第9讲.数论中的组合.答案

习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。

任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。

现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。

证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。

由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。

一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。

那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。

证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。

（书上例题2.1.3）证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。

组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。

卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。

在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。

第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。

习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。

答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。

然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。

综上所述，B=C。

1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。

（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。

答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。

（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。

习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。

（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。

第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。

习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。

2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。

答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。

3.2 容斥原理将3.1节讨论的原理进一步推广，总结成一般性规律，就得到定理3.2.1所描述的容斥原理。

定理3.2.1 设S 是有限集合，12,m P P P 是同集合S 有关的m 个性质，设i A 是S 中具有性质i P 的元素构成的集合()1i m ≤≤，i A 是S 中不具有性质i P 的元素构成的集合()1i m ≤≤，则S 中不具有性质12,m P P P 的元素个数为{}{}()1211,2,21,2,2121m mi i ji m i ji k m mmA A A S A A A A A A A A A ==-+-++-∑∑∑的合的合（3.2.1）证明 可以利用等式（3.1.1），通过对m 作归纳进行证明。

下面通过其组合意义来证明。

等式（3.2.1）的左端表示的是S 中不具有性质12,m P P P 的元素的个数。

下面我们来证明：对于S 中每个元素x ，若x 不具有性质12,m P P P ，则对等式（3.2.1）的右端贡献1；否则，若x 具有某个性质()1i P i m ≤≤，则对等式（3.2.1）的右端贡献0，从而证（3.2.1）式。

任给x S ∈，则（1）若x 不具有性质12,m P P P ，即12,,m x A x A x A ∉∉∉ ，则x 在集合S 中，但不在（3.2.1）式右端的任一其他集合中。

所以，x 对（3.2.1）式右端的贡献为()1000101m-+-+-⨯=（2）若x 恰具有12,m P P P 中的()1n n ≥个性质12,i i i nP P P ，则x 对S 的贡献为10n ⎛⎫= ⎪⎝⎭因x 恰具有n 个性质12,i i i n P P P ，所以x 恰属于集合12,,n i i i A A A ，共n 个。

于是，x 对iA∑的贡献为1n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭从12,i i i nP P P 中选出两个性质，共有2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭种，所以x 恰在2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭个形如()k l i i A A k l ≠ 的集合中，x 对i j A A ∑的贡献为2n ⎛⎫ ⎪⎝⎭；……；同理，x 对12n i i i A A A ∑ 的贡献为n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

组合之排除法1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m mP 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⋅． 因此，组合数12)112321⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅m mn nm m P n n n n m C P m m m （）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n nC =，01n C =．例题精讲知识要点教学目标对于某些有特殊要求的计数，当限制条件较多时，可以先计算所有可能的情况，再从中排除掉那些不符合要求的情况．【例1】在100~1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？【考点】组合之排除法【难度】2星【题型】解答【解析】先考虑100～1995这1896个数中，百位与个位相同的数有多少个，在三位数中，百位与个位可以是1～9，十位可以是0～9，由乘法原理，有91090⨯=个，四位数中，千位是1，百位和个位可以是0～9，十位可以是0～9，由乘法原理，1010100⨯=个，但是要从中去掉1999，在100～1995中，百位与个位相同的数共有9099189-=个．+=个，所以，百位数与个位数不相同的自然数有：189********【答案】1707【例2】1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？【考点】组合之排除法【难度】3星【题型】解答【解析】从问题的反面考虑：1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，不发生进位？这样的数，个位数字有2种可能(即0，1)，十位数字有3种可能(即0，1，2)，百位数字有4种可能(即0，1，2，3)，千位数字有2种可能(即0，1)．根据乘法原理，共有234248⨯⨯⨯=个．注意上面的计算中包括了0(=0000)这个数，因此，1到1999的自然数中与5678相加时，不发生进位的数有48147-=个所以，1到1999的自然数中与5678相加时，至少发生一次进位的有1999471952-=个．【答案】1952【巩固】所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？【考点】组合之排除法【难度】3星【题型】解答【解析】与456相加产生进位在个位、十位、百位都有可能，所以采用从所有三位数中减去与456相加不产生进位的数的方法更来得方便，所有的三位数一共有99999900-=个，其中与456相加不产生进位的数，它的百位可能取1、2、3、4、5共5种可能，十位数可以取0、1、2、3、4共5种可能，个位数可以取0、1、2、3共4种可能，根据乘法原理，一共有554100⨯⨯=个数，所以与456相加产生进位的数一共有900100800-=个数．【答案】800【巩固】从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？【考点】组合之排除法【难度】3星【题型】解答【解析】千位数小于等于1，百位数小于等于1，十位数小于等于3，个位数小于等于3，应该有-=个数都至少产生一次进位．2244163⨯⨯⨯-=种可以不进位，那么其他2004631941【答案】1941【例3】在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？【考点】组合之排除法【难度】3星【题型】解答【解析】至少出现一个“6”，意思就是这个三位偶数中，可以有一个6，两个6或三个6．我们可以把这三种情况下满足条件的三位数的个数分别求出来，再加起来；也可以从所有的三位偶数中减去不满足条件的，即减去不含6的三位偶数．三位偶数共有450个，我们先来计算不含6的偶数的个数，不含6的偶数，个位可以是0，2，4，8，十位上可以是除6以外的其余9个数字，百位可以是除6，0以外的8个数字，因此不含6的三位偶数共有498288⨯⨯=个,则至少出现一个6的三位偶数有-⨯⨯=个．450498162【答案】162【例4】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个。

3.1 某甲参加一种会议,会上有6位朋友,某甲和其中每一个人在会上各相遇12次,每两人各相遇6次,每3人各相遇4次,每4人各相遇3次,每5人各相遇2次,每6人各相遇1次,1人也没遇见的有5次,问某甲共参加几次会议?解:设A 为甲与第i 个朋友相遇的会议集.i=1,2,3,4,5,6.则 │∪A i │=12*C(6,1)-6*C(6,2)+4*C(6,3)-3*(6,4)+2*(6,5)-C(6,6) =28甲参加的会议数为 28+5=333.2：求从1到500的整数中被3和5整除但是不能被7整除的数的个数。

解：设 A 3：被3整除的数的集合A 5：被5整除的数的集合 A 7：被7整除的数的集合 所以 ||=||-||=-=33-4=29 3.3 n 个代表参加会议，试证其中至少有2个人各自的朋友数相等解：每个人的朋友数只能取0，1，…，n －1．但若有人的朋友数为0，即此人和其 他人都不认识，则其他人的最大取数不超过n －2．故这n 个人的朋友数的实际取数只 有n －1种可能．，根据鸽巢原理所以至少有２人的朋友数相等．3.4试给出下列等式的组合意义0j j 0(1)=(1), 1n-m-j+1(2)(1)1 j 1(3)...(1) 1 12m l l n m l n m m n l n k m n k l k l n m l n m l m l m l m l m l m l m m m m m l =-=--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥≥ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ 证明：（1）从n 个不同元素中取k ，使得其中必含有m 个特定元素的方案数为)()(kn mn m k mn --=--。

设这m 个元素为a 1,a 2,…,a m , Ai 为包含a i 的组合（子集），i=1,…,m.1212|...|(...)12 =(...(1))1 2 =(1) m m m l n A A A A A A k n m n m n m n m k k k m k m n l l k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛- ⎪⎝⎭ 0ml =⎫ ⎪⎝⎭∑ （2）把l 个无区别的球放到n 个不同的盒子，但有m 个空盒子的方案数为11n l m n m -⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令k=n-m ，设A i 为第i 个盒子有球，i=1，2，…k12k 121|...|(...)1k 11211 =(...(1)) 1 2 k k k l A A A A A A k k l k l k k l k k k l k l l k l +-⎛⎫=- ⎪⎝⎭+--+--+--+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ kj j 0k k-j+1 =(1)j l l =-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑ （3）设A i 为m+l 个元素中去m+i 个，含特定元素a 的方案集；N i 为m+l 个元素中取m+i 个的方案数。

初中数学知识归纳解组合数的问题组合数是数学中一个非常重要的概念，它在组合数学、概率论、统计学等领域中都有广泛的应用。

本文将对初中阶段学习的数学知识进行归纳总结，重点解析组合数的相关问题。

一、组合数的定义与性质组合数是从n个不同元素中取出m个元素（不考虑元素的顺序）所组成的集合的个数，通常用C(n,m)或者(n, m)表示。

组合数的计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × ... × 3 × 2 × 1。

组合数的性质有：1. C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个元素或者取出n个元素的组合数都等于1。

2. C(n,1) = C(n,n-1) = n，即从n个元素中取出1个元素或者取出n-1个元素的组合数都等于n。

3. C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元素的组合数与取出n-m个元素的组合数相等。

二、组合数的计算方法1. 利用组合数的计算公式直接计算。

例如，计算C(5,2)的值，按照组合数的计算公式，可以得到：C(5,2) = 5! / (2!(5-2)!) = 5! / (2!3!) = (5×4×3×2×1) / ((2×1)×(3×2×1)) = 10。

2. 利用递推关系进行计算。

根据组合数的递推关系，可以通过前一行组合数的值计算出下一行的组合数。

具体方法是，利用C(n+1,m) = C(n,m) + C(n,m-1)的递推关系，逐次计算出所需要的组合数。

例如，计算C(5,3)的值，可以通过如下计算过程得到：C(5,3) = C(4,3) + C(4,2) = (C(3,3) + C(3,2)) + (C(3,2) + C(3,1)) = 1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 10。

组合数学(第2版)-姜建国,岳建国习题一（排列与组合）1．在1到9999之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出1，2，3，4作排列的方案数；（1）选1个，即构成1位数，共有15P个；（2）选2个，即构成两位数，共有25P个；（3）选3个，即构成3位数，共有35P个；（4）选4个，即构成4位数，共有45P个；由加法法则可知，所求的整数共有：12345555205P P P P+++=个。

2．比5400小并具有下列性质的正整数有多少个（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字2与7；解：（1）比5400小且每位数字全不同的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：①一位数，可从1～9中任取一个，共有9个；②两位数。

十位上的数可从1～9中选取，个位数上的数可从其余9个数字中选取，根据乘法法则，共有9981⨯=个；③ 三位数。

百位上的数可从1～9中选取，剩下的两位数可从其余9个数中选2个进行排列，根据乘法法则，共有299648P ⨯=个；④ 四位数。

又可分三种情况：千位上的数从1～4中选取，剩下的三位数从剩下的9个数字中选3个进行排列，根据乘法法则，共有3942016P ⨯=个；千位上的数取5，百位上的数从1～3中选取，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有283168P ⨯=个；千位上的数取5，百位上的数取0，剩下的两位数从剩下的8个数字中选2个进行排列，共有2856P =个；根据加法法则，满足条件的正整数共有：9816482016168562978+++++=个；（2）比5400小且每位数字不同且不出现数字2与7的正整数；按正整数的位数可分为以下几种情况：设{0,1,3,4,5,6,8,9}A = ① 一位数，可从{0}A -中任取一个，共有7个；② 两位数。

十位上的数可从{0}A -中选取，个位数上的数可从A 中其余7个数字中选取，根据乘法法则，共有7749⨯=个；③ 三位数。

第9讲数论中的组合
1.下面有9个自然数：14,35，80,152，650,434,4375，9064，24125.在这些自然数中，请问：（1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？
（2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？
2.一个三位数64的十位数字未知.请分别根据下列要求找出“”中合适的取值：
（1）如果要求这个三位数能被3整除，“”可能等于多少？
（2）如果要求这个三位数能被4整除，“”可能等于多少？
3.在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？
．
4.从自然数1，2，3，，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？
5.在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。

本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。

质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。

质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。

在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

1． 质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2． 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.知识点拨教学目标第九讲：数论之质数合数3． 唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a kn p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.4. 部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.5. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q(均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.【系列一：质数合数的基本概念的应用】【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．【解析】 按要求编号排序，并画出质数号码：美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多；例题精讲15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九天九霄志凌云，九七共庆手相握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山．【巩固】(2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练)炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数(素数)的数组．例如，3k=时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔为12的3个质数(由小到大排列，只写一组3个质数即可)．【解析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12，所以2不能在所要求的数组中．而且由于个位是5的质数只有一个5，所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：【例 2】两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。

《组合数的性质》讲义一、组合数的定义在数学中，组合数表示从 n 个不同元素中选取 r 个元素的组合方式的数量，记作 C(n, r)。

其计算公式为：C(n, r) ＝ n! ／ r!（n r)！，其中 n! 表示 n 的阶乘，即 n! ＝ n×（n 1)×（n 2)××2×1 。

为了更好地理解组合数，我们先来看一个简单的例子。

假设有 5 个不同的水果，分别是苹果、香蕉、橙子、梨和草莓，现在要从中选取 3 个水果，那么选取的方式一共有 C(5, 3) 种。

二、组合数的基本性质1、对称性组合数具有对称性，即 C(n, r) ＝ C(n, n r) 。

这意味着从 n 个元素中选取 r 个元素的组合数与从 n 个元素中选取 n r 个元素的组合数是相等的。

比如说，从 10 个元素中选取 7 个元素的组合数 C(10, 7) 与从 10 个元素中选取 3 个元素的组合数 C(10, 3) 是相等的。

我们可以通过组合数的计算公式来证明这一性质。

C(n, r) ＝ n! ／ r!（n r)！，C(n, n r) ＝ n! ／（n r)！r! ，可以看出二者是相等的。

这个性质在计算组合数时非常有用，如果要计算 C(100, 98) ，我们可以直接计算 C(100, 2) ，因为二者相等，而计算 C(100, 2) 会相对简单很多。

2、加法原理C(n, r 1) ＋ C(n, r) ＝ C(n ＋ 1, r) 。

假设我们要从 n ＋ 1 个元素中选取 r 个元素，可以分为两种情况。

一种是不选取第 n ＋ 1 个元素，那么就从前面 n 个元素中选取 r 个，组合数为 C(n, r) ；另一种是选取第 n ＋ 1 个元素，那么就要从前面 n 个元素中选取 r 1 个，组合数为 C(n, r 1) 。

将这两种情况相加，就得到了从 n ＋ 1 个元素中选取 r 个元素的组合数 C(n ＋ 1, r) 。

六年级.第9讲.数论中的组合小伙伴们在宫殿门口见到了公主，公主和小伙伴们之间会发生些什么故事呢?公主：最近，王宫里正在日以继夜的翻译来自友好邻邦的文献.这两本记录的是印度的婆罗门数字，颇为有趣!大宽:提起印度我能想到的只有咖喱…阿拉丁：大宽真是三句话不离本性啊.我听说过婆罗门数字，那是的一种计数方法，极为方便实用.古今阿拉伯数字对比（左右两张相同）：Tip1、我们那些称为“阿拉伯数字”的其实并不是阿拉伯人创造的，它们最早产生于古代的印度。

后来被阿拉伯人所接受并且传播到欧洲各个国家。

如今人们虽然弄清了“阿拉伯数字”的来龙去脉，但由于大家早已习惯了这一叫法，所以也就沿用下来了。

2、公元3世纪，印度科学家巴格达发明了阿拉伯数字。

公元4世纪后阿拉伯数字中零的符号日益明确，使记数逐渐发展成十进位值制，模块一、公主：这些弥漫着咖喱味道的文献记录了很多印度劳动人民的智慧和探索，见贤思齐是我们的习惯.Q版问题公主：一个数20142014201476825130中删除12个数字，则剩下的数的最大值是_________.薇儿：删除01420142014共11个数字，再删除7后面的数字6，可得到最大值是27825130.模块二、Tip数字起源：公元前3400年左右的古埃及象形数字公元前2400年左右的巴比伦楔形数字公元前1600年左右的中国甲骨文数字公元前500年左右的希腊阿提卡数字公元前500年左右的中国筹算数码公元前500年左右的古罗马数字公元前300年左右的印度婆罗门数字年代不详的玛雅数字公元初年中美洲地区古代记数法公元5世纪左右出现的爱奥尼亚字母记数法公元8世纪的印度—阿拉伯数字模块三、待续。

组合数学答案组合数学是一种研究数学对象的组合方式的学科。

它的一个主要内容是计算组合数。

组合数指从若干个元素中选出一些元素，这些元素没有顺序，也没有重复，求出可能的情况数。

在组合数学中，常用的计算方法是二项式定理和递推法。

那么如何得出组合数学的答案呢？下面我们来探讨一下这个问题。

一、二项式定理二项式定理是组合数学中最基本的一个公式，也是最常用的公式之一。

二项式定理可以表示为：$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{C_n^k}a^{n-k}b^k$$ 其中，$C_n^k$表示从n个元素中选k个元素的组合数，也称为二项式系数。

在计算组合数的时候，可以通过递推公式或者杨辉三角求得。

在使用二项式定理时，需要对公式进行变形，得到我们需要的答案。

二、递推法递推法是组合数学中另一种常用的计算方法。

递推法的核心思想是通过已知的答案计算新的答案。

在计算组合数时，常用的递推公式有杨辉三角和组合数恒等式等。

递推法的优点是计算简单、易于理解，缺点是可能出现大量的重复计算，导致计算效率降低。

三、应用组合数学的应用广泛，其中最为常见的应用是在概率统计学中。

在概率统计学中，经常需要计算从一个大集合中选出一个子集的概率，这就需要用到组合数学中的组合数。

另一个重要的应用是在密码学中。

组合数学可以用来研究密码的强度和安全性，设计更加安全的密码。

四、总结组合数学是数学中一门非常重要的学科，它的应用广泛，不仅仅应用于数学领域，还渗透到了各个领域，如物理学、计算机科学、信息科学等。

在组合数学中，二项式定理和递推法是常用的计算方法，我们可以根据不同的问题选择不同的方法来求解答案。

在学习组合数学的时候，需要掌握这些基本方法，并且理解应用范围和意义，才能真正掌握组合数学的核心思想。

数论中的组合-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数论是研究整数性质和结构的数学分支，而组合数学则是研究离散结构和组合对象的数学分支。

两者看似不相关，但实际上在数论中，组合数学的概念和方法有着重要的应用。

本文将就数论中的组合问题展开讨论，包括数论基础、组合数学概念以及数论中的组合应用。

通过深入探讨数论中的组合，我们可以更好地理解数论问题，同时也可以发现组合数学在数论领域的重要性和应用价值。

1.2 文章结构文章结构部分:本文主要分为引言、正文和结论三部分。

在引言部分中，将概述数论中组合的重要性，并介绍文章的结构和目的。

正文部分将首先介绍数论的基础知识，然后引入组合数学的概念，接着探讨数论中组合的应用。

最后结论部分将对数论中的组合进行总结，展望未来的研究方向，并进行结语。

整个文章将从基础到应用，全面探讨数论中的组合，并为读者提供清晰的逻辑和引导。

1.3 目的本文的目的是探讨数论中的组合理论，以及其在数论中的应用。

通过对数论基础和组合数学概念的介绍，我们将深入探讨在数论领域中如何运用组合的方法和技巧来解决问题。

我们的目标是为读者提供一个全面的了解数论中组合的重要性，并展望未来在这一领域的发展。

分的内容2.正文2.1 数论基础数论作为数学的一个分支，主要研究整数及其性质。

在数论中，我们经常会遇到一些重要的概念和定理，这些内容对于理解数论中的组合问题至关重要。

首先，数论中的基本概念包括整数、素数、约数、最大公约数和最小公倍数等。

其中，素数是指只能被1和自身整除的整数，如2、3、5、7等。

而最大公约数是指两个整数共有的约数中最大的一个，最小公倍数则是指两个整数公有倍数中最小的一个。

其次，数论中还有一些重要的定理，如费马小定理、欧拉定理等。

费马小定理表明对于任意素数p和整数a，a的p次方减去a都能被p整除。

而欧拉定理则建立了模运算与指数运算之间的联系，为解决一些复杂的数论问题提供了重要的工具。

除此之外，数论中的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，这些运算是进行数论证明和计算的基础。

组合的算法组合的算法组合是数学中一个重要而基本的概念。

在实际生活中，组合的应用非常广泛，比如人们常常需要从一堆物品中选出一些特定的物品，这就是一个组合问题。

在计算机科学中，组合算法也被广泛运用，比如在搜索引擎的排名算法中，就需要考虑不同关键词组合的可能性。

因此，了解组合算法是非常重要的。

组合的概念在数学中，组合是指从n个不同元素中取出r个元素的所有可能情况。

这些元素之间没有顺序，因此不同排列的组合被视为同一个组合。

比如，从1、2、3这三个数字中选出两个数字的所有组合为{(1,2),(1,3),(2,3)}。

组合的计算公式组合数量可以用以下公式计算：C(a,b)=a!/((a-b)!b!)其中a表示可供选择的元素总数，b表示需要选择的元素数量。

组合的算法求解组合问题的算法有多种，下面介绍其中两种比较常见的算法：递归算法和迭代算法。

递归算法递归算法是一种比较简单的实现方式，其基本思想是通过递归不断地选取元素，直到选取到需要的数量。

具体实现可以使用树型结构，将可供选择的元素逐层展开，每次选择一个元素加入组合中，直到组合满足数量要求为止。

下面是一个简单的实现：```void combine(int c[], int n, int m, int b[], int M) {if (m == 0) {printf("(");for (int i = M - 1; i >= 0; i--)printf("%d", b[i]+1);printf(")");return;}for (int i = n; i >= m; i--) {b[m - 1] = i - 1;combine(c, i - 1, m - 1, b, M);}}```迭代算法迭代算法是一种更具效率的实现方式，其基本思想是使用循环不断选取元素，直到选取到需要的数量。

具体实现可以使用一个指针数组，初始时将指针指向前m个元素，然后每次将指针后移一位，得到一个新的组合，直到最后一个指针指向第n个元素。

组合数学参考答案（卢开澄第四版）60页1.1题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|?5；解决方案：（1）：从| A-B |=5？A-B=5或A-B=5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。

当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对序列总数=94+96+5201.2题5个女生，7个男生进行排列，(a)若女生在一起有多少种不同的排列？(b)女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c)两男生a和b之间正好有3个女生的排列是多少？解决方案：（a）五个女孩可以被视为一个单元，总共八个单元可以全部安排。

安排号码是：8！×5！，（b）男孩用X，空缺用y。

把男孩放在第一位。

总共有8个空缺在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数：c（8，5）×7！×5！（c）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：6.若a，b之间存在0个男生，a，b之间共有3个人，所有的排列应为p6=c(5,3)*3!*8!*21．若a，b之间存在1个男生，a，b之间共有4个人，所有的排列应为p1=c(5,1)*c(5,3)*4!*7!*22．若a，b之间存在2个男生，a，b之间共有5个人，所有的排列应为p2=c(5,2)*c(5,3)*5!*6!*23．若a，b之间存在3个男生，a，b之间共有6个人，所有的排列应为p3=c(5,3)*c(5,3)*6!*5!*24．若a，b之间存在4个男生，a，b之间共有7个人，所有的排列应为p4=c(5,4)*c(5,3)*7!*4!*25．若a，b之间存在5个男生，a，b之间共有8个人，所有的排列应为p5=c(5,5)*c(5,3)*8!*3!*2因此，排列的总数是上述六种情况的总和。