17研数模作业题

2017年中国研究生数学建模竞赛F题构建地下物流系统网络背景交通拥堵是世界大城市都遇到的“困局”之一。

2015年荷兰导航经营商TomTom 发布了全球最拥堵城市排名，中国大陆有十个城市位列前三十名。

据中国交通部2014年发布的数据，我国交通拥堵带来的经济损失占城市人口可支配收入的20%，相当于每年国内生产总值(GDP)损失5~8%。

15座大城市的居民每天上班比欧洲发达国家多消耗28.8亿分钟。

大量研究表明：“时走时停”的交通导致原油消耗占世界总消耗量的20%。

高峰期，北京市主干线上300万辆机动车拥堵1小时所需燃油为240万~330万升。

2015年城市交通规划年会发布数据显示：在石油消费方面，我国交通石油消费比重占到了消费总量的54%，交通能耗已占全社会总能耗10%以上，并逐年上升。

高能耗也意味着高污染和高排放。

导致城市交通拥堵的主要原因是交通需求激增所带来的地面道路上车辆、车次数量巨增，其中部分是货物物流的需求增长。

尽管货车占城市机动车总量的比例不大，但由于货运车辆一般体积较大、载重时行驶较慢，车流中如果混入重型车，会明显降低道路的通行能力，因此，其占用城市道路资源的比例较大。

如北京，按常规的车辆换算系数（不同车辆在行驶时占用道路净空间的程度），货运车辆所占用的道路资源达40%。

因此，世界各国都在为解决城市交通和环境问题进行积极探索，而处理好货运交通已成为共识。

大量实践证明，仅通过增加地面交通设施来满足不断增长的交通需求，既不科学也不现实，地面道路不可能无限制地增加。

因此“统筹规划地上地下空间开发”势在必行，“地下物流系统”正受到越来越多发达国家的重视。

概念地下物流系统（Underground Logistics System——ULS）是指城市内部及城市间通过类似地铁的地下管道或隧道运输货物的运输和供应系统。

它不占用地面道路，减轻了地面道路的交通压力，从而缓解城市交通拥堵；它采用清洁动力，有效减轻城市污染；它不受外界条件干扰，运输更加可靠、高效。

数学建模比赛题目
数学建模比赛的题目通常涉及现实生活中的问题，需要参赛者运用数学方法和计算机技术来解决。

以下是一些可能的数学建模比赛题目示例：
1. 城市交通流量预测：给定一个城市的交通流量数据，要求参赛者预测未来的交通流量，以便为城市规划和交通管理提供依据。

2. 股票价格预测：给定历史股票价格数据，要求参赛者预测未来的股票价格变动，以便为投资者提供参考。

3. 天气预报：给定历史气象数据，要求参赛者预测未来的天气状况，以便为农业、航空和旅游等行业提供依据。

4. 人口增长预测：给定一个国家或地区的人口数据，要求参赛者预测未来的人口增长趋势，以便为政府制定政策和规划提供依据。

5. 物流优化：给定一个物流网络和相关数据，要求参赛者优化物流路线和资源分配，以便降低成本和提高效率。

6. 医疗数据分析：给定医院的医疗数据和病例信息，要求参赛者分析病情趋势和患者特征，以便为医疗研究和治疗提供依据。

7. 能源消耗预测：给定一个地区的能源消耗数据，要求参赛者预测未来的能源需求，以便为政府和企业制定能源政策和规划提供依据。

8. 机器学习算法设计：给定一组数据和任务，要求参赛者设计一种机器学习算法来解决该任务，例如分类、回归或聚类等。

这些题目只是数学建模比赛的一部分示例，实际上比赛的题目非常多样化，可以根据实际情况进行设计。

1：[填空题]名词解释: 1．原型2．模型3．数学模型4．机理分析5．测试分析6．理想方法7．计算机模拟8．蛛网模型9．群体决策10．直觉11．灵感12．想象力13．洞察力14．类比法15．思维模型16．符号模型17．直观模型18．物理模型参考答案：1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。

2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。

3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。

4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。

5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。

6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。

7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。

8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。

9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。

10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。

11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。

12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。

13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。

14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。

数模国赛2017A题原创优秀论文三、模型假设1.假设CT光源的旋转中心在探测器的中垂线上。

2.假设X光不会发生衍射等其他影响吸收强度的现象。

四、符号说明五、模型建立与求解1.问题一1.1．建立坐标系椭圆方程较为复杂，为方便分析，选择在椭圆中心建立直角坐标系，可得模板椭圆和圆的方程为：1.2. 增益的确定1.2.1 的模型查阅资料可知X光吸收强度与其穿过的介质长度和密度有关，令模板的密度函数为，可得由于椭圆和圆模板均为均匀介质，可认为为常数，可得可知X光吸收强度和其穿过的介质长度呈正比，令增益，即可得1.2.2 的计算选取中非0数据最多的六列数据，可以有效减小系统误差。

取每一列数据数值最大的几个值，其表示椭圆短轴和圆直径吸收衰减后的X射线能量经增益处理的量值，取六个方向平均值，对应为38；同理选取中非0数据最少的六列数据，此时探测器位于平行于x 轴的位置，两段不为0 数据中的最大值分别表示椭圆长半轴和圆直径吸收衰减后的射线能量增益后的量值，取三个方向平均值分别得,对应的,为80 和8。

对这三组数据用excel进行最小二乘法拟合，得到μ=1.7713。

过程如图所示：1.3 探测器间距离确定通过附件2，可知中每一列非0数据的个数，即为X光源截得相应弦长，对应的探测器的个数。

则当探测器平行于y轴时，探测器的个数最多；平行于x轴时，探测器的个数最少。

将附件2数据，用Matlab可视化,如图可确定在，有最少个数探测器;,有最多个数探测器。

得到当时，之间，有个探测器；当时，之间，有个探测器。

最终可算出取均值得1.4 旋转中心的确定当时，设第行, 使得取到最大值；当时，设第行, 使得取到最大值,。

显然当时，其X射线路径通过原点。

其截得模板的长度分别为椭圆长轴和短轴。

有1.3图像可知：将在这两个位置将椭圆中心即坐标系原点与旋转中心之间的探测器单元数目差值分别确定，找到模板和探测器系统的相对位置，代入d 值，分别求得纵坐标和横坐标。

2017年第十届华中地区大学生数学建模邀请赛个人赛题目（请先阅读“第十届华中地区大学生数学建模邀请赛论文格式规范”）
E题组件生产问题
某车间有五台生产线，生产5个组件，不允许两种组件同时在一个生产线上生产，已知每个组件在不同生产线上的生产时间为下表1所示
组件在不同生产线上的资源消耗也不一样：
现有资源总量情况如下
在不同的生产线上，组件和组件间的加工的前驱工序要求如下表所示，
(1)不考虑组件加工顺序,求满足资源消耗限制的组件生产时间最少的计划安排？
(2)若假设每条生产线只能完成一种组件，且因工艺要求，5号组件不能在生产线
B上加工，又知5条生产线每小时的运行成本分别为1200元,800元,1500
元,1200元，800元；五种资源的单位成本分别为1000元，400元，1200元，1500元，800元。

此种情况下任务又该怎样合理地分配，试求在满足资源消耗限制条件下，组件生产费用最小的计划安排？
(3)考虑组件加工顺序,重新求解第一问，计算全部组件生产完毕的最短时间？。

A题：交通拥堵的成因与解决方案交通拥堵是绝大多数城市普遍存在的问题，直接影响人的生活质量。

请充分发挥你们的观察力，设计合理的问题分析路径，提练出城市交通拥堵的突出问题（提出好问题，其实非常不平凡，其重要性绝对不在解决问题之下），拍摄一段视频来支撑你们的论点（参加答辩的同学需要播放这段视频）。

建议从你们身边感触最深的痛点入手，哪怕是一个路口或一段道路的交通改善。

交通拥堵问题是人们普遍关心的，但应对的策略是见仁见智、众说纷纭，各地采取的对策和措施也不尽相同，而且真正有效解决问题的案例实际上并不多。

因为这个问题相当复杂，所以希望你们聚焦研究的重点，不必求全也不要追求使用高深的数学方法，更不要人云亦云，特别不要照搬现成的结论。

努力发挥你们的原创精神！问题1：根据你们提炼出来的问题和你们设定的分析路径，搜集相关数据，特别是关注你们身边的第一手数据和资料，通过数学建模的方法，分析该问题的成因。

问题2：在问题分析的基础上，通过进一步的数学建模，深入讨论并给出交通改善的长期应对策略和可操作的解决方案。

问题3：结合你们对问题1 和问题2 的研究，用通俗地语言写一篇不超过一页A4 纸的报告，给城市交通管理部门提供决策参考。

B 题：中央空调系统的数据分析与控制策略、问题的背景随着全球气候的变迁和空调技术的发展， 越来越多的大型建筑物利用中央空调 系统来实现室内温度和湿度的调节控制。

特别是随着“智慧城市”建设步伐的快速 推进，如何围绕智慧城市建设实现中央空调系统的智能控制与节能，这是智慧城市 建设中的重要研究课题之一。

中央空调系统的优化控制策略研究也是实际中的一个 很有普遍意义的重要课题。

图1中央空调系统的基本结构示意图图2给出了中央空调系统的基本工作原理图。

每一套（水冷）中央空调系统都包 含内循环和外循环两个热交换循环系统。

在内循环（图2下方）中，冷水泵将冷却装置中由冷却器冷却的冷水推进大楼 ，通过热交换对大楼内部的空气进行降温和 除湿。

2０17考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数一)一、选择题（本题共８小题,每小题４分,满分3２分，每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）当0x →时，下面4个无穷小量中阶数最高的是 ( ）(A)(Ｂ) 23545x x x ++(Ｃ) 33ln(1)ln(1)x x +--(D) 1cos 0x-⎰【答案】（D ）【解析】(A ）项:当0x →时22x =(Ｂ）项：显然当0x →时，2352454x x xx ++（C ）项:当0x →时，333333333122ln(1)ln(1)ln ln12111x xx x x x x x x⎛⎫++--==+ ⎪---⎝⎭(Ｄ）项:1cos 31100001(1cos )2limlim lim k k k x x x x xx x x kx kx ---→→→→-⋅===⎰所以，13k -=,即4k =时1cos 0limkx x-→⎰存在,所以41cos 08x -⎰（2)下列命题中正确的是（ ）(Ａ) 若函数()f x 在[],a b 上可积,则()f x 必有原函数 (B ）若函数()f x 在(,)a b 上连续，则()baf x dx ⎰必存在(Ｃ)若函数()f x 在[],a b 上可积，则()()x ax f x dx Φ=⎰在[],a b 上必连续 (D)若函数()f x 在[],a b 上不连续，则()f x 在该区间上必无原函数【答案】 Ｃ【解析】选项（A ）错误,反例:1,01()2,12x f x x ≤≤⎧=⎨<≤⎩，在[]1,2可积，但它无原函数。

选项(B ）错误,反例:1()f x x=在(0,1)上连续,但101dx x ⎰不存在。

选项（D)错误，反例：112cos sin ,0()00x x f x x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处不连续，但其原函数可取21cos ,0()00x x F x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 。

【导言】1. 数学建模国赛是全国范围内的一项重要赛事，每年都吸引着众多数学爱好者参与其中。

2. 2017年国赛a题是一道具有挑战性和实用性的题目，涉及到了对实际问题的建模和求解。

3. 本篇文章将对2017年数学建模国赛a题进行详细分析和讨论，希望能够为对该题感兴趣的读者提供一些有益的思路和启发。

【问题描述】4. 2017年数学建模国赛a题是关于某钢厂的高炉煤气发电脱硫系统的优化问题。

5. 高炉煤气发电脱硫系统是钢厂生产过程中的一个重要环节，对环境保护和资源利用具有重要意义。

6. 题目提出了对该系统中循环液回收装置和脱硫塔操作参数的优化问题，需要参赛者进行合理的建模和求解。

【问题分析】7. 题目中涉及到了高炉煤气发电脱硫系统的运行原理和技术参数，需要对这些知识进行深入的了解。

8. 优化问题涉及到了多个变量和约束条件，需要建立合适的数学模型来描述系统的运行特性。

9. 解决这个问题需要综合运用数学分析、优化理论、工程技术等知识领域的方法和工具，具有一定的挑战性和实践意义。

【解决方法】10. 解决这个问题的方法可以分为几个步骤：首先是对系统进行建模，包括对系统结构、工艺流程、技术参数等方面进行合理的抽象和描述；11. 其次是对优化目标和约束条件进行分析和确定，需要根据实际情况对系统性能进行评价，确定优化的目标和参数；12. 然后是选取合适的优化算法和工具，对建立的数学模型进行求解和优化，得到最优的操作参数；13. 最后需要对优化结果进行验证和评估，看是否满足实际生产的要求，是否能够有效改善系统的性能和效益。

【实际意义】14. 高炉煤气发电脱硫系统的优化对于钢厂的生产和环保具有重要的意义，可以降低生产成本，提高资源利用率，减少环境污染；15. 解决这个问题可以为实际生产带来很大的经济和社会效益，对于提高钢铁行业的可持续发展和竞争力具有重要意义；16. 黄炉煤气发电脱硫系统的优化也是当前工程技术领域的一个热点和难点问题，对于推动相关学科领域的发展具有积极意义。

2017年“登峰杯”数学建模竞赛题目一、数学建模--机器人创新赛机器人是当下的一个热词，它的应用领域相当广泛。

比如未来战场上最后的短兵相接可能不再是士兵，而是交战双方的机器人。

就如同军犬是今天特种部队的标准配置，未来机器人可能更是。

假设红蓝双方在南海的一个岛屿展开实战演习，你们将带领陆地机器人小分队（投入作战的机器人数量为1－4个）实施登岛作战。

已知该岛上有雷区、有障碍物也有山丘和沼泽；具体的地形分布情况及地图要到你带领队伍进入战场前才会知道，红蓝双方机器人的基本技术参数相同。

问题1：你的机器人被对方的机器人追击，你可以实施遥控的情况下，通过数学建模的方法，建立你的逃逸策略。

首先考虑单兵对战的简单情况，再考虑群机器人的情况。

问题2：你的机器人追击对方的机器人，你可以实施遥控的情况下，通过数学建模的方法，建立你的追击策略。

还是首先考虑单兵对战，再考虑群机器人的情况。

问题3：你的机器人被对方的机器人追击，但你无法实施遥控的情况下，通过数学建模的方法，建立你的逃逸策略。

还是可以首先考虑单兵对战，再考虑群机器人的情况。

问题4：你的机器人追击对方的机器人，但你无法实施遥控的情况下，通过数学建模的方法，建立你的追击策略。

可以首先考虑单兵对战，再考虑群机器人的情况。

问题5：针对你对上述问题的研究，结合以上讨论内容，用通俗地语言写一篇不超过一页A4纸的简报，给商家投入资金开展这方面的技术开发提供决策参考。

数学建模--机器人创新赛（第二阶段）按附件“比赛规则”要求的相关技术参数，搭建出你们自己的参赛机器人。

比赛规则的背景是未来战场，最后的短兵相接的不再是士兵，而是敌我双方的机器人。

请按规定时间和要求提交如下视频和文档。

视频：剪辑制作不超过10分钟的视频，展现方式自由设计（建议首先展示单兵作战和越野等能力，再展示群机器人协作能力）。

文档1：不超过3页的技术说明书，给出你们队所搭建机器人的基本技术参数，简单描述视频的录制和编导过程。

数学建模期末考试2017A试题与答案华南农业大学期末考试试卷（A卷）2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼，一只羊，一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x1，x2，x3，x4）表示。

该问题中决策为乘船方案，记为d = (u1, u2, u3, u4)，当i在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。

(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）(2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）(3) 写出该问题的状态转移率。

（3分）(4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)}及他们的5个反状（3分）(2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分）(3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分）(4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。

或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。

（12分）1、二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。

6分（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f xf z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n …为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()ni i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ;221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a． 【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k kn n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx x x x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②， 令'0y =，得233,1x x ==±. 当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=， 令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=. (2)构造()()'F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，()lim 0,'(0)0,x f x f x +→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

2017年中国研究生数学建模竞赛A题无人机在抢险救灾中的优化运用2017年8月8日，四川阿坝州九寨沟县发生7.0级地震，造成了不可挽回的人员伤亡和重大的财产损失。

由于预测地震比较困难，及时高效的灾后救援是减少地震损失的重要措施。

无人机作为一种新型运载工具，能够在救援行动中发挥重要作用。

为提高其使用效率，请你们解决无人机优化运用的几个问题。

附件1给出了震区的高程数据，共有2913列，2775行。

第一行第一列表示(0,0)点处的海拔高度值(单位：米)，相邻单元格之间的距离为38.2米，即第m行第n列单元格中的数据代表坐标(38.2(m-1), 38.2(n-1))处的高度值。

震区7个重点区域的中心位置如下表所示(单位：千米)：除另有说明外，本题中的无人机都假设平均飞行速度60千米/小时，最大续航时间为8小时，飞行时的转弯半径不小于100米，最大爬升(俯冲)角度为±15°，与其它障碍物(含地面)的1安全飞行距离不小于50米，最大飞行高度为海拔5000米。

所有无人机均按规划好的航路自主飞行，无须人工控制，完成任务后自动返回原基地。

问题一：灾情巡查大地震发生后，及时了解灾区情况是制订救援方案的重要前提。

为此，使用无人机携带视频采集装置巡查7个重点区域中心方圆10公里(并集记为S)以内的灾情。

假设无人机飞行高度恒为4200米，将在地面某点看无人机的仰角大于60°且视线不被山体阻隔视为该点被巡查。

若所有无人机均从基地H(110,0)(单位：千米)处派出，且完成任务后再回到H，希望在4小时之内使区域S内海拔3000米以下的地方尽可能多地被巡查到，最少需要多少架无人机？覆盖率是多少？每架无人机的飞行路线应如何设计？在论文中画出相应的飞行路线图及巡查到的区域（不同的无人机的飞行路线图用不同的颜色表示）。

进一步，为及时发现次生灾害，使用无人机在附件1给出的高度低于4000米的区域（不限于S）上空巡逻。

2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题系泊系统的设计近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。

某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。

系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。

锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。

钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。

要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。

水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。

钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。

钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。

若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。

钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。

为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。

图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。

现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。

若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。

请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。

2017考研数学一答案及解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）若函数1(),0,0f x x axb x ⎧-⎪=>⎨⎪≤⎩在0x =连续，则（ ）。

A. 12ab = B. 12ab =-C. 0ab =D. 2ab = 【答案】A 【解析】由连续的定义可得-+lim ()lim ()(0)x x f x f x f →→==，而+++2000112lim ()lim lim 2x x x f x ax a→→→===，-0lim ()x f x b →=，因此可得12b a =，故选择A 。

（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >，则（ ）。

A. (1)(1)f f >- B. (1)(1)f f <- C. |(1)||(1)f f >- D. |(1)||(1)f f <- 【答案】C【解析】令2()()F x f x =，则有'()2()'()F x f x f x =，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即22[(1)][(1)]f f >-，即|(1)||(1)f f >-，故选择C 。

（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r的方向导数为（ ）。

A.12B.6C.4D.2 【答案】D【解析】2{2,,2}gradf xy x z =，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|{4,1,0}g r a d f =，则有122{4,1,0}{,,}2||333f u grad u u ∂=⋅==∂。

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）。

【2017年整理】数学建模试题与答案华南农业大学期末考试试卷(A卷)2009学年第二学期考试科目: 数学模型考试类型:(闭卷) 考试时间: 120分钟学号姓名年级专业题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 总分得分评阅人1、 (13分)设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的得分圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。

(1) 排列1:圆盘中心按正方形排列(如右图)的尽可能多的圆盘数。

(4分)2020，,100 解:圆盘总数: 22排列2:圆盘中心按六角形排列(如右图)的尽可能多的圆盘数。

(4分)202,，，解:行数: ，,111,,3，，2011,圆盘总数: 11105，，,22(2) 设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。

(5分)解:前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106得分 2、 (10分)在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型:(1) 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。

5分(2) 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。

5分解:设体重w(千克)与举重成绩y (千克)(1) 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y I S2 设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S , h32 再体重正比于身高的三次方，则w , h 3ykw, 故举重能力和体重之间关系的模型为:(2) 体重中与成年人尺寸无关的重量为a, 则一个最粗略的模型为 2 3ykwa,,(),更好的模型: ykwa,,()得分3、 (10分)在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象1了吗,比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。

(1)请写出商品价恪c与商品重量w的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。