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1 第1章质点运动学

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第1章 质点运动学

第1章 质点运动学

由题可知：t = 0时，x = 10
故：c′ = 10
2 3 x = t + 10 3
h
v0
x
o
r
| ∆r |
x
θ ∆x
h
θ′
y
x
解法一
由图可知船的位矢为
r = xi + hj
而 由速度的定义有
x = r −h
2
2
dr dx dh dx v= = i+ j = i + 0 = vx i dt dt vx = r −h = 2 2 dt dt dt r −h
dr = −v0 因绳子变短故 dt
代入上式有
x +h vx = − v0 = − v0 x r 2 − h2 r
2 2
故
x2 + h2 v =− v0 i x
负号表示
v
的方向与正 x 方向相反。
由加速度定义得
2 2
位置x、位移∆x dx 速度v = dt dv = d 2 x 加速度a = dt
dθ 角速度ω = dt 角加速度β = dω
角位置θ、角位移∆θ
d 2θ =
匀速圆周运动θ = θ 0 + ωt
匀变速圆周运动 1 2 θ = θ 0 + ωt + β t 2 ω = ω0 + β t
2 2
dt
v2 an = = 0.808m / s 2 R
则a = aτ + an = 0.814m / s
2 2
2
an o θ = tg = 82 57′ aτ
−1
直线运动与圆周运动比较
直线运动
圆周运动

第1章_质点运动学

第1章_质点运动学
可见，Munday下落的速度增加得非常快，但他 在下落过程中是感觉不到速度在增加的，因为加速 度是恒定的，而人只对加速度的变化有感觉。当他 落到水面时，他的加速度急剧减小，Munday才会 感到有剧烈的变化。 此外，(a)、(b) 、(c)式分别表示自由落体运动 的位移、速度、时间三者的关系。
17
1-2 质点运动的描述
r
m
求：（1）物体在圆周上运动的距离与时间的关系； （2）要维持物体这样的运动，绳子的拉力应为多少。
21
1-2 质点运动的描述
解：（1）物体在圆周上运动距离为物体经过的圆弧的长度
t
由
dv at dt
得
v v0
cdt v
0
0
ct
ds 由 v dt
1 2 得 s s 0 v0 t ct 2
1-1 物理基准 1-2 质点运动的描述 1-3 相对运动 1-4 牛顿运动定律 1-5 动量 1-6 能量
6
1-1 物理基准
一、长度、时间和质量标准 物体运动相关的单位有三个——长度、时间和质量。 1、长度的国际单位是米（m）：一米等于光在真空 中传播1/299,792,458秒所走的距离。 2、时间的国际单位是秒（s）:一秒是从铯原子中放射 出9,192,631,770次光振动所需要的时间。
质点是研究真实物体运动的一个理想模型，物体在其 大小和形状可以被忽略的情况下，可以视为一个质点。
4
引言
地球绕太阳公转时地球可视一个质点。 一切平动的物体，都可以视为一个质点。
如果物体的大小与形状不能忽略，则把物体上 每一小部分视为一个质点，把整个物体视为有许多 质点所组成的系统，称为质点系。
5
目录

第1章-质点运动学

第1章-质点运动学
述
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率

大学物理——第1章-质点运动学

大学物理——第1章-质点运动学
沿逆时针方向转动角位移取正, 沿顺时针方向转动角位移取负.
21
★ 角速度 ω 大小: ω = lim 单位:rad/s ★ 角加速度 β
v
θ dθ = t →0 t dt
v
ω dω d2θ 大小: β = lim = = 2 t →0 t dt dt
单位:rad/s2
22
★ 线量与角量的关系
dS = R dθ
16
取CF的长度等于CD
v v v v vτ vn v v v = lim + lim 加速度: a = lim = aτ + an t →0 t →0 t →0 t t t
v v 当 t →0 时,B点无限接近A点,vA与 vB v v 的夹角 θ 趋近于零,vτ 的极限方向与 vA v 相同,是A点处圆周的切线方向;vn的极 v 限方向垂直于 vA ,沿圆轨道的半径,指向
y
v v v r = r′ + R
v v v dr dr ′ dR 求导: = + dt dt dt
o
y′ M v u v v r′ r v o′ R
x′
z′
x
z v称为质点M的绝对速度, v称为质点M的相对速度, υ υ′
v 称为牵连速度. u
27
v v υ =υ′ +u
v
in 例1-6 一人向东前进,其速率为 υ1 = 50m/ m ,觉得风从 正南方吹来;假若他把速率增大为υ2 = 75m/ m , in
t
9
初始条件:t = 0 , x = 5m 【不定积分方法】
速度表达式是: v = 4+ 2t
x = ∫ vdt = ∫ (4 + 2t)dt = 4t + t 2 + C

第一章 质点运动学

第一章 质点运动学
16
物理学
已知：x(t ) 1.0t 2.0，y(t ) 0.25t 2 2.0， 解 (1) 由题意可得
dx dy vx 1.0， vy 0.5t dt dt t 3s 时速度为 v 1.0i 1.5 j
速度 v 与
x 轴之间的夹角
第一章 质点运动学
第一章 质点运动学
14
物理学
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于矢径 r ( x, y ) 的 y 端点处，其速度大小为
dr （ A） dt dr （ C） dt
注意
dr （B） dt
r (t )
x
o
x
dx 2 dy 2 （ D） ( ) ( ) dt dt
dr dr dt dt
1.5 0 arctan 56.3 1.0
17
物理学
x(t ) 1.0t 2.0， （2）运动方程 2 y(t ) 0.25t 2.0，
消去参数 t 可得轨迹方程为
y 0.25x x 3.0
2
轨迹图 t 4s
y/m
6 2
t 4s
t 2s 4
-6 -4 -2 0
dx B v A v x i i vi dt l dy vB v y j j o dt 2 2 2 x y l dx dy 两边求导得 2 x 2y 0 dt dt
第一章 质点运动学
解
y
A
v
x
20
物理学
dy x dx y 即 dt y dt B x dx vB j y dt dx o v dt vB vtan j

第一章_质点运动学

第一章_质点运动学
v
dv − 1 ) t dt , ( − 1 .0 s − 1 ) t = (−1.0s ∫0 v = v0e ∫v0 v
dy ( −1.0 s −1 ) t v= = v0 e dt
dv a= = ( − 1.0s −1 ) v dt
o
v0
∫0 d y = v 0 ∫0 e
y t
(-1.0s ) t
（2） 运动方程 ）
x ( t ) = (1m ⋅ s ) t + 2m
y (t ) = ( 1 m ⋅ s −2 )t 2 + 2 m 4
1 -1 2 y = ( m ) x − x + 3m 4
y/m
6
−1
由运动方程消去参数 t 可得轨迹方程为
轨迹图
t = − 4s
t = 4s
t = − 2s 4
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关， 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关， 只决定于质点的始末位置. 只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
第一章
质点运动学
∆ r = ∆ xi + ∆ yj + ∆ zk
z
2
r
r= r = x +y +z
第一章
质点运动学
位矢
r 的方向余弦
cos α = x r cos β = y r cos γ = z r
y
β
P
r
P
α , β , γ 分别是
r
o
和Ox轴， Ox轴
z
γ
α
x
Oy轴和Oz轴之间的夹角。 Oy轴和Oz轴之间的夹角。 轴和Oz轴之间的夹角

第1章质点运动学讲解

第1章 质点运动学一、基本要求1．理解描述质点运动的位矢、位移、速度、加速度等物理量意义；2．熟练掌握质点运动学的两类问题：即用求导法由已知的运动学方程求速度和加速度，并会由已知的质点运动学方程求解位矢、位移、平均速度、平均加速度、轨迹方程；用积分法由已知的质点的速度或加速度求质点的运动学方程；3．理解自然坐标系，理解圆周运动中角量和线量的关系，会计算质点做曲线运动的角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度和总加速度； 4．了解质点的相对运动问题。

二、基本内容（一）本章重点和难点重点：掌握质点运动学方程的物理意义，利用数学运算求解位矢、位移、速度、加速度、轨迹方程等。

难点：将矢量运算方法及微积分运算方法应用于运动学解题。

（提示：矢量可以有黑体或箭头两种表示形式，教材中一般用黑体形式表示，学生平时作业及考试必须用箭头形式表示）（二）知识网络结构图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧相对运动总加速度法向加速度切向加速度角加速度角速度曲线运动轨迹方程参数方程位矢方程质点运动方程运动方程形式平均加速度加速度平均速度速度位移位矢基本物理量,,,,:)(,,（三）基本概念和规律1．质点的位矢、位移、运动方程（1）质点运动方程（)(t r ）：k t z j t y i t x t r)()()()(++=（描述质点运动的空间位置与时间的关系式）（2）位矢（r ）：k z j y i x r ++= （3）位移（r ∆）：k z j y i x r ∆+∆+∆=∆（注意位移r ∆和路程s ∆的区别，一般情况下：S r ∆≠∆ ，r r r∆∆≠∆或； 位移大小：()()222)(z y x r ∆+∆+∆=∆；径向增量：21212122222212z y x z y x r r r r ++-++=-=∆=∆（4）参数方程：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x（5）轨迹方程：从参数方程中消去t ，得：0),,(=z y x F 2．速度和加速度 直角坐标系中（1）速度（v）：k dt dz j dt dy i dt dx dt r d v++==（2）平均速度（v）：tr v ∆∆=（3）加速度（a ）：k dt z d j dty d i dt x d dt r d dt v d a22222222++===（4）平均加速度（a）：tv a ∆∆=（注意速度和速率的区别：dt rd v =，但一般情况下dtdr dt r d ≠） 3．曲线运动描述质点的曲线运动，常采用自然坐标系（由切向和法向组成），在自然坐标系中，质点的（线）速度和加速度为：（1）速度：t t e dtds e v v== （2）加速度：n n t t n t e a e a a a a+=+= 其中：切向加速度（t a ）t t e dtdv a=，量度速度量值的变化； 法向加速度（n a ）n n e v aρ2=，量度速度方向的变化，ρ为曲率半径。

大学物理第1章质点运动学ppt课件

大学物理第1章质点运动学ppt课件•质点运动学基本概念•直线运动中质点运动规律•曲线运动中质点运动规律•相对运动中质点运动规律目录•质点运动学在日常生活和工程技术中应用•总结回顾与拓展延伸质点运动学基本概念01质点定义及其意义质点定义用来代替物体的有质量的点，是一个理想化模型。

质点意义突出物体具有质量这一要素，忽略物体的大小和形状等次要因素，使问题得到简化。

参考系与坐标系选择参考系定义为了研究物体的运动而选作标准的物体或物体系。

坐标系选择为了定量描述物体的位置及位置的变化，需要在参考系上建立适当的坐标系。

常用的坐标系有直角坐标系、极坐标系、自然坐标系等。

位置矢量与位移矢量位置矢量定义从坐标原点指向质点的矢量，用r表示。

位移矢量定义质点从初位置指向末位置的有向线段，用Δr表示。

质点在某时刻的位置矢量对时间的变化率，即单位时间内质点位移的矢量，用v 表示。

速度定义加速度定义速度与加速度关系质点在某时刻的速度矢量对时间的变化率，即单位时间内质点速度的变化量，用a 表示。

加速度是速度变化的原因，速度变化快慢与加速度大小成正比，方向与加速度方向相同。

速度加速度定义及关系直线运动中质点运动02规律匀速直线运动特点及应用特点质点在直线运动中，速度大小和方向均保持不变。

应用描述物体在不受外力或所受合外力为零的情况下的运动状态。

匀变速直线运动规律探究定义质点在直线运动中，加速度大小和方向均保持不变。

运动学公式包括速度公式、位移公式和速度位移关系式，用于描述匀变速直线运动的基本规律。

定义物体在重力的作用下从静止开始下落的运动。

运动学公式包括位移公式、速度公式和速度位移关系式，用于描述自由落体运动的基本规律。

运动特点初速度为零，加速度为重力加速度，方向竖直向下。

自由落体运动分析竖直上抛运动过程剖析定义物体以一定的初速度竖直向上抛出，仅在重力作用下的运动。

运动特点具有竖直向上的初速度，加速度为重力加速度，方向竖直向下。

第一章质点运动学1大学物理教程北京邮电大版


质点运动的方法。
x
1
gt2
2
1.2.1 位置矢量 运动方程
1 位置矢量 确定质点P某一时刻在坐标系里的位置的物理量称位
r 置矢量, 简称位矢 。
r
xi
yj
zk
y
y
r
*P
k j
式中 i、j 、k 分别为x、y、z
方向的单位矢量。
z ox
i
x
例如： r 2i 3 j 5k z
r 位矢 的大小为： r r x2 y2 z2
x
dx dt
r dr r2 h2 dt
按题意
0
dr dt
由此得船速
x 0
r r2 h2
0
x2 h2 x
v = vxi = -v0
x2 h2 i x
上式中的负号表示船的速度v沿X轴的负方向。
加速度：
ax
dvx dt
0
h2 x2 h2
dx dt
v02h2 x3
a
v02h 2 x3
i
负号表示加速度a的方向与X轴的正方向相反。 由于a与v同向，所以小船是加速靠岸的。
在直角坐标系中分解：
r xi yj zk
在直角坐标系中分 解：
rA xAi yA j zAk rB xBi yB j zB k
则在直角坐标系 Oxyz 中其位移为
r (xB xA)i ( yB yA) j (zB zA)k
xi yj zk
y
yB A r
r y A A
z = z(t)
该r运动2方ti程矢(8量式t：2 )
j
方程组消去t就得到质点的轨迹方程。 例运动学方程为x=2t, y=8-t2,轨迹方程为

第一章 质点运动学1

第一章 质点运动学 教学基本要求
一 掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运 动及运动变化的物理量 . 理解这些物理量的矢量性、 瞬时性和相对性 . 二 理解运动方程的物理意义及作用 . 掌握运用 运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方 法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、 运动方程的方法 . 三 能计算质点作圆周运动时的角速度、角加 速度、切向加速度和法向加速度 . 四 理解伽利略速度变换式, 并会用它求简单的质 点相对运动问题 .
2 2
2
讨论 位移与路程
（A）P1P2 两点间的路程 s ' 是不唯一的, 可以是 s或 是唯一的. 而位移r （B） 一般情况, 位移 大小不等于路程.
y
r (t1 )
O
s
'
p1 r
r (t2 )
s
p2
（C）什么情况 r s？
r s
z
x
不改变方向的直线运动; 当 t 0 时 r s .
三
速度
1 平均速度
在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
y
B
r (t t)
s r
A
r r (t t ) r (t ) ( xB xA )i ( yB y A ) j o xi yj
r (t)
P2
r
r xi yj zk z 2 2 2 r x y z
注意
P ( x1 , y1 , z1 ) 1 P2 ( x2 , y2 , z2 )
x
r r
2
位矢长度的变化
2 2
r x2 y2 z 2 x1 y1 z1
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第一章
质点运动学
P.1/60
机械运动（mechanical motion）
一个物体相对于另一个物体的空间位 置随时间发生变化； 或一个物体的某一 部分相对于其另一部分的位置随时间而发 生变化的运动。
力学（mechanics）
研究物体机械运动及其规律的学科。
P.2/60
运动学：
研究物体在空间的位置随时 间的变化规律以及运动的轨道问 题，而并不涉及物体发生机械运 动的变化原因。
注意
•相对的 •理想化模型
P.6/60
1-1-2 参考系和坐标系
• 物质的运动具有绝对性
• 描述物质运动具有相对性 参考系（reference system） ：
为描述物体的运动而 选取的参考物体。
默认：地面参考系
P.7/60
那 辆 列 车 在 运 动 ？
P.8/60
坐标系（coordinate system） ：
B
x 位移矢量（displacement） ：
在 t时间内，位矢的变化量（即A到B 的有向线段），简称位移。
P.14/60
在直角坐标系中
z
r rB rA AB
r xi yj zk
o x
A
rA r B
y
r
S
B
2 2 2 r x y z
t v0 dv t0 adt r t dr vdt
v
r0
t0
P.25/60
一维运动方程（a=常数）
dv a dt v v0 at
x

v
v0
dv

t
0
adt
v v0 at
dx v0 at dt
0

P.26/60
x0
dx
v
两边求导：
h
P.33/60
dx2 dx1 (h l ) h o x1 x2 x dt dt dx2 dx1 h v 0 其中： v , v0 v dt dt hl
l
（ 2） 令
b x2 x1 为影长
db l dx2 v dt h dt
代入
l b x2 h
以
dx2 hv0 dt h l
平均速度的方向与 t时间内位移的方向一致
• 瞬时速度(instantaneous velocity)
质点在某一时刻所具有的速度
z
A
v
r dr 1 v lim m s t 0 t dt
x
P.18/60
rA
o
r
B
rB
y
速度的方向为轨道上质点所在处的切线方向。
1-2-3 速度
速度是反映质点运动的快慢和方向的物理量
速度：单位时间内质点所发生的位移
z
A
• 平均速度(average velocity)
B
设质点作一般曲线运动
rA
o
x
P.17/60
r
rB
y
tA时刻位于A点
tB时刻位于B点
在 t时间内发生位移
r rB rA
r 平均速度： v m s 1 t


（ 2） r 2 2i 19 2 2 j 4i 11 j 2 dr 1 v 2 2i 8 j m s v 2i 4tj dt 8 2 2 1 tg 1 7558 v2 2 8 8.25 m s 2
1、位移是矢量，满足平行四边形法则
注 意
2、位移与实际经过路径无关
3、矢量问题，标量解决
三维分解 一维 “ +”、“ -”表示
4、位移具有相对性
P.15/60
路程：质点在轨道上所经过的曲线长度ΔS
S r
lim s lim r
t 0 t 0
ds d r
P.16/60
切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位矢量为e t 法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正，单位矢量为en
规定：
et
s o
P
s en
et
Q
质点位置： s st
路程：
e
v
s sP sQ
ds 速度： v vet et dt
P.36/60
dx 10t v , dx vdt v0 e dt dt
P.30/60
v v0 e
10t
两边积分：
dx v e dt 0 0 0 1 10t x v0 e 1 10
10t
x
t


x 10(1 e
x 10(1 e
10
平均速率： 瞬时速率：
一般情况：
s 1 v m s t
s ds v lim dt t 0 t
s
A
r
B
r s 因此
v v
当 t 0时：
P.20/60
r dr ds 则 v v
速度与速率的关系
（1）
讨论
v v?
（2 ）
8t (t 3)(t 3) 0
t1 0 (s) , t2 3 (s)
P.29/60
两矢量垂直
例 2 设某一质点以初速度
线运动，其加速度为 点在停止前运动的路程有多长？
解：
作直 。问：质
dv dv a 10v 10dt dt v v dv t v 两边积分： 10 dt , ln 10t v0 v 0 v0
矢量形式
参数形式
r r (t )
r x(t )i y(t ) j z (t )k
x x(t ) y y (t ) z z (t )
o x
z
r
y
轨道方程
P.12/60
F ( x, y, z ) 0 G ( x, y, z ) 0
轨迹方程：
t 0
at dt
1 2 x x 0 v0t at 2
速度与位移的关系
dv dv dx dv a v dt dx dt dx

x
x0
adx

v
v0
vdv
1 2 2 ax x 0 v v0 2 2 2 v v0 2 ax x 0
P.27/60
动力学：
以牛顿运动定律为基础，研究物 体运动状态发生变化时所遵循规律的 学科。
P.3/60
§1-1 质点、参考系、 坐标系
P.4/60
1-1-1 质点
质点（particle） ： 具有一定质量的几何点
行星
可以把行星绕太阳的运动看做是质点的运动。
太阳
P.5/60
两种可以把物体看作质点来处理的情况: • 作平动的物体，可以被看作质点。 • 两相互作用着的物体，如果它们之间的 距 离远大于本身的线度，可以把这两物体看作 质点。
平均加速度
v a m s 1 t
v1 v2
v
结论：平均加速度的方向与速度增量的方向一致
P.23/60
2 v dv d r 2 瞬时加速度： a lim dt dt t 0 t
当 t 0时，平均加速度的极限即为瞬时加速度。
m s 2


2 例 1 已知质点的运动方程为 r 2ti 19 2t j
求： （1）轨道方程；（2）t=2秒时质点的位置、速度 以及加速度；（3）什么时候位矢恰好与速度矢垂直？
2 x 2 t , y 19 2 t 解： (1) 1 2 y 19 x 消去时间参数 2
v v?
（3）
dr dr ? dt dt
P.21/60
1-2-4 加速度
P.22/60
加速度是反映速度变化的物理量
t1时刻，质点速为 v1
z
r1 r2
v1 v2
y
t2时刻，质点速度为v 2
t时间内，速度增量为：
o x
v v2 v1
P.24/60
运动学的两类问题
运动方程是运动学问题的核心
1、已知运动方程，求质点任意时刻的位置、速度 以及加速度 2
r r t
dr v dt
dv d r a 2 dt dt
2、已知运动质点的速度函数（或加速度函数）以 及初始条件求质点的运动方程
dv adt , dr vdt ,
用以标定物体的空间位置而设置的坐标系统。
实物构成的参考系的数学抽象。 定量描述物体的运动。
主要坐标
直角坐标 球坐标 柱坐标 极坐标 自然坐标 …
P.9/60
§ 1-2 描述质点运动的物理量
1-2-1 位置矢量与运动方程
上海
热带风暴
P.10/60
位置矢量 (position vector) （位矢）
得：
lv 0 v hl
P.34/60
1-2-5 自然坐标系下的速度和加速度
自然坐标系：
把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统。
在质点的运动轨 迹上，任 取一点 o作为 坐标的原点。从原点o 到轨迹曲线上任意一 点 P的弧长定义为 P点 的坐标 s 。 P
s
o
et en
s
en
Q
•
•
P.35/60
x 0

0
100
dv 10dx
0 100 10(x 0)