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新北师大版九年级数学下册1.4.解直角三角形课件

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北师大版九年级下册1.4解直角三角形课件

北师大版九年级下册1.4解直角三角形课件

c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
我们已知三角形的三边， 需要求角.直角三角形三边与 它的角有什么关系呢？它们通 过什么可以联系起来？
A
？
b5
C
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， A
∠B=25° ，∴ ∠A=65°.
？
sin B = b ，b = 30，
c
c
=
b sin B
=
sin3205°
71.
b 30 C
c？
25°
a？ B
tan
B
=
b ，b a
=
30， a
=
b tan
Bபைடு நூலகம்
=
tan3025°
64.
讲授新课
思考4：例2中已知元素是一锐角与一直角边，如 果已知的是一锐角与斜边，能解直角三角形吗？
思考5：已知元素是两锐角，能解直角三角形吗？ A
65°
c？ b？
25°
C
a？ B
小结：解直角三角形最少需除直角外的两个元 素，且这两个元素中至少有一条边.
巩固练习
➢ 随堂练习 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A，∠B，∠C所
对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形 的其他元素（结果精确到1°）:

北师大版九年级数学下册课件：1.4 解直角三角形

北师大版九年级数学下册课件：1.4 解直角三角形
九年级数学北师版·下册
第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
教学目标
1.使学生理解直角三角形中六个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角 形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 2.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.
新课导入
情境引入
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么
tan tan tan
sin sin sin
A
c
b= 20
35°
B
aC
新知探究
【跟踪训练】
如图，从点C测得树的仰角为33º，BC＝20米，则树高AB＝ 13.0 米 （用计算器计算，结果精确到0.1米）.
tan
tan
tan
33°
C
B
新知探究
探究：如图①，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图③是图②中“滑 块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇 上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直 线上，延长DE交MN于点F.已知AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm， BD＝40 cm.
其余五个元素之间有怎样的关系呢？ B
(1) 三边之间的关系：a2+b2=__c_2__.
c a
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_9__0_°_. A
a
b
a
(3)边角之间的关系：sin A=__c__，cos A=__c__,tan A=__b__.
b
C
新课导入
如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过点B向
课堂小测
tan
Rt △
cos

九年级数学下册 1.4 解直角三角形课件 (新版)北师大版

九年级数学下册 1.4 解直角三角形课件 (新版)北师大版

点，DE⊥AB于点E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为( B )
A．2
43 B. 3
C．2 3
D．4 3
13．如图，在△ABC中，cosB＝
2 2
，sinC＝
3 5
，AC＝5，则
△ABC的面积是( A )
A.221 B．12 C．14 D．21
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝
2，将△ABC绕点C顺时针旋转n度后，得到△DCE，此时点D在AB边
上，斜边DE交AC边于点F，则n＝___6_0_°____， 3
△DFC的面积为___2_______．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于 x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC＝2，则点B的坐标是 _(_2_，__2__3_)____．
(1)求证：AC⊥BD； (2)若AB＝14，cos∠CAB＝78，求线段OE. 解：(1)∵∠CAB＝∠ACB，AB＝CB，∴▱ABCD是菱形，∴AC⊥BD
(2)在Rt△AOB中，cos∠OAB＝AAOB ＝78，AB＝14，AO＝14×78 ＝ 449 ，在Rt△ABE，cos∠EAB＝ AABE ＝ 78 ，AB＝14，∴AE＝ 87 AB＝ 16，∴OE＝AE－AO＝145
A．4
B．2 5
8 13 C. 13
12 13 D. 13
6．如图是教学用的直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，
tan∠BAC＝ 33，则BC长为__1_0__3__cm.
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A和斜边c，可用关系式 __∠__A_＋__∠__B__＝__9_0_°____，求出∠B，可用关系式_s_i_n_A_＝__ac___，求出a.

北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形课件

北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形课件

B
A
C
自学检测
1.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,
b,c，根据下列条件求出直角三角形的其它元素。
（1）a=19，c=19
（2）a=36，∠B=30°
合作探究
1. 已知，如图，在三角形ABC中，∠A =30°，
∠B=45°AC=10，求BC及AB的长。
合作探究
2. 已知，如图，在三角形ABC中，∠A =30°，
对三角函数概念的理解。
2.在直角三角形中已知一边和一角求其它元素。
3.在直角三角形中已知两边求其它元素。
自学提纲
结合下列问题，自学教材“做一做” 和“想一想” ：
1.在例题1中，已知直角三角形的两条边长，如何
求出第三条边长？
2.在例题1中，是通过什么途径由边长求出角的度
数的？
3.在例题2中，已知直角三角形的一条边长和一个
在直角三角形中，
1.已知一角一边，可求出其它的边和角。
2.已知两边，可以求出角的度数和第三边的长。
达标检测
1.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠ADE=α，
cosα=0.6，AB=4,则AC的长度为
2.4 。
A
B
D
E
C
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的
中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，
3
sinA= ，则DE=_____．
5
锐角的度数，是通过什么途径求出其它的边长和角
的度数的？
4.什么是解直角三角形？
展示交流
例题1.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,
b,c，且a= ，b= ，求这个三角形的其它元素。

北师大版九年级数学下册第一章：4、解直角三角形教学课件 (共13张PPT)

北师大版九年级数学下册第一章：4、解直角三角形教学课件 (共13张PPT)

课堂拓展
1.如图，在RtABC中，C 90，点D是BC
边上的一点，CD 6，cosADC 3 , tan B 2 ,
5
5
求BD的长.
晋级 小结
课堂拓展
2.如图，已知四边形ABCD 中，ABC 90, ADC 90, AB 6,CD 4, BC的延长线与 AD的延长线于点E. (1)若A 60，求BC的长； （2）若sin A 4 ,求AD的长.
利用直角三角形中已知的元素，求 出其余未知元素的过程，叫做解直角三 角形.
温故知新：
在 RtABC 中，∠C为直角，
∠A、∠B、 ∠C所对的边分别
为a、b、 c ，其中除直角∠C外，
其余的5个元素之间有什么关系？
B
c
a
┏
A
b
C
温故知新：
⑴ 三边之间的关系：a2 b2 c2
⑵ 锐角之间的关系：A B 900
（1）若a 6，b 2 3，求A、B、c；
（2）若a 2 2，c 4，求A、B、b.
对应训练（一角一边）
2.在RtABC 中，∠C= 900，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为a、b、 c .
（1）若A 60，c 12,求B、a、b；
(2)若∠B= 450, b= 10，求∠A、a、c （边长精确到1）.
课后作业：
P17知识技能1 P18问题解决3
结束寄语
悟性的高低取决于有无悟“心”，愿大家 做一个愿意去思考、去发现的人。
5
小结
提高晋级 1.如图，在四边形ABCD 中，A 30，
C 90，ADB 105，sin BDC 3 , 2
AD 4,求CD的长.
总结梳理 内化知识
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的 直角三角形，当图中没有直角三角形时，要通过辅 助线构造直角三角形。 2.解直角三角形时，最好先画出草图，并按照题意标 出已知元素，以便于求解未知元素。 3.在解直角三角形时遵循“有斜用弦，无斜用切，宁 乘勿除”的原则。

北师大版 九年级 数学下册 1.4 解直角三角形 课件(13张ppt)

北师大版 九年级 数学下册 1.4 解直角三角形 课件(13张ppt)
角形的面积为（ B ）
A.4.5 cm2 B. 9 3 cm2 C. 18 3 cm2 D.36 cm2
3.在Rt△ABC中，∠C=90°. (1)若c= 6 2 ,a=6,则b=___6___,∠B=__4_5_°__,∠A=__4_5_°__； (2)若a= 4 3 ，b=4，则∠A=__6_0_°__,∠B=__3_0_°__,c=___8Байду номын сангаас__.
探究展示
已知两边解直角三角形
例 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2 ，BC = 6 ，解这个直角三角形.
A
2
C
6
B
已知两边解直角三角形
练一练：在△ACB中，∠C=90°，AB=4,AC=3,欲求
∠A的值，最适宜的做法是( C )
A.计算tanA的值求出 B.计算sinA的值求出 C.计算cosA的值求出 D.先根据sinB求出∠B，再利用90°-∠B求出
第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
新课导入
B
对边 a
c 斜边
C
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，还有五个 元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元 素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形. 【注：在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已 知其中的两个元素，到少有一个是边，才可求出其余 的元素（记为：知二求三）】
应用
已知两边解直角三角形 已知一边和一锐角解直角三角形
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （2）a= 8 15 ，c=16 15 .
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （1）∠B=45°，c=14；

北师大版九年级数学下册：1.4解直角三角形课件

第一章 直角三角形的边角关系
1.4 解直角三角形
知识回顾 例题讲授 课堂小结
获取新知 随堂演练
知识回顾
在直角三角形中：
①三边之间关系： a2+b2=c2（勾股定理）.
②锐角之间关系： ∠A＋∠B＝90°.
A
③边角之间关系：
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
5
则AC的长为（ B ）
A．3
B．3.75
C．4.8 D．5
4. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=50 °，AB=3.求∠B 和 a，b（边长精确到0.1）
解：在Rt△ACB中, ∠B=90°- 50°=40°,
sin A a , AB
∴a=AB• sinA=3sin50°≈2.3.
c， 且b = 30, ∠B = 25°，求这个三角形的其他元素（边长精确到1).
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A=65°.
sin B b , b 30, c
∴c b 30 71. sin B sin 25
A
c
b
30
25°
B
a
C
tan B b ,b 30, ∴a b 30 64.
解：在 Rt△ABC 中，a2+b2=c2， a 15, b 5,
A
2
2
c a2 b2 15 5 2 5.
5
在 Rt△ABC 中，sinB = b 5 1 ,
c 25 2
C
∴∠B = 30°.
∴∠ A = 60°.

北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形课件


c
b
C
a
（锐角三角函数）
b
cos A sin B ,
c
a
tan A ,
b
b
tan B ,
a
B
考点 三 解直角三角形
* 匹配例题
B
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）若AB=2 ， ∠ A=30°,则 AC= 3 ;
（2）若AB=4，AC=3，则BC=
7
sinA=
7
4 ;
即： x
2+10
x -50=0
x1 5 5 3, x2 5 5 3 (舍去)
∴sin ∠CAE=
CE 5 5 3

AC
10 2
∴∠CAE≈15°
∴灯塔C处在视察站A的北偏西15°
的方向
45°
A
考点
*
四 解直角三角形知识的应用问题
2.方位角:
常见模型
匹配例题
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D
米，路基高是4米，则路基的下底宽是
.
15
3
4
6
3
6
考点
四 解直角三角形知识的应用问题——模型总结
A
D
C
翻折
一个
Rt△
平移一个Rt△
B
C
D
小结
辨认
数形结合
熟记
实际问题
数学问题
应用
答
模型求解
直角三角形
构造直角三角
特殊角的三角函数值
谢
谢
方位角
h
α
l
考点 一
1. 定义:
锐角三角函数

北师大版九年级数学下册1.4 解直角三角形(共30张PPT)


c
b
10 20 3
∴c＝ sinB ＝ sin60 ＝ 3 .
由勾股定理得a＝
c2
b2
＝
10 3
3
.
知－练
(3) c =20， ∠A＝60°; 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵sin A＝ b ，c＝20，
c
∴a＝c·sin A＝20×sin 60°＝20×
3 2
解：∵∠A＝26°44′，∠C＝90°， ∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝ 由cos A＝
a c
,
得a＝c·sin 得b＝c·cos
A＝100·sin 26°44′≈44.98. A＝100·cos 26°44′≈89.31.
b
,
c
知－练
1 在Rt△ABC中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a, b, c，根据以下条 件求出直角三 角形的其他元素〔角度精确到1° ): (1) a = 4, b =8;
在Rt△ABC中，如果其中两边的长，你能求出 这个三角形的其他元 素吗？
(1)三边之间的关系；
(2)两锐角之间的关系；
(3)边角之间的关系：sin A＝ a ＝cos B， c
cos A＝ b ＝sin B， c
tan A＝ a 1 . b tan B
知－讲
两直角边：
应用勾股定理求斜边， 应用角的正切值求出 一锐角，再利用直角 三角形的两锐角互余，求 出另一锐角．一般不用正 弦或余弦值求锐角，因为 斜边是一个中间量，如果 是近似值，会影响结果的 精确度．
∴∠B＝90°－∠A≈63°26′.
知－练
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A
2
2
∵ 在Rt △ABD中,∠B=45°,AB=2， AD sinB = AB
30°
B
45°
D
C
∴AD= AB×sinB
2 ∵在Rt△ACD中，∠C=30°
= 2×sin45°= 2
2 2
∴AC=2AD= 2 2
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西 450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察 站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
AE 5 3
在RtADE中，AD 14，
ED AD 2 AE 2 14 2 (5 3 ) 2 11
14
5
E
B 6 D 12
C
BE ED BD 11 6 5
在Rt ABE 中， AB AE 2 EB 2 (5 3 ) 2 52 10
（2）已知b=10，∠B=60°,求 ∠A ,a，c．
（3）已知c=20，∠A=60°，求 ∠B, a，b． （4）已知a=1，b=
3 ，求c, ∠A， ∠B
小结定义：
由直角三角形中的已知元素， 求出所有末知元素的过程，叫 做解直角三角形.
问题： 1、解直角三角形需要什么条件？
2、解直角三角形的条件可分为哪
B
10
C
10 2
北
F
A
1 2
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观
察站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D ∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向
∴ ∠B=45°
45°
B
10
C
10 2
55 3
E
10
北
x1 5 5 3, x2 5 5 3 (舍去)
CE 5 5 3 ∴sin ∠CAE= 10 2 AC
A
∴∠CAE≈15° ∴灯塔C处在观察站A的北偏西15° 的方向
C
A D
A
D
B
B
C
E
温 馨 提 示
解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如 在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角 三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题， 常通过作辅助线构造直角三角形来解.
在ABC中，D为BC边上一点， BD 6，AD 14， CD 12，ACD的面积为 30 3，求AB的长
解：如图，作 AE CB于点E 1 S ACD CD AE 30 3 , 又CD 12 2
A
14 5 3
AE 5 3
在RtADE中，AD 14，
1.4 解直角三角形
学习目标
1、理解解直角三角形的概念
2、会根据三角形中的已知量正确地求未知量
3、体会数学中的“转化” 思想
自学指导 1
（1）在直角三角形中，除直角外共有 几个元素？ （2）如图，在Rt△ABC 中∠C=90°， a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪 些等量关系呢？ B
c a b
2 =5 2 sinB=10×sin45°= 10× ∴CD= BC· 2 ∵在Rt△DAC中，
CD 5 2 sin ∠DAC= AC 10 2 CD ∵sinB = CB
B
10 45° D
C
5 2
10 2
北
F
45°
1 2
A
∴ ∠ DAC=30° ∴∠CAF= ∠BAF -∠DAC= 45°-30°=15° ∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观 察站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E, 设CE=x ∵在Rt△BAE中，∠BAE=45° ∴AE=BE=10+x ∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2 ∴x2+(10+x)2=(10 2 )2 即：x2+10x-50=0
A
C
直角三角形中元素间的三种关系：
(1)两锐角关系 ：
A B 90

(2)三边关系：
(3)边与角关系：
a b b
2 2
2
B
c a
a sin A c a tan A b
b cos A c
A
b
C
自学指导 2
自学P16例1，仿例题完成以下习题： 1、在Rt△ABC中,∠C=90°： （1）已知a=4，c=8，求b, ∠A ,∠B
几类？
1、解直角三角形除直角外，至少要知道 两个元素（这两个元素中至少有一条边） 2、解直角三角形的条件可分为两大类：
①、已知一锐角、一边
（一锐角、一直角边或一斜边） ②、已知两边 （一直角边，一斜边或者两条直角边）
“卡努” 台风将一棵大树刮断,经测量，大树刮断 一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平 面AC的夹角为400，你知道这棵大树有多高吗？ 参考数据： (sin40°≈0.643; cos40° ≈0.766; tan40° ≈0.839）
A
D
B
5、如图：Rt△ABC中， ∠C=90°,∠A=30°，∠BDC=45° 求：（1）若BC=2,求AD (2) 若AD=4,求BC
B
A
D
C
小结与回顾
1、通过这节课的学习你有什么收获？ 2、本节课你有什么疑惑？
温 1.数形结合有利于分析问题； 馨 2.选择关系式时，尽量应用原始数据，使计算更加精确； 提 示 3.解直角三角形时，应求出所有未知元素。
• 解直角三角形的一般步骤： (1)画示意图； (2)分析已知量与待求量的关系,选择适当 的边角关系；
“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜 （斜边）用切（正切）”
(3)求解；
“宁乘勿除，取原（原始数据）避中（中间数据）”
补充习题
2.如图，在RtABC中，C 90，AC 6，A的平分 线AD 4 3，求AB，BC的长
C
6
cos1
6 4 3

D
2
4 3
3 1 300 2
A
1
B 300
B
AC AB 12 sin B
在ABC中，D为BC边上一点， BD 6，AD 14， CD 12，ACD的面积为 30 3，求AB的长
A 解：如图，作 AE CB，交CB的延长线于 E， 1 S ACD CD AE 30 3 , 又CD 12 5 3 2
ED AD 2 AE 2 14 2 (5 3 ) 2 11
B 6 D 11
12
E
C
BE ED BD 11 6 17
在Rt ABE 中， AB AE 2 EB 2 (5 3 ) 2 17 2 2 91
例3 .如图，△ABC中， ∠B=45°， ∠C=30°， AB=2，求AC的长. 解：过A作AD⊥BC于D，
B、已知一斜边一锐角 C、已知两边 D、已知两角
2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90， b2 3
c 4 .求:(1)a、∠B=
B
A C 3、如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8.求：△ABC的面积(结果可 保留根号).
4、已知：如图，在ΔABC中，∠ACB＝ 90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠B＝ 30°，CD＝6，求AB的长． C
40°
A
4米
自学检测 1
1、如图，在⊿ABC中,∠A=30°, 3 tanB= 2 ,AC= 2 3 ,求AB.
C
A
D
B
你能根据图上信息，提出一个用锐角三角 函数解决的实际问题吗？试一试
P
A
30° 45° 400米 B角形中不能求解的是（ D ）
A、已知一直角边一锐角