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上，点B 在曲线36:(0)C πθρ=->上，且AOB V 为正三角形．（1）求点A ，B 的极坐标；（2）若点P 为曲线1C 上的动点，M 为线段AP 的中点，求||BM 的最大值．【答案】（1）A 2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭； （2）12+【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得解；（2）设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P的直角坐标为(21)x y --．将此代入曲线1C 的方程，可得点M在以122Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆上，所以||BM 的最大值为1||2BQ +，即得解. 【详解】（1）因为点B 在曲线36:(0)C πθρ=->上，AOB V 为正三角形， 所以点A 在曲线(0)6πθρ=>上．又因为点A 在曲线2:sin 1C ρθ=上，所以点A 的极坐标是2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 从而，点B 的极坐标是2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）由（1）可知，点A的直角坐标为，B的直角坐标为1)- 设点M 的直角坐标为(,)x y ，则点P的直角坐标为(21)x y --．将此代入曲线1C的方程，有1cos ,211sin ,22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩即点M 在以12Q ⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆上．||BQ ==所以||BM 的最大值为11||22BQ += 【点睛】本题考查了极坐标和参数方程综合，考查了极坐标和直角坐标互化，参数方程的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23．已知函数()|21|f x x =+．（1）解不等式：()(2)6f x f x +-…；（2）求证：()222(1)232f x a f x x a x a a +--++++-…．【答案】（1）{|12}x x -剟； （2）见解析. 【解析】（1）代入得()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，分类讨论，解不等式即可；（2）利用绝对值不等式得性质，()22(1)22f x a f x a +--+…，222232323x a x a a a a ++++--+…，比较22323,22a a a -++大小即可.【详解】（1）由于()(2)|21||23|f x f x x x +-=++-，于是原不等式化为|21||23|6x x ++-…， 若21x <-，则21(23)6x x ----…，解得112x -<-…； 若1322x -剟，则21(23)6x x --+-…，解得1322x -剟； 若32x >，则21(23)6x x ++-…，解得322x <…． 综上所述，不等式解集为{|12}x x -剟． （2）由已知条件，对于x ∀∈R ，可得()2222(1)221|21|2222f x a f x x a x a a +--=++--+=+…． 又()22222232232323x a x a a a a a a a ++++-+--=-+…，由于22183233033a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭， 所以222232323x a x a a a a ++++--+…． 又由于()22223232221(1)0a a a a a a -+-+=-+=-…， 于是2232322a a a -++…．所以()222(1)232f x af x x a x a a +--++++-…．【点睛】本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.。

2021年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷〔文科〕一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．i 为虚数单位，那么复数 =〔〕A ．+ i B ． ﹣ iC ．﹣+iD ．﹣ ﹣i2．集合A={x|x 2+4≤5x ，x ∈R}，B={y|y ＞2}，那么A ∩B=〔〕 ．〔2，+∞〕 B ．〔4，+∞〕 C ．〔2，4] D ．[2，4] 3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高〔cm 〕、体重〔kg 〕数据，得到体重关于身高的回归方程﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R 2， 那么以下说法正确的选项是〔 〕 A ．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B ．这些女学生的体重差异有 60%是由身高引起的 C ．身高为170cm 的学生体重一定为 D ．这些女学生的身高每增加，其体重约增加1kg．等差数列 n }的前n 项和为S n ，假设S 10 ，那么 3+a 8 〔〕4{a =55 a=A ．5B ．C ．10D ．115．设a=〔 〕 ，b=〔 〕 ，c=ln ，那么a ，b ，c 的大小关系是〔〕A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b6．执行如下图的程序框图，那么输出 b 的值为〔 〕A ．2B ．4C ．8D ．167．将函数f 〔x 〕= sinx+cosx 的图象向右平移后得到函数 g 〔x 〕的图象，那么函数g〔x〕的图象的一条对称轴方程是〔〕A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣8．假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，那么k 的值为〔〕A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣39．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为〔〕A．B．C．D．10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如下图〔俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m〕，经了解，建造该3类椅子的平均本钱为240元/m，那么该椅子的建造本钱约为〔π≈〕〔〕A．元B．元C．元D．元11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时〔单位：h〕分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备23B设备41假设A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，那么该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为〔〕A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元12．假设函数g〔x〕满足g〔g〔x〕〕=n〔n∈N〕有n+3个解，那么称函数g〔x〕为“复合n3〞f〔x〕=〔其中e是自然对数的底数，+解函数．函数，k∈R〕，且函数f〔x〕为“复合5解〞函数，那么k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔﹣e，e〕C．〔﹣1，1〕D．〔0，∞〕+二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，那么?=．．假设等比数列n}的公比为2，且a3﹣a1，那么+++=．14{a=615．有以下四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有〔填写所有正确命题的编号〕．16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，假设|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B〔0，m〕，那么m=．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=．1〕求角A的大小；2〕假设a=，sin2B+cos2C=1，求b，c．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借书等待12345时间T1〔分钟〕频数150010005005001500乙图书馆借书等待12345时间T2〔分钟〕频数100050020001250250 1〕分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；2〕以表中等待时间的学生人数的频率为概率，假设某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？19．如下图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．〔1〕当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；〔2〕当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=，VC=2时，求三棱锥A﹣BDE的体积．20．椭圆+ =1〔a＞b＞0〕过点P〔2，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，假设=〔其中O为坐标原点〕，直线l是否过定点？假设不过定点，说明理由，假设过定点，求出定点的坐标．21．函数f〔x〕=lnx﹣2ax〔其中a∈R〕．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕设g〔x〕=f〔x〕+x2，且函数g〔x〕有极大值点x0，求证：x0f〔x0〕+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分4-4：坐标系与参数方程].选修[（22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1〕求直线l的极坐标方程；2〕设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x+a|﹣2a，其中a∈R．1〕当a=﹣2时，求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．2021年四川省广安市、遂宁市、内江市、眉山市高考数学二诊试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共12小题，每题5分，总分值60分〕1．i为虚数单位，那么复=〔〕数A．+ i B．﹣i C．﹣+iD．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=．应选：B．2．集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}，B={y|y＞2}，那么A∩B=〔〕A．〔2，+∞〕B．〔4，+∞〕C．〔2，4] D．[2，4]【考点】交集及其运算．【分析】通过二次不等式求出集合A，然后求解交集．【解答】解：∵集合A={x|x2+4≤5x，x∈R}={x|1≤x≤4}，B={y|y＞2}，A∩B={x|2＜x≤4}=〔2，4]．应选C．3．从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高〔cm〕、体重〔kg〕数据，得到体重关于身高的回归方程﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R2，那么以下说法正确的选项是〔〕A．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C．身高为170cm的学生体重一定为D．这些女学生的身高每增加，其体重约增加1kg【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2，判断这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，计算x=170时的即可预测结果，计算身高每增加时体重约增加×．【解答】解：根据回归方程﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2，所以，这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，B正确；x=170时，×170﹣，预测身高为170cm的学生体重为，C错误；这些女学生的身高每增加，其体重约增加×，D错误．应选：B．．等差数列n}的前n项和为S n，假设S10，那么3+a8〔〕4{a=55a=A．5 B．C．10 D．11【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式得到S10=5〔a3+a8〕，由此能求出a3+a8的值．【解答】解：∵等差数列{a n的前n项和为S n，S10}=55，∴S10=〔3+a8〕=55，==5a解得a3+a8．=11应选：D．5．设a=〔〕，b=〔〕，c=ln，那么a，b，c的大小关系是〔〕A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．a＞c＞b【考点】对数值大小的比拟．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵0＜a=〔〕＜b=〔〕=，c=ln＜ln1=0，b＞a＞c．应选：B．6．执行如下图的程序框图，那么输出b的值为〔〕A．2 B．4 C．8 D．16【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：第一次循环，a=1≤3，b=2，a=2，第二次循环，a=2≤3，b=4，a=3，第三次循环，a=3≤3，b=16，a=4，第四次循环，a=4＞3，输出b=16，应选：D．7．将函数f〔x〕= sinx+cosx的图象向右平移后得到函数g〔x〕的图象，那么函数g〔x〕的图象的一条对称轴方程是〔〕A．x=B．x=C．x=﹣D．x=﹣【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】将函数化简，通过向右平移后得到函数g〔x〕的图象，根据正弦函数的对称轴方程即可求解．【解答】解：函数f〔x〕= sinx+cosx=2sin〔x+〕，图象向右平移后得：2sin〔x﹣+〕=2sin〔x﹣〕=g〔x〕，由x﹣=k，k∈Z，可得：x=k，当k=﹣1时，可得一条对称轴方程为x=．应选D．8．假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，那么k的值为〔〕A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣3【考点】直线和圆的方程的应用；过两条直线交点的直线系方程．【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心〔1，﹣2〕，假设圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心，可得﹣2=k﹣1，解得k=﹣1．应选：A．9．直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，CD=6，AD=5，点E在梯形内，那么∠AEB 为钝角的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】此题为几何概型，由题意以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．【解答】解：以AB为直径半圆内的区域为满足∠AEB为钝角的区域，AB=4，故半圆的面积是2π，梯形ABCD的面积是25，∴满足∠AEB为钝角的概率为p=．应选：A．10．某同学在运动场所发现一实心椅子，其三视图如下图〔俯视图是圆的一部分及该圆的两条互相垂直的半径，有关尺寸如图，单位：m〕，经了解，建造该3类椅子的平均本钱为240元/m，那么该椅子的建造本钱约为〔π≈〕〔〕A．元B．元C．元【考点】由三视图求面积、体积．D．元【分析】由三视图可知：该几何体为圆柱的．【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆柱的．∴体积V=．∴该椅子的建造本钱约为=×240≈元．应选：C．11．某工厂拟生产甲、乙两种实销产品．每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，两种产品都需要在A，B两种设备上加工，且加工一件甲、乙产品在A，B设备上所需工时〔单位：h〕分别如表所示．甲产品所需工时乙产品所需工时A设备B设备2 43 1假设A设备每月的工时限额为400h，B设备每月的工时限额为300h，那么该厂每月生产甲、乙两种产品可获得的最大利润为〔〕A．40万元B．45万元C．50万元D．55万元【考点】简单线性规划的应用．【分析】先设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，写出约束条件、目标函数，欲求生产收入最大值，即求可行域中的最优解，将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．【解答】C解：设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是目标函数是由约束条件画出可行域，如下图的阴影局部由，结合图象可知，在A处取得最大值，由可得A〔50，100〕，此时××100=50万元，应选：C．12．假设函数g〔x〕满足g〔g〔x〕〕=n〔n∈N〕有n+3个解，那么称函数g〔x〕为“复合n3〞f〔x〕=〔其中e是自然对数的底数，+解函数．函数，k∈R〕，且函数f〔x〕为“复合5解〞函数，那么k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔﹣e，e〕C．〔﹣1，1〕D．〔0，∞〕+【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可得f〔f〔x〕〕=2，有5个解，设t=f〔x〕，f〔t〕=2，当x＞0时，利用导数求出函数的最值，得到f〔t〕=2在1，∞〕有2个解，[+，当x＜0时，根据函数恒过点〔0，3〕，分类讨论，即可求出当k＞0时，f〔t〕=2时有3个解，问题得以解决．【解答】解：函数f〔x〕为“复合5解“，∴f〔f〔x〕〕=2，有5个解，设t=f〔x〕，∴f〔t〕=2，∵当x＞0时，f〔x〕= =，∴f〔x〕=，当0＜x＜1时，f′〔x〕＜0，函数f〔x〕单调递减，当x＞1时，f′〔x〕＞0，函数f〔x〕单调递增，∴f〔x〕min=f〔1〕=1，∴t≥1，∴f〔t〕=2在[1，+∞〕有2个解，当x≤0时，f〔x〕=kx+3，函数f〔x〕恒过点〔0，3〕，当k≤0时，f〔x〕≥f〔0〕=3，t≥3f〔3〕=＞2，∴f〔t〕=2在[3，+∞〕上无解，当k＞0时，f〔x〕≤f〔0〕=3，∴f〔t〕=2，在〔0，3]上有2个解，在〔∞，0]上有1个解，综上所述f〔f〔x〕〕=2在k＞0时，有5个解，应选：D二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，那么? = 32．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AD=BD=5，即AB=10，再由勾股定理可得AC，再由向量数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，假设BC=6，CD=5，可得AD=BD=5，即AB=10，由勾股定理可得AC==8，那么? =| |?| |?cosA=5×8×=32．故答案为：32．n}的公比为2，且a3﹣a1，那么+﹣．14．假设等比数列{a=6++=1【考点】数列的求和．【分析】等比数列{a n2a3﹣a11221=6a1}的公比为，且=6，可得a〔﹣〕，解得．可∴得a n=2n．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的公比为2，且a3﹣a1=6，a1〔22﹣1〕=6，解得a1=2．a n=2n．那么+ + + =+ + ==1﹣．故答案为：1﹣．15．有以下四个命题：①垂直于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确的命题有②④〔填写所有正确命题的编号〕．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用正方体中的线面、面面、线线位置关系进行判定．，【解答】解：如图在正方体ABCD﹣A′B′C′中D，′对于①，AB⊥BB′，BC⊥BB′，AB、BC不平行，故错；对于②，两底面垂直于同一条侧棱，两个底面平面平行，故正确；对于③，相邻两个侧面同垂直底面，这两个平面不平行，故错；对于④，平行的侧棱垂直底面，侧棱平行，故正确．故答案为：②④16．设抛物线C：y2=2x的焦点为F，点A在C上，假设|AF|=，以线段AF为直径的圆经过点B〔0，m〕，那么m= 1或﹣1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的焦点弦公式，求得A点坐标，分类，分别求得线段AF为直径的圆的圆心与直径，利用两点之间的距离公式即可求得m的值．【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F〔，0〕，设A〔x，y〕，由抛物线的焦点弦公式可知：|AF|=x+=x+=，那么x=2，那么y=±2，那么A〔2，2〕或A〔2，﹣2〕，当A点坐标〔2，2〕，以线段AF为直径的圆圆心M〔，1〕，半径为，经过点B〔0，m〕，那么丨BM丨=，即=，解得：m=1，同理A点坐标〔2，﹣2〕，以线段AF为直径的圆圆心M〔，﹣1〕，半径为，经过点B〔0，m〕，那么丨BM丨=，=，解得：m=﹣1，故m为1或﹣1，故答案为：1或﹣1．三、解答题〔共5小题，总分值60分〕17．在△ABC中，设内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=．1〕求角A的大小；2〕假设a=，sin2B+cos2C=1，求b，c．【考点】余弦定理．【分析】〔1〕由诱导公式、两角差的正弦、余弦函数化简的等式，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角A的大小；2〕由二倍角余弦公式的变形化简sin2B+cos2C=1，由正弦定理化简后，由条件和余弦定理列出方程求出b，c的值．【解答】解：〔1〕因为sin〔A﹣〕﹣cos〔A+〕=，所以sin〔A﹣〕﹣cos〔A﹣〕=，那么sinA﹣cosA﹣〔cosA+ sinA〕=，化简得cosA=，又0＜A＜π，那么A=；2〕因为sin2B+cos2C=1，所以sin2B+1﹣2sin2C=1，即sin2B=2sin2C，由正弦定理得，b2=2c2，那么b=c，又a=，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA，那么5=2c2c2﹣2c2×，解得c=1，+那么b=c=．18．某大学有甲、乙两个图书馆，对其借书的等待时间进行调查，得到下表：甲图书馆借书等待12345时间T1〔分钟〕频数150010005005001500乙图书馆借书等待12345时间T2〔分钟〕频数100050020001250250 1〕分别求在甲、乙两图书馆借书的平均等待时间；2〕以表中等待时间的学生人数的频率为概率，假设某同学希望借书等待时间不超过3分钟，请问在哪个图书馆借更能满足他的要求？【考点】众数、中位数、平均数．【分析】〔1〕分别求出T1和T2的平均数，判断结论即可；〔2〕设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，设事件B为“在乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，分别求出P〔A〕和P〔B〕，比拟即可．【解答】解：〔1〕由题意得：T1的平均数为：=，同理，可得T2的平均数为：=，故，甲图书馆借书的平均等待时间是分钟，乙图书馆借书的平均等待时间是分钟；〔2〕设事件A为：“在甲图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，那么P〔A〕=P〔T1≤3〕=P〔T1=1〕P〔T1=2〕P〔T1=3〕=++；++设事件B为“在乙图书馆借书的等待时间不超过3分钟〞，那么P〔B〕=P〔T2≤3〕=P〔T2=1〕P〔T2=2〕P〔T2=3〕=++，++故P〔B〕＞P〔A〕，由上可知，在乙图书馆借书的总等待时间不超过3分钟的概率更高一些，故在乙图书馆借更能满足该同学的要求．19．如下图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．〔1〕当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；〔2〕当D、E分别为线段VA、VC上的中点，且BC=1，CA=，VC=2时，求三棱锥A﹣BDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】〔1〕当DE⊥平面VBC时，DE⊥VC，推导出VC⊥AC，从而DE∥AC，由此能证明直线DE∥平面ABC．〔2〕三棱锥A﹣BDE的体积为V A﹣BDE=V B﹣ADE，由此能求出三棱锥A﹣BDE的体积．【解答】解：〔1〕直线DE∥平面ABC．证明如下：VC?平面VBC，∴当DE⊥平面VBC，DE⊥VC，AC?平面ABC，VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，VC，DE，AC?平面VAC，∴DE∥AC，AC?平面ABC，DE?平面ABC，∴直线DE∥平面ABC．2〕VC⊥平面ABC，∴VC⊥BC，又BC⊥AC，在平面VAC内，VC∩AC=C，∴BC⊥平面VCA，∴三棱锥A﹣BDE的体积为V A﹣BDE=V B﹣ADE=，∵D，E分别是VA，VC上的中点，∴DE∥AC，且DE=AC=，∴DE⊥VC，S△ADE△CDE==，=S∴三棱锥A﹣BDE的体积V A﹣BDE=V B﹣ADE===．20．椭圆+ =1〔a＞b＞0〕过点P〔2，1〕，且离心率为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线l与x轴不垂直，与椭圆相交于不同于P的两点A，B，直线PA，PB分别交y轴于M，N，假设=〔其中O为坐标原点〕，直线l是否过定点？假设不过定点，说明理由，假设过定点，求出定点的坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】〔Ⅰ〕由可得，解得a2，b2．〔Ⅱ〕设直线AB的方程：y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由，可得〔4k2+1〕x2+8ktx+〔4t2﹣8〕=0．△=16〔8k2﹣t2+2〕＞0，．写出直线PA、的方程，求出M、N坐标，由 =得〔2﹣4k〕x1x2﹣〔2﹣4k+2t〕x1+x2〕+8t=0．把①代入②化简得〔t+2〕〔2k+t﹣1〕=0．得t．【解答】解：〔Ⅰ〕由可得，解得a2=8，b2=2．∴椭圆的方程为：〔Ⅱ〕设直线AB的方程：．y=kx+t，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕．由，可得〔4k21〕x28ktx〔4t2﹣8〕=0．+++△=16〔8k2﹣t22〕＞0，①+直线PA的方程，∴M〔0，〕同理N〔0，〕．由=得，〔2﹣4k〕x1x2﹣〔2﹣4k+2t〕〔x1+x2〕+8t=0②把①代入②化简得〔t+2〕〔2k+t﹣1〕=0．因为直线不过点P，∴2k+t﹣1≠0，∴t=﹣2故直线l是否过定点Q〔0，﹣2〕21．函数f〔x〕=lnx﹣2ax〔其中a∈R〕．〔Ⅰ〕假设函数f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，求函数f〔x〕的最大值；〔Ⅱ〕设g〔x〕=f〔x〕+x2，且函数g〔x〕有极大值点x0，求证：x0f〔x0〕+1+ax020．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】〔I〕令f′〔1〕=﹣1解出a，得出f〔x〕的解析式，在利用导数判断fx〕的单调性，得出最值；II〕令g′〔x〕=0有解且x0为g〔x〕的极大值点可得出a与x0的关系和x0的范围，令h〔x〕=xf 〔x〕+1+ax2，判断h〔x〕的单调性即可得出结论．【解答】解：〔I〕f′〔x〕=﹣2a，f〔x〕的图象在x=1处的切线平行于直线x+y﹣2=0，∴f′〔1〕=1﹣2a=﹣1，即a=1．∴f〔x〕=lnx﹣2x，f′〔x〕=，令f′〔x〕=0得x=，当0时，f′〔x〕＞0，当x时，f′〔x〕＜0，f〔x〕在〔0，]上单调递增，在〔，+∞〕上单调递减，f〔x〕的最大值为f〔〕=﹣1﹣ln2．〔II〕g〔x〕=lnx﹣2ax x2，g′〔x〕=x+﹣2a=，+令g′〔x〕=0得x2﹣2ax+1=0，①当△=4a2﹣4≤0即﹣1≤a≤1时，x2﹣2ax+1≥0恒成立，即g′〔x〕≥0，g〔x〕在〔0，+∞〕单调递增，∴g〔x〕无极值点，不符合题意；②当△=4a2﹣4＞0时，方程g′〔x〕=0有两解x1，x0，∵x0是g〔x〕的极大值点，∴0＜x0＜x1，又x1x0=1，∴x1+x2=2a＞0，∴a＞1，0＜x0＜1．又g′〔x0〕=x0+﹣2a=0，∴a=．∴x0f〔x0〕+1+ax02=x0lnx0﹣，设h〔x〕=xlnx﹣，那么h′〔x〕=﹣x2++lnx，h″〔x〕=﹣3x+=，∴当0＜x＜时，h″〔x〕＞0，当x时，h″〔x〕＜0，h′〔x〕在〔0，〕上单调递增，在〔，+∞〕上单调递减，h′〔x〕≤h′〔〕=ln＜0，h〔x〕在〔0，1〕上单调递减，∴h〔x0〕＞h〔1〕=0，即x0lnx0﹣＞0，x0f〔x0〕+1+ax02＞0．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，设E的右焦点为F，经过第一象限的渐进线为l．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．1〕求直线l的极坐标方程；2〕设过F与l垂直的直线与y轴相交于点A，P是l上异于原点O的点，当A，O，F，P四点在同一圆上时，求这个圆的极坐标方程及点P的极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔1〕由双曲线E的参数方程求出双曲线E的普通方程为．从而求出直线l在直角坐标系中的方程，由此能求出l的极坐标方程．〔2〕由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆〔记为圆C，C为圆心〕与直线l的交点〔异于原点O〕，线段AF为圆C的直径，A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，从而C的半径为2，圆心的极坐标为〔2，〕，由此能求出点P的极坐标．【解答】解：〔1〕∵双曲线E的参数方程为〔θ为参数〕，∴，，∴==1，∴双曲线E的普通方程为．∴直线l在直角坐标系中的方程为y=，其过原点，倾斜角为，∴l的极坐标方程为．〔2〕由题意A、O、F、P四点共圆等价于P是点A，O，F确定的圆〔记为圆C，C为圆心〕与直线l的交点〔异于原点O〕，AO⊥OF，∴线段AF为圆C的直径，由〔Ⅰ〕知，|OF|=2，又A是过F与l垂直的直线与y轴的交点，∴∠AFO=，|AF|=4，于是圆C的半径为2，圆心的极坐标为〔2，〕，∴圆C的极坐标方程为，此时，点P的极坐标为〔4cos〔〕，〕，即〔2，〕．[选修4-5：不等式选讲]23．函数f〔x〕=|x+a|﹣2a，其中a∈R．1〕当a=﹣2时，求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】〔1〕当a=﹣2时，分类讨论，即可求不等式f〔x〕≤2x+1的解集；2〕假设x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，求出左边的最大值，即可求a的取值范围．【解答】解：〔1〕当a=﹣2时，不等式f〔x〕≤2x+1为|x﹣2|﹣2x+3≤0．x≥2时，不等式化为x﹣2﹣2x+3≤0，即x≥1，∴x≥2；x＜2时，不等式化为﹣x+2﹣2x+3≤0，即x≥，∴≤x≤2，综上所述，不等式的解集为{x|x≥}；2〕x∈R，不等式f〔x〕≤|x+1|恒成立，即|a+a|﹣|x+1|≤2a恒成立，∵|a+a|﹣|x+1|≤|a﹣1|，∴|a﹣1|≤2a，∴．2021年4月5日。