数理逻辑-大纲
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数理逻辑
一、说明
(一) 课程性质
《数理逻辑》是数学与应用数学专业的方向选修课。数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑，是数学的一个分支，它是采用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，数理逻辑研究的中心问题是推理。所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，使之更为精确和便于演算。总的来说，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑，它是现代计算机技术的基础。
(二) 教学目的
本课程的教学应使得学生熟练掌握有关命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本知识，理解并能初步运用形式化的逻辑推理和数学证明，训练学生的逻辑思维方式，提高其数学解题能力。
(三) 教学内容及学时数
本课程主要讲授命题逻辑的基本概念，命题逻辑的等值和推理演算，谓词逻辑的基本概念，谓词逻辑的等值和推理理论等内容，共计30学时。
序号 内容 学时数（ 30 ）
课堂学时数 实践学时数
1 命题逻辑的基本概念 6 0
2 命题逻辑的等值和推理演算 7 3
3 谓词逻辑的基本概念 6 0
4 谓词逻辑的等值和推理理论 6 2
合计 25 5
(四) 教学方式
数理逻辑是一门理论性课程，主要采用讲授法、研究探索法授课，讲授数理逻辑的内容时建议采用多媒体教学。
(五) 考核要求
1. 考核的方式及成绩评定
本课程的考核方式一般采用笔试，成绩评定100分制，其中平时成绩占50%，期末考试成绩占50%，其中平时成按数学系课堂“五个环节”评分细则进行评定。
2. 考题设计
(1) 考题设计原则：考题要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度适中，题量和难度的梯度按照教学的三个不同层次，并能够反映出数理逻辑的思想方法、解决基本问题能力的知识点来安排，不过分强调综合。
(2) 考题难度比例：基础知识（或基本概念）约35%、根据学生实际水平确定中等难度知识点约50%，稍有难度知识点15%范围以内。
(3) 考题内容结构及比例：第一章考查约占15%，第二章考查约占30%，第三章考查约占25%，第四章考查约占30%。
(4) 题型设计：题型主要为填空题，选择题，判断题，计算题和证明题等，其中主观题约占总分的45%，客观题约占总分的55%，小题量在17~21道以内。
二、本文
第一章 命题逻辑的基本概念
教学要点:
命题，命题的符号化，命题公式，命题公式的真值。
教学时数：
6学时
教学内容：
第一节 命题及其符号化（3学时）
1. 命题及其分类（命题与真值，命题的分类，简单命题的符号化）
2. 命题联结词及其真值表（，∧，∨，→，）
第二节 命题公式及其真值（3学时）
1. 命题变项与合式公式（命题变项，合式公式，合式公式的层次）
2. 公式的赋值与真值表（公式的赋值，公式的类型，真值表）
教学要求：
本章主要讲解命题逻辑的基本概念，在讲授过程中应多讲应用实例以提高教学效果。通过本章教学使学生达到如下基本要求：掌握命题、命题联结词及简单命题的符号化；理解命题变项、命题公式及其真值表；掌握永真式、矛盾式与可满足式及其判定。
考核要求：
理解命题逻辑的基本概念，命题及其符号化，命题公式及其真值表，掌握永真式、矛盾式与可满足式及其判定。
第二章 命题逻辑的等值和推理演算
教学要点:
基本等值式，命题逻辑公式的范式，命题逻辑的基本推理定律与自然推理系统。
教学时数：
10学时（含3学时实践学时数，包括习题课、课堂讨论等）
教学内容：
第一节 基本等值式（2学时）
1. 等值式与基本等值式
2. 等值演算与置换规则
3. 等值演算的应用举例
第二节 命题逻辑公式的范式（2+2学时）
1. 析取范式与合取范式
2. 主析取范式与主合取范式
第三节 命题逻辑的基本推理定律（2学时） 1. 推理及证明的概念
2. 推理的形式结构及证明方法：推理的正确与错误，推理的形式结构，判断推理是否正确的方法，推理定律。
第四节 命题逻辑的自然推理系统（1+1学时）
1. 推理形式系统；
2. 自然推理系统（字母表，合式公式，推理规则）
3. 在自然推理系统中构造证明（直接证明法，附加前提证明法，归谬法）
教学要求：
本章主要讲解命题逻辑的推理理论，公式较多，提醒学生必须熟记公式，在讲解的过程中应多讲应用实例。通过本章教学使学生达到如下基本要求：熟记等值式与基本等值式，等值演算与置换规则；掌握范式与主范式及其求解方法；理解主范式的用途与应用；掌握推理的形式结构及证明方法。
考核要求：
理解并掌握等值式与基本等值式，等值演算与置换规则；会计算公式的范式与主范式；理解并掌握自然推理系统的推理规则，会在自然推理系统中构造证明。
第三章 一阶谓词逻辑的基本概念
教学要点:
个体、谓词与量词，一阶谓词逻辑公式及其解释，一阶谓词逻辑公式类型的判定。
教学时数：
6学时
教学内容：
第一节 一阶谓词逻辑的概念（2学时）
1. 基本概念：个体词，谓词，量词
2. 一阶谓词逻辑中命题符号化
3. 否定式的使用
第二节 一阶谓词逻辑公式及其解释（4学时）
1. 一阶谓词逻辑的合式公式（字母表，一阶谓词逻辑的项，一阶谓词逻辑的原子公式，一阶谓词逻辑的合式公式）
2. 封闭的公式（量词的辖域、个体变项的约束与自由出现，闭式）
3. 一阶谓词逻辑中的解释（解释，闭式的性质，一阶谓词逻辑公式的类型）
4. 命题逻辑公式在一阶谓词逻辑公式中的代换实例（代换实例，一阶谓词逻辑公式的判定定理）
教学要求：
本章主要讲解一阶谓词逻辑的基本概念，在讲解的过程中应多讲应用实例。通过本章教学使学生达到如下基本要求：掌握个体、谓词、量词的概念，一阶谓词逻辑中命题符号化；理解一阶谓词逻辑的合式公式，量词的辖域、一阶谓词逻辑公式的解释；掌握一阶谓词逻辑公式类型的判定等。
考核要求： 掌握个体、谓词、量词的概念；掌握自然语言命题的符号化、量词的辖域、一阶逻辑公式的解释；掌握一阶逻辑公式类型的判定等。
第四章 谓词逻辑的等值和推理理论
教学要点:
一阶谓词逻辑公式的等值与否定等值式，量词辖域扩张与收缩等值式，一阶逻辑公式等值的前束范式，一阶谓词逻辑公式的基本推理定律与推理理论。
教学时数：
8学时（含2学时实践学时数，包括习题课、课堂讨论等）
教学内容：
第一节 (一阶谓词逻辑的等值式与等值变换规则（2学时）
1. 等值式与基本等值式(等值式，量词消去等值式，量词辖域收缩与扩张等值式，量词分配等值式）
2. 置换规则、换名及代替规则
第二节 一阶谓词逻辑的前束范式（1+1学时）
1. 前束范式
2. 公式的前束范式
3. 求公式的前束范式的方法（否定深入，改名，量词提前）
第三节 一阶谓词逻辑公式的基本推理定律（2学时）
推理的形式结构以及推理的正确与错误：形式结构，判断方法
2. 重要推理定律
3. 量词消去或引入规则（UI，UG，EI，EG）
第四节 一阶谓词逻辑的推理理论（1+1学时）
1. 一阶谓词逻辑自然推理证明过程的构造(字母表，合式公式，推理规则）
2. 一阶谓词逻辑自然推理证明的应用举例
教学要求：
本章主要讲解一阶谓词逻辑的推理理论，概念和公式较多，提醒学生注意公式的识记，在讲解的过程中应多讲应用实例。通过本章教学使学生达到如下基本要求：熟记量词消去等值式、量词辖域收缩与扩张等值式、量词分配等值式；掌握置换规则、换名及代替规则；掌握求公式的前束范式的方法；理解重要推理定律，量词消去或引入规则；掌握(一阶)谓词逻辑自然推理证明。
考核要求：
理解并掌握量词消去等值式，量词辖域收缩与扩张等值式，量词分配等值式，置换规则、换名及代替规则；会计算公式的前束范式；理解并掌握(一阶)谓词逻辑公式的推理定律、推理规则，会在(一阶)谓词逻辑中构造证明。
三、参考书目
1. 张忠志，《离散数学》，高等教育出版社，2002，第1版。
2. 耿素云，《离散数学》，清华大学出版社，2013，第5版。 3. 王捍贫，《数理逻辑》，北京大学出版社，1997。
4. 毕富生，《数理逻辑》，高等教育出版社，2004。
5. 邱学绍，《离散数学》，机械工业出版社，2012，第2版。
四、使用说明
根据数理逻辑课程的性质和教学要求，对本大纲做以下几点说明：
1. 本大纲设定的章节、内容顺序代课教师可根据教材、学生的具体情况作适当调节。
2. 大纲中的教学时数作为指导意见，代课教师可适当调整。
3. 由于本课程讲授内容信息量大，建议教学过程中板书和多媒体穿插使用，其中板书以反映定理及计算的主要推演过程为主，多媒体以演示概念、定理、图表及应用举例为主。
五、课外学习
（一）课外阅读
1.目标
通过课外阅读来锻炼学生对所学知识进行整理、概括、消化吸收的能力，培养学生自学能力和提高自我扩充知识领域的能力。
2.阅读书目
[1] 张忠志，《离散数学》，高等教育出版社，2002，第1版。
[2] 耿素云，《离散数学》，清华大学出版社，2013，第5版。
[3] 王捍贫，《数理逻辑》，北京大学出版社，1997。
[4] 毕富生，《数理逻辑》，高等教育出版社，2004。
[5] 邱学绍，《离散数学》，机械工业出版社，2012，第2版。
3.学习要求
配合课堂教学内容，认真学习阅读书目中有关数理逻辑部分的内容，理解概念的内涵，掌握概念的外延，由表及里，由直观到抽象，由感性到理性，领会数理逻辑的精髓；在阅读过程中采用选读、精读、摘录批注等方法阅读内容，做好读书笔记。
4.时间安排
利用课余时间完成课外阅读。
5.评价方式
依据学生的读书笔记的完成质量按百分制评价，计入平时成绩。
（二）课外讨论
1.目标
通过课外讨论，培养学生独立思考，提出问题、深入钻研问题的思维模式，提高发现新问题并提出多种思路进行研究解决问题的能力。
2.讨论内容
教师根据授课班级学生的学习程度，围绕教学内容与课外阅读书籍，指定一些讨论题目，如主范式的应用，命题逻辑、谓词逻辑在自然推理系统中的应用等，给学生一定的时间阅读相关文献资料，进行必要的学术研究，最后形成书面报告。
3.讨论要求
