2014全国各地高考真题_——数列专题及答案解析

努力的你，未来可期!2014-2019全国理数高考真题之数列一、选择题（本大题共10小题）1. 国1（2019-9）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4=0，a 5=5，则( )A. a n =2n −5B. a n =3n −10C. S n =2n 2−8nD. S n =12n 2−2n【答案】A解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 4=0，a 5=5，得 {4a 1+6d =0a 1+4d =5，∴{a 1=−3d =2， ∴a n =2n −5，S n =n 2−4n ， 故选：A ．2. 国3（2019-5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q(q >0)， 则由前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，有{a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=15a 1q 4=3a 1q 2+4a 1,∴{a 1=1q =2, ∴a 3=22=4，故选C ．3. 国1(2018-4)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3=S 2+S 4，a 1=2，则a 5=( )A. −12B. −10C. 10D. 12 【答案】B【解析】解：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，3S 3=S 2+S 4，a 1=2， ∴3×(3a 1+3×22d)=a 1+a 1+d +4a 1+4×32d ，把a 1=2，代入得d =−3 ∴a 5=2+4×(−3)=−10． 故选：B ．4. 国1（2017-4）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解答】解：S n 为等差数列{a n }的前n 项和，设公差为d ， ∵a 4+a 5=24，S 6=48，∴{a 1+3d +a 1+4d =246a 1+6×52d =48, 解得a 1=−2，d =4，∴{a n}的公差为4．故选C．5.国1（2017-12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是()A. 440B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】【分析】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1−2−n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将−2−n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：由题意可知，数列可看作：第一项20，第二项：20,21，第三项：20,21,22，…，第n项：20,21,22,…,2n−1，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21−1，22−1，23−1，…，2n−1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+⋯+n=(1+n)n，2所有项数的和为S n=21−1+22−1+23−1+⋯+2n−1=(21+22+23+⋯+−n=2n+1−2−n，2n)−n=2(1−2n)1−2由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将−2−n消去即可，+2=3，不满足N>100，则①1+2+(−2−n)=0，解得：n=1，总共有(1+1)×12+3=18，不满足N>100，②1+2+4+(−2−n)=0，解得：n=5，总共有(1+5)×52+4=95，不满足N>③1+2+4+8+(−2−n)=0，解得：n=13，总共有(1+13)×132100，+5=440，满④1+2+4+8+16+(−2−n)=0，解得：n=29，总共有(1+29)×292足N>100，∴该款软件的激活码440．故选A．6.国2(2017-3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，努力的你，未来可期!∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381=a(1−27)1−2=127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯．故选B．7.国3（2017-9）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为()A. −24B. −3C. 3D. 8【答案】A【解答】解：∵设等差数列{a n}的公差为d，(d≠0)，由题意得a1=1，∵a2，a3，a6成等比数列，∴a32=a2⋅a6，∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，解得d=−2，∴{a n}前6项的和为S6=6a1+6×52d=6×1+6×52×(−2)=−24．故选A．8.国1（2016-3）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=()A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解答】解：设{a n}的公差为d，∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8=a5+(10−5)d=3+5d，∴d=1，∴a100=a5+95d=98．故选C．9.国3(2016-12)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有()A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个【答案】C【解析】【分析】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1.共14个．故选C．10.国2（2015-4）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=()A. 21B. 42C. 63D. 84【答案】B【解析】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴a1(1+q2+q4)=21，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2−6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3×(2+4+8)=42．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，共35.0分）11.国1（2019-14）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1=13，a42=a6，则S5=________．【答案】1213【解答】解：在等比数列中，由a42=a6，得(a1q3)2=a1q5，即q6a12=q5a1，解得q=3，则S5=13(1−35)1−3=1213，故答案为1213．12.国3（2019-14）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2=3a1，则S10S5=______．【答案】4【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a1≠0，a2=3a1可得，d=2a1，∴S10S5=10(a1+a10)5(a1+a5)=2(2a1+9d) 2a1+4d=2(2a1+18a1)2a1+8a1=4，努力的你，未来可期!故答案为：4．13. 国1（2019-14）记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S n =2a n +1，则S 6=_____． 【答案】−63 【解答】解：S n 为数列{a n }的前n 项和，S n =2a n +1，① 当n =1时，a 1=2a 1+1，解得a 1=−1， 当n ≥2时，S n−1=2a n−1+1，②， 由①−②可得a n =2a n −2a n−1， ∴a n =2a n−1，∴{a n }是以−1为首项，以2为公比的等比数列， ∴S 6=−1×(1−26)1−2=−63，故答案为−63．14. 国2（2017-15）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10，则∑1S knk=1=______．【答案】2nn+1【解析】解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=3，S 4=10， 由S 4=4(a 1+a 4)2=2(a 2+a 3)=10，可得a 2=2，数列的公差为1，首项为1，a n =n, S n =n(n+1)2，1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)，则∑1S kn k=1=2[1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n+1]=2(1−1n+1)=2nn+1． 故答案为2nn+1．15. 国3（2017-14）设等比数列{a n }满足a 1+a 2=−1，a 1−a 3=−3，则a 4=______．【答案】−8 【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2=−1，a 1−a 3=−3， ∴a 1(1+q)=−1，a 1(1−q 2)=−3， 解得a 1=1，q =−2． 则a 4=(−2)3=−8． 故答案为−8．16. 国1（2016-15）设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1·a 2·…·a n的最大值为______．【答案】64 【解答】解：等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，设公比为q ， 可得a 2+a 4=q (a 1+a 3)=5，解得q =12， a 1+q 2a 1=10，解得a 1=8，则a 1·a 2·⋯·a n =a 1n q 1+2+3+⋯+(n−1) =8n·(12)n(n−1)2=23n−n 2−n 2=27n−n 22，当n =3或n =4时，a 1·a 2·⋯·a n 取得最大值：2122=26=64， 故答案为64．17. 国2（2015-16）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=−1，a n+1=S n+1S n ，则S n =______．【答案】−1n【解析】解：∵a n+1=S n+1S n ， ∴S n+1−S n =S n+1S n ， ∴1S n−1Sn+1=1，又∵a 1=−1，即1S 1=−1，∴数列{1S n}是以首项是−1、公差为−1的等差数列，∴1S n=−n ，∴S n =−1n ，故答案为：−1n ．通过S n+1−S n =a n+1可知S n+1−S n =S n+1S n ，两边同时除以S n+1S n 可知1S n−1Sn+1=1，进而可知数列{1S n}是以首项、公差均为−1的等差数列，计算即得结论．本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）18. 国2（2019-19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，4a n+1=3a n −b n +4，4b n+1=3b n −a n −4．(1)证明：{a n +b n }是等比数列，{a n −b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．【答案】(1)证明：∵4a n+1=3a n −b n +4，4b n+1=3b n −a n −4， ∴4(a n+1+b n+1)=2(a n +b n )，4(a n+1−b n+1)=4(a n −b n )+8， 即a n+1+b n+1=12(a n +b n )，a n+1−b n+1=a n −b n +2；努力的你，未来可期!又a 1+b 1=1，a 1−b 1=1，∴{a n +b n }是首项为1，公比为12的等比数列， {a n −b n }是首项为1，公差为2的等差数列；(2)解：由(1)可得：a n +b n =(12)n−1，a n −b n =1+2(n −1)=2n −1， ∴a n =(12)n +n −12，b n =(12)n −n +12． 【解析】本题主要考查了等差、等比数列的定义和通项公式，考查学生的计算能力和推理能力，属于简单题． (1)定义法证明即可；(2)由(1)结合等差、等比的通项公式可得．19. 国2（2018-17）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=−7，S 3=−15．(1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．【答案】解：(1)∵等差数列{a n }中，a 1=−7，S 3=−15， ∴a 1=−7，3a 1+3d =−15，解得a 1=−7，d =2， ∴a n =−7+2(n −1)=2n −9；(2)∵a 1=−7，d =2，a n =2n −9，∴S n =n2(a 1+a n )=12(2n 2−16n)=n 2−8n =(n −4)2−16， ∴当n =4时，前n 项的和S n 取得最小值为−16．20. 国3（2018-17）等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=4a 3．(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63，求m ． 【答案】解：(1)∵等比数列{a n }中，a 1=1，a 5=4a 3． ∴1×q 4=4×(1×q 2)， 解得q =±2，当q =2时，a n =2n−1，当q =−2时，a n =(−2)n−1，∴{a n }的通项公式为，a n =2n−1，或a n =(−2)n−1． (2)记S n 为{a n }的前n 项和． 当a 1=1，q =−2时，S n =a 1(1−q n )1−q=1−(−2)n 1−(−2)=1−(−2)n3，由S m =63，得S m =1−(−2)m3=63，m ∈N ，无解；当a 1=1，q =2时，S n =a 1(1−q n )1−q=1−2n 1−2=2n −1，由S m =63，得S m =2m −1=63，m ∈N ， 解得m =6．21. 国2（2016-17）S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=1，S 7=28，记b n =[lga n ]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．(Ⅰ)求b 1，b 11，b 101；(Ⅱ)求数列{b n }的前1000项和．【答案】解：(Ⅰ)S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28，7a4=28．可得a4=4，则公差d=1．所以a n=n，b n=[lgn]，则b1=[lg1]=0，b11=[lg11]=1，b101=[lg101]=2．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：b1=b2=b3=⋯=b9=0，b10=b11=b12=⋯=b99=1．b100=b101=b102=b103=⋯=b999=2，b1000=3．数列{b n}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．22.国3（2016-17）-已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．(1)证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5=3132，求λ．【答案】解：(1)∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，S n−1=1+λa n−1，两式相减，得a n=1+λa n−1−λa n−1=λa n−λa n−1，即(λ−1)a n=λa n−1，∵λ≠0，a n≠0.∴λ−1≠0.即λ≠1，即a na n−1=λλ−1，(n≥2)，∴{a n}是等比数列，公比q=λλ−1，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=11−λ，∴a n=11−λ·(λλ−1)n−1；(2)若S5=3132，则S5=1+λ[11−λ·(λλ−1)4]=3132，即(λ1−λ)5=3132−1=−132，则λ1−λ=−12，得λ=−1．23.国1（2015-17）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n>0，a n2+2a n=4S n+3(I)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和．【答案】解：(I)由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3，两式相减得a n+12−a n2+2(a n+1−a n)=4a n+1，即2(a n+1+a n)=a n+12−a n2=(a n+1+a n)(a n+1−a n)，∵a n>0，∴a n+1−a n=2，努力的你，未来可期!∵a 12+2a 1=4a 1+3， ∴a 1=−1(舍)或a 1=3，则{a n }是首项为3，公差d =2的等差数列， ∴{a n }的通项公式a n =3+2(n −1)=2n +1； (Ⅱ)∵a n =2n +1，∴b n =1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1−12n+3)，∴数列{b n }的前n 项和T n =12(13−15+15−17+⋯+12n+1−12n+3) =12(13−12n+3)=n3(2n+3)．24. 国1（2014-17）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n ≠0，a n a n+1=λS n −1，其中λ为常数．(Ⅰ)证明：a n+2−a n =λ(Ⅱ)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【答案】(Ⅰ)证明：∵a n a n+1=λS n −1，a n+1a n+2=λS n+1−1，∴a n+1(a n+2−a n )=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2−a n =λ．(Ⅱ)解：假设存在λ，使得{a n }为等差数列，设公差为d ． 则λ=a n+2−a n =(a n+2−a n+1)+(a n+1−a n )=2d ， ∴d =λ2． ∴a n =1+λ(n−1)2，a n+1=1+λn 2，∴λS n =1+[1+λ(n−1)2] [1+λn2]=λ24n 2+(λ−λ24)n +2−λ2， 根据{a n }为等差数列的充要条件是{λ≠02−λ2=0，解得λ=4． 此时可得S n =n 2，a n =2n −1．因此存在λ=4，使得{a n }为等差数列．也可以先考虑前3项成等差数列，得出λ，再进一步验证即可．【解析】(Ⅰ)利用a n a n+1=λS n −1，a n+1a n+2=λS n+1−1，相减即可得出； (Ⅱ)假设存在λ，使得{a n }为等差数列，设公差为d.可得λ=a n+2−a n =(a n+2−a n+1)+(a n+1−a n )=2d ，d =λ2.得到λS n =λ24n 2+(λ−λ24)n +2−λ2，根据{a n }为等差数列的充要条件是{λ≠02−λ2=0，解得λ即可． 本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．25. 国2（2014-17）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n +1．(Ⅰ)证明{a n +12}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (Ⅱ)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<32．【答案】证明(Ⅰ)a n+1+12a n +12=3a n +1+12a n +12=3(a n +12)a n +12=3，∵a 1+12=32≠0，∴数列{a n +12}是以首项为32，公比为3的等比数列； ∴a n +12=32×3n−1=3n 2，即a n =3n −12；(Ⅱ)由(Ⅰ)知1a n=23n −1，当n ≥2时，∵3n −1>3n −3n−1，∴1a n=23n −1<23n −3n−1=13n−1，∴当n =1时，1a 1=1<32成立，当n ≥2时，1a 1+1a 2+⋯+1a n<1+13+132+⋯+13n−1=1−(13)n1−13=32(1−13n )<32．∴对n ∈N +时，1a 1+1a 2+⋯+1a n<32．【解析】本题考查的是数列的递推关系式、等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．(Ⅰ)根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即b n+1b n=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n }的通项公式；(Ⅱ)将1a n进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．。

专题6 数列1. 【2014高考安徽卷文第12题】如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =，过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1AC 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.2. 【2014高考大纲卷文第8题】设等不数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ）A. 31B. 32C. 63D. 643. 【2014高考广东卷文第13题】等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++= .4. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 .5. 【2014高考江西卷文第13题】在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________.6. 【2014高考辽宁卷文第9题】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >7. 【2014高考全国2卷文第5题】等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. (1)n n +B. (1)n n -C.(1)2n n + D. (1)2n n - 8. 【2014高考全国2卷文第16题】数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________．9.【2014高考陕西卷文第8题】原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假 10. 【2014高考陕西卷文第14题】已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________.11. 【2014高考天津卷卷文第5题】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（ ）A.2B.-2C.21 D .12- 12. 【2014高考重庆卷文第2题】在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D13. 【2014高考安徽卷文第18题】 数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈（1） 证明：数列{}na n是等差数列；（2） 设3nn b =，求数列{}n b 的前n 项和n S14. 【2014高考北京卷文第15题】已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.15. 【2014高考大纲卷文第17题】数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.16. 【2014高考福建卷文第17题】在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（1）求n a ； （2）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .17. 【2014高考广东卷文第19题】设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()223n n S n n S -+--()230n n +=，n N *∈.（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++L .18. 【2014高考湖北卷文第19题】已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列. （1）求数列}{n a 的通项公式.（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得?80060+>n S n 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19. 【2014高考湖南卷文第16题】已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.20. 【2014高考江苏第20题】设数列{}n a 的前n 项和为n S .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”.（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n N =∈，证明：{}n a 是“H 数列”.（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列” {}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+*()n N ∈成立.21. 【2014高考江西文第17题】已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 22. 【2014高考全国1文第17题】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2014 年高考新课标Ⅱ卷数列题解答剖析
在第（Ⅰ）小题中，这四种解法主要波及的知识都包
括等比数列的观点、通项以及乞降公式等知识。

可是在其余
方面，略有差别。

如技术方面，解法1、解法 3、解法 4 关注运算技术、变形技术和推理论证技术的使用，而解法 2 还波及猜想、归纳等数学活动；在思想方法的运用上，解法 1 主要表现化归思想，解法 2 主要采纳合情推理和归纳的思想，
而解法 3 波及字母替代思想、转变思想，解法 4 采纳累加相消方法和整体思想。

第（Ⅱ）小题着重对考生数学思想与方法的考察，充足
表现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特点。

多视角、多维度、多层次地考察了考生的数学思想质量和思想能力，
考察了考生对数学实质的理解及考生的数学修养及其学习
潜能。

相同，该小题的解答也出色纷呈，方法多样。

因此，结论对全部自然数都建立。

此题解法多样，能够让不一样思想方式的学生显现自己
解决问题的能力。

同时，问题的解决也拥有必定的探究性。

三、教课思虑
此题满分 12 分，全省理科考生 151098 人中，均分 3.35，划分度 0.54，难度 0.72，约三分之一的学生零分，此题得分
整体状况反响了考生对数列的知识掌握状况不容乐观，需要在教课方面加以改良。

第一，加强知识累积，着重典型试题解法对学生问题解
决能力的培育。

总之，此题不失为一道好题，能够正确地反应思想的多
样性，解决过程拥有必定的探究性，进而让不一样的学生都能够依据自己的思想方式和思想特点去解决。

数列专题高考真题(2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列并说明理由.(2014·II) 17.（本小题满分12分） 已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明： .(2015·I)（17）（本小题满分12分）为数列的前项和.已知，（Ⅰ）求的通项公式：（Ⅱ）设 ,求数列的前项和。

(2015·I I)（4）等比数列满足，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84(2015·I I)（16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． (2016·I)（3）已知等差数列前9项的和为27，，则（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97(2016·I)（15）设等比数列满足的最大值为__________。

(2016·II)（17）（本题满分12分）S n 为等差数列的前项和，且=1 ，=28 记，其中表示不超过的最大整数，如.（I ）求，，；（II ）求数列的前1 000项和.(2016·III)（12）定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个(2016·III)（17）（本小题满分12分）已知数列的前项和，其中（I ）证明是等比数列，并求其通项公式；（II ）若 ，求.(2017·I)4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．8(2017·I)12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。

2014年高考数学真题汇编——数列一．选择题1. （2014大纲）等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C ．2. (2014重庆)对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 239.,,D a a a 成等比数列【答案】D【解析】.∴D 选要求角码成等差3. (2014北京)设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件D试题分析：对等比数列}{n a ，若1>q ，则当0,1a 时数列}{n a 是递减数列；若数列}{n a 是递增数列，则4. （2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14DC5. （2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则（ ）A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >【答案】C【解析】 ..0.00;00:.,1111111C d a d a d a a a a a a a n n n 选且或且分情况解得即递减由同增异减知，<∴><<><+二．填空题1. (2014江苏) 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 ▲ .2(2014安徽)数列{}n a 是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= . 12．13(2014北京)若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.4(2014广东)若等比数列{}n a 的各项均为正数,且512911102e a a a a =+,则1220ln ln ln a a a +++= .51011912101112202019151201011:50,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100,50.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e S =∴==+++=+++∴====∴=答案提示:设则5 (2014天津)设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. 【答案】21-【解析】 解：12-依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-.6. (2014上海)设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= 。

2014全国各地高考数列真题山东：(19) （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知公差为2，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .（19）解：（I ）由题意知2111()(3)a d a a d +=+， 即2111(2)(6)a a a +=+， 解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =. （II ）由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+.所以122334(1)(1)n n T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+. 因为12(1)n n b b n +-=+. 可得，当n 为偶数时，12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+48122n =++++(42)22nn += (2)2n n +=当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-所以2(1),2(2)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数. 上海：23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； （2）若{}n a 是等比数列，且11000m a =，求正整数m 的最小值， 以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围.23.解：（1）由题得，263[3,6]933x x x x ⎧≤≤⎪⎪⇒∈⎨⎪≤≤⎪⎩ （文科）（2）∵1133n n n a a a +≤≤，且数列{}n a 是等比数列，11a =，∴11133n n n q q q --≤≤，∴111()03(3)0n n q q q q --⎧-≥⎪⎨⎪-≤⎩，∴1[,3]3q ∈。

1.【2014年湖南卷（理20）】 已知数列}{n a 满足11=a ，n n n p a a =-+||1，*N n ∈.（1）若}{n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a 成等差数列，求p 的值；（2）若21=p ，且}{12-n a 是递增数列，是}{2n a 递减数列，求数列}{n a 的通项公式.2.【2014年全国大纲卷（18）】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .3.【2014年山东卷（理19）】已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。

（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）令n b =,4)1(11+--n n n a a n 求数列}{n b 的前n 项和n T 。

4.【2014年四川卷（理19）】设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈）。

（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}nna b 的前n 项和n T 。

5.【2014年天津卷（理19）】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{0M =，1，2，...，1}q -，集合12{|A x x x x q ==++...1n n x q -+，i x M ∈，1i =，2，...，}n . ⑴当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；⑵设s 、t A ∈，12s a a q =++...1n n a q -+，12t b b q =++...1n n b q -+，其中i a 、i b M ∈，1i =，2，...，n .证明：若n n a b <，则t s <.6.【2014年全国新课标Ⅰ（理17）】(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.7.【2014年全国新课标Ⅱ（理17）】（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+.8.【2014年江苏卷（理20）】设数列{错误！未找到引用源。

2014数列理科高考题1、[2014·福建卷] 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( C)A．8 B．10 C．12 D．142、[2014·辽宁卷] 设等差数列{a n}的公差为d.若数列{2a1a n}为递减数列，则( C)A．d<0 B．d>0 C．a1d<0 D．a1d>03、[2014·全国卷] 等比数列{a n}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg a n}的前8项和等于( C )A．6 B．5 C．4 D．34、[2014·重庆卷] 对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是(D)A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9，成等比数列5、[2014·安徽卷] 数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝___1__.6、[2014·北京卷] 若等差数列{a n}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝___8___时，{a n}的前n项和最大．7、[2014·天津卷] 设{a n}是首项为a1，公差为－1的等差数列，S n为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为__－12_．8、[2014·广东卷] 若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝___50__．9、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)满足a n bn＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0.(1)令c n＝anbn，求数列{c n}的通项公式；(2)若b n＝3n－1，求数列{a n}的前n项和S n.解：(1)因为a n b n＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0，b n≠0(n∈N*)，所以a n＋1b n＋1－a nb n＝2，即c n＋1－c n＝2，所以数列{c n}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故c n＝2n－1.(2)由b n＝3n－1，知a n＝(2n－1)3n－1，于是数列{a n}的前n项和S n＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n，将两式相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)×3n，所以S n ＝(n －1)3n＋1.10、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0， a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ.(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1， 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1， 由(1)知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4. 由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列， a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．11、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝3n2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)证明：由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1，即1a n ＝23n－1≤13n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.12、[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)．(1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论．(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)． 方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3＝3－1＋1.因此猜想a n ＝n －1＋1. 下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1＋1＝（k ＋1）－1＋1， 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14.下面用数学归纳法证明命题 a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即 1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，存在 c ＝14使a 2n <C <a 2a ＋1对所有n ∈N *成立．方法二：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)． ① 当n ＝1时，结论明显成立．假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．13、[2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.14、[2014·湖南卷] 已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．解：(1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n.而a 1＝1，因此 a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1.又a 1，2a 2，3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13或p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾，故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.①因为122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.②由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此a 2n －a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝（－1）2n 22n －1.③ 因为{a 2n }是递减数列，同理可得，a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＝（－1）2n ＋122n.④ 由③④可知，a n ＋1－a n ＝（－1）n ＋12n. 于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋（－1）n2n －1＝1＋12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11＋12＝43＋13·（－1）n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13·（－1）n2n －1. 15、[2014·全国卷] 等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0， 解得－103≤d ≤－52，因此d ＝－3.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）. 16、[2014·山东卷] 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解： (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)由题意可知，b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n（2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝⎛12n －3＋⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝ ⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋117、[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立， ∴cos B 的最小值为12.18、[2014·天津卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }． (1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .(2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .解：(1)当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}，可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．(2)证明：由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )q n －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)q n －2－q n －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q －q n －1＝－1<0， 所以s <t .19、[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n . 解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2， 所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n. 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 20、[2014·浙江卷] 已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n .(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈均有S k ≥S n .解：(1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)．所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)(i)由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)． 所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．(ii)因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0， 得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，若对任意n ∈N *恒有S k ≥S n ，则k ＝4. 2014高考文科数列真题1、设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 解：依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-，选D. 2、等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（A ） ()1n n + （B ）()1n n - （C ）()12n n + (D)()12n n -3、 （辽宁卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >C4、（江西卷）在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围___【答案】718d -<<-【解析】 因为170a =>，当且仅当8n =时n S 取最大值，可知0d <且同时满足890,0a a ><，所以，89770780a d a d =+>⎧⎨=+<⎩，易得718d -<<-5、（广东卷） 等比数列{}n a 的各项均为正数且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++ ＝ 5 .6、（安徽卷）数列{}n a 满足11=a ，)1()1(1+++=+n n a n na n n ，*N n ∈（Ⅰ）证明：数列{}n an是等差数列；（Ⅱ）设3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S（Ⅰ）证：由已知可得111n n a a n n +=++，即111n n a an n +-=+.所以{}n a n 是以111a=为首项，1为公差的等差数列. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得1(1)1n a n n n=+-⋅=，所以2n a n =，从而3nn b n =⋅1231323333nn S n =⨯+⨯+⨯++⋅① 234+13132333-133n n n S n n =⨯+⨯+⨯++⋅+⋅（）②①－②得：1321333332+⋅-++++=-n n n n S1331)31(3+⋅---⨯=n n n 233)21(1-⋅-=+n n所以+1(21)334n n n S -⋅+=7、（北京卷）（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.【解析】⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得41123333a a d --=== 所以()()11312n a a n d n n =+-==，，．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，由题意得344112012843b a q b a --===--，解得2q =． 所以()11112n n n n b a b a q ---=-=． 从而()13212n n b n n -=+=，，⑵ 由⑴知()13212n n b n n -=+=，，．数列{}3n 的前n 项和为()312n n +，数列{}12n -的前n 项和为1212112n n -=--×． 所以，数列{}n b 的前n 项和为()31212n n n ++-．8、（福建卷）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. （1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .9、(本小题满分14分)设各项为正数的数列{}n a 的前n 和为n S ,且n S 满足.222*(3)3()0,n n S n n S n n n N -+--+=∈（1）求1a 的值;（2）求数列{}n a 的通项公式; （3）证明:对一切正整数n ,有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a +++<+++221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-10、 （湖北卷）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得n S 60800n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.答案（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成等比数列，故有2(2)2(24)d d +=+，化简得240d d -=，解得0d =或d =4. 当0d =时，2n a =；当d =4时，2(1)442n a n n =+-⋅=-，从而得数列{}n a 的通项公式为2n a =或42n a n =-.（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =. 显然260800n n <+，此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立. 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41. 综上，当2n a =时，不存在满足题意的n ；当42n a n =-时，存在满足题意的n ，其最小值为41.11、（湖南卷） 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()n na n ab n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.12、（江西卷）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 解析：（1）当1n =时111a S == 当2n ≥时 ()22131133222n n n n n n n a S S n ---+-=-=-=-检验 当1n =时11a = 32n a n ∴=-（2）使m n a a a ，，1成等比数列. 则21n m a a a =()23232n m ∴--=即满足()2233229126m n n n =-+=-+ 所以2342m n n =-+则对任意1>n ，都有2342n n N *-+∈所以对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列.13、（全国大纲卷）数列{}n a 满足12212,2,22n n n a a a a a ++===-+. （1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式.14、（山东卷）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .15、（全国1卷）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

2014高考题分类-（文科）数列（含答案）1、(2014年高考重庆卷文2)在等差数列｛a n｝中，a i 2 , a3 a5 10，则a7 ( )A. 5B. 8 C . 10 D. 141、解：.••数列｛a n｝是等差，a3 a5 10 ,・°・ 5 , a? 2a4 a 8 , •••选B.2、(2014年高考天津卷文5)设a…是首项为3 ,公差为1 的等差数列，S”为其前n项和，若S，S2, S4成等比数列，则 & =()A. 2B. - 2C. - D .222、解：• a”是首项为a,，公差为1的等差数列，S”为其前”项和，又• S” S2, S4 成等比数列，...佝a2)2= a1(a a2 a3 a«)，即2(2a1 1) = a1 (4a1 6)，解得a1 —2，••选D3、(2014年高考新课标2卷文5)等差数列a n的公差为2,若a2，a4，a8成等比数列，贝廿a.的前n项S.= ( )B. n n 1C.D.23、解：.•.等差数列a”的公差为2,且a2 , a4 , 成等比数列，二a42= a?a8 ,即（印6）2=⑻2）⑻14）,解得a 2，则a n 2n，二选A4、（2014年高考全国卷文8）.设等比数列©｝的前n项和为S n，若S2 3，S4 15，则S6 （）A . 31 B. 32 C. 63 D ・644、解：••由等比数列｛a n｝的前n项和S,的性质得：S2 , S4 -S2, S6 —S4成等比数列，即3,12,S6—15 成等比数列，••• 122= 3（S—15）, 解得：S e = 63,二选C5、（2014年高考辽宁卷文9）.设等差数列｛a n｝的公差为d, 若数列0an｝为递减数列，则（）DA・d 0 B・d 0 C・a-|d 0 D . qd 06、（2014年高考江苏卷文7）在各项均为正数的等比数列,则a6的值是▲.｛a n｝中,a2 1, a8 a6 2a4【答累】A【解析】设公上匕为哲因为?刚由陽=令+纠得字"二『+2亍* -1?'2— 2 = 0（解得叨'二2 * 所园盹-n才=4・【着点】等比数列餉通项公式7、（2014年高考江西卷文13）在等差数列a n中,a1 7 ,公差为d ，前n 项和为S n，当且仅当n 8时&取最大值，则d 的取值范围 __________ .7、解：因为a i7 0，当且仅当n 8时Sn 取最大值，可知d 0且同时满足a 80,a 90，二a 87 If 0，解得1 d 7，・••答案1 d 1& （2014年高考广东卷 文13）.等比数列a n的各项均为正数，且a ’a s4，贝Ulog 2 a 1 +log 2a 2+log 2a 3+log 2a 4+log 2 a 5= _________________.答案:5 提示: 设 Slog 2 a 1 log 2 a 2 log 2 a 3 log 2 a 4 log 2a 5,则 S log 2a 5 log 2a 4log 2 a 3 log 2 a 2 log 2 a 1,5log 2 4 10,a 9 7 8d 02S 5log 2（a i a s ） S 5.9、（2014年高考新课2卷文16)数列｛a n｝满足a”1[1 a na 2= 2，则a1 = ___________9、解：由已知得10、(2014年高考北京卷 已知a n是等差数列，满足 b 420，且b n a ”是等比数列.(1) 求数列a n和h 的通项公式; (2) 求数列0的前n 项和.文15） a 13，a(本小题满分13分)12，数列b n满足b i4 ,2项公式及其前n 项和T n.(15) f 共 13 分 >«t ( I )设聲筈数列扫」的分建为# +由题倉需所以 u n -Vi t i (N -1)(/ 3n)*设事比数列他-碍｝的总比为「V^.1=2£zl£=g r 無％ 岛一打I 4-3从丽氏=抑+ 2* 1 5工12- (11J 曲(1 ) + (fl = l31 . 1 -2*艸如伽"和吟仞0犠輸科潤鼬项和环—=r所乩数囲世」的前"顶櫛为］附小心I,11、 (I ： (2014年高考重庆卷 文16)(本小题满分 小问6分，(II )小问5分)已知a n是首相为1,公差为2的等差数列，S13分. 表示an的前n 项和. (I )求aII )设 a 41 q S 40 及5 ；b n是首相为2的等比数列，公比 求S 的通q满足I ）因为2」垦苗顶眄訂扭蛙"2的零養敦列［析民12、_ ・i 喊眄 *口J n（l<2rt"l> 2K 5, = 3 +3 + ■-■ + （I FI亠I J 工 - ; ---- = --- 二片・CH）*（ 1）^^=7.5^ 讥18为孑-心咖*Sj =o t即『-阳416 =o tBrijtfi -4）a =fi,从■而电=址3t® 6."・I妬f屋公比厂目的舗塩融列,所瓯虹胡厂'=2 - 4*_, =2fc_L从阿血丨的枫M和町帀啤二住=寻仟-I ）■（2014年高考湖南卷文16）.（本小题满分12分）2已知数列a n的前n项和S n亍，n N（I）求数列a n的通项公式；（II ）设b 2an1n a n，求数列b n的前2n项和.I ）当” I 时* H,V；an［上肾（用・】）*4（jr・|）7 1当用荒2吐d, = 5故盟蚪｛% J的划顶公式为匹■ e im由HA灿‘才•（“衍础姗｛耐的诃斟顶和为g剧Tj, = C21 + 2^+■*■■+■ I s*）+（—I 4 2- 3+4 —+ 2h）,启斗-【*2・3 + £—半加"财-|>-ISlJS捌他｝的曲舸段和乙旷口丹7-13、（2014年高考福建卷文17）. 已知等比数列｛a n｝中，a2 3，a5 81.（I ）求数列｛臥｝的通项公式；求数列｛b n｝的前n项和S （本小题满分12分）a2（II ）若数列 6IOg3a n ,13、考查等差、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想解：（I ）设｛a n｝的公比为q ，依题意得3 a 1q 481，解得n(d 2 因此，a n3n1(II ) V 数列 b nb n ) = n 2n2 'log 3a n= n 1,・°・数列｛b n｝的前n 项和S =14、（2014年高考江西卷 文17） 2已知数列a n的前n 项和S n詈（1） 求数列a n的通项公式；（2） 证明：对任意n 1，都有m比数列.解析： 14、 （本小题满分12分）N,使得a 1, a n, a m成等(1 )当 n 1 时 a ,S 1 当n 2时 ％ S S 检验当n 1时a 1a”使印,a n, a m成等比数列.则 a n2= a 1a m3n 2"=3m 23m 3n 2 2 2 9n 2 12n 6所以m 3n 24n 221 n 1 3n2 23n 2 （2） 即满足则对任意n 1 ,都有3n 24n 2 N所以对任意n 1 ,都有m N ,使得a” a n, a ”成等比数列.15、（2014年高考全国卷 文 仃）.（本小题满分10分）数列｛a n｝满足 印 2,a 22,an 22a . 1 a . 2(1) 设bn a n 1 a n，证明｛bn｝是等差数列;(2) 求｛a n｝的通项公式.（17） t *汕仆）T ； J A 小=LHi = 2&n » I "1T I J 可匪t 九甘[曹用觌列I （n ） 如的逍顼笛亠 W J [ I ） th j: = m ■ 1 -日"2 褐- art*i *4fnt+i - ti> + 2-X 枷匸出g 曲=11巧旦內｝!上门卷X 处…2的带•岸歌吩hl[-应I xjiJ E9 乔[五X + ■f.・1 *蹄以細増強武为-分)已知a n是递增的等差数列，a 2, a 4是方程x 25x 6根。

2014年全国高考数学分类汇编-数列全国2014年高考数学（理科）分类汇编1（2014福建理）3.等差数列｛a n｝的前n项和S.，若a i 2,S3 12，贝V a6 （）A.8B.10C.12D.142（2014广西理）10.等比数列3”｝中，a4 2,35 5，则数列｛lg a…｝的前8项和等于（）A. 6 B . 5 C . 4 D . 33（2014广西文）8.设等比数列｛a”｝的前”项和为S n，若S2 3,S4 15,贝V S6 （）A. 31 B . 32 C . 63 D ・644（2014重庆文）2.在等差数列｛a…｝中,印2,a3 a5 10，则a7 （）A.5B.8C.10D.145（2014辽宁文理）8.设等差数列啣的公差为d, 若数列｛2宀为递减数列，则（A. d 0B. d 0C. a-|d 0D. a1d 06（2014天津文）5.设a…是首项为a,,公差为1的等差数列，S n为其前n项和，若s, S2, S4,成等比数列，则a1=（A.2B.-2C. 1 D . 12 27（2014课标2文）（5）等差数列a n的公差为2,若a 2, 34, a 8成等比数列，则a 的前n 项和S.= () (A ) n n 1 ( B ) n n 18（2014重庆理）2.对任意等比数列{a n},下列说法 一定正确的是 （ ） A. 31,33,39成等比数列 B. a 2,a 3,a 6成等比数列成等比数列 D -a 3,a 6,a 9成等比数列9（2014安徽理）12.数列a n是等差数列，若311， 333， 355构成公比为q 的等比数列，贝y q _____________________ .10（2014安徽文）12.如图，学科网在等腰直角三 角形ABC 中，斜边BC 2迈，过点A 作BC 的垂线，垂足为 几；过点片作AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 作AC的垂线，垂足为A 3；…， 以此类推，设BA 31 , AA 1 32, A 1A 2 33，•…, A 5A 6 37，贝U 37.11（2014北京理）9.若等差数列a n满足a-i a 8 a90 , a 7 a io0 , 则当n _____________________(C )呼(D) n n 12~时a”的前n项和最大.12（2014广东理）13 .若等比数列a n的各项均为正数，且a0a” a g a>2 2e5，则ln a1 In a2In a2n_________ . ______13（2014广东文）13.等比数列a n的各项均为正数，且时 5 4 ,贝U Iog2 a1 Iog2a2 Iog2a3Iog2 a4 Iog2 a5 ___________________________________14（2014江苏文理）7.在各项均为正数的等比数列｛a n｝中,a2 1, a8 a6 2a4,则a6 的值是____15（2014江西文）14.在等差数列｛a…｝中，& i，公差为d，前n项和为｛an｝，当且仅当n 8时S取最大值，则d 的取值范围___________ .16（2014天津理）（11）设a n是首项为&，公差为-1的等差数列，S n为其前n项和.若S0S4成等比数列，则a 的值为_______________ .17（2014课标2文）（16）数列a n满足a n 1,a2=2,贝H a i = __________【答案】CCCBC DAD 9. 1 10. 111. 816.仃.1全国2014年咼考数学（文史）分类汇编 1（2014重庆文）16.已知a n 是首项为1, 公差为2的等差数列，S n表示a n的前n 项和.（I ）求 a n 及 S ；（H ）设b n是首项为2的等比数列，公比q 满足 q 2色1 q S 0，求b n的通项公式 及其前n 项和T n.【点拨】⑴a 2n 1,S n 2；(n )由 q 2a 41 q S 0得 q 4 ,所以 b n22n1,T n 2(4n 1)2（2014重庆理）22.设a 1 1,0.1 .a ： 2a n 2b （n N*）（1）若b 1,求a 2,a 3及数列｛%｝的通项公式；⑵ 若b 〔，冋：是否存在实数C 使得a 2nc a 2n 1对所有 n N*成立？证明你的结论.5n2【点拨】(1) a 1,a2 2,a3 5.2 1,& 1,猜想a n 1 1(可数归完成)；(2)设函数f(x) x2 2x 2 1,令f(x) x 得不动点x 4.仿(1)得a1 1,a2 0,a3 2 1,用数学归纳法可证明:a2n 1 a2m. 事实上,1O当n 1 时,32 0 4 v2 1 a3显然成立.2o.假定当n k时,a2k ： 32k 1成立,那么「"当n k 1 时，Qa2k 2 f (a2k 1) (a2k 1 1)21 1(a2k 2 1)2 (32k 1 1)21 (32k 2 1)2([ 1)2 1这就是说当n k 1时,a2k2 1 a2k 3也成立.3（2014浙江文）19、已知等差数列｛a n｝的公差d 0, 设｛a n｝的前n 项和为S n，a1 1，S2 S3 36.(1)求d及S n ；⑵求m,k （m,k N*）的值，使得i 3m 1 3m 2 L 3m k 65【点拨】（1） d 2,S n n2；⑵Q3m 2m 1, (k 1)(2m 1)冬严 2 654（2014浙江理）19.已知数列｛3n｝和｛b n｝满足a&L 3n（ 2）s（n N ）.若｛a n｝为等比数列，且 3 2,& 6 b又32k 3 f (32k 2) (32k 3 1)2(32k 2 1)2 11 43k2a(k 1)(2m k 1) 5 13 k 1 5 k 4 ... 2m k 1 13 m 5⑴求a n与b n；(2)设c a _L(n N).记数列｛c n｝的前n 项和为S n. ( i ) 求 S ； (ii )求正整数k ，使得对任意nN ，均有& 【点拨】(1)aa 2a 3 \2 ,a i a 2得 a 3268 .从而 q 2, a n a sqn 32n.由 a i a 2L a n( 2户 2 2)2【b n(n 1)(2) G 丄1吉(丄斗).所以a n t n 2n n n 1(i) S cia a L a 古》(分组裂项)(ii)Q^ ML 1 i)鳥 1)2"，易见",C 2,C 3,C 4 0,当n 5寸,c n0. 可见S 4最大,即S 4 S n . k 4■5(2014 a n 13a n1 .(I)证明(U)证明： 【点拨】(I)在a n 1 3(『2),可见数列a 1是以3为公比,以a 1 3为首项 的等比数列.故a n 2贰1叮.(H)法1(放缩法)Q^尹课标2理)17.已知数列a n满足a=1, 1是等比数列，并求a n的通项公式; 丄1…+丄3a 1 a 2 a n2 -a n1 3a n 1中两边加2：a2 3n 1 1 2 1 2 1 L 2 1 1 1 32 1 1 33 1 1 3n 1 1 12 （本题用的是"加点糖定理"）法2（数学归纳法）先证一个条件更強的结论20■假疋对于n 新命题成立,即1 3 1 3a 2 2 3n1 2天津文理）19.已知q 和n 均为给定的大于 1的自然数■设集合M 0,1,2丄,q 1,集合A xx X 1 X 2q L x!q n 1,x M ,i 1,2,L ,n（1） 当q 2 , n 3时，用列举法表示集合A ； （2） ^设 s,t ? A , s ai a 2q L a nq n 1,t b bq L bq n1,其中 a,b M , i 1,2,L ,n .证明：若 3nb ,则 s< t . 【点拨】（I ）解：当q 2 , n 3时，M 0,1 ,2x 2 4x s ,x 酣弓卑,2,3为 x ^x 中^ x,x 2,X 30 0 0 0勺 10 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 10 0 1 1 11 a2 31 2 1 1 L 132 93a n L 1a3 1氏1al13n0 ^1 2 3 2 2 1 1 a新命题成立.T,那么对于n一23 21al L 1a1al1al a1-a 1a3 1al3n3n3n6（2014 _ 2 3 2 4 3 5 4 1a2可得， A 0,12,3,4,5,6,7 .(H)证明：由 s,t?A , s a a 2q L a nq n 1, t bi bq L b nq n 1, Q,b Ms ta ib a 2 b ? q L an i b n i q n 2a nq n 1.q 1 q 1 q L q 1 q n 2 q n 17(2014四川文)19.设等差数列｛a n｝的公差为d ，点 (命)在函数f(x) 2x的图象上(nN ). (I)证明：数列⑹为等比数列；(H) 若& 1 ,函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在x 轴 上的截距为2侖，求数列｛a nb 2｝的前n 项和S n.【点拨】(I) 丫亍2d…(H) f (x) 2xln2 , k 刀2勺n2.切线方程y 2a2 2判n2(x a 2),依题设有a 2爲2爲a 2 2, b 24 . ^从a nb n 2 n 4n(等比差数列,乘公比、错位相减)得(3n 1)4n1 4$ 98(2014四川理)19.设等差数列｛a n｝的公差为d , 点®,b n)在函数f(x) 2x的图象上(nN *).(I) 若4 2，点(a 8,4b 7)在函数f(x)的图象上，求数列｛a n｝i 1,2丄，n 及an bn，可得q 1 1 q n 1q n 1 1 o.所以， s< t .的前n 项和S n；(2) 若 a 1，函数f(x)的图象在点(a 2,b 2)处的切线在X 轴 上的截距为2需，求数列©的前n 项和T n.【点拨】(1) Q4b 72a82a8 2b r2a7d 2. S n 23n ；(2) f (x) 2Xln2， k 切2Tn2 . 切线方程 y 2a2魯n2(x a 2),依题设有a 2爲2爲 比 2 , b24 .从而 b n 21(等比差数列,乘公比、错位相减)得T n2n2n29(2014上海文)23.已知数列满足3a n a n 1 3a n ,n N 1(1) 若322,83x,a 49，求x的取值范围；(2) 若｛a n｝是等比数列，且a m血，求正整数m 的最小值,以及m取最小值时相应｛aj 的公比；(3) 若a 1,a 2,L ,a 100成等差数列，求数列 a 1,B 2,L ,9!00的公差的取值范围.⑵易见 an0,3a n a n 1 3a n3 q 3又am10k 1 qm1 (3)m1 m 8,m 8.q 宦10 -(3) ^①当 n 1 时,a 1, [a a 1d 3a13【点拨】(1)由a 2 a 3 3a 2 a 3 a 4 3a 3x [3,6]；②当 2 n 100时,印 iga.! a n3am d 2器取 n1gd i99.综上島d 2・10（2014上海理）23.已知数列｛a n ｝满足1 3a n an 1 3环门 N 1 -(1)若 a 22,a 3x,a 49 ,⑵没a n是公比为q 等比数列，S n a 1 a> a j L a n，ig,S, 1 3S,n N求q 的取值范围;3（3）若a 1,a 2,L ,ak成等差数列，且a 32L a k1000，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值 时相应数列a 1，a 2,L 耳的公差.【点拨】（1）由3：（2）由加 a n q 3a n,ai 1 [3S S a 1q 3S i ,1 q 2.下面证明任意的n 2,上式都成立. ①当q 1时,显然成立. ②当q 1时,显然成立.对于右不等式等价于 亡严 0.令f （x ）—q 二X1）,1 q 1 q f (x) q； l J q(q 3) 0,要使 f(x) 0,只需 f(1) 0即書0 q 2 .结合q /a 3 3a2 ”x [3,6]； a 4 3a3，结合 11 (1 q n) 1(1 q n 1)3 1 q 1 q3罟,其中左不等式11（2014山东文）（19）在等差数列｛a n｝中，已知公 差 d 2, a 2是a 1与a 4的等比中项. （I ）求数列｛a n｝的通项公式;（1）nb ，求 T n.【点拨】（I ） 212 , an 2n（D ） h n （n 1）（分奇偶讨论求和）（n 为奇数）1 n （n 2）（为偶数）12（2014山东理）19.已知等差数列｛a n｝的公差为 2,前n 项和为S n，且S 1,S 2,S 4成等比数列.（I ）求数列｛a n｝的通项公式；（H ）令b （ 1厂盘，求数列｛b n｝的前n 项和T n.得到【点拨】（I ） a 1,a n2n 1；n取2n1 1000 k a i(2 1) dk(k 1) 2 2 2k 1)k 1999,从而当 k 1999时,q2 1999 -(II )设 b，记T nqa3kS n3n 2 n(n ) b n ( 1叱1 2n 1 1](分奇偶讨论,最后合并)Tn2n；m ( 1)n.13（2014课标1文）17.已知a n是递增的等差数 列，a 2，a 4是方程X 25x 6 0的根。