二次根式及其运算

班级： 姓名： 授课时间: 课时:1

学习目标：

1. 知道什么是同类二次根式，会辨别两个二次根式是否为同类二次根；

2. 会利用合并同类二次根式方法，进行二次根式的加减法运算；

3. 经历二次根式的加减运算，总结做题方法和步骤。

一.温故知新

1.什么叫同类项

像① 4x2y与-x2y ② 与-2a2 ③ 4 32mnmn与 这样都含有 字母并且 ，我们称它们为同类项。

2.与3xy2z是同类项的是（ ）

A. –x2yz B.22xzy

3. 计算：xy+4xy2-3xy 并交流你的做法。

二．自主学习

主题一：同类二次根式

1.观察下列二次根式，按要求完成下面的问题

① 3 23 34 ②6 65 62

（1）观察 ①②两组的二次根式,你发现它们都有哪些共同点

总结：我们可以把 叫做同类二次根式。

（2）说一说，与34是同类二次根式的有（ ）（填序号）

① 27 ②18 ③ 75 ④24

总结：判断是否为同类二次根式的方法是

主题二：用合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算

1.类比合并同类项方法，思考如何合并同类二次根式

(1)做一做： 35+32 12+75 822

（2）说一说：合并同类二次根式通常都有哪些步骤

2.学以致用：

（1）计算下列各题

3223+275 8+5.0-(2.0-321)

（2）交流一下你的解题步骤、技巧及心得：

主题三：二次根式的加减混合运算

1.计算下面各式

122-27313 （48-2.010）-（45-31）

二次根式的运算竞赛讲座

Page 1 of 7 第七讲 二次根式的运算

式子a(a≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础。

(1)cbacbca)( (c≥0)； (2)abba (0,0ba)；

(3)baba (0,0ba)； (4)22)(aa(a0)。

同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念。

二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等。

例题求解

【例1】 已知254245222xxxxy，则22yx= 。 (重庆市竞赛题)

思路点拨：因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手。

注：二次根式有如下重要性质：

(1)0a，说明了a与a、na2一样都是非负数；

(2) aa2)( (a0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；

(3) aa2)(，揭示了与绝对值的内在一致性。

著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题。

【例2】 化简22)1(111nn，所得的结果为（ ）

A、1111nn B、1111nn C、1111nn D、1111nn (武汉市选拔赛试题)

思路点拔：待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式。

注：特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律。

中考培优课程

13二次根式的概念与运算

知识目标

模块一 二次根式的概念 例1 难度：★

模块二 二次根式的乘除 例2、例3

难度：★★

模块三 最简二次根式 例4

难度：★★

模块四 二次根式的加减 例5、例6、例7 难度：★★★

模块一二次根式的概念

知识导航

二次根式的定义：

形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．

二次根式存在的意义：

被开方数大于等于0，即a存在，则a≥0

二次根式的三大性质：

(1)双重非负性：a≥0且a≥0

(2)(a)2＝a(a≥0)

(3)a2＝|a|＝a (a≥0)－a (a＜0)

例1

1．当x取何值时，下列式子有意义?

(1)3x－1；(2)x2＋1；(3)1－x2＋x；(4)x＋32－x；

2．化简

(1)(－3)2；(2)(2－5)2；(3)(a－3)2．

练习

1．下列命题中，正确的是(

)

A．若a＞0，则a2＝a

B．若a2＝a，则a＞0

C．若a为任意实数，则a2＝±a D．若a为任意实数，则(a)2＝±a

2．当x取何值时，下列式子有意义?

(1)－x2；(2)12－x；(3)x－1＋2－x；(4)|x|．

拓展

1．当0＜a＜1，化简：a－1a2＋4＋a＋1a2－4． 2．当－2≤a≤12，化简：1－4a＋4a2＋a2＋4a＋4．

模块二二次根式的乘除

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二次根式的乘法法则 ab＝ab(a≥0，b≥0)

二次根式的除法法则 ab＝ab(a≥0，b＞0)

例2

计算(1)35×210；(2)32÷118；(3)212×34÷52；(4)45÷315×32223．

练习

计算．

(1)212×143÷52；(2)27×50÷6；(3)b5÷b20a2(其中a＞0)；(4)ab131a．

例3

把下列各式中根号外的因式移入根号内：

(1)23；(2)－2114；(3)a－1a．

试卷第1页，总4页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………

二次根式专项练习题

组卷人: 张莉

第I卷（选择题）

一、选择题

1．9的算术平方根是（ ）

A．3 B．﹣3 C．±3 D．±9

2．下列运算中正确的是 （ ）

A、525 B、552

C、222）（ D、212414

3．下列各式中正确的是( )

A.16=±4 B.3-27=－9 C.2(-3)=－3 D.112=142

4．9的算术平方根为（ ）

A．3 B．±3 C．-3 D．81

5．与3是同类二次根式的是（ ）

A．2 B．9 C．18 D．13

6．若代数式12xx有意义，则x的取值范围是（ ）

A．21xx且 B．1x C．2x D．21xx且

7．若2(1)1mm，则m的取值范围是 （ ）

A．m≥1 B．m≤1 C．m=1 D．一切实数

8．下列四个等式：①2(4)4；②2(4)16；③2(4)4；④2(4)4．正确的是（ ）

A．①② B.③④ C.②④ D.①③

9．二次根式23-）（的值是（ ）

A. -3 B. 3或-3 C. 9 D. 3

10．在函数y=13x中，x的取值范围是（ ）