江苏省扬州市2016-2017学年文科高二数学下学期期末考试试卷

2016学年第二学期高二数学期末考试一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2），7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即. 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。

2016-2017学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“∃x＞0，”的否定为．2．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为．3．如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为．4．抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为．5．将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为．6．函数的图象在x=1处的切线方程为．7．若双曲线的一条渐近线方程为，则m=．8．“a=3”是“直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行”的条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）9．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则m的取值范围是．10．圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P（0，1）的圆C的标准方程为．11．函数f（x）的定义域为R，且f（﹣3）=1，f'（x）＞2，则不等式f（x）＜2x+7的解集为．12．若直线与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是．13．已知函数（a＞0）．若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则a的最小值为．14．如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF=AB，则椭圆的离心率为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：∀x∈R，x2+1≥m；命题q：方程表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．16．（14分）某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会．此学校各年级人数情况如表：（1）若按年级用分层抽样的方法抽取n个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为，求x、y的值．（2）若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左顶点为A，上、下顶点分别为B，C．（1）若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；（2）若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离．18．（16分）某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，AB为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．（1）设∠COD=x（单位：弧度），将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；（2）当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用．19．（16分）若圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的半径为r，圆心C到直线l的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的取值范围；（2）求d2﹣r2的值；（3）是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请写出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的值域；（3）若a＞0，过原点分别作曲线y=f（x）、y=g（x）的切线l1、l2，且两切线的斜率互为倒数，求证：．2016-2017学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．命题“∃x＞0，”的否定为∀x＞0，．【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，，故答案为：∀x＞0，【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为15．【考点】伪代码．【分析】分析程序的运行过程可知：该程序的作用是累加并输出S=1+2+3+4+5的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5的值；∵S=1+2+3+4+5=15，故输出的S值为15．故答案为：15．【点评】本题考查了伪代码的应用问题，根据已知分析出循环的变量初始、终止值及步长，是解题的关键．3．如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=5×4=20个小方格，小豆子恰好落在阴影部分内包含怕小方格的个数m=4，由此能求出小豆子恰好落在阴影部分内的概率．【解答】解：由四边形ABCD是一个5×4的方格纸，知基本事件总数n=5×4=20个小方格，小豆子恰好落在阴影部分内包含怕小方格的个数m=4，∴小豆子恰好落在阴影部分内的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4．抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线的定义，求解即可．【解答】解：物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为，就是这点到抛物线的准线的距离．抛物线的准线方程为：x=﹣1，所以抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为=3﹣（﹣1）=4．故答案为：4【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力．5．将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为0.028．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率和为1列出方程，即可求出a的值．【解答】解：根据频率和为1，得（0.006+0.01+a+0.034+0.022）×10=1，解得a=0.028．故答案为：0.028．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．6．函数的图象在x=1处的切线方程为y=x+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，计算f（1），f′（1）的值，从而求出切线方程即可．【解答】解：f′（x）=2x﹣，f（1）=2，f′（1）=1，故切线方程是：y﹣2=x﹣1，即：y=x+1，故答案为：y=x+1．【点评】本题考查了求切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．7．若双曲线的一条渐近线方程为，则m=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件即可得到所求m的值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±，由一条渐近线方程为，可得m=，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．8．“a=3”是“直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行”的充分不必要条件．（填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合直线的平行关系判断即可．【解答】解：a=3时，2x+3y+1=0和2x+3y﹣2=0平行，是充分条件，若直线2x+ay+1=0和直线（a﹣1）x+3y﹣2=0平行，则=≠﹣，解得：a=3或a=﹣2，不是必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线的平行关系以及集合的包含关系，是一道基础题．9．已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则m的取值范围是（﹣，0）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得f（x）=m有3个不同实数根．画出函数f（x）的图象，通过图象即可得到所求m的范围．【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，即为f（x）=m有3个不同实数根．当x≥0时，f（x）=﹣2x≤0；当x＜0时，f（x）=xe x，导数f′（x）=（1+x）e x，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得f（x）在x＜0时由最小值，且为﹣．画出f（x）的图象，可得当﹣＜m＜0，函数f（x）和直线y=m有3个交点，函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点．故答案为：（﹣，0）．【点评】不同考查函数零点个数问题的解法，注意运用转化思想，考查数形结合思想方法，属于中档题．10．圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P（0，1）的圆C的标准方程为（x ﹣2）2+y2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】设出圆的标准方程，由已知条件结合直线垂直的性质和点在圆上求出圆心和半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∵圆心在x轴上，∴b=0，（1）∵与直线l：y=2x+1切于点P（0，1），∴=﹣，（2），由（1）、（2），得a=2，b=0，又∵P点在圆上，代入圆的方程得r2=5，∴所求圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=5．故答案为（x﹣2）2+y2=5．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．11．函数f（x）的定义域为R，且f（﹣3）=1，f'（x）＞2，则不等式f（x）＜2x+7的解集为（﹣∞，﹣3）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设F（x）=f（x）﹣（2x+7），则F′（x）=f′（x）﹣2，由对任意x∈R总有f′（x）＞2，知F′（x）=f′（x）﹣2＞0，所以F（x）=f（x）﹣2x﹣7在R上是增函数，由此能够求出结果．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+7）=f（x）﹣2x﹣7，则F′（x）=f′（x）﹣2，∵f′（x）＞2，∴F′（x）=f′（x）﹣2＞0，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣7在R上递增，∵f（﹣3）=1，∴F（﹣3）=f（﹣3）﹣2×（﹣3）﹣7=0，∵f（x）＜2x+7，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣7＜0，∴x＜﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．12．若直线与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是[0，）∪（，π）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线与圆x2+y2=1没有公共点，可得圆心到直线的距离大于半径，即可得出结论．【解答】解：∵直线与圆x2+y2=1没有公共点，∴＞1，∴k∈（﹣1，1），∴α∈[0，）∪（，π）．故答案为：[0，）∪（，π）．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题13．已知函数（a＞0）．若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则a的最小值为12．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则函数（a＞0）的最大值大于等于0，进而求得答案．【解答】解：若存在x0，使得f（x0）≥0成立，则函数（a＞0）的最大值大于等于0，当x=时，函数f（x）取最大值a﹣6，故a﹣6≥0，解得：a≥12，故答案为：12【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的最值，函数的极值，函数的零点，函数的奇偶性等知识点，难度中档．14．如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF=AB，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形FAF′C为平行四边形，进一步得到三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′=AB=x，求出x，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）2+（AF）2=（2c）2，即可求出e2，则答案可求．【解答】解：作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形FAF′C为平行四边形，∴AF′=CF=AB，且AF′⊥AB，则三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′=AB=x，则，即，∴，在三角形AFF′中由勾股定理得（AF′）2+（AF）2=（2c）2，∴．则e=．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的简单性质，考查了勾股定理在解题中的应用，是中档题．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）（2016秋•扬州期末）已知命题p：∀x∈R，x2+1≥m；命题q：方程表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假；函数恒成立问题．【分析】（1）若命题p 为真命题，则（x 2+1）min ≥m ，进而得到实数m 的取值范围；（2）若命题“p ∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题，则p ，q 一个为真命题，一个为假命题，进而得到答案．【解答】解：（1）对于任意x ∈R ，x 2+1≥1，若命题p 为真命题，则（x 2+1）min ≥m ，所以m ≤1；…（2）若命题q 为真命题，则（m ﹣2）（m +2）＜0，所以﹣2＜m ＜2，…（8分） 因为命题“p ∨q”为真命题，“p ∧q”为假命题，则p ，q 至少有一个假命题，所以p ，q 一个为真命题，一个为假命题．…（10分）当命题p 为真命题，命题q为假命题时，，则m ≤﹣2， 当命题p 为假命题，命题q为真命题时，，则1＜m ＜2，综上，m ≤﹣2或1＜m ＜2．…（14分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数恒成立问题，复合命题，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．16．（14分）（2016秋•扬州期末）某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会．此学校各年级人数情况如表：（1）若按年级用分层抽样的方法抽取n 个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n 个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为，求x 、y 的值．（2）若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法． 【分析】（1）依题意得：，求出n=66，从而得到高一年级被抽取的人数为24．由此能求出x，y．（2）若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，设抽取男生的人数为m，则，解得m=2，从而应抽取男生2人，女生3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3，利用列举法能求出至少有1人是男生的概率．【解答】解：（1）依题意得：，解得n=66．…（2分）所以高一年级被抽取的人数为66﹣22﹣20=24．所以，解得x=680，y=490．…（2）若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，设抽取男生的人数为m，则，解得m=2，所以应抽取男生2人，女生3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3．…（8分）记“从中任取2人，至少有1人是男生”为事件A．从中任取2人的所有基本事件共10个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3）．其中至少有1人为男生的基本事件有7个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3）．所以从中从中任取2人，至少有1人是男生的概率为．…（13分）∴至少有1人是男生的概率．…（14分）【点评】本题考查实数值的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．17．（14分）（2016秋•扬州期末）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F（﹣1，0），左顶点为A，上、下顶点分别为B，C．（1）若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；（2）若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得A，B，C的坐标，写出直线BF的方程，再由AC的中点在直线BF上求得a，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由直线BF的斜率可得b，求出a，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆方程求得D的坐标，则点D到椭圆E右准线的距离可求．【解答】解：（1）由题意，A（﹣a，0），B（0，b），C（0，﹣b），又F（﹣1，0），∴c=1，直线BF：y=bx+b．∵M为AC的中点，∴，代入直线BF：y=bx+b，得a=3，由a2=b2+c2=b2+1，得b2=8，∴椭圆E的标准方程是；（2）∵直线BF的斜率为1，则，∴椭圆，又直线BF：y=x+1，联立，解得x=0（舍），或，∵右准线的方程为x=2，∴点D到右准线的距离为．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，是基础的计算题．18．（16分）（2016秋•扬州期末）某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，AB为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．（1）设∠COD=x （单位：弧度），将总费用y 表示为x 的函数式，并指出x 的取值范围；（2）当x 为何值时，总费用最低？并求出最低费用．【考点】扇形面积公式．【分析】（1）根据扇形面积公式和三角形面积公式写出函数y 的解析式； （2）利用导数判断函数的单调性，求出函数y 的最小值以及对应x 的值． 【解答】解：（1）因为扇形AOC 的半径为10 m ，∠AOC=π﹣x （rad ）， 所以扇形AOC 的面积为，；…（3分）在Rt △COD 中，OC=10，CD=10tanx ， 所以△COD 的面积为S △COD =•OC•CD=50tanx ；…所以y=100S △COD +200S 扇形AOC =5000（tanx +2π﹣2x ），；…（8分）（注：没有x 的范围，扣1分）（2）设，则，，令f'（x ）=0，解得，…（11分）从而当时，f'（x ）＜0；当，f′（x ）＞0；因此f （x ）在区间上单调递减；在区间上单调递增；当时，f （x ）取得最小值，且；…（14分）所以y的最小值为（5000+7500π）元；…（15分）答：当时，改造景观的费用最低，最低费用为（5000+7500π）元．…（16分）【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了利用导数求函数的单调性与最值问题，是综合性题目．19．（16分）（2016秋•扬州期末）若圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的半径为r，圆心C 到直线l的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0．（1）求F的取值范围；（2）求d2﹣r2的值；（3）是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请写出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件，结合题意求出F的取值范围；（2）根据题意求出r和d，计算d2﹣r2的值即可；（3）存在定圆M：x2+y2=1满足题意，证明圆M与直线l相切，并且圆M与圆C 相离即可．【解答】解：（1）方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则D2+E2＞4F，又D2+E2=F2，且F＞0，所以中F2＞4F，且F＞0，解得F＞4；…（3分）（2）圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为C（﹣，﹣），半径r==，圆心C到直线l的距离为d==||，所以d2﹣r2=﹣=1；…（8分）（3）存在定圆M：x2+y2=1满足题意，下证之：…（10分）1°因为M（0，0）到直线l的距离为=1=R，所以圆M与直线l相切；2°因为CM==，且R+1=+1，而＞+1，即＞，即4＞0，故CM＞R+1，所以圆M与圆C相离；由1°、2°得，存在定圆M：x2+y2=1满足题意．…（16分）【点评】本题考查了直线与圆的方程与应用问题，也考查了点到直线的距离问题的应用，是综合性问题．20．（16分）（2016秋•扬州期末）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x，其中e为自然对数的底数．（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）求函数y=f（x）在区间[1，e]上的值域；（3）若a＞0，过原点分别作曲线y=f（x）、y=g（x）的切线l1、l2，且两切线的斜率互为倒数，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的最值，得到函数在闭区间的值域即可；（3）求出切线方程，联立方程组得到，根据函数的单调性求出m（x）的范围，从而证明结论．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），．令f'（x）＞0，得增区间为（0，1）；令f'（x）＜0，得减区间为（1，+∞）．…（2分）（2）．当时，f'（x）≥0，f（x）在[1，e]上为增函数，故f（1）≤f（x）≤f（e），从而f（x）的值域为[0，1+a﹣ae]；当a≥1时，f'（x）≤0，f（x）在[1，e]上为减函数，故f（e）≤f（x）≤f（1），从而f（x）的值域为[1+a﹣ae，0]；当时，时f'（x）＞0，f（x）递增；时f'（x）＜0，f（x）递减故f（x）的最大值为；最小值为f（1）与f（e）中更小的一个，当时f（e）≥f（1），最小值为f（1）=0；当时，f（e）＜f（1），最小值为f（e）=1+a﹣ae．综上所述，当时，值域为[0，1+a﹣ae]；当时，值域为[0，﹣lna﹣1+a]；当时，值域为[1+a﹣ae，﹣lna﹣1+a]；当a≥1时，值域为[1+a﹣ae，0]．…（8分）（3）设切线l2对应切点为，切线方程为，将（0，0）代入，解得x0=1，，从而．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，lnx1﹣a（x1﹣1）），，得①切线l1方程为，将（0，0）代入，得②将①代入②，得．令，则，m（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），由，，则．而在上单调递减，故；若x1∈（1，+∞），因m（x）在区间（1，+∞）上单调增，且m（e）=0，所以，与题设a＞0矛盾，故不可能．综上所述，．…（16分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．。

江苏省扬州市数学高二下学期文数期末考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集集合，则为（）A .B .C .D .2. （2分）对任意复数z＝a＋bi（a，b ∈R），i为虚数单位，则下列结论中正确的是（）A . z－＝2aB . z·＝｜z｜2C . ＝1D . ≥03. （2分）某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）进行统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A . 83%B . 72%C . 67%D . 66%4. （2分）为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是A . 30B . 60C . 70D . 805. （2分） (2019高二上·诸暨月考) 已知，是平面内的两条直线，是空间中的一条直线.则“直线且”是“ ”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分） (2016高二下·民勤期中) 类比下列平面内的结论，在空间中仍能成立的是（）①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行；③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直；④如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交．A . ①②④B . ①③C . ②④D . ①③④7. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+ ，则f（﹣1）=（）A . 2B . 1C . 0D . ﹣28. （2分）某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林（）A . 亩B . 亩C . 亩D . 亩9. （2分）已知1既是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（）A . 1或B . 1或C . 1或D . 1或10. （2分）(2019·武威模拟) 已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（）A .B .C .D .11. （2分）若函数y=cosx+ax在[﹣，]上是增函数，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣1]B . （﹣∞，1]C . [﹣1，+∞）D . [1，+∞）12. （2分） (2019高二上·辽宁月考) 直线是圆在处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于（）A . 1B .C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知A(a,3)，B(－2,5a)，|AB|＝13，则实数a的值为________．14. （1分）(2020·湖南模拟) 过上一点作曲线的切线，则切线方程为________.15. （1分） (2019高一上·荆门期中) 已知，则________16. （1分） (2015高二下·周口期中) 如图是y=f（x）的导函数的图象，现有四种说法：1）f（x）在（﹣2，1）上是增函数；2）x=﹣1是f（x）的极小值点；3）f（x）在（﹣1，2）上是增函数；4）x=2是f（x）的极小值点；以上说法正确的序号是________．三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分） (2017高一下·承德期末) 设函数f（x）=ax2+（b﹣1）x+3．（1）若不等式f（x）＞0的解为（﹣1，），求不等式bx2﹣3x+a≤0的解集；（2）若f（1）=4，a＞0，b＞0，求ab的最大值．18. （10分）(2018·河北模拟) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程分别为， .（1）将直线的参数方程化为极坐标方程，将的极坐标方程化为参数方程；（2）当时，直线与交于，两点，与交于，两点，求 .19. （10分） (2019高三上·柳州月考) 某地对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，分别记录了3月1日到3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日101113128温差发芽数y（颗）2325302616他们所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对选取的2组数据进行检验.参考公式：，其中（1）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；并预报当温差为时的种子发芽数.20. （15分）某电器专卖店销售某种型号的空调，记第n天（1≤n≤30，n∈N+）的日销售量为f（n）（单位；台）．函数f（n）图象中的点分别在两条直线上，如图，该两直线交点的横坐标为m（m∈N+），已知1≤n≤m时，函数f（n）=32﹣n．（1）当m≤n≤30时，求函数f（n）的解析式；（2）求m的值及该店前m天此型号空调的销售总量；（3）按照经验判断，当该店此型号空调的销售总量达到或超过570台，且日销售量仍持续增加时，该型号空调开始旺销，问该店此型号空调销售到第几天时，才可被认为开始旺销？21. （10分） (2015高二下·宜春期中) 已知函数f（x）=x2﹣2lnx．（1）求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增．（2）若f（x）≥2tx﹣在x∈（0，1]内恒成立，求实数t的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、第11 页共11 页。

扬州市2016—2017学年度第二学期期末检测试题高 一 数 学（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．22cos 15sin 15︒-︒= ． 2．不等式2230x x --<的解为 ．3．ABC ∆中，3,4,60AB BC B ===︒，则AC = ．4． 已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 ．5．已知(,0)2x π∈-，3cos 5x =，则tan 2x = ． 6． 设变量,x y 满足约束条件212x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-+的最小值为 ． 7．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =， 352a a +=-，则使得n S 取最大值时的正整数n = ．8．已知α，β，γ是三个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m α⊥，m β⊂，那么αβ⊥； ②如果m n ⊥，m α⊥，那么//n α； ③如果αβ⊥，//m α，那么m β⊥；④如果//αβ，m αγ= ，n βγ= ，那么//m n ．其中正确的命题有 ．（写出所有正确命题的序号） 9．已知02πθ≤≤且1sin()63πθ-=，则cos θ= ．10．若数列1{}(1)n n +的前n 项和为n S ，若134n n S S +⋅=，则正整数n 的值为 ． 11．已知正数,a b满足14a b +=ab 的最小值为 ▲ ．12．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得60NAM ∠=︒，∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°；已知山高BC ＝300米，则山高MN ＝ 米． 13．在数列{}n a 中，21123+222(221)n n n n a a a a n t -+++=⋅-+ 对任意*n ∈N 成立，其中常数0t >．若关于n的不等式*{|4,}n n n ≥∈N ，则实数m 的取值范围是 ．14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．，4ab =，的最小值是 ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）已知：sin()2sin()044ππαα++-=．（1）求tan α的值；（2）若1tan()43πβ-=，求tan()αβ+的值．16．（本题满分14分）已知：三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD ⊥，E ，F 分别为BD ，AD 的中点．（1）求证：//EF 平面ABC ；（2）若CB CD =，求证：AD ⊥平面CEF ．CBNM（第12题）FEDCBA17．（本题满分14分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且235a a a =，4210S S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本题满分16分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足2cos cos b c Ca A -=． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆的面积ABC S ∆=b c +的值；（3）若函数()2sin cos()6f x x x π=+，求()f B 的取值范围．19．（本题满分16分）水培植物需要一种植物专用营养液．已知每投放a （14a ≤≤且a R ∈）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y （克/升）随着时间x （天）变化的函数关系式近似为()y af x =，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效． （1）若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间可能达几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后投放b 个单位的营养液．要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b 的最小值．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：对于任意*n N ∈且2n ≥时，121n n a a n λ-+=+，14a =．（1）若13λ=-，求证：{3}n a n -为等比数列；（2）若1λ=-．① 求数列{}n a 的通项公式；② 是否存在*k ∈N 25为数列{}n a 中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．扬州市2016—2017学年度第二学期期末检测试题高一数学参考答案2017．61．2．(1,3)-34．16π5．2476．4-7．3 8．①④ 910．611．4 12．450 131415．解：（1）sin()2sin()044ππαα++-=i n c o s2(s i n c o s)02222αααα++-=，∴1tan3α=............6分（2）∵1tan()43πβ-=∴1tan11tan3ββ-=+，解得：1tan2β=...........10分∴11tan tan32tan()1111tan tan132αβαβαβ+++===--⨯............14分16．证：（1）∵E，F分别为BD，AD的中点∴//EF AB∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC∴//EF平面ABC............6分（2）∵CB CD=，E为BD的中点∴CE BD⊥∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD 平面BCD BD=，CE⊂平面BCD∴CE⊥平面ABD............9分∵AD⊂平面ABD∴CE AD⊥∵//EF AB，AB AD⊥∴AD EF⊥............11分∵CE⊂平面CEF，EF⊂平面CEF，CE EF E=∴AD⊥平面CEF．............14分FEDCBA17．解：（1）设正项等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则41214,2S a S a ==，不符合题意；............2分则1q ≠ ∴421114211(1)(1)1011a q a q a q a q a q q q ⎧=⋅⎪⎨--=⋅⎪--⎩ ，0n a >解得：13a q == ............5分∴1333n n n a -=⨯= ............7分 （2）23133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ①234+13133353(21)3n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ② ...........9分①-②得：23113332132(333)(21)323(21)313n nn n n T n n ++-⨯-=⨯++++--⨯=⨯---⨯-1(22)36n n +=--⨯- ...........13分 ∴1(1)33n n T n +=-⨯+ ...........14分18．解：（1）根据正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得：2sin sin cos sin cos B C CA A-=2sin cos sin cos cos sin sin B A C A C A B ∴=+= ∵(0,)B π∈ ∴sin 0B >∴1cos 2A = ∵(0,)2A π∈ ∴3A π= ...........4分 （2）∵11sin 22ABC S bc A bc ∆=== ∴12bc = ...........6分∵222222cos 13a b c bc A b c bc =+-=+-= 222()31331249b c b c b c b c ∴+=+-+=+⨯= ∵0b c +> ∴7b c += ...........9分 （3）()2sin cos()2sin (cos cos sin sin )666f x x x x x x πππ=+=-112(1cos 2)sin(2)262x x x π=--=+- ∴1()sin(2)62f B B π=+- ...........12分 ∵ABC ∆为锐角三角形 ∴0202B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，又23C B π=- ∴62B ππ<< ...........14分∴72266B πππ<+<∴1sin(2)126B π-<+< ∴()f B 的取值范围为1(1,)2-．...........16分19．（1）∵营养液有效则需满足4y ≥，则或254(5)4x x <≤⎧⎨-≥⎩，解得04x ≤≤， 所以营养液有效时间可达4天． ...........6分 （2）设第二次投放营养液的持续时间为x 天，则此时第一次投放营养液的持续时间为(3)x +天，且02x ≤≤；设1y 为第一次投放营养液的浓度，2y 为第二次投放营养液的浓度，y 为水中的营养液的浓度；∴12[5(3)]42y x x =-+=-，244xy b x +=⋅-，124(42)44xy y y x b x +=+=-+⋅≥-在[0,2]上恒成立 ..........10分∴424xb x x -≥⋅+在[0,2]上恒成立令4,[4,6]t x t =+∈，322()24b t t ≥-++， ..........13分所以b答：要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，b..........16分20．（1）当13λ=-时，1121(2,*)3n n a a n n n N -=++≥∈且131a -=∴1111111213(33)31333(1)33333n n n n n n a n n a n a n a n a n a n -----++--+-===---+-+为常数 ∴{3}n a n -为等比数列 ........3分 （2）①当1λ=-时，121(2,*)n n a a n n n N --=+≥∈ ∴1221n n a a n ---=-2323n n a a n ---=-…………215a a -=∴21(1)(215)(21)(21)5232n n n a a n n n n -++-=++-++==+- (2,*)n n N ≥∈∵14a = ∴2221(1)(2,*)n a n n n n n N =++=+≥∈又14a =满足上式，所以2(1)(*)n a n n N =+∈． ............8分② 假设存在满足条件的k 25m a +=， ∴2(21)(22)25(1)k k m +++=+ （*）∴222(21)(21)(22)(1)25(22)k k k m k +<++=+-<+ ............10分∴2222(1)(21)25(1)(22)25m k m k ⎧+-+>⎨+-+<⎩即(22)(2)25(1)(23)(21)25(2)m k m k m k m k ++->⎧⎨++--<⎩ 由（1）得20m k ->且,*m k N ∈ ∴21m k -≥ ∴210m k --≥ 若210m k --=，代入（*），解得：232k =（舍） ............13分 ∴210m k -->即211m k --≥ ∴2325m k ++< ∴22222k m k +≤<- ∴22222k k +<- ∴5k < ∵*k N ∈ ∴k 可取1,2,3,4 代入（*）检验，解得：3,8k m ==∴存在3k =满足题意． ............16分。

江苏省扬州市2017~2018学年第二学期期末试卷（文）高二数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.【答案】0.【解析】分析：根据集合的并集的含义，有集合A或B必然含有元素0，又由集合A,B可得得结果.A或B必然含有元素0，0.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的并集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.2. 已知i..点睛：该题考查的是有关复数模的求解问题，根据公式运算即可，属于简单题目.3. 若幂函数，则实数.【解析】∵答案：4. 若点.P点的坐标代入直线方程，利用同角三角函数间.点睛：该题考查的是有关点在直线上的条件是点的坐标满足直线的方程，再者就是同角三角函数关系式中的商关系，注意公式的正确使用.5. _______.【解析】分析：首先；利用图像的对称变换和平移变换，得到函数图像所过的点，此时应用对称点以及平移对坐标的影响，得到相应的点的坐标，求得结果.点睛：该题考查的是有关图像过的点的问题，在解题的过程中，需要用到对称点的坐标与该点坐标之间的关系，以及平移之后点的坐标的变化特点，求得结果.6. 已知i_______..【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简，求出复数z，进而求得其共轭复数，从而求得结果.，故答案是.点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题，在解题的过程中，需要对复数的除法运算法则灵活掌握，以及共轭复数满足的条件是实部相等，虚部互为相反数.7. _______.【解析】分析：根据两平行直线的斜率相等，在纵轴上的截距不相等，求出m，利用两行直线间的距离公式求出两平行直线间的距离.故两平行直线间的距离为点睛：该题考查的是有关两直线平行的条件，以及平行线之间的距离问题，在解题的过程中，需要应用直线平行的条件是斜率相等，截距不等，得到系数直角的关系，之后应用平行线之间的距离公式求得结果.8. _______.【解析】分析：根据题中所给的函数的图像，可以求得函数取得最大值1.时取得最大值1，所以结合，解得，所以函数的解析式是点睛：该题考查的是有关利用图像求函数解析式的问题，在解题的过程中，需要明确解析式中的参数.9. 通过类比的方法，可求得：在空间中，点______.【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可.到平面的距离点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.10. .【答案】或9.【解析】分析：首先将圆C的方程化为标准方程，根据两圆相切，得到两圆心之间的距离要么等于两半径和，要么等于两半径差，得出相应的等量关系式，从而求得相应的结果.详解：圆C与圆C相切，或或点睛：该题考查的是有关两圆的位置关系的问题，根据两圆相切，得到两圆内切或外切，从而得到两圆心之间的距离所满足的关系式，从而求得结果，在解题的过程中，需要注意相切应分为外切和内切两种情况.11. ______...因为，所以，故函数的值域为点睛：该题以三角函数为载体，考查二次函数在某个闭区间上的值域问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有同角三角函数关系中的平方关系，余弦函数在某个闭区间上的值域，二次函数在某个闭区间上的值域问题，注意对知识点的灵活掌握.12. 与直线M,N,则MN的最小值为______.相切于点，利用函数Q到直线的距离d，即为所求.，解得，求得点Q到直线点睛：该题考查的是应用导数研究曲线上的点与直线上的点之间的距离的最小值，结合图形的特征，可以得到对应的思路是求曲线与直线平行的切线，结合导数的几何意义，从而求得结果，最后应用点到直线的距离求得结果.13. 已知圆心在x轴负半轴上的圆C与y轴和直线C相交于M,N满足则实数m=______.【解析】分析：首先根据圆的特点，求得圆的方程，之后将直线的方程与圆的方程联立，利用韦达定理求得两根和与两根积，之后借助于向量垂直的条件，求得实数m的值.详解：设圆C的圆心是，根据题意可知圆的半径是所以圆C，联立，化简得，，所以，即点睛：该题考查的是有关直线与圆的问题，在解题的过程中，需要注意根据条件，确定圆的方程的时候用到的是圆心到直线的距离等于半径，求得圆心的坐标以及半径长，从而求得结果，之后借助于向量垂直的条件为数量积等于零，从而得答其满足的等量关系式，求得结果.14. 定义在Ra的取值范围是______.【答案】性质确定出a的范围.，即对R上单调递减，，所以，即，，如果与其反函数图像相交，则交点一定在直线R上单调递增，所以，故答案是点睛：该题考查的是有关参数的范围求解的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有构造新函数，应用题的条件确定函数的单调性，利用最值处理存在性问题，结合单调性求得最值，从而求导结果.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15. 已知锐角（1（2）（2.【解析】分析：（1）首先利用正弦倍角公式将式子转化，之后应用平方关系将整式转化为分式，上下同除，将式子转化为关于的式子，求解即可；（2式求得结果.详解：（1（2点睛：该题考查的是有关三角恒等变换求值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式、倍角公式、差角公式，在解题的过程中，正确使用公式是解题的关键.16. 若命题p:关于x q:R上是增函数.（1）若命题是真命题，求实数a的取值范围。

2016-2017学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.(5分)命题“∃x＞0，”的否定为.2.(5分)根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为.3.(5分)如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为.4.(5分)抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为.5.(5分)将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为.6.(5分)函数的图象在x=1处的切线方程为.7.(5分)若双曲线的一条渐近线方程为，则m=.8.(5分)“a=3”是“直线2x+ay+1=0和直线(a﹣1)x+3y﹣2=0平行”的条件.(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)9.(5分)已知函数，若函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点，则m的取值范围是.10.(5分)圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P(0，1)的圆C的标准方程为.11.(5分)函数f(x)的定义域为R，且f(﹣3)=1，f'(x)＞2，则不等式f(x)＜2x+7的解集为.12.(5分)若直线与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是.13.(5分)已知函数(a＞0).若存在x0，使得f(x0)≥0成立，则a 的最小值为.14.(5分)如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF=AB，则椭圆的离心率为.二、解答题(本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知命题p：∀x∈R，x2+1≥m；命题q：方程表示双曲线.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围.16.(14分)某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会.此学校各年级人数情况如表：(1)若按年级用分层抽样的方法抽取n个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为，求x、y的值.(2)若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率.17.(14分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F(﹣1，0)，左顶点为A，上、下顶点分别为B，C.(1)若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；(2)若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离.18.(16分)某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O在道路上，AB为直径)，现要在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取一点C，道路上B 点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米.在扇形区域AOC 内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元.(1)设∠COD=x(单位：弧度)，将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；(2)当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用.19.(16分)若圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的半径为r，圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0.(1)求F的取值范围；(2)求d2﹣r2的值；(3)是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请写出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由.20.(16分)已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)，g(x)=e x，其中e为自然对数的底数.(1)当a=1时，求函数y=f(x)的单调区间；(2)求函数y=f(x)在区间[1，e]上的值域；(3)若a＞0，过原点分别作曲线y=f(x)、y=g(x)的切线l1、l2，且两切线的斜率互为倒数，求证：.2016-2017学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上)1.(5分)命题“∃x＞0，”的否定为∀x＞0，.【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x＞0，，故答案为：∀x＞0，2.(5分)根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为15.【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+2+3+4+5的值；∵S=1+2+3+4+5=15，故输出的S值为15.故答案为：15.3.(5分)如图，四边形ABCD是一个5×4的方格纸，向此四边形内抛撒一粒小豆子，则小豆子恰好落在阴影部分内的概率为.【解答】解：由四边形ABCD是一个5×4的方格纸，知基本事件总数n=5×4=20个小方格，小豆子恰好落在阴影部分内包含怕小方格的个数m=4，∴小豆子恰好落在阴影部分内的概率p=.故答案为：.4.(5分)抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4.【解答】解：物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为，就是这点到抛物线的准线的距离.抛物线的准线方程为：x=﹣1，所以抛物线y2=4x上横坐标为3的点P到焦点F的距离为=3﹣(﹣1)=4.故答案为：45.(5分)将参加环保知识竞赛的学生成绩整理后画出的频率分布直方图如图所示，则图中a的值为0.028.【解答】解：根据频率和为1，得(0.006+0.01+a+0.034+0.022)×10=1，解得a=0.028.故答案为：0.028.6.(5分)函数的图象在x=1处的切线方程为y=x+1.【解答】解：f′(x)=2x﹣，f(1)=2，f′(1)=1，故切线方程是：y﹣2=x﹣1，即：y=x+1，故答案为：y=x+1.7.(5分)若双曲线的一条渐近线方程为，则m=.【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±，由一条渐近线方程为，可得m=，故答案为：.8.(5分)“a=3”是“直线2x+ay+1=0和直线(a﹣1)x+3y﹣2=0平行”的充分不必要条件.(填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”)【解答】解：a=3时，2x+3y+1=0和2x+3y﹣2=0平行，是充分条件，若直线2x+ay+1=0和直线(a﹣1)x+3y﹣2=0平行，则=≠﹣，解得：a=3或a=﹣2，不是必要条件，故答案为：充分不必要.9.(5分)已知函数，若函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点，则m的取值范围是(﹣，0).【解答】解：函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点，即为f(x)=m有3个不同实数根.当x≥0时，f(x)=﹣2x≤0；当x＜0时，f(x)=xe x，导数f′(x)=(1+x)e x，当﹣1＜x＜0时，f′(x)＞0，f(x)递增；当x＜﹣1时，f′(x)＜0，f(x)递减.可得f(x)在x＜0时由最小值，且为﹣.画出f(x)的图象，可得当﹣＜m＜0，函数f(x)和直线y=m有3个交点，函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点.故答案为：(﹣，0).10.(5分)圆心在x轴上且与直线l：y=2x+1切于点P(0，1)的圆C的标准方程为(x ﹣2)2+y2=5.【解答】解：设圆的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2，∵圆心在x轴上，∴b=0，(1)∵与直线l：y=2x+1切于点P(0，1)，∴=﹣，(2)，由(1)、(2)，得a=2，b=0，又∵P点在圆上，代入圆的方程得r2=5，∴所求圆的标准方程为(x﹣2)2+y2=5.故答案为(x﹣2)2+y2=5.11.(5分)函数f(x)的定义域为R，且f(﹣3)=1，f'(x)＞2，则不等式f(x)＜2x+7的解集为(﹣∞，﹣3).【解答】解：设F(x)=f(x)﹣(2x+7)=f(x)﹣2x﹣7，则F′(x)=f′(x)﹣2，∵f′(x)＞2，∴F′(x)=f′(x)﹣2＞0，∴F(x)=f(x)﹣2x﹣7在R上递增，∵f(﹣3)=1，∴F(﹣3)=f(﹣3)﹣2×(﹣3)﹣7=0，∵f(x)＜2x+7，∴F(x)=f(x)﹣2x﹣7＜0，∴x＜﹣3，故答案为：(﹣∞，﹣3).12.(5分)若直线与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是[0，)∪(，π).【解答】解：∵直线与圆x2+y2=1没有公共点，∴＞1，∴k∈(﹣1，1)，∴α∈[0，)∪(，π).故答案为：[0，)∪(，π).13.(5分)已知函数(a＞0).若存在x0，使得f(x0)≥0成立，则a 的最小值为16.【解答】解：若存在x0，使得f(x0)≥0成立，即存在x0∈(0，]，使得≥0时成立，即存在x0∈(0，]，使得﹣3x4+ax3﹣a2≥0成立，则函数g(x)=﹣3x4+ax3﹣a2(a＞0)的x∈(0，]最大值大于等于0，∵g′(x)=﹣12x3+3ax2当x∈(0，)时，g′(x)＞0当x∈(，]时，g′(x)＜0当x=时，函数f(x)取最大值a﹣4，故a﹣4≥0，解得：a≥16，故答案为：1614.(5分)如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于A，B两点，点C是点A关于原点O的对称点，若CF⊥AB且CF=AB，则椭圆的离心率为.【解答】解：作另一焦点F′，连接AF′和BF′和CF′，则四边形FAF′C为平行四边形，∴AF′=CF=AB，且AF′⊥AB，则三角形ABF′为等腰直角三角形，设AF′=AB=x，则，即，∴，在三角形AFF′中由勾股定理得(AF′)2+(AF)2=(2c)2，∴.则e=.故答案为：.二、解答题(本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(14分)已知命题p：∀x∈R，x2+1≥m；命题q ：方程表示双曲线.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围.【解答】解：(1)对于任意x∈R，x2+1≥1，若命题p为真命题，则(x2+1)min≥m，所以m≤1；…(5分)(2)若命题q为真命题，则(m﹣2)(m+2)＜0，所以﹣2＜m＜2，…(8分)因为命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个假命题，所以p，q一个为真命题，一个为假命题.…(10分)当命题p为真命题，命题q 为假命题时，，则m≤﹣2，当命题p为假命题，命题q 为真命题时，，则1＜m＜2，综上，m≤﹣2或1＜m＜2.…(14分)16.(14分)某学校为了解学生的学习、生活等情况，决定召开一次学生座谈会.此学校各年级人数情况如表：(1)若按年级用分层抽样的方法抽取n个人，其中高二年级22人，高三年级20人，再从这n个人中随机抽取出1人，此人为高三年级的概率为，求x、y的值.(2)若按性别用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，从这5人中任取2人，求至少有1人是男生的概率.【解答】解：(1)依题意得：，解得n=66.…(2分)所以高一年级被抽取的人数为66﹣22﹣20=24.所以，解得x=680，y=490.…(6分)(2)若用分层抽样的方法在高三年级抽取一个容量为5的样本，设抽取男生的人数为m，则，解得m=2，所以应抽取男生2人，女生3人，分别记作A1、A2；B1、B2、B3.…(8分)记“从中任取2人，至少有1人是男生”为事件A.从中任取2人的所有基本事件共10个：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3).其中至少有1人为男生的基本事件有7个：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3).所以从中从中任取2人，至少有1人是男生的概率为.…(13分)∴至少有1人是男生的概率.…(14分)17.(14分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为F(﹣1，0)，左顶点为A，上、下顶点分别为B，C.(1)若直线BF经过AC中点M，求椭圆E的标准方程；(2)若直线BF的斜率为1，BF与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离.【解答】解：(1)由题意，A(﹣a，0)，B(0，b)，C(0，﹣b)，又F(﹣1，0)，∴c=1，直线BF：y=bx+b.∵M为AC的中点，∴，代入直线BF：y=bx+b，得a=3，由a2=b2+c2=b2+1，得b2=8，∴椭圆E的标准方程是；(2)∵直线BF的斜率为1，则，∴椭圆，又直线BF ：y=x +1，联立，解得x=0(舍)，或，∵右准线的方程为x=2， ∴点D 到右准线的距离为.18.(16分)某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地(圆心O 在道路上，AB 为直径)，现要在荒地的基础上改造出一处景观.在半圆上取一点C ，道路上B 点的右边取一点D ，使OC 垂直于CD ，且OD 的长不超过20米.在扇形区域AOC 内种植花卉，三角形区域OCD 内铺设草皮.已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元.(1)设∠COD=x(单位：弧度)，将总费用y 表示为x 的函数式，并指出x 的取值范围；(2)当x 为何值时，总费用最低？并求出最低费用.【解答】解：(1)因为扇形AOC 的半径为10 m ，∠AOC=π﹣x(rad)， 所以扇形AOC 的面积为，；…(3分)在Rt △COD 中，OC=10，CD=10tanx ， 所以△COD 的面积为S △COD =•OC•CD=50tanx ；…(5分)所以y=100S △COD +200S 扇形AOC =5000(tanx +2π﹣2x)，；…(8分)(注：没有x 的范围，扣1分) (2)设，则，，令f'(x)=0，解得，…(11分)从而当时，f'(x)＜0；当，f′(x)＞0；因此f(x)在区间上单调递减；在区间上单调递增；当时，f(x)取得最小值，且；…(14分)所以y的最小值为(5000+7500π)元；…(15分)答：当时，改造景观的费用最低，最低费用为(5000+7500π)元. …(16分)19.(16分)若圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的半径为r，圆心C到直线l：Dx+Ey+F=0的距离为d，其中D2+E2=F2，且F＞0.(1)求F的取值范围；(2)求d2﹣r2的值；(3)是否存在定圆M既与直线l相切又与圆C相离？若存在，请写出定圆M的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，则D2+E2＞4F，又D2+E2=F2，且F＞0，所以中F2＞4F，且F＞0，解得F＞4；…(3分)(2)圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为C(﹣，﹣)，半径r==，圆心C到直线l的距离为d==||，所以d2﹣r2=﹣=1；…(8分)(3)存在定圆M：x2+y2=1满足题意，下证之：…(10分)1°因为M(0，0)到直线l的距离为=1=R，所以圆M与直线l相切；2°因为CM==，且R+1=+1，而＞+1，即＞，即4＞0，故CM＞R+1，所以圆M与圆C相离；由1°、2°得，存在定圆M：x2+y2=1满足题意. …(16分)20.(16分)已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)，g(x)=e x，其中e为自然对数的底数.(1)当a=1时，求函数y=f(x)的单调区间；(2)求函数y=f(x)在区间[1，e]上的值域；(3)若a＞0，过原点分别作曲线y=f(x)、y=g(x)的切线l1、l2，且两切线的斜率互为倒数，求证：.【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=lnx﹣x+1，定义域为(0，+∞)，.令f'(x)＞0，得增区间为(0，1)；令f'(x)＜0，得减区间为(1，+∞).…(2分) (2).当时，f'(x)≥0，f(x)在[1，e]上为增函数，故f(1)≤f(x)≤f(e)，从而f(x)的值域为[0，1+a﹣ae]；当a≥1时，f'(x)≤0，f(x)在[1，e]上为减函数，故f(e)≤f(x)≤f(1)，从而f(x)的值域为[1+a﹣ae，0]；当时，时f'(x)＞0，f(x)递增；时f'(x)＜0，f(x)递减故f(x)的最大值为；最小值为f(1)与f(e)中更小的一个，当时f(e)≥f(1)，最小值为f(1)=0；当时，f(e)＜f(1)，最小值为f(e)=1+a﹣ae.综上所述，当时，值域为[0，1+a﹣ae]；当时，值域为[0，﹣lna﹣1+a]；当时，值域为[1+a﹣ae，﹣lna﹣1+a]；当a≥1时，值域为[1+a﹣ae，0]. …(8分)(3)设切线l2对应切点为，切线方程为，将(0，0)代入，解得x0=1，，从而.设l1与曲线y=f(x)的切点为(x1，lnx1﹣a(x1﹣1))，，得①切线l1方程为，将(0，0)代入，得②将①代入②，得.令，则，m(x)在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增.若x1∈(0，1)，由，，则.而在上单调递减，故；若x1∈(1，+∞)，因m(x)在区间(1，+∞)上单调增，且m(e)=0，所以，与题设a＞0矛盾，故不可能.综上所述，.…(16分)。

2015-2016学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝．2．（5分）复数（2+i）i的虚部为．3．（5分）命题：“若a≠0，则a2＞0”的否命题是“”．4．（5分）若函数f（x）＝2cos x，则f′（x）＝．5．（5分）lg+2lg2+（）0＝．6．（5分）幂函数f（x）＝xα（α∈R）过点（2，），则f（16）＝．7．（5分）若＝，则n＝．8．（5分）若函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，1]，求函数y＝f（x+）•f（x﹣）的定义域为．9．（5分）“a＜0”是方程“ax2+2x+1＝0至少有一个负数根”的条件．10．（5分）学校为绿化环境，移栽了香樟树3株．设香樟树移栽的成活率为，且各株大树是否成活互不影响．则移栽的3株大树中至少成活2株的概率为．11．（5分）已知f（x）＝3x|x|，且f（1﹣a）+f（2a）＜0，则实数a的取值范围是．12．（5分）设函数f（x）＝（x＞0），观察：f1（x）＝f（x）＝，f2（x）＝f（f1（x））＝，f3（x）＝f（f2（x））＝，f（x）＝f（f3（x））＝，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）＝f（f n﹣1（x））＝．13．（5分）已知函数f（x）＝（+）（2﹣1），若关于x的方程f（x）＝m 有实数解，则实数m的取值范围为．14．（5分）设函数f（x）＝，若2≤f（f（x））≤6，则实数x的取值范围是．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知复数z＝1﹣i．（1）设w＝z（1+i）﹣1﹣3i，求|w|；（2）如果＝i，求实数a，b的值．16．（14分）定义在实数集上的函数f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）＝x2+ax+a．（1）求f（x）、g（x）的解析式；（2）命题p：∀x∈[1，2]，f（x）≥1，命题q：∃x∈[﹣1，2]，g（x）≤﹣1，若p∨q为真，求a的范围．17．（15分）袋中装有4个黑球和3个白球，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一个球．甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，…，摸取后均不放回，直到有一人摸取到白球即终止．每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的．用X表示摸球终止时所需的摸球的次数．（1）求甲乙两人各摸一次球就终止的概率；（2）求随机变量X的概率分布列和数学期望E（X）．18．（15分）某单位用3240万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少15层的小高层、每层3000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥15）层，则每平方米的平均建筑费用为840+kx（单位：元）．已知盖15层每平方米的平均建筑费用为1245元．（1）求k的值；（2）当楼房建为多少层时，楼房每平方米的平均综合费用最少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）19．（16分）定义在[a，b]上的函数f（x），若存在x0∈（a，b）使得f（x）在[a，x0]上单调递增，在[x0，b]上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，x0为峰点．（1）若f（x）＝﹣x3+3x，则f（x）是否为[0，2]上的单峰函数，若是，求出峰点；若不是，说明理由；（2）若g（x）＝m•4x+2x在[﹣1，1]上不是单峰函数，求实数m的取值范围；（3）若h（x）＝|x2﹣1|+n|x﹣1|在[﹣2，2]上为单峰函数，求负数n的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝x2﹣2alnx（a∈R），g（x）＝2ax．（1）求函数f（x）的极值；（2）若a＞0，函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有且只有一个零点，求实数a的值；（3）若0＜a＜1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求a的取值范围．Ⅱ卷（全卷满分0分，考试时间30分钟）21．在二项式（x+）n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A ＝64B，求二项式（x+）n的展开式中的常数项．22．有3个男生和3个女生．（1）若6人站成一排，求男生甲必须站在两端的排法数；（2）若6人站成前后两排，每排3人，求前排恰有一位女生的排法数．23．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱P A⊥底面ABCD，P A＝AB ＝2，AD＝4，M为侧棱PC的中点．（1）求异面直线AM与PB所成角；（2）求直线AM与平面BPC所成角的正弦值．24．设正整数数列{a n}满足a2＝4，且对∀n∈N*有：a n（2a n+1+1）＜n（n+1）（a n+a n+1）＜a n+1（2a n+1）（1）求a1，a3；（2）猜想{a n}的通项公式，并证明你的结论．2015-2016学年江苏省扬州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．【解答】解：如图，因为集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＜1}，所以，A∩B＝{x|x≥0}∩{x|x＜1}＝[0，1）．故答案为[0，1）．2．【解答】解：（2+i）i＝﹣1+2i由复数的概念可得：虚部为2故答案为：23．【解答】解：命题的条件是：a≠0，结论是：a2＞0．∴否命题是：若a＝0，则a2≤0．故答案为：若a＝0，则a2≤0．4．【解答】解：∵f（x）＝2cos x，∴f′（x）＝﹣2sin x，故答案为：﹣2sin x5．【解答】解：lg+2lg2+（）0＝lg+1＝lg（）+1＝lg10+1＝2．故答案为：2．6．【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα（α∈R）过点（2，），∴f（2）＝2α＝，则α＝，即f（x）＝＝，则f（16）＝＝4，故答案为：4．7．【解答】解：根据组合数公式得到2n＝9﹣n或者2n+9﹣n＝15解得n＝3或6；故答案为：3或6．8．【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，1]，∴，解得：﹣≤x≤，故答案为：[﹣，]．9．【解答】解：当a＜0时，△＝4﹣4a＞0，由韦达定理知x1•x2＝＜0，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当ax2+2x+1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为﹣，所以a不一定小于0．由上述推理可知，“a＜0”是方程“ax2+2x+1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要10．【解答】解：移栽的3株大树中至少成活2株的概率为••+•＝，故答案为：．11．【解答】解：当x≥0时，f（x）＝3x2，此时函数为增函数且f（x）≥0，当x＜0时，f（x）＝﹣3x2，此时函数为增函数且f（x）＜0，综上函数f（x）在R上是增函数，∵f（﹣x）＝﹣3x|x|＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，则不等式f（1﹣a）+f（2a）＜0等价为f（2a）＜﹣f（1﹣a）＝f（a﹣1），则2a＜a﹣1，得a＜﹣1，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣1）．12．【解答】解：观察：f1（x）＝f（x）＝，f2（x）＝f（f1（x））＝，f3（x）＝f（f2（x））＝，f（x）＝f（f3（x））＝，…根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）＝f（f n﹣1（x））＝．故答案为：．13．【解答】解：令t＝+，（+）2＝2+2＝t2，∴2﹣1＝t2﹣3，∴﹣1≤t2﹣3≤1，∴≤t≤2，∴f（x）＝（+）（2﹣1）＝t3﹣3t，y'＝3t2﹣3，∴定义域内递增，∴﹣≤f（x）≤2，∵关于x的方程f（x）＝m有实数解，∴﹣≤m≤2，故答案为﹣≤m≤2，14．【解答】解：设t＝f（x），则不等式等价为2≤f（t）≤6，当t≥0是，f（t）＝﹣t2≤0，不满足条件．当t＜0时，由2≤f（t）≤6，得2≤t2+t≤6，即得得，得﹣3≤t≤﹣2或1≤t≤2，∵t＜0，∴﹣3≤t≤﹣2，当x＜0时，得﹣3≤x2+x≤﹣2，，此时无解，当x≥0时，得﹣3≤﹣x2≤﹣2，即2≤x2≤3，此时≤x≤，故答案为：[，]二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解答】解（1）因为z＝1﹣i，所以w＝z（1+i）﹣1﹣3i＝1﹣3i…（3分）∴|w|＝；…（7分）（2）由题意得：z2+az+b＝（1﹣i）2+a（1﹣i）+b＝a+b﹣（2+a）i；（1+i）i＝﹣1+i所以，…（12分）解得．…（14分）16．【解答】解：（1）由f（x）+g（x）＝x2+ax+a．①，得f（﹣x）+g（﹣x）＝x2﹣ax+a．因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），…（2分）所以﹣f（x）+g（x）＝x2﹣ax+a②，①②联立得f（x）＝ax，g（x）＝x2+a．…（6分）（2）若p真，则f min（x）≥1，得a≥1，…（9分）若q真，则g min（x）≤﹣1，得a≤﹣1，…（12分）因为p∨q为真，所以a≥1或a≤﹣1．…（14分）17．【解答】解：（1）甲乙两人各摸一次球就终止的含意为甲先摸，摸到的是黑球，乙后摸，摸到的是白球，此时X＝2，由题P（X＝2）＝＝，∴甲乙两人各摸一次球就终止的概率为．…（4分）（2）袋中的7个球3白4黑，随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，5．P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝．…（12分）（注：此段（4分）的分配是每错1个扣（2分），错到4个即不得分，另用其它解法酌情给分）随机变量X的概率分布列为：所以E（X）＝＝2．…（15分）18．【解答】解：（1）由题意可得840+15k＝1245，解得k＝27；（2）设楼房每平方米的平均综合费用为f（x）元，则f（x）＝（840+27x）+＝840+27x+，x＞0且x∈N*，f′（x）＝27﹣，令f′（x）＝0得x＝20，所以当x＝20时，f（x）有最小值．答：为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层．19．【解答】解：（1）若f（x）＝﹣x3+3x，则f′（x）＝﹣3x2+3，令f′（x）＝0，解得x＝±1，当x∈[0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，2]时，f′（x）＜0，故f（x）在[0，1）上单调递增，在（1，2]上单调递减，…（3分）所以f（x）是为[0，2]上单峰函数，峰点为1．…（4分）（2）先考虑g（x）＝m•4x+2x在[﹣1，1]上是单峰函数，…（5分）令t＝2x（x∈[﹣1，1]），则t∈[，2]，问题转化为p（t）＝mt2+t在[，2]是单峰函数，所以，解得m∈（﹣1，﹣）．…（8分）所以实数m的范围是（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）．…（9分）（注本题如正面分类讨论也可，酌情给分）（3）h（x）＝|x2﹣1|+n|x﹣1|＝①若≤﹣2，即n≤﹣4，则﹣≥2，所以，h（x）在[﹣2，﹣1]上递增，在（﹣1，1）上递增，在[1，2]上递减，即h（x）在[﹣2，1]上递增，在[1，2]上递减，所以h（x）是单峰函数，峰点为1；…（11分）②若﹣2＜＜﹣1，即﹣4＜n＜﹣2，则1＜﹣＜2，所以，h（x）在[﹣2，]递减，在（，﹣1）上递增，在（﹣1，1）上递增，（1，﹣）上递减，在[﹣，2]上递增，所以h（x）不为单峰函数．…（13分）③若﹣1≤＜0，即﹣2≤n＜0，则0＜﹣≤1，所以，h（x）在[﹣2，﹣1]上递减，在（﹣1，﹣）上递增，在（﹣，1）上递减，在[1，2]上递增，所以h（x）不为单峰函数．…（15分）综上，n≤﹣4．…（16分）20．【解答】解：（1）f′（x）＝，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，f（x）无极值，当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）有极小值f（）＝a﹣alna，综上：a≤0时，f（x）无极值，a＞0时，f（x）极小值＝a﹣alna，无极大值；（2）令h（x）＝x2﹣2alnx﹣2ax，则h′（x）＝，∵a＞0，令h′（x）＝0，解得x0＝，∴h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴h（x）在x0处取得极小值h（x0）＝0，∴﹣2alnx0﹣2ax0＝0且2﹣2ax0﹣2a＝0，联立可得：2lnx0+x0﹣1＝0，令m（x）＝2lnx+x﹣1得m′（x）＝+1＞0，故m（x）在（0，+∞）递增又m（1）＝0，x0＝1，即＝1，解得：a＝；（3）不妨令1≤x1＜x2≤2，则由（1）得f（x1）＜f（x2）∴|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）⇔f（x2）﹣f（x1）＞g（x2）﹣g（x1）⇔f（x2）﹣g（x2）＞f（x1）﹣g（x1），则h（x）在[1，2]递增，∴h′（x）＝≥0在[1，2]恒成立，即2x2﹣2ax﹣2a≥0在[1，2]恒成立，∴a≤在[1，2]恒成立，令t＝x+1∈[2，3]，则＝t+﹣2≥，∴0＜a≤，∴a的范围是（0，]．Ⅱ卷（全卷满分0分，考试时间30分钟）21．【解答】解：令x＝1，得A＝4n，…（2分）而B＝2n，…（4分）所以4n＝64•2n，解得n＝6 …（6分）所以T r+1＝C6r x6﹣r•（）r＝C6r x6﹣2r•3r，令6﹣2r＝0，∴r＝3，常数项：T4＝33•C63＝540．…（10分）22．【解答】解：（1）男生甲必须站在两端，其余的进行全排列即可，故有A21A55＝240种．…（5分）（2）先考虑前排C31C32A33＝54种，再考虑后排A33＝6种，所以前排恰有一位女生的排法数为54×6＝324种．…（10分）23．【解答】解：（1）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），P（0，0，2），C（2，4，0），M（1，2，1），∵＝（1，2，1），＝（2，0，﹣2），∴•＝（1，2，1）•（2，0，﹣2）＝1×2﹣1×2＝0，∴⊥，则AM⊥PB，∴异面直线AM与PD所成角为90°．（2）设平面BPC的法向量为＝（x，y，z），∵，并且，∴，令x＝1得z＝1，y＝0，∴平面MBD的一个法向量为＝（1，0，1），∵＝（1，2，1），∴cos＜，＞＝＝＝，设直线AM与平面BPC所成角为θ，θ∈（0，），则sinθ＝|cos＜，＞|＝，∴直线AM与平面BPC所成角的正弦值．24．【解答】解：（1）对∀n∈N*有：a n（2a n+1+1）＜n（n+1）（a n+a n+1）＜a n+1（2a n+1），当n＝1时，a1（2a2+1）＜2（a1+a2）＜a2（2a1+1），由a2＝4，可得9a1＜2（a1+4）＜4（2a1+1），即有＜a1＜，可得a1＝1；同理可得，当n＝2时，有8＜a3＜10，可得a3＝9；（2）猜想：a n＝n2（n∈N*）．下面用数学归纳法证明：当n＝1时，由（1）可得a1＝1成立；假设n＝k（k∈N*），有a k＝k2．当n＝k+1时，由a k（2a k+1+1）＜k（k+1）（a k+a k+1）＜a k+1（2a k+1），即2k2a k+1+k2＜k（k+1）（k2+a k+1）＜a k+1（2k2+1），当k＝1时，上式显然成立；则k＞1时，可得＜a k+1＜，即有•（k+1）2＜a k+1＜（k+1）2+，由0＜＜1，＞0，可得a k+1＝（k+1）2，则n＝k+1时，a k+1＝（k+1）2也成立．综上可得，a n＝n2对∀n∈N*都成立．。

江苏省扬州市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共18题；共36分)1. （2分）(2017·新余模拟) 已知集合A={x|x2+x﹣6＜0}，集合B={x|2x﹣1≥1}，则A∩B=（）A . [﹣3，2）B . （﹣3，1]C . [1，2）D . （1，2）2. （2分）若实数满足，则的最小值为（）A .B . 2C . 4D . 03. （2分） (2016高二上·临川期中) 若向量 =（1，1，2）， =（2，﹣1，2），则cos＜，＞=（）A . 3B .C .D . 24. （2分） (2017高一上·马山月考) 设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，下图所示4个图形中能表示集合M到集合N的函数关系的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）(2012·江西理) 若tanθ+ =4，则sin2θ=（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一上·淄博期末) 函数f（x）= +lg（x+1）的定义域为（）A . [﹣1，2]B . [﹣1，2）C . （﹣1，2]D . （﹣1，2）7. （2分） (2019高二上·杭州期中) 设m, n是两条不同的直线, 是三个不同的平面, 给出下列四个命题:①若m⊥α,n∥α,则m⊥n;；②若α∥β, β∥r, m⊥α,则m⊥r;③若m∥α,n∥α,则m∥n;；④若α⊥r, β⊥r,则α∥β．其中正确命题的序号是（）A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ①和④8. （2分） (2017高二下·岳阳期中) 设a为实数，直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=﹣1”是“l1∥l2”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也必要条件9. （2分）若，且f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数f(x) （）A . f(0)=0且f(x)为奇函数B . f(0)=0且f(x)为偶函数C . f(x)为增函数且为奇函数D . f(x)为增函数且为偶函数10. （2分） (2016高二上·眉山期中) 两圆x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为（）A .B .C . 1D . 311. （2分）若变量xy满足，则z=x-2y的最大值为（）A . 4B . 3C . 2D . 112. （2分）已知三棱锥的直观图及正视图与俯视图如图，其中正视图是直角边为3的等腰直角三角形，俯视图是边长为3的正三角形，则该三棱锥侧视图的面积为（）A .B .C .D .13. （2分） (2019高一上·平坝期中) 函数的单调递增区间是（）A .B .C .D .14. （2分）(2014·福建理) 2014•福建）在下列向量组中，可以把向量 =（3，2）表示出来的是（）A . =（0，0）， =（1，2）B . =（﹣1，2）， =（5，﹣2）C . =（3，5）， =（6，10）D . =（2，﹣3）， =（﹣2，3）15. （2分）函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A .B .C .D .16. （2分） (2016高二下·福建期末) 已知函数f（x）=|log3（x+1）|，实数m，n满足﹣1＜m＜n，且f（m）=f（n）．若f（x）在区间[m2 ， n]上的最大值为2，则 =（）A . ﹣9B . ﹣8C . ﹣D . ﹣17. （2分）双曲线的离心率，则实数k的取值范围是（）A . （0，4）B . （-12，0）C .D . （0，12）18. （2分） (2018高二下·陆川月考) 当时，函数的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)19. （2分） (2016高二上·温州期末) 抛物线C：y2=2x的准线方程是________，经过点P（4，1）的直线l 与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，F为抛物线的焦点，则 =________．20. （1分） (2016高二上·南昌开学考) 设向量 =（m，1）， =（1，2），且| + |2=| |2+| |2 ，则m=________．21. （2分） (2016高三上·绍兴期末) 已知数列{an}中，a3=3，an+1=an+2，则a2+a4=________，an=________．22. （1分） (2016高一上·广东期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2，则二面角A﹣PB﹣C的正切值为________．三、解答题 (共3题；共25分)23. （10分）已知角α的终边经过点P（1，）．（1）求sinα+cosα的值；（2）写出角α的集合S．24. （10分） (2018高一上·吉林期末) 已知点及圆 .（1）设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；（2）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.25. （5分） (2019高一上·绵阳期中) 已知函数f（x）=logm （m＞0且m≠1），（I）判断f（x）的奇偶性并证明；（II）若m= ，判断f（x）在（3，+∞）的单调性（不用证明）；（III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域为[logmm（β-1）， ]？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共18题；共36分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、二、填空题 (共4题；共6分)19-1、20-1、21-1、22-1、三、解答题 (共3题；共25分)23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、。