高考数学思想解析：有限与无限思想

2018年高考数学（理科）考点解析一、考核目标与要求数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法（所谓三基），考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识、创新意识（五种能力、两种意识）。

具体考试内容根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科·课程标准实验）》确定。

关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下：1．知识要求知识是指《课程标准》所规定的必修课程、选修课程中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能。

各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明．对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次（分别用A、B、C表示），且高一级的层次要求包含低一级的层次要求．（1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别、认识它。

“了解”层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。

（2）理解（B）：要求对所列知识内容有较深刻的理性的认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判断、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。

“理解”层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等。

（3）掌握（C）：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。

“掌握”层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。

2（1会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

数学中的“有限与无限思想”及典例分析作者：童其林来源：《广东教育·高中》2013年第03期一、知识概述1. 有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2. 把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3. 积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4. 数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5. 有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查，所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1. 在函数中的应用.例1. 函数y=■的图像大致为（）解1：函数为奇函数，所以图像关于原点对称，排除A，令y=0得cos6x=0，所以6x=■+k？仔，x=■+■？仔，函数零点有无穷多个，排除C，且y轴右侧第一个零点为（■，0），又函数y=2x-2-x为增函数，当00，cos6x>0，所以函数y=■>0，排除B，选D.解2：函数为奇函数，所以图像关于原点对称，排除A；当时x→0+，2x-2-x=■→+0，cos6x→+1，所以 f（x）→+∞；当x→+∞时，2x-2-x→+∞，而cos6x≤1，所以 f（x）→0，故选D.点评：本题考查了函数的图像以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考察其余的性质，其中的有限与无限的思想给了我们一种思路.说明：有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查，所以我们考前应该予以重视.比如，在函数问题中，2012全国高考卷新课标理第10题，2012年高考辽宁卷文科数学第8题，有限与无限的思想都有了用武之地.2. 在不等式中的应用.例2. 求证：20122013>20132012 .分析：这是一个有限的问题，我们可以升格为无限的问题来研究. 实际上，只需证明：n∈N，n？叟3时，nn+1>（n+1）n，再令n=2012即可.证明：设 f（n）=■，其中n∈N 且n？叟3.∵■=■·■=■·[■]n>1，∴ f（n+1）> f（n），即 f（n）是单调递增函数，因此，对任意n∈N 且n？叟3，有f （n）？叟f（3）=■>1.∴nn+1>（n+1）n，∴当n=2012时，便可得20122013>20132012.说明：这是一个特殊与一般的问题，当然也是有限与无限的问题，特殊与一般、有限与无限往往是纠缠在一起的.再比如，均值不等式也含有有限与无限的味道：不等式等号是有限的，往往只有一个值，而不等是无限的，有无限个值.3. 在立体几何中的应用.例3. 正三棱锥S-ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是SA、SB、BC、AC的中点，则EFGH的面积的取值范围是（）A. （0，+∞）B. （■a2，+∞）C. （■a2，+∞）D. （■a2，+∞）解析：因为S-ABC是正三棱锥，所以四边形EFGH为矩形，∴ SEFGH=HG·EH，HG=■AB=a，是确定的，EH=■SC，是变化的，考虑EFGH的面积的取值范围，其实质是SC的变化范围.因为S-ABC是正三棱锥，S点在过？驻 ABC的中心且垂直于面ABC的直线上运动，当S点处于无穷远的“极限位置”时，SC趋近于无穷大，此时，SEFGH→+∞.当S点处于平面内的“极限位置”时，SC→■·■ ·（2a）=■a，SEFGH→■a2，所以EFGH的面积的取值范围是（■a2，+∞）.点评：“化静为动，以动制静”，根据问题的不同条件和特点，合理选择运算途径是提高运算能力的关键，而灵活地利用极限思想就成为减少运算量的一条重要途径.例4. 直三棱柱ABC—A′B′C′的体积为V，P、Q分别为侧棱AA′、CC′上的点，且AP=C′Q，则四棱锥B-APQC的体积是（）A. ■VB. ■VC. ■VD. ■V通解：把四棱锥B—APQC的体积用原三棱锥的来表达，进一步找四棱锥B-APQC与三棱柱ABC-A′B′C′的体积V之间的关系，得到四棱锥B—APQC的体积.优解：令P→A，则Q→C′，所以四棱锥B-APQC的体积为■V.点评：P，Q的位置有无限个，但通过转化为有限的点来研究，问题迎刃而解，显示了比通法更大的优势，这是对有限与无限思想深刻理解基础上的结果.4. 在平面几何中的应用.例5. 假定平面内的一条直线将该平面内的一个区域分成面积相等的两个区域，则称这条直线平分这个区域. 如图，■是平面？琢内的任意一个封闭区域.现给出如下结论：①过平面内的任意一点至少存在一条直线平分区域■；②过平面内的任意一点至多存在一条直线平分区域■；③区域■ 内的任意一点至少存在两条直线平分区域■；④平面内存在互相垂直的两条直线平分区域■成四份 .其中正确结论的序号是 .解析：依第一个图，定义平面内直线的方向，其方向角0≤x如第二个图，将方向角x的直线l，从区域的一侧平移至另一侧，则区域A的面积从0→S；区域B的面积从S→0（S为区域■ 的面积）. 定义：y=A-B，则-S？燮y？燮S，由连续性和零点存在定理，至少存在一条直线lx，使得y=0.事实上，y的单调性，可知，对给定的x，lx存在且唯一的.过平面内的某一点，旋转直线，同理可证至少存在一条直线平分区域■，只是，此时符合条件的直线可能不唯一.如第三、第四个图中，由x，则存在且唯一lx平分区域■，由x+■，存在且唯一lx+■平分区域■，则有：A1+A2=A3+A4，A1+A4=A2+A3 .相减得A2=A4，代入A1=A3，下证，存在一个x0，使得lx0与lx0+■平分区域■成四份.事实上，构造函数 f（x）=A1-A2（即A1=A1（x）， A2=A2（x）），则不难知 f（0），f■互为相反数，故由连续性和零点存在定理，存在一个x0，使得A1=A3，这时l■与l■+■平分区域■ 成四份.（其实是x从0→■，lx与lx+■旋转了各相应转了■，恰好在某个位置，两直线平分区域■ 成四份.）由以上可知，②③是错误的.所以正确答案是应填①④.5. 在解析几何中的应用.例6. 过圆C：（x-1）2+（y-1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正轴于点A、B，？驻AOB被圆分成四部分（如图）若这四部分图形面积满足SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ，则这样的直线AB 有（）A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条解析：设OA=x则x>1，SⅡ与SⅣ均为常数.设SⅠ=f（x），SⅢ=g（x），则f（x）在（1，+∞）上为增函数， g（x）在（1，+∞）上为减函数.故函数y=f（x）-g（x）+SⅣ-SⅡ为（1，+∞）上的增函数，且x→1时f（x）→0， g（x）→+∞，∴y→-∞；同理x→+∞时，y→+∞.因此，有且仅有一个下x值使y=0，故应选B.例7. 已知抛物线方程为y2=2px（p>0）.求证：在x轴正方向上必存在一点M，使得对于抛物线上任意一条过M的弦PQ均有■+■为定值.分析：假设点M确实存在，因为过点M的任意一条弦PQ均有■+■为定值，因此对过点M的一条特殊弦——垂直于x轴的弦P0Q0也应该有■+■为定值.设M（x0，0），P0（x0，y0），Q0（x0，-y0），则■+■=■+■=■=■，但是仅凭此式还看不出点M到底是哪个定点.下面再考查弦的一个极限情形——x轴的正半轴，它过点M，它的一个端点是原点O，另一个端点可以看成是无穷远处的极限点P∞（假想的点），它是弦的一种极限情形，显然有MP∞→+∞，所以■+■→■，它也应该是定值，且■=■，由此可得x0=p，于是可以猜想定点M （p，0）.下证过点M（p，0）的任一弦PQ均有■+■=■（定值）.证明：设过点M（p，0）的直线参数方程为：x=p+tcos？琢，y=tsin？琢，（？琢为直线倾斜角，t为参数），代入抛物线方程得t2sin2？琢-2ptcos？琢-2p2=0，设此方程的两根为t1、t2，则t1+t2=■，t1t2=-■，而t1、t2的几何意义分别表示MP及MQ的值.∴■+■=■+■=■=■=■=■，因此点M（p，0）是满足题意的点.点评：通过分解有关对象在运动变化过程中的极限状态，提取信息、信息整合，即而寻求到合理的解决问题的途径，降低了解题难度，优化了解题过程，有效激活了创新思维，凸现了极限思想在解题中的独特功能及应用的广泛性.6. 在数列的应用.例8. 设数列{an}中a1>2，且an+1=■，n∈N？鄢，求证：对任意n∈N？鄢，an>2.证明：（1）当n=1时，由已知有a1>2.（2）假设当n=k 时有ak>2成立，则当n=k+1时，ak+1=■=■=■ak+1+■=■[ak-1+■]+1？叟■·2■+1=2.∵等号成立的充要条件是ak-1=■，即ak=2或0，与ak>2矛盾，∴ak+1>2，即n=k+1时命题也成立.由（1）（2）知对任意n∈N？鄢，an>2成立.说明：我们要证的是对任意n∈N？鄢，an>2成立，是个无限的问题，但我们只用了有限个步骤，似乎是有限个n，就把问题解决了，这是数学归纳法的魅力所在.7. 在三角函数中的应用.例9. 设a>0，对于函数f（x）=■（0A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C. 有最大值且有最小值D. 既无最大值也无最小值分析：原不等式可化为f（x）=1+■，由已知00，所以■？叟a，故选B.其实，有限与无限思想方法还渗透在数学的其他领域.应该说，高考中对无限与无限的研究和考查现在还不是很成熟，但这种思想的运用，为考生数学思维的发展，数学能力的提高提供了广阔的空间，在教学中应潜移默化地渗透这种数学思想，提高考生对数学整体把握的能力.可以预测的是在今后的试卷中还会加大对有限与无限思想方法考查的力度，并逐步走向成熟. 总之，数学是研究数量关系和空间形式的科学，而这个数量关系是变化的，即一个量随另一个量而变化，这种变化可能是有限的，也可能是无限的，有限与无限的相互转化，往往能使问题豁然开朗.练习：1.过点（1，■）的直线l将圆（x-2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=______________.2.若实数x、y满足x-y+1≤0，x>0，则■的取值范围是（）A. （0，1）B. （0，1]C. （1，+∞）D.[1，+∞）3.在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）A.（■？仔，？仔）B. （■？仔，？仔）C. （0，■）D.（■？仔，■？仔）4. 设05. 已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10，是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…，a30是公差为d2的等差数列（d≠0）.（Ⅰ）若a20=40，求d；（Ⅱ）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；（Ⅲ）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（Ⅱ）类似的问题（（Ⅱ））应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案：1. 分析：将点（1，■）视为“圆”，点圆（x-1）2+（y-■）2=0在圆（x-2）2+y2=4内部，而过点（1，■）垂直于弦心距所在的直线的弦所对的圆心角最小，而这条直线既在点圆上又在已知圆上，所以两圆相减就是所求的直线. 本题是无穷小的灵活运用.解析：视点（1，■）为“圆”，则（x-1）2+（y-■）2=0…①又（x-2）2+y2=4…②两式相减得x-■y+■=0，所以k=■.2. 分析：本题以线形约束条件知识为载体，着重考查有限与无限思想.画出不等式组满足的可行域，设■=k，欲求k的取值范围，可转化为求可行域内任意一点P（x，y）与原点连线OP的斜率k的取值范围.由于点P可无限靠近y轴，所以k→+∞；若点P在直线y=x+1上，并沿该直线向右上方无限延伸，k逐渐减小，无限趋近于1，则k>1.选C.3. 解析：设正n棱锥为S-A1A2A3…An，由于n多变，所以底面正n边形、侧面出现不确定状态，这样导致直接分析求解将是繁难，甚至是“到而不达”的，若另辟蹊径，采用极限法，则解法将是简捷、易行的，其计算量得到极大的简化.本例中底面正n边形固定，而棱锥的高不定，故可将顶点S看作是运动变化的，设相邻两侧面所成的二面角的平面角为∠A2HAn.当点S向下运动无限趋近底面正n边形的中心这个极限位置时，∠A2HAn趋于平角？仔；当点S向上运动趋于无穷远时，侧棱将无限趋于与底面垂直，即正n棱锥趋近于正n棱柱，此时∠A2HAn无限趋于底面正n边形的内角∠A2A1An=■？仔，故二面角的取值范围是：■？仔4. 解析：已知等式可化为（cos？琢+sinβ+■）cosx+（cosβ -sin？琢）sinx=0，上式对任意x∈R恒成立的充要条件为：cos？琢+sinβ+■=0，cosβ-sin？琢=0，即sinβ=-cos？琢-■，cosβ=sin？琢，平方相加，得（-cos？琢-■）2+sin2a=1. 化简得cosa= -■.因为0又因为？仔说明：转化为关于三角函数（以cosx，sinx为未知）的方程，让系数恒等于0，正是无限成立的条件.5.解析：（Ⅰ）a10=10. a20=10+10d=40，∴d=3.a30=a20+10d2=10（1+d+d2）=10d+■2+■（d≠0）.（Ⅱ）当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a30∈[7.5，+∞）.（Ⅲ）所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为dn的等差数列.研究的问题可以是：试写出a10（n+1）关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围.研究的结论可以是：由a40=a30+10d3=10（1+d+d2+d3）.a10（n+1）=10（1+d+…+dn）=10×■，d≠110（n+1）. d=1依次类推可得当d>0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等.说明：这是一个已知部分数列及续写已知数列的规律，要求解题者把已知数列推广为无穷数列，体现了有限与无限的数学思想.（作者单位：福建省永定县城关中学）责任编校徐国坚。

高中数学思想方法高中数学思想方法高中数学思想方法1第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的.分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点高中数学思想方法2近年来，高考命题方向很明显地朝着对知识网络交汇点、数学思想方法及对数学能力的考查发展，考生在复习的过程中，应对所学知识进行及时的梳理，这里既包含对基础知识的整理，也包括对数学思想方法的总结。

有限与无限思想在高考数学解题中的应用有限与无限思想方法就是把有限问题转化为无限问题，把无限问题转化为有限问题，并利用二者间的转化来解决问题。

高考试题中运用有限与无限思想来解题的有很多，比如说极限、导数、数学归纳法等这些都是典型的有限与无限思想方法的应用。

下面结合高考例题谈谈有限与无限思想在高考数学解题中的具体应用。

一、在极限中的应用近几年，高考对数列和函数极限的考查有所加重，题型主要以选择填空为主，难度在中等以下。

数列极限主要以■型为主，或是在解答题中与数列问题相结合。

函数极限主要考查四则运算和函数连续性的概念，或是与导数问题结合出现在解答题中。

例1：（2011年重庆卷理科3题）已知■(■+■)=2，则a=( )。

A.-6B.2C.3D.6分析：本题考察的是函数极限的概念及运算，已知当x→∞时函数的极限值求a，属于简单题。

例2：（2010年湖北卷理科7题）在半径为r的圆内做内接正六边形，再做内接正六边形的内接圆，又在此内接圆内做内接正六边形，如此无限继续下去。

设Sn为前n个圆的面积之和，则■Sn=( )。

A.2πr2 B.■πr2 C.4πr2 D.6πr2分析：先求出这n个圆各自的半径rn=(■)n-1r，得到圆的面积Sn关于rn的表达式Sn=π[(■)n-1r]2，我们知道Sn是随着n的变化而变化的，n的变化是无限的。

各个圆的面积Sn组成了一个无穷递缩等比数列，此题研究的是n无穷大时数列极限的问题，它将圆的面积之和转化为当n→∞时Sn的极限值，是有限与无限思想的典型应用。

极限研究的是数列和函数在无限过程中的变化趋势，从无限回归到有限或将有限化为无限是解决这类问题的指导思想。

二、在导数中的应用导数是高考必考的知识，对导数的运算及其实际意义和几何意义的考查主要以选择填空为主，难度适中。

解答题的难度一般在中等以上，主要考查导数在函数的极值、最值和单调性中的应用，常与不等式、三角函数、解析几何、平面向量等内容相结合。

高三复习的几点体会数学思想： (1)函数与方程的思想，(2)数形结合的思想，(3)分类与整合的思想，(4)化归与转化的思想，(5)特殊与一般的思想，(6)有限与无限的思想，(7)必然与或然的思想，(8)推理与类比的思想。

数学方法：代数变换有：配方法、换元法、待定系数法、公式法、比值法等。

几何变换有：平移、对称、延展、放缩、分割、补形等。

逻辑推理主要有：综合法、分析法、反证法、枚举法和数学归纳法。

2、精选好复习资料在选取资料时一定要注意针对性和实用性，还要注意其厚薄难易要适中。

薄了，知识题型可能没覆盖完；厚了，学生会产生厌倦的心理；难了，既浪费时间又不利于学生对基础知识，基本技能和基本的数学思想方法的掌握；易了，又不利于优生的提高。

同时，资料还要与教材和考纲一致，并能反映出最新的高考动态和教改信息；资料中的例题和训练题要有层次性。

所以建议复习资料要精，学生一套即可，不要超过两套，教师可以多占用资料。

3、认真备课加强集体备课。

要充分发挥群体作用，坚决杜绝个人单干的现象。

一是按阶段、按课时将任务分解细化，落实好主备人。

主备人要按照总体确定的目标要求先周备课，形成具体的复习方案。

二是做到定时、定点，具有超前性。

坚持主备人说课，全员讨论，在此基础上形成集中大家智慧的、相对完善的学科整体备课方案。

三是建立“课前一聚”、“课后会诊”制度，进一步强化对课堂教学的过程性研究。

四是学科组长要把好关，定好向，确保集体备课的经常性、规范性、科学性以及学科组成员在教学思路上的高度统一性。

备课中要做好回归课本，把握解题通性通法，高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”。

4、上好各种类型的复习课复习课要上出复习课的味道，数学复习课一般有“知识串讲课和例习题课”两种课型。

加强试卷分析，切实提高“讲评课”效果，⑴突出重点，总体布局，将专题复习与练习试卷讲评相结合。

①不平均用力，突出重点、热点，依据数学主干知识来设置。

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高考数学：数学解题七大基本思想方法数学学科有自己独特的思维模式，所以在解决数学问题时，就要以数学的基本方法去考虑，这样才能在最有效的时间内答对题目。

第一：函数与方程思想(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用(2)方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面(2)在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法(2)从具体出发，选取适当的分类标准(3)划分只是手段，分类研究才是目的(4)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3)高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想(1)通过对个例认识与研究，形成对事物的认识(2)由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论(3)由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程(4)构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程(5)高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想(1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路(2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向(3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用(4)随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想(1)随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2)偶然中找必然，再用必然规律解决偶然(3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

新课标高考数学科命题思路数学科的高考命题，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的命题原则，确立以能力立意命题的指导思想.在试题命制和试卷结构上会有如下特点：一是注重对数学思想和数学方法的考查，增加能力型和应用性的试题；二是融知识、方法、思想、能力于一体，全面检测考生的数学素质；三是在兼顾试题的基础性、综合性、实践性的同时，重视试题的层次性，合理调控试题的难度，坚持多角度、多层次的考查，充分发挥数学科高考的区分、选拔功能，从而对高中数学教学起到积极的导向作用.[命题思路一]注重对基础知识的考查数学知识是命题的基础和载体.随着数学教育改革的发展，高考数学科考试对数学基础知识进行了重新认识和定位——减少了对单纯知识、公式（如三角公式）的记忆要求，降低了对运算（如指数、对数、幂的运算，复数的概念和运算）复杂性、技巧性的要求；知识作用的重新定位，就是将考试的内容更多的指向有能力价值和实践价值的数学基础知识.现代脑科学研究表明，人脑系统是非加和性的，不能把系统简单地视为其构成部分的叠加——这意味着通过把各数学知识点叠加起来进行测试的结果作为学生的数学知识和数学能力的衡量并不科学.数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分知识之间的横向联系——高考命题就是从本质上抓住这些联系，通过分类、梳理、综合，来构建数学高考试题的框架结构.另一方面，对于支撑数学学科知识体系的重点知识，在高考试题中将保持较高的比例（80%左右），从而构成高考数学试题的主体.但是，高考命题又不刻意追求知识的覆盖面，而是从数学学科的整体高度、思维价值高度设计命题.[命题思路二]多角度、多层次地考查能力高考《考试大纲》要求：“考查基础知识的同时，注重考查能力.”按照这一要求，数学高考的命题，将“以能力立意”为命题指导思想.在试题命制和试卷结构中，体现数学试题的四个鲜明特点——“概念性强；思辨性全；量化突出；解法多样”.“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，用统一的数学思想组织试题的材料，侧重考查考生对知识的理解和应用——尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生个体对知识的迁移能力，从而检测出考生个体数学思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.高考数学试题考查的数学能力包括：（1）数学思维能力：演绎推理，归纳推理，直觉思维能力和运用数学语言的能力；（2）数学运算能力：即思维能力与运算技能的有机结合；（3）空间想象能力：视图与作图，图像与概念的结合，图像的正确处理；（4）实践能力：运用数学知识和数学思想方法观察、分析、解决实际问题；（5）创新意识：具有创新性质的思维活动。

常见的数学思想方法：分类与整合解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在各个子区域内进行解题，当分类解决完这个问题后，还必须把它们总合在一起，因为我们研究的毕竟是这个问题的全体，这就是分类与整合的思想。

有分有合，先分后合，不仅是分类与整合的思想解决问题的主要过程，也是这种思想方法的本质属性。

高考将分类与整合的思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查，考查时要求考生理解什么样的问题需要分类研究，为什么要分类，如何分类以及分类后如何研究与最后如何整合。

特别注意引起分类的原因，我们必须相当熟悉，有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念、整数分为奇数偶数等，有些运算法则和公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况，对数函数的单调性就分为a>1，0高考对分类与整合的思想的考查往往集中在含有参数的解析式，包括函数问题，数列问题和解析几何问题等。

此外，排列组合的问题，概率统计的问题也考查分类与整合的思想。

随着新课程高考在全国的实施，在新增内容中考查分类与整合的思想，窃以为，是今后几年高考命题的重点之一。

：函数与方程著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”。

一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题。

函数是高中代数内容的主干，函数思想贯穿于高中代数的全部内容，函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼，是从函数各部分内容的内在联系和整体角度来考虑问题，研究问题和解决问题。

所谓方程的思想就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。