【论文】傅里叶变换及应用

傅里叶变换及其应用

摘 要

线性变换,尤其是傅里叶变换,是众所周知的解决线性系统问题的技术,人们

常将变换作为一种数学和物理工具,把问题转到可以解决的域内.在许多科学分

支的理论中,傅里叶变换都扮演着重要的角色.就像其它变换一样,它可以单纯的

看作数学泛函.

在现代数学中,傅里叶变换是一种非常重要的变换,且在频谱信号、波动及热

传导等方面有着广泛的应用.本文首先介绍了傅里叶级数以及傅里叶变换的基本

概念、性质及发展;其次介绍了傅里叶变换的不同变种以及多种傅里叶变换的定

义；最后介绍了傅里叶变换在周期信号、波动这两个方面的具体的应用,在周期

信号方面主要介绍的是基于快速傅里叶变换的信号去噪的应用,而在波动方面主

要介绍的是海水仿真系统的研究.最后对本文所讨论的内容进行了总结.

关键词:傅里叶变换,波动,频谱信号

II 傅里叶变换及其应用

Abstract

Linear transforms ,especially those named for Fourier are well know as provide

techniques for solving problems in linear systems characteristically, one uses the

transformation as a mathematical or physical tool to alter the problem into one that

can be solved.Fourier transforms play an important part in the theory of many

branches of science while they may be regarded as purely mathematical functional .

In modem mathematics, the Fourier transform is a very important transformation.

It has a wide range of application in Spectrum Signal Processing, fluctuations and

thermal conductivity, etc. This article introduced the Fourier series and Fourier

transform of the basic concepts, the nature and development; followed introduced

Fourier transform of the different variants and the definition of a variety of Fourier

transform. Finally introduced the specific applications in the frequency spectrum,

signal fluctuations and thermal conductivity. Fourier transform in different areas, have

different forms ,such as modern studies, voice communications, sonar, seismic and

even biomedical engineering study of the signal to play an important role in grams.

Finally, the scope of our discussion in this article are summarized.

Key words: Fourier transform, volatility , the spectrum signal

III傅里叶变换及应用

目 录

第一章 前 言

....................................................1

1.1傅里叶变换的发展.................................................1

1.2 研究傅里叶变换的意义............................................1

第二章 傅里叶级数及变换的理论知识

.............................3

2.1 傅里叶积分......................................................3

2.2 实数与复数形式的傅里叶积分......................................5

2.3 傅里叶变换式的物理意义..........................................8

第三章 傅里叶变换的性质及变形

..................................11

3.1 基本性质......................................................11

3.2 傅里叶变换的不同形式..........................................12

第四章 傅里叶变换的应用

.........................................15

4.1波动............................................................15

4.2周期信号中的傅里叶变换...........................................19

第五章 工作总结及展望

...........................................25

5.1 总结...........................................................25

5.2 展望...........................................................25

参 考 文 献

.......................................................26

致 谢

..........................................................27

傅里叶变换及其应用

第一章 前 言

1.1傅里叶变换的发展

傅里叶分析是分析学中的一个重要分支,在数学发展史上,早在18世纪初期,

有关三角级数的论述已在D.Bernoulli,D`Alembert,L.Euler等人的工作中出现,但真

正重要的一步是由法国数学家J.Fourier迈出的,他在著作《热的解析理论》(1822

年)中,系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题,此后各国科学家的

完善和发展,极大的扩大了傅里叶分析的应用范围,使得这一理论成为研究周期现

象不可缺少的工具,特别是现代实用性很强的“小波分析”理论和方法也是从傅里

叶分析的思想方法演变出来的,而Fourier变换变换作为Fourier分析中最为重要的

内容正是由于其良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概

率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用,本文将对傅里叶变换在

其中某些领域的应用加以整理和总结.(由于傅里叶在不同的文献中有“傅里叶”

和“傅立叶”两种不同的称谓,为了便于阅读,本片论文统一称为“傅里叶”)

1.2 研究傅里叶变换的意义

从现代数学的眼光来看,傅里叶变换是一种特殊的积分变换.它能将满足一定

条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分.在不同的研究领域,傅里

叶变换具有多种不同的变体形式,如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换.

根据傅里叶变换的一些特殊性质我们可以发现[1]

1. 傅里叶变换是线性算子;

2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;

3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为

常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从

而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;

4.著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从

而提供了计算卷积的一种简单手段;

5.离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里

叶变换算法(FFT)).

1 傅里叶变换及其应用

在后面的整理中我们可以发现,这些特性的应用为信号周期和波动的研究提

供了坚实的基础.

2