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拉氏变换1(重点)

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拉氏变换详细解读

拉氏变换详细解读
2
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0

第2节拉氏变换1

第2节拉氏变换1

[
− αt
f (t ) = F (s + α )
]
[
− αt
cos ωt
]
s +α cos ωt = 2 2 (s + α ) + ω
s L[cos ωt ] = 2 s +ω2 Le
[
−αt
]
5
延时定理
L[ f (t − α ) ⋅1(t − α )] = e
f (t ) ⋅ 1(t )
−αs
F (s )
f (t − α ) ⋅ 1(t − α )
0
0
α
6 初值定理
lim
t →0+
f (t ) = lim sF (s )
s→∞
例：
ω 求 lim sin ωt = lim s ⋅ 2 =0 2 s +ω s→∞ t →0
+
7 终值定理
lim f (t ) = lim sF (s )
t →∞ s→0
∞ 0
− σt
dt < ∞，其中 σ — 正实数
∞
∫
0
x (t ) e
− st
dt
[t ]−1 复变量 量纲
二、简单函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 1(t )
0 t < 0 1(t ) ∆ 1 t > 0
L[1(t )] = ∫ 1(t ) e
∞ 0 − st
1
0
t
1 − st ∞ 1 dt = − e = s 0 s
拉普拉斯变换
e −σ ⋅t , t ≥ 0 定义函数：ϕ (t ) = 0, t < 0
+∞

拉氏积分变换L

拉氏积分变换L
代入初始条件，得：
X ( s) = 1 s +8 s−2 (s + 2 ) X ( s ) + 2Y ( s ) = s − 2 解得： Y ( s ) = 3 − 2 X ( s ) + ( s + 1)Y ( s ) = 3s + 1 s−2 s−2 作反变换，得：x(t ) = e 2t , y (t ) = 3 ⋅ e 2t
其中 k i = F ( s ) ⋅ ( s − pi ) | s = p i ，则：f (t ) = k1 e p1t + k 2 e p 2t + .... + k n e p nt 2，当解出s等于一对共轭复根，即 s = p1,2 = σ ± jw ，则： 1 1 1 F (s) = = = ( s − p1)( s − p 2) s 2 − ( p1 + p 2) s + p1 p 2 s 2 − 2σs + (σ 2 + w2)
拉氏变换公式表
f (t ) = −u (t ) + t + e−t = −1 + t + e−t , (t ≥ 0 )
若F(s)不是有理真分式，则化为 多项式与真分式之和。
例2：已知 F (s ) =
as + b c 解：令F (s ) = 2 + (s + 2s + 3) s + 2
(s2 + 2s + 3)(s + 2) ，求其反变换。
1 f (t )满足divichlet条件。 ） 2）若f (t )是指数阶函数，则必须存在M > 0，使当t > t 0 时， (t ) ≤ M ⋅ ect f

第1节 拉氏变换概念及性质

第1节 拉氏变换概念及性质
注意 : 若f1 (t ) f 2 (t )，a b，则其ROC为整个S平面 若两信号之差过程发生零极点相抵消的情况, 收敛域可能扩大 .
提出的问题:
1.拉氏变换如何由傅里叶变换演变而来? 2.傅里叶变换是拉氏变换的特例吗?存在拉氏变换的信 号一定存在傅里叶变换吗? 3.信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 单边信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 4.拉氏变换求解系统问题的优越性如何体现? 5.拉氏变换应用有局限性吗?
6.微分方程的拉氏变换求解法及其优越性？
1 如信号F ( s) (t ) s
s F ( s) 2 s 4
s F ( s) ( s 1)( s 2 4) 2
例题：
已知：f (t ) (t ) e t (t ) 1 ）试确定双边拉氏变换 及其收敛域； 2 ）求上述拉氏变换在不 同收敛域下的反变换
设：s = σ + jω（复频率）, dω=ds/j
F ( s) f (t )e st dt 1 j st f (t ) j F (s)e ds 2j

(Bilateral LT)
双边拉普拉斯变换 记作：f (t ) F(s)
说明：F s L f t f t e d t F ( j ) F [ f (t )] f (t )e dt


n!
n
5、 (t) 的导函数
s


e
st
dt
n!
0
s
n 1
t (t )
n
n! s
n 1
L t t e
0
st
(n) (t) s n dt s

拉氏变换

拉氏变换
确定。可对应于平面上的点 (x, y)，这样表示复数的
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )

1

2
j
(e j t

e j t
)

1 2j

S
1
j

S
1
j


S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)

R

t

u(t)

Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R

时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)

0.5R

t
2

u(t
)

0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt

sF (s)

拉普拉斯变换基础知识讲解

拉普拉斯变换基础知识讲解

0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1

拉普拉斯变换1例题及详解

拉普拉斯变换1例题及详解

2021/11/7
自动控制原理
17
６ 拉普拉斯反变换
一. 由象函数求原函数
f(t)=L-1[F(s)]
(1)利用公式
f (t) 1
j
F
( s)e st ds
2j j
(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表
t0
F(s) F1(s) F2(s) Fn(s) f (t) f1(t) f2(t) fn(t)
2021/11/7
I(s) R
u=Ri
U(s) RI(s)
U(s)
-
uL
L
diL dt
IL(s) sL
UL(s)
UL (s) sLIL (s)
1
uC C
t
0 iC dt
I C(s)1/sC
自动控制原理
UC(s)
UC(s)
1 sC
IC (s)
26
作业： 求拉普拉斯变换
1. f (t) 0.5(1 cos3t)
L[ f (t t0 )u(t t0)] est0 F (s)
2021/11/7
自动控制原理
12
例1： f(t) 1
Tt 例2： f(t)
T
f (t) u(t) u(t T )
F(s) 1 1 esT ss
f (t) t[u(t) u(t T )]
T
f (t) tu(t) (t T )u(t T ) Tu(t T )
2
2021/11/7
自动控制原理
22
3.F2 (S )有相等的实根(重根)
F(s)
F1(s) (s s1)2
k1 s s1
k2 (s s1)2
F(s)(s s1)2 k1(s s1) k2

自动控制原理第一讲_拉氏变换

自动控制原理第一讲_拉氏变换

第一讲 拉普拉斯变换及其应用1.1基本要求1,熟悉拉氏变换的基本法则2,熟练掌握典型函数的拉氏变换式。

3,掌握用拉氏变换求解微分方程初值问题的思路。

4,熟练掌握求有理分式函数拉氏反变换的方法 1.2.重点讲解1, 对于学习本课程而言，广义积分式(拉氏变换的定义)的收敛性以及复变量主值积分式(反变换定义式)的计算，与正确地熟练地运用拉氏变换的基本法则相比不是主要的，因为在工程计算中可以用查表的方式来完成拉氏变换和拉氏反变换的计算。

而拉氏变换的基本法则的运用则直接关系到是否真正掌握这种变换的工具。

2,拉氏变换的线性性质源自定积分的线性性质，这说明作为一种变换关系，拉氏变换是线性变换。

应当指出线性关系并非所有变换都具有的性质，例如以十为底的对数可以看成正半数轴到数轴的变换关系，但关系式g()g g l a b l a l b +≠+说明取对数的运算显然不满足线性关系。

3, 为了保证拉氏变换的一一对应关系，总假定拉氏变换的定义式中的原函数()f t 在t 时为零。

即原函数应写成0<()1()f t t ⋅,根据单位阶跃函数1(t)的定义，这里()1()f t ⋅t 为()0()1()00f t t f t t t > ⋅=<下面给出()f t 、()1()f t t ⋅、、0()1()f t t t ⋅−00()1(f t t t t )−⋅−、0(f t t )−的函数关系，以说明通常所说“将()f t 延迟t ” 的正确表示。

显然应当是图1-1中的(d) ，不是(c)或(e) 0()1()f t t ⋅0()1()f t t t ⋅−00()1()f t t t t −⋅− (d)(c)(b) (a) (e)图1-1 将()f t 延迟t基于上述认识，就能正确表达图形和用延迟定理求出某些图形的拉氏变换式。

例题1-2图1-2 波形图求图1-2中的波形的拉氏变换。

解 图1-2中的波形可以看成、()1()t t ⋅001(t t t t )−⋅−、t t 01()t 0⋅−这三个信号的代数和，读者可画出这三个信号的波形图以验证下式的正确性。

第五章 拉普拉斯变换

第五章 拉普拉斯变换
第五章 拉普拉斯变换
基本内容： 拉斯变换的定义(重点 重点)； 基本内容： 1. 拉斯变换的定义 重点 ； 2. 收敛域的概念(难点 ； 收敛域的概念 难点)； 难点 3. 零极点图； 零极点图； 4. 拉斯变换的性质 重点) ； 拉斯变换的性质(重点 重点 5. 系统函数 难点) ； 系统函数(难点 难点 6. 单边拉斯变换 重点)； 单边拉斯变换(重点 ； 重点
e
st
LTI
h (t )
∞ −∞
y (t ) = H ( s )e st
H ( s ) = ∫ h(t )e dt
定义: 定义
∞ X ( s ) = ∫−∞ x(t )e− st dt = LT {x(t )}
− st
5.1 拉普拉斯变换
一. 定义
e
st
LTI
h (t )
∞ −∞
y (t ) = H ( s )e st
−σ t ∞
f (t )e
−σ t
= FT {F (σ + jω}
−1
1 ∞ + jω t = ∫−∞ F (σ + jω )e dω 2π 1 ∞ (σ + jω t ) f (t ) = dω ∫−∞ F (σ + jω )e 2π 1 σ + j∞ st = ∫σ − j∞ F ( s )e ds 2π
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
5.4 复频域分析
应用举例： 应用举例： 图示电路，开关动作前已进入稳态， 例 1 ：图示电路，开关动作前已进入稳态，试 求开关打开后电感支路电流和电感两端电压。 求开关打开后电感支路电流和电感两端电压。 解： t<0，开关k闭合，电路稳定，有 ，开关 闭合 电路稳定， 闭合，

拉氏变换

拉氏变换
2


dit 练习3、已知某系统的动态微分方程为：L Ri t ur t dt 且Lit Is , Lur t U r s 。试对该方程进行拉氏 变换，并求出 Is U r s 的值。
解 s 故： Is U r s 1 Ls R

f1 t e dt f 2 t e st dt F1 s F2 s

练习1：求下列函数的拉氏变换
2 1、f(t)= 2t 1.Fs 2 s 3 5 2t 2、 f(t)= 3e +5 2.Fs s2 s 6 2s 2 3、 f(t)= 3t +2cos3t 3.Fs 3 2 s 9s 6 2 4、 f(t)= sin6t-2e-5t 4.Fs 2 36 s s5
其拉氏变换
st 0
1 j j
0
F s sin te dt
e jt e jt st 1 j s t jt s t e e dt e dt 0 2 j 2 j


1 j s t 1 1 1 1 2 j jt s t e dt e dt 0 2 j s2 2 s2 2 0 2j 2j j s j s

5、单位脉冲函数：
0t 0 t t 0 且 t dt 1

其拉氏变换：
F s L t t e st dt 1
0
6、单位斜坡（速度）函数
0t 0 f t t t 0
0
1 st 1 1t e dt e 0 s s

第9章拉氏变换1

第9章拉氏变换1
1 − e u (−t ) ↔ s +1
−t
Re{ s } < − 1
jΩ
-1
0
σ
图９.2 例９.2的收敛域
• 说明 • 1 两个不同信号的拉氏变换完全相同， 仅仅是收敛域不同。收敛域很重要，拉 氏变换与收敛域一起才可以与信号建立 一一对应关系 • 2 左边信号的傅氏变换不收敛，而拉氏 变换存在，主要原因是 e − σ t 的作用，它 使得原信号衰减。 • 3 σ 的不定取值（对不同信号），造成 了收敛域的概念
• 通过举例说明，注意信号特性 x (t ) = e − t u (t ) 例1 考查右边信号 变换及其收敛域
X (s) = ∫
=∫
∞ 0
的拉氏
∞
e−( s+1)t e−( s+1)t dt = − s +1
−∞
x (t )e dt = ∫
− st
∞
e−(σ +1)t e− jΩt ∞ =− 0 s +1
dt =
∫
t2
t1
x (t ) e −σ 0 t dt < ∞
σ 0 = Re{ S 0 }
[4] 如果x(t)是右边信号，且X(s)存在， 则收敛域位于极点的右边。 [5] 如果x(t)是左边信号，且X(s)存在， 则收敛域位于极点的左边。 [6] 如果x(t)是双边信号，且X(s)存在， x(t) X(s) 则收敛域是一条带状区域。
即 Re{s} > −1
0
e − t e − st dt
∞ 0
上面积分只有在 σ + 1 > 0, 时收敛，见图９.1
−t
1 e u (t ) ↔ s +1

复习拉氏变换知识

复习拉氏变换知识

s+3 2+ j = s → −1 + j (s + 1 − j)(s + 1 + j) 2j s+3 2− i C 2 = lim (s + 1 + j) = s → −1− j (s + 1 − j)(s + 1 + j) − 2 j
2 + j ( −1+ j ) t 2 − j ( −1− j ) t = 1 e − t ( 2 + j )e jt − ( 2 − j )e − jt f(t) = e e − 2j 2j 2j 1 −t e ⋅ j[2 cos t + 4 sin t ] = e − t ⋅ [cos t + 2 sin t ] = 2j s+1 1 s +1+ 2 s+3 = +2 = F(s) = 解二： 解二： 2 2 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 ) + 1
11） 复习拉普拉斯变换有关内容（11）
用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y′′( t ) + a1 ⋅ y′( t ) + a2 ⋅ y( t ) = 1( t )
y(0) = y′(0) = 0
L变换 变换
1 Y ( s) = s( s 2 + a1 s + a 2 )
L-1变换
1 ( s + a1 s + a 2 ) ⋅ Y ( s ) = s
2 常见函数的拉氏变换
1 t ≥ 0 （1）阶跃函数 f ( t ) = 0 t < 0 ∞ − 1 − st ∞ − 1 (0 − 1) = 1 L[1(t )] = ∫ 1 ⋅ e − st dt = e 0 = s s s 0

拉氏变换

拉氏变换

控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。

一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。

f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。

2)当时，，M，a为实常数。

2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。

—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。

二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。

注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。

2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。

证：同理可推广到n阶：当初始条件为0时，即则有4、积分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则，其中时的值。

拉氏变换

拉氏变换

p f(+∞) = lim pF(p)= lim p→ 0 p →0 p + a
=0
3 2t + 3 = 解： f(0) = lim f(t) = lim t →0 (t + 1)(t + 2) t→0 2 2t + 3 f(+∞) = lim f(t)= lim =0 t →∞ (t + 1)(t + 2) t→∞
1 p = - 2 p p + 16
16 = p(p2 +16)
二、平移性质
若 L[f(t)] = F(p)，则 L at f(t)] = F(p - a) [e
(a是 数 常 ）
ω 解： L[sinωt] = Q 2 2 p +ω
∴L[e sinωt] =
-at -at
例3、求L[e sinωt]
上式两端取拉氏变换，并根据拉氏变换 的线性性质及滞后性质，得
3c 2c c
o
a
2a 3a
t
L[f(t)] = c{L[u(t)] + L[u(t - a)] + L[u(t - 2a)] + L}
1 1 -ap 1 - 2ap 当p>0时，上端右 = c( + e + e + L) 式的等比级数收敛 p p p c c 1 - ap - 2ap = (1 + e + e + L) = ⋅ (p > 0) -ap p p 1- e
[a 则，L 1f1(t) + a2f2 (t)] a1L[f1(t)] + a2L[f 2 (t)] =
= F (p) + F (p) 1 2

拉氏变换

拉氏变换
1
e t cos t 4 sint
求
X ( s)
s3 s 2 2s 2
的原函数 x(t)。
解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 j)
时，原函数的另一种求法。
X(s)
X(s)
x(t)
（2） D(s) = 0有重根。设有r个重根 p1 ，则


1 t 3 2 1 3t x (t ) e (t ) e 2 2 3 12
2.4.1. 线性常系数微分方程的求解 r ( t)
微分方程式
c(t)
求解微分方程式
时域解c(t)
L
R(s) s的代数方程 C(s)
求解代数方程
L-1
s域解C(s)
用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数或结构变化时， 需重新列方程求解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤： 1)对微分方程两边进行拉氏变换。 2)求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。 3)求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。
X ( s) ( s 1)
2

s1

s

s3
1 c4 lims 3 X ( s ) s 3 12
1 c1 lims 1 X ( s ) s 1 2
2
2 c3 limsX ( s ) s0 3
c2 lim
d 3 2 s 1 X ( s) s 1 ds 4
4 j c1 lim s 1 j X ( s ) s 1 j 2j 4 j c2 lim s 1 j X ( s ) s 1 j 2j

拉普拉斯变换及反变换ppt课件

拉普拉斯变换及反变换ppt课件
补充 拉普拉斯变换及反变换 重点 知识
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)

第9章拉氏变换1.

第9章拉氏变换1.

0
e(s1)t dt e(s1)t
0
e e ( 1)t jt
0
s 1
s 1
才能收敛，收
敛域见图９.2。
etu(t) 1 s 1
Re{s} 1
j
-1 0
图９.2 例９.2的收敛域
• 说明
• 1 两个不同信号的拉氏变换完全相同， 仅仅是收敛域不同。收敛域很重要，拉 氏变换与收敛域一起才可以与信号建立 一一对应关系
于 Re{s} 的取值。 • 把能使X(s)存在的s的取值范围称做拉氏
变换的收敛域，用s平面的阴影区表示
• 通过举例说明，注意信号特性
例1 考查右边信号 x(t) etu(t) 的拉氏 变换及其收敛域
X (s) x(t)est dt etest dt
0
e(s1)t dt e(s1)t e( 1)te jt
其中，
y(t) H (s)est
H (s) h(t)estdt
• H(s)称为单位冲击响应为h(t)的双边拉普 拉斯变换，若 s j 为虚数时，成为傅
立叶变换
• 信号的x(t)双边拉普拉斯变换定义为
X (s) x(t)estdt
简称拉氏变换，表示为 L{x(t)}， S通常为 复数（s j ）
第九章 拉普拉斯变换
• ９.0 引言 • 线性时不变系统分析时，将输入信号用基
本信号的线性组合表示，根据系统对基本 信号的响应，利用线性时不变系统的性质， 求出整个系统的响应。 • 连续时间系统傅立叶分析时，复指数信号e jt 是基本信号。
• 简化的系统响应的求解，还揭示了信号 与系统的频率特性，建立了信号频谱的 概念，对传输中的失真，滤波，调制， 抽样，系统性质等有了更进一步的了解

拉氏变换 1

拉氏变换 1

拼凑法
A +∞ -pt = - ∫ e d(-pt) p 0 A -pt + ∞ = - ⋅e 0 p A -pt 0 = - （lim e - e ) p t→+∞ A A = - （ -1) = 0 (p > 0) p p
exdx = ex + C ∫
e-∞ → 0 e+∞ → +∞
单位阶梯函数： 单位阶梯函数：
（1）、为了研究方便，一般拉氏变换中f(t)定义为
f(t), t ≥ 0 f(t) = 0, t < 0
(2)、拉氏变换的本质是一种积分变换 积分变换
例1 求下列函数的拉氏变换
0, t < 0 （1 ）、阶梯函数f(t) = (A为常数） A, t ≥ 0) = 1,
t <0 t ≥0
1 ⇒ L[U(t)] =
αt
p
(p > 0)
（2）、指数函数f(t) = e
解：L[f(t)] = F(p)＝L[e ] =
αt
(t ≥ 0,α为常数）
αt
-pt +∞ 0
∫
+∞
0
e ⋅ e dt = ∫ e－（p-α )t dt
1 +∞ －（p-α )t =d[-(p -α)t] ∫0 e p -α
3, t < 2 (2)、 = f(t) cost, t > π 2
π
1、拉氏变换的定义： 拉氏变换的定义：
F(p) = ∫ f(t)e dt
-pt 0
+∞
积分变换
2、拉氏变换的求法： A、定义法 、 B、基本公式法 、
P59
1、（1）、（3）

Laplace变换要点

Laplace变换要点
t t t
例6 求 f t 0 cos t dt 的拉氏变换.
t
t cos tdt 1 L cos t 1 s 1 L 0 s s s2 1 s2 1
12
象函数积分性质: L f (t ) F (s)则


s
F ( s )d s {

L t n f (t ) (1) n F ( n ) ( s)

例5 求 f t t 2 cos kt(k为实数) 的拉氏变换.
s 2 s 3 6k 2 s 2 t 2 cos kt 1 L cos kt ( s) 2 L 2 2 s k ( s k 2 )3
LAPLACE变换
1. 定义：
设 f (t )是[0, )上的实(或复)值函数，若对参数 s j , F ( s )
0 st
f (t )e dt 在s平面的某一区域

内收敛，则称其为 f (t )的Laplace变换，记为 L[ f (t )] F s
所以

0
f (t )e
st
dt M e dt
e t 0

M
e
.
注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下); 注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.
7
§2 Laplace变换的性质与计算 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都
满足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函
0

f1 (t ) f 2 (t t )d t
t
f1 (t ) f 2 (t t )dt f1 (t ) f 2 (t t )dt .
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1 sn
F(s)
4．初值定理
f (0 ) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
5．终值定理
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
例：已知
F(s)
s(s2
5 s
，求f(t)的终值。
2)
f
()
lim
t
f
(t)
lim
s0
sF ( s)
lim
s0
s2
5 s
2
5 2
二、拉氏反变换及其计算方法
3.积分定理
L
f
(t)dt
1 F(s) s
1 s
f
(1) (0 )
式中 f (1)(0 ) 为 f (t）dt 在t时间坐标轴的右端
趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
L
f (t )(dt )2
1 s2
F(s)
1 s2
f (1) (0 ) 1 s
f (2) (0 )
L f (t )(dt )n
补充
微分方程→代数方程
一、拉氏变换及其特性
（一）拉氏变换的定义
时间函数f(t)，当t<0时， f(t)=0， t≥0时， f(t)的拉氏变换计为L[f(t)]或F(s)，且定义为
L f (t) F(s) f (t)estdt 0
式中 s= + j j 虚数单位
L为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、 F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。
1
s as b
s
s as b
1
ss as b
序号
f(t)
F(s)
13
e at sin t
s a2 2
14
e at cos t
sa
s a2 2
15
1 a2
(at
1
e at
)
1
s2 s a
16
n 1
2
e n t sinn
1 2t
n2 s2 2ns n2
序号
f(t)
F(s)
(s
bm sm bm1sm1 bm2 sm2 p1 )r (s pi )(s pj )L L
L[x(t)] X (s)
L[ y(t)] Y (s)
L[m(t)] M (s)
L[n(t)] N (s)
序号 1 2 3 4 5 6
常用函数的拉氏变换对照表
f(t)
F(s)
(t)单位脉冲函数
1(t) 单位阶跃函数u(t) t 单位斜坡函数r(t)
e at te at sint
1
1
s 1 s2 1
d 3 y d 2 y dy
dx
5
dt 3
6
dt 2
dt
2y 4 dt
x
解：利用线性定理和微分定理，可得
5s3Y (s) 6s2Y (s) sY (s) 2Y (s) 4sX(s) X(s)
(5s3 6s2 s 2)Y (s) (4s 1)X (s)
Y (s)
4s 1
X(s) 5s3 6s2 s 2
2．微分定理
L
df (t) dt
sF(s)
f
(0 )
式中f(0+)表示当t在时间坐 标轴的右端趋于零时的f(t) 值，相当于初始条件。
d2 f (t)
L
dt 2
s2F(s)
sf
(0 )
f
(1)(0 )
dn f (t)
L
dt n
snF(s) sn1
f (0 ) sn2
f
(1)(0 )L
s2
2
,
L cos t
s2
s
2
eatsint
s a2 2
eatcost
sa
s a2 2
（二）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t) f2(t)] L[ f1(t)] L[ f2(t)] F1(s) F2(s)
L[kf (t)] kL[ f (t)] kF(s)
sf
(n2)(0 )
f
(n1)(0 )
式中f(0+)、 f (1)(0+) 、···、 f
L
d
n f (t)
dt n
snF (s)
(n-2)(0+) 、 f (n-1)(0+)分别为各 阶导数在t时间坐标轴的右端
趋于零时的 f(t) 值，如果所
有这些初值为零，则
例 试求下面微分方程式的拉氏变换式．已知各 阶导数初值为零。
sa 1
s a2
s2 2
序号
f(t)
7
cos(t)
8
tn(n 1，2，3，L )
9
t en at (n 1，2，3，L )
10
1 eat ebt
ba
11
1 bebt aeat
ba
12
1 ab
1
a
1
b
beat aebt
F(s)
s
s2 2
n! sn1 n!
s an1
（一）拉氏反变换的定义
已知象函数F(s)，求出与之对应的原函数f(t)就
称为拉氏反变换，计作 L1 F(s) f (t)
L1[F (s)] f (t) 1 r j F (s)estds
2 j r j
式中，r为大于F(s)的所有奇异点实部的实常数。 所谓奇异点，即F(s)在该点不解析，也就是F(s) 在该点及其邻域不处处可导。
1
1 2
e n t sin
n
1 2t
s
17
1 2
s2 2ns n2
arctan
1
1
1 2
e n t sin
n
1 2t
n2
18
1 2
s
s2
2n
s
2 n
arctan
根据表格直接写出结果
L (t) 1,
L1(t) 1 ,
s
Lt
1 s2
L
eat
s
1
a
,
L
eat
s
1
a
Lsin t
x(t) L1[ X (s)]
y(t) L1[Y (s)]
m(t) L1[M (s)]
n(t) L1[N (s)]
(二).拉氏反变换的计算方法
1.查表法
LLL111111(((ttt))),,, LLL11111ss1s111(((ttt))),,, LLL111ss11s1222ttt
LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,, LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,,
1
1
sn F(s) sn
f
(1) (0 )
1 sn1
f (2) (0 ) ....... 1 s
f (n) (0 )
式中 f (-1)(0+) 、 f (-2)(0+) ···、 f (-n)(0+) 为式中f(t)的 各重积分在t=0+时的值，如果这些初值为零，则有
L
Hale Waihona Puke f(t)dt
n
LLL111sss222222sssiiinnnttt,,, LLL111sss222sss222cccooosssttt
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式
F(s)
B(s) A(s)
bm sm bm1sm1 bm2sm2 b1s b0 ansn an1sn1 an2sn2 a1s a0