山东省历届中考数学压轴题集

几何压轴题1.（2014•泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由2．（2014年山东泰安，11分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．3．（2012•泰安）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．44．（2012•泰安）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为C，BG交AE于点H．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．5.(2011). （本小题满分10分）已知：在梯形ABCD中，A D∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC。

（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形。

6. (2011)（本小题满分10分）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。

（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明。

2020年山东省各地市中考数学压轴题汇总1．（2020•临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？【分析】（1）连接CF，根据垂直平分线的性质和菱形的对称性得到CF＝EF和CF＝AF 即可得证；（2）连接AC，根据菱形对称性得到AF+CF最小值为AC，再根据中位线的性质得到MN+NG的最小值为AC的一半，即可求解；（3）延长EF，交DC于H，利用外角的性质证明∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠F AE+∠FEA，再由AF＝CF＝EF，得到∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，从而推断出∠AFD＝∠F AE+∠ABF＝∠FEA+∠CEF，从而可求出∠ABF＝∠CEF＝30°，即可证明．【解答】解：（1）连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF＝EF，∵四边形ABCD为菱形，∴A和C关于对角线BD对称，∴CF＝AF，∴AF＝EF；（2）连接AC，∵M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE中点，∴MN＝AF，NG＝CF，即MN+NG＝（AF+CF），当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为1，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝1，即MN+NG的最小值为；（3）不变，理由是：延长EF，交DC于H，∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠FEA+∠FEA，∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠F AE+∠FEA，∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：∠AFD＝∠CFD＝∠AFC，∵AF＝CF＝EF，∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，∴∠AFD＝∠F AE+∠ABF＝∠FEA+∠CEF，∴∠ABF＝∠CEF，∵∠ABC＝60°，∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．2．（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想．图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为．（2）探究证明把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值．【分析】（1）先证明由AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM 与NP的数量关系，由平行线性质得∠MNP的大小；（2）先证明△ABD≌△ACE得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM＝NP，由平行线性质得∠MNP＝60°，再根据等边三角形的判定定理得结论；（3）由BD≤AB+AD，得MN≤2，再由等边三角形的面积公式得△MNP的面积关于MN 的函数关系式，再由函数性质求得最大值便可．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°，∴∠MNP＝60°，故答案为：NM＝NP；60°；（2）△MNP是等边三角形．理由如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形；（3）根据题意得，BD≤AB+AD，即BD≤4，∴MN≤2，∴△MNP的面积＝＝，∴△MNP的面积的最大值为．3．（2020•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的表达式；（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），即可求解；（2）点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，即可求解；（3）以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则，即＝2或，即可求解．【解答】解：（1）设OB＝t，则OA＝2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（﹣t，0），则x＝＝（2t﹣t），解得：t＝1，故点A、B的坐标分别为（2，0）、（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+1）＝ax2+bx+2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，故点C（0，2），由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），则点F（m，﹣m+2），则DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m，∵﹣1＜0，故DF有最大值，DF最大时m＝1，∴点D（1，2）；（3）存在，理由：点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OE＝m，DE＝﹣m2+m+2，以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，则，即＝2或，即＝2或，解得：m＝1或﹣2（舍去）或或（舍去），故m＝1或．4．（2020•枣庄）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PN＝PQ sin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，即可求解；（3）分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；设点M（m，0），则点P（m，﹣m2+m+4），点Q（m，﹣m+4），∴PQ＝﹣m2+m+4+m﹣4＝﹣m2+m，∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，∴∠PQN＝∠BQM＝45°，∴PN＝PQ sin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，故当m＝2时，PN有最大值为；（3）存在，理由：点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：m＝±（舍去负值），故点Q（，）；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），故点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m＝（舍去）；综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．5．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P 的坐标；（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝ax2+bx+8（a≠0），解出a，b 的值即可得出答案；（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM 三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）过点A（﹣2，0）和点B（8，0），∴，解得，∴抛物线解析式为：；（2）当x＝0时，y＝8，∴C（0，8），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，∵，∴，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，∴F（t，﹣t+8），∴，∴，即，∴t1＝2，t2＝6，∴P1（2，12），P2（6，8）；（3）∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，∴△OBC为等腰直角三角形，抛物线的对称轴为，∴点E的横坐标为3，又∵点E在直线BC上，∴点E的纵坐标为5，∴E（3，5），设，①当MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME～△COB，则，解得或（舍去），∴此时点M的坐标为（3，8），②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，则，解得：或（舍去），∴此时点M的坐标为；③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，连接CM，故当N为C关于对称轴l的对称点时，△MNE～△COB，此时四边形CMNE为正方形，∴CM＝CE，∵C（0，8），E（3，5），M（3，m），∴，∴，解得：m1＝11，m2＝5（舍去），此时点M的坐标为（3，11）；故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．6．（2020•泰安）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m＝时，求点P的坐标；②求m的最大值．【分析】（1）函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）证明△BCD≌△BCM（AAS），则CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），即可求解；（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则，而S△BFP＝mS△BAF，则＝，解得：m＝PN，即可求解．【解答】解：（1）一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝1，∵CD∥x轴交抛物线于点D，故点D（2，﹣3），由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°，∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，而BC＝BC，故△BCD≌△BCM（AAS），∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），设直线BE的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故直线BE的表达式为：y＝x﹣1；（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则，而S△BFP＝mS△BAF，则＝，解得：m＝PN，①当m＝时，则PN＝2，设点P（t，t2﹣2t﹣3），由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，故点N （t﹣2，t﹣5），故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，解得：t＝1或2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）；②m＝PN＝[t﹣（t2﹣2t）]＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，故m的最大值为．7．（2020•淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的，求点R的坐标；（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE ＝45°，求点P的坐标．【分析】（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②即可求解；（2）△ADR的面积是▱OABC的面积的，则×AD×|y R|＝×OA×OB，则×6×|y R|＝×2×，即可求解；（3）∠PQE＝45°，故∠PRE＝90°，则△PRE为等腰直角三角形，当直线MD上存在唯一的点Q，则RQ⊥MD，即可求解．【解答】解：（1）OA＝2＝BC，故函数的对称轴为x＝1，则x＝﹣＝1①，将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a﹣2b+②，联立①②并解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+③；（2）由抛物线的表达式得，点M（1，3）、点D（4，0）；∵△ADR的面积是▱OABC的面积的，∴×AD×|y R|＝×OA×OB，则×6×|y R|＝×2×，解得：y R＝±④，联立④③并解得或，故点R的坐标为（1+，﹣）或（1，﹣）或（1，）或（1﹣，）；（3）①当点P与M重合时，存在唯一的点Q（4，0）与D重合，此时符合题意，P（1，3）．②根据对称性可知．P（1，﹣3），Q与D重合时，也符合题意．③当点P是EM的中点，点Q是DM的中点时，也符合题意，此时P（1，）综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，3）或（1，﹣3）或（1，）．8．（2020•威海）发现规律（1）如图①，△ABC与△ADE都是等边三角形，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC 交于点H．求∠BFC的度数．（2）已知：△ABC与△ADE的位置如图②所示，直线BD，CE交于点F．直线BD，AC 交于点H．若∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，求∠BFC的度数．应用结论（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0，0），点M的坐标为（3，0），N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK．求线段OK长度的最小值．【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE，由三角形内角和定理可求解；（2）通过证明△ABC∽△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，，可证△ABD∽△ACE，可得∠ABD＝∠ACE，由外角性质可得∠BFC＝∠BAC，由三角形内角和定理可求解；（3）由旋转的性质可得△MNK是等边三角形，可得MK＝MN＝NK，∠NMK＝∠NKM ＝∠KNM＝60°，如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，可得∠OMQ＝60°，OK＝NQ，MO＝MQ，则当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当QN⊥y轴时，NQ有最小值，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）如图①，∵△ABC，△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC＝∠ACB，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠EBC＝∠ABC＝60°，∴∠ACE+∠EBC＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠ACE﹣∠ACB＝60°；（2）如图②，∵∠ABC＝∠ADE＝α，∠ACB＝∠AED＝β，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BHC＝∠ABD+∠BAC＝∠BFC+∠ACE，∴∠BFC＝∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BFC+α+β＝180°，∴∠BFC＝180°﹣α﹣β；（3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，∴MN＝NK，∠MNK＝60°，∴△MNK是等边三角形，∴MK＝MN＝NK，∠NMK＝∠NKM＝∠KNM＝60°，如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，∴△MOK≌△MQN，∠OMQ＝60°，∴OK＝NQ，MO＝MQ，∴△MOQ是等边三角形，∴∠QOM＝60°，∴∠NOQ＝30°，∵OK＝NQ，∴当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得：当QN⊥y轴时，NQ有最小值，此时，QN⊥y轴，∠NOQ＝30°，∴NQ＝OQ＝，∴线段OK长度的最小值为．9．（2020•青岛）已知：如图，在四边形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，点C 在EB上，∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，延长DC交EF于点M．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作GH⊥AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：（1）当t为何值时，点M在线段CQ的垂直平分线上？（2）连接PQ，作QN⊥AF于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；（3）连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（4）点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由平行线分线段成比例可得，可求CM的长，由线段垂直平分线的性质可得CM＝MQ，即可求解；（2）利用锐角三角函数分别求出PH＝t，QN＝6﹣t，由矩形的性质可求解；（3）利用面积的和差关系可得S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，即可求解；（4）连接PF，延长AC交EF于K，由“SSS”可证△ABC≌△EBF，可得∠E＝∠CAB，可证∠ABC＝∠EKC＝90°，由面积法可求CK的长，由角平分线的性质可求解．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴，∴，∴CM＝，∵点M在线段CQ的垂直平分线上，∴CM＝MQ，∴1×t＝，∴t＝；（2）如图1，过点Q作QN⊥AF于点N，∵∠ABC＝∠EBF＝90°，AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，∴AC＝＝＝10cm，EF＝＝＝10cm，∵CE＝2cm，CM＝cm，∴EM＝＝＝，∵sin∠P AH＝sin∠CAB，∴，∴，∴PH＝t，同理可求QN＝6﹣t，∵四边形PQNH是矩形，∴PH＝NQ，∴6﹣t＝t，∴t＝3；∴当t＝3时，四边形PQNH为矩形；（3）如图2，过点Q作QN⊥AF于点N，由（2）可知QN＝6﹣t，∵cos∠P AH＝cos∠CAB，∴，∴，∴AH＝t，∵四边形QCGH的面积为S＝S梯形GMFH﹣S△CMQ﹣S△HFQ，∴S＝×6×（8﹣t+6+8﹣t+）﹣××[6﹣（6﹣t）]﹣×（6﹣t）（8﹣t+6）＝﹣t2+t+；（4）存在，理由如下：如图3，连接PF，延长AC交EF于K，∵AB＝BE＝8cm，BC＝BF＝6cm，AC＝EF＝10cm，∴△ABC≌△EBF（SSS），∴∠E＝∠CAB，又∵∠ACB＝∠ECK，∴∠ABC＝∠EKC＝90°，∵S△CEM＝×EC×CM＝×EM×CK，∴CK＝＝，∵PF平分∠AFE，PH⊥AF，PK⊥EF，∴PH＝PK，∴t＝10﹣2t+，∴t＝，∴当t＝时，使点P在∠AFE的平分线上．10．（2020•济宁）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，点E，F，G分别在边BC，CD上，BE＝CG，AF平分∠EAG，点H是线段AF上一动点（与点A不重合）．（1）求证：△AEH≌△AGH；（2）当AB＝12，BE＝4时．①求△DGH周长的最小值；②若点O是AC的中点，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1：3．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先判断出△ABC是等边三角形，进而判断出∠ACD＝∠ABC，判断出△ABE ≌△ACG，即可得出结论；（2）①先判断出EH+DH最小时，△AEH的周长最小，在Rt△DCM中，求出CM＝6，DM＝6，在Rt△DME中，根据勾股定理得，DE＝4，即可得出结论；②分两种情况：Ⅰ、当OH与线段AE相交时，判断出点N是AE的中点，即可得出结论；Ⅱ、当OH与CE相交时，判断出点Q是CE的中点，再构造直角三角形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°，∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD＝∠BCD＝60°＝∠ABC，∵BE＝CG，∴△ABE≌△ACG（SAS），∴AE＝AG，∵AF平分∠EAG，∴∠EAF＝∠GAF，∵AH＝AH，∴△AEH≌△AGH（SAS）；（2）①如图1，过点D作DM⊥BC交BC的延长线于M，连接DE，∵AB＝12，BE＝4，∴CG＝4，∴CE＝DG＝12﹣4＝8，由（1）知，△AEH≌△AGH，∴EH＝HG，∴l△DGH＝DH+GH+DG＝DH+HE+8，要使△DGH的周长最小，则EH+DH最小，最小为DE，在Rt△DCM中，∠DCM＝180°﹣120°＝60°，CD＝AB＝12，∴CM＝6，∴DM＝CM＝6，在Rt△DME中，EM＝CE+CM＝14，根据勾股定理得，DE＝＝＝4，∴△DGH周长的最小值为4+8；②Ⅰ、当OH与线段AE相交时，交点记作点N，如图2，连接CN，∴点O是AC的中点，∴S△AON＝S△CON＝S△ACN，∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴＝，∴S△CEN＝S△ACN，∴AN＝EN，∵点O是AC的中点，∴ON∥CE，∴；Ⅱ、当OH与线段CE相交时，交点记作Q，如图3，连接AQ，FG，∵点O是AC的中点，∴S△AOQ＝S△COQ＝S△ACQ，∵三角形的面积与四边形的面积比为1：3，∴，∴S△AEQ＝S△ACQ，∴CQ＝EQ＝CE＝（12﹣4）＝4，∵点O是AC的中点，∴OQ∥AE，设FQ＝x，∴EF＝EQ+FQ＝4+x，CF＝CQ﹣FQ＝4﹣x，由（1）知，AE＝AG，∵AF是∠EAG的角平分线，∴∠EAF＝∠GAF，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴FG＝EF＝4+x，过点G作GP⊥BC交BC的延长线于P，在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，CG＝4，∴CP＝CG＝2，PG＝CP＝2，∴PF＝CF+CP＝4﹣x+2＝6﹣x，在Rt△FPG中，根据勾股定理得，PF2+PG2＝FG2，∴（6﹣x）2+（2）2＝（4+x）2，∴x＝，∴FQ＝，EF＝4+＝，∵OQ∥AE，∴＝＝，即的值为或．11．（2020•德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段P A与PM的数量关系为，其理由为：．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…（﹣2，0）（0，0）（2，0）（4，0）…P的坐标…（0，﹣1）（2，﹣2）…猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段P A与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．【分析】（1）由题意可得GH是AM的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可求解；（2）由（1）可知：P A＝PM，利用两点距离公式可求点P坐标；（3）依照题意，画出图象；（4）由两点距离公式可得﹣y＝，可求y关于x的函数解析式；（5）由两点距离公式可求BC＝OB＝OC，可证△BOC是等边三角形，可得∠BOC＝60°，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L于点E，连接BE，CE，可得∠BEC＝30°，则当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，求出点E的纵坐标即可求解．【解答】解：（1）∵分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，∴GH是AM的垂直平分线，∵点P是GH上一点，∴P A＝PM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），故答案为：P A＝PM，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）当点M（﹣2，0）时，设点P（﹣2，a），（a＜0）∵P A＝PM，∴﹣a＝，∴a＝﹣2，∴点P（﹣2，﹣2），当点M（4，0）时，设点P（4，b），（b＜0）∵P A＝PM，∴﹣b＝，∴b＝﹣5，∴点P（4，﹣5），故答案为：（﹣2，﹣2），（4，﹣5）；（3）依照题意，画出图象，猜想曲线L的形状为抛物线，故答案为：抛物线；（4）∵P A＝PM，点P的坐标是（x，y），（y＜0），∴﹣y＝，∴y＝﹣x2﹣1；（5）∵点B（﹣1，），C（1，），∴BC＝2，OB＝＝2，OC＝＝2，∴BC＝OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，如图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L于点E，连接BE，CE，∴∠BEC＝30°，设点E（m，n），∵点E在抛物线上，∴n＝﹣m2﹣1，∵OE＝OB＝2，∴＝2，∴n1＝2﹣2，n2＝2+2（舍去），如图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，∴点D的纵坐标y D的取值范围为y D＜2﹣2．12．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据OA＝2，OB＝4确定点A和B的坐标，代入抛物线的解析式列方程组解出即可；（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，利用待定系数法求直线BC的解析式，设D（x，x2﹣x﹣6），则H（x，x﹣6），表示DH的长，根据△BCD的面积是，列方程可得x的值，因为D在对称轴的右侧，所以x＝1不符合题意，舍去，利用三角形面积公式可得结论；（3）分两种情况：N在x轴的上方和下方，根据y＝确定N的坐标，并正确画图．【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0），把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣6；（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴BC的解析式为：y＝x﹣6，设D（x，x2﹣x﹣6），则H（x，x﹣6），∴DH＝x﹣6﹣（x2﹣x﹣6）＝﹣，∵△BCD的面积是，∴，∴，解得：x＝1或3，∵点D在直线l右侧的抛物线上，∴D（3，﹣），∴△ABD的面积＝＝＝；（3）分两种情况：①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，∵B（4，0），D（3，﹣），且M在x轴上，∴N的纵坐标为，当y＝时，即x2﹣x﹣6＝，解得：x＝1+或1﹣，∴N（1﹣，）或（1+，）；②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，∴N（﹣1，﹣）；综上，点N的坐标为：（1﹣，）或（1+，）或（﹣1，﹣）．13．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F （2，1）为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P （m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，把点B坐标代入求出a即可．（2）由题意P（m，m2﹣m﹣），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a （x﹣2）2﹣1，∵抛物线经过B（0，﹣），∴﹣＝4a﹣1，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．（2）证明：∵P（m，n），∴n＝（m﹣2）2﹣1＝m2﹣m﹣，∴P（m，m2﹣m﹣），∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+，∵F（2，1），∴PF＝＝，∵d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+，∴d2＝PF2，∴PF＝d．（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，∵QF＝QH，∴DQ+DF＝DQ+QH，根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，∴DQ+QH的最小值为6，∴△DFQ的周长的最小值为2+6，此时Q（4，﹣）．14．（2020•聊城）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可（2）证DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），由DE＝PF得出方程，解方程进而得出答案；（3）由平行线的性质得出∠CED＝∠CFP，当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，则＝，得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y＝ax2+bx+4，得：，解得：，∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，当x＝0时，y＝4，∴C（0，4），设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，解得：，∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，∴DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为：（，），将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝，∴点E的坐标为：（，），∴DE＝﹣＝，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为（，）；（3）存在，理由如下：如图2所示：由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，∵C（0，4）、E（，），∴CE＝＝，由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），∴CF＝＝t，∴＝，∵t≠0，∴（﹣t+4）＝3，解得：t＝，当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，∴点P的坐标为：（，）．（枣庄）25．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PN＝PQ sin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，即可求解；（3）分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；设点M（m，0），则点P（m，﹣m2+m+4），点Q（m，﹣m+4），∴PQ＝﹣m2+m+4+m﹣4＝﹣m2+m，∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，∴∠PQN＝∠BQM＝45°，∴PN＝PQ sin45°＝（﹣m2+m）＝﹣（m﹣2）2+，∵﹣＜0，故当m＝2时，PN有最大值为；（3）存在，理由：点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，解得：m＝±（舍去负值），故点Q（，）；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），故点Q（1，3）；③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m＝（舍去）；综上，点Q的坐标为（1，3）或（，）．（泰安）25．若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．①当m＝时，求点P的坐标；②求m的最大值．【分析】（1）函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）证明△BCD≌△BCM（AAS），则CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），即可求解；（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则，而S△BFP＝mS△BAF，则＝，解得：m＝PN，即可求解．解：（1）一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝2，∵CD∥x轴交抛物线于点D，故点D（2，﹣3），由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°，∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，而BC＝BC，故△BCD≌△BCM（AAS），∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），设直线BE的表达式为：y＝kx+b，则，解得，故直线BE的表达式为：y＝x﹣1；（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则，而S△BFP＝mS△BAF，则＝，解得：m＝PN，①当m＝时，则PN＝2，设点P（t，t2﹣2t﹣3），由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，故点N （t﹣2，t﹣5），故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，解得：t＝1或2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）；②m＝PN＝[t﹣（t2﹣2t）]＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，故m的最大值为．。

济南市中考数学几何综合压轴题易错专题一、中考数学几何综合压轴题1．如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明：四边形CEGF是正方形；（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图2所示，试探究线段AG 与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG＝6，GH＝22，求BC的长．解析：（1）证明见解析；（2）AG2BE，理由见解析；（3）5【分析】（1）先说明GE⊥BC、GF⊥CD，再结合∠BCD=90°可证四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可证明；（2）连接CG，证明△ACG∽△BCE，再应用相似三角形的性质解答即可；（3）先证△AHG∽△CHA可得AG GH AHAC AH CH==，设BC＝CD＝AD＝a，则AC2，求出AH=23a，DH=13a，10，最后代入AG AHAC CH=即可求得a的值．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形．（2）结论：AG2；理由：连接CG，由旋转性质知∠BCE ＝∠ACG ＝α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG ＝cos45°2，2cos 45CB CA ︒== ， ∴2CE CA CG CB=， ∴△ACG ∽△BCE ， ∴2AG CA BE CB == ∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG 2；（3）∵∠CEF ＝45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC ＝135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC ＝∠BEC ＝135°，∴∠AGH ＝∠CAH ＝45°，∵∠CHA ＝∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AH AC AH CH==， 设BC ＝CD ＝AD ＝a ，则AC 2a ， 则由AG GH AC AH =222a = ∴AH ＝23a ， 则DH ＝AD ﹣AH ＝13a ，2210CH CD DH =+=， ∴AG AH AC CH =23210a a = ， 解得：a ＝5BC ＝5【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查相似形的判定和性质、正方形的性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题并利用参数构建方程解决问题．2．（1）（问题背景）如图1，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是直线BC 上的一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°至AE ，连接CE ，求证：ABD ACE △≌△；（2）（尝试应用）如图2，在（1）的条件下，延长DE ，AC 交于点G ，BF AB ⊥交DE 于点F ．求证：2FG AE =；（3）（拓展创新）如图3，A 是BDC 内一点，45ABC ADB ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，3BD =，直接写出BDC 的面积为_____________．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）32【分析】（1）【问题背景】如图1，根据SAS 证明三角形全等即可．（2）【尝试应用】如图2，过点D 作DK ⊥DC 交FB 的延长线于K ．证明△ECG ≌△DKF （AAS ），推出DF ＝EG ，再证明FG ＝DE ＝2AE 即可．（3）【拓展创新】如图3中，过点A 作AE ⊥AD 交BD 于E ，连接CE ．利用全等三角形的性质证明CE ＝BD ，CE ⊥BD ，再根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）【问题背景】证明：如图1，∵90BAC DAE ∠=∠=︒，∴DAB EAC ∠=∠，在ABD △和ACE 中，AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABD ACE SAS △≌△．（2）【尝试应用】证明：如图2，过点D 作DK DC ⊥交FB 的延长线于K ．∵DK CD ⊥，BF AB ⊥，∴90BDK ABK ∠=∠=︒，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴45ABC ACB ∠=∠=︒，∴45DBK K ∠=∠=︒，∴DK DB =，∵ABD ACE △≌△，∴135ABD ACE ∠=∠=︒，DB EC DK ==，∴45ECG ∠=︒，∵BF AB ⊥，CA AB ⊥，∴AG BF ∥，∴G DFK ∠=∠，在ECG 和DKF △中，ECG K G DFK CE KD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ECG DKF AAS ≌△△，∴DF EG =， ∵2DE AE =，∴2DF EF AE +=，∴2EG EF AE +=，即2FG AE =．（3）【拓展创新】如图3中，过点A 作AE AD ⊥交BD 于E ，连接CE ．∵45ADB ∠=︒，90DAE ∠=︒，∴ADE 与ABC 都是等腰直角三角形，同法可证ABD ACE △≌△， ∴3CE BD ==， ∵45AEC ADB ∠=∠=︒，∴90CED CEB ∠=∠=︒， ∴11333222BDC S BD CE =⋅⋅=⨯⨯=△． 故答案为：32． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3．[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，则AM 与BM 的数量关系为 ；[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝10，将△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，求AM BM 的值； [拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点B ′处，折痕为CM ．①求线段AC 的长；②若点O 是边AC 的中点，点P 为线段OB ′上的一个动点，将△APM 沿PM 折叠得到△A ′PM ，点A 的对应点为点A ′，A ′M 与CP 交于点F ，求PF MF的取值范围． 解析：（1）AM ＝BM ；（2）169；（3）①AC ＝152；②310≤PF FM ≤34． 【分析】 （1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质求出BM ，AM 即可．（3）①证明△BCM ∽△BAC ，推出BC BM CM AB BC AC== 由此即可解决问题．②证明△PFA ′∽△MFC ，推出'PF PA FM CM =，因为CM =5，推出'5PF PA FM =即可解决问题． 【详解】 解：（1）如图①中，∵△ABC 折叠，使点B 与点C 重合，折痕为MN ，∴MN 垂直平分线段BC ，∴CN ＝BN ，∵∠MNB ＝∠ACB ＝90°，∴MN ∥AC ，∵CN ＝BN ，∴AM ＝BM ．故答案为：AM ＝BM ．（2）如图②中，∵CA ＝CB ＝6，∴∠A ＝∠B ，由题意MN 垂直平分线段BC ，∴BM ＝CM ，∴∠B ＝∠MCB ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴BC BM BA BC =， ∴6106BM =， ∴BM ＝185， ∴AM ＝AB ﹣BM ＝10﹣183255=，∴321651895AM BM ==； （3）①如图③中，由折叠的性质可知，CB ＝CB ′＝6，∠BCM ＝∠ACM ，∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ，∴BC BM CM AB BC AC == ∴696BM =， ∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5，∴659AC=， ∴AC ＝152． ②如图③﹣1中，∵∠A ＝∠A ′＝∠MCF ，∠PFA ′＝∠MFC ，PA ＝PA ′，∴△PFA ′∽△MFC ，∴PF PA FM CM'=， ∵CM ＝5，∴5PF PA FM '=， ∵点P 在线段OB 上运动，OA ＝OC ＝154，AB ′＝152﹣6＝32， ∴32≤PA ′≤154， ∴310≤PF FM ≤34． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．4．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形ABCD 中，若180A C ∠+∠=︒或180B D ∠+∠=︒，则四边形ABCD 是“对补四边形”．（概念理解）（1）如图1，四边形ABCD 是“对补四边形”．①若::3:2:1A B C ∠∠∠=，则D ∠=________；②若90B ∠=︒．且3,2AB AD ==时．则22CD CB -=_______；（拓展提升）（2）如图，四边形ABCD 是“对补四边形”，当AB CB =，且12EBF ABC ∠=∠时，图中,,AB CF EF 之间的数量关系是 ，并证明这种关系； （类比应用）（3）如图3，在四边形ABCD 中，,AB CB BD =平分ADC ∠；①求证：四边形ABCD 是“对补四边形”；②如图4，连接AC ，当90ABC ∠=︒，且12ACDABC S S =时，求tan ACD ∠的值． 解析：（1）①90︒，②5；（2）AE CF EF +=，理由见解析；（3）①见解析，②23【分析】（1）①根据“对补四边形”的定义，结合::3:2:1A B C ∠∠∠=，即可求得答案； ②根据“对补四边形”的定义，由90B ∠=︒，得D ∠90=︒，再利用勾股定理即可求得答案；（2）延长EA 至点K ，使得AK CF =，连接BK ，根据“对补四边形”的定义，可证明ABK CBF △≌△，继而证明BEK BEF △≌△，从而可得结论； （3）①过点B 作BM AD ⊥于点M ，BN AC ⊥于点N ，则90BMA BNC ∠=∠=︒,可证Rt ABM Rt CBN △≌△，进而可证四边形ABCD 是“对补四边形”； ②设,AD a DC b ==，则tan a ACD b ∠=根据222AC a b =+，再运用12ACD ABC S S =建立方程，解方程即可求得tan ACD ∠．【详解】（1）::3:2:1A B C ∠∠∠=，设3,2,A x B x C x ∠=∠=∠=，根据“对补四边形”的定义，180A C ∠+∠=︒，即3180x x +=︒，解得45x =︒，290B x ∴∠==︒，180B D ∠+∠=︒，90D ∴∠=︒．故答案为：90︒．②如图1，连接AC ，90B ∠=︒，180B D ∠+∠=︒，90D ∴∠=︒，在Rt ABC 中22BC AC AB =-，在Rt ADC 中222CD AC AD =-，22222222()CD CB AC AD AC AB AB AD ∴-=---=-， 3,2AB AD ==，2222325CD CB ∴-=-=，故答案为：5．（2）AE CF EF +=，理由如下：如图2，延长EA 至点K ,使得AK CF =，连接BK ，四边形ABCD 是“对补四边形”， ∴180BAD C ∠+∠=︒， 180BAK BAD ∠+∠=︒，∴BAK C ∠=∠，,AK CF AB CB ==， ∴()ABK CBF SAS △≌△， ∴,ABK CBF BK BF ∠=∠=， ∴ABK ABF CBF ABF ∠+∠=∠+∠， 即KBF ABC ∠=∠， 12EBF ABC ∠=∠， ∴12EBF KBF ∠=∠， ∴EBK EBF ∠=∠， ,BK BF BE BE ==，∴()BEK BEF SAS △≌△, ∴EK EF =，∴AE CF AE AK EK EF +=+==， 即AE CF EF +=，故答案为：AE CF EF +=． （3）①证明：如图3，过点B 作BM AD ⊥于点M ，BN AC ⊥于点N ，则90BMA BNC ∠=∠=︒， BD 平分ADC ∠， BM BN ∴=，AB CB =，()Rt ABM Rt CBN HL ∴△≌△，BAM C ∴∠=∠， 180BAM BAD ∠+∠=︒，180C BAD ∴∠+∠=︒，BAD ∴∠与C ∠互补，∴四边形ABCD 是“对补四边形”；②由①可知四边形ABCD 是“对补四边形”， 180ABC ADC ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒，90ADC ∴∠=︒，设AD a DC b ==，，则22222AC AD CD a b =+=+， AB BC =，2222211()22AB BC AC a b ∴===+， 1122ACD S AD CD ab ∴=⋅=△， 222111()224ABC S AB BC AB a b =⋅==+△，12ACD ABCS S=， 22112=12()4ab a b ∴+，整理得：2()410a ab b-⨯+=，解得：2ab= 在Rt ABC 中，tan a ACD b∠=，∴tan ACD∠=2．【点睛】本题考查了勾股定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，三角函数的定义等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质，准确理解新定义是解题的关键． 5．情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示.将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是▲，∠CAC′= ▲ °．问题探究：如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.解析：情境观察：AD（或A′D），90问题探究：EP=FQ. 证明见解析结论： HE=HF. 证明见解析【详解】情境观察AD（或A′D），90问题探究结论：EP=FQ.证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.同理AG=FQ. ∴EP=FQ拓展延伸结论： HE=HF.理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，同理△ACG∽△FAQ，∵AB= k AE，AC= kAF，∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF6．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”（1）概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；（2）问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；（3）应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A 顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10417或12﹣372．【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可．【详解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示：∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，∴PA=PD，PC=PB，∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC，∴∠APC=∠DPB，∴△APC≌△DPB（SAS），∴AC=BD；（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′，设EB=ED′=x ， 由勾股定理得：42+（3+x ）2=（4+x ）2， 解得：x=4.5， 过点D ′作D′F ⊥CE 于F ， ∴D′F ∥AC ， ∴△ED′F ∽△EAC ， ∴D F ED AC AE ''=， 即4.544 4.5D F '=+， 解得：D′F=3617， ∴S △ACE =12AC×EC=12×4×（3+4.5）=15；S △BED′=12BE×D′F=12×4.5×3617=8117， 则S 四边形ACBD′=S △ACE ﹣S △BED′=15﹣8117=10417； （ii ）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E ⊥AC 于点E ， 如图3（ii ）所示，∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3，在Rt △AED′中，根据勾股定理得：7， ∴S △AED′=12AE×ED′=12737S 矩形ECBD′=CE×CB=（47）×3=12﹣7， 则S 四边形ACBD′=S △AED′+S 矩形ECBD′37+12﹣737【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．7．如图所示，在△ABC 中，AB BC =，D 、E 分别是边AB 、BC 上的动点，且BD BE =，连结AD 、AE ，点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点，设B α∠=．（1）观察猜想 ①在求MNCE的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令60α=︒，解题思路如下： 如图1，先由,AB BC BD BE ==，得到CE AD =，再由中位线的性质得到PM PN =，60NPM ∠=︒，进而得出△PMN 为等边三角形，∴12MN NP CE CE ==． ②如图2，当90α=︒，仿照小明的思路求MNCE的值； （2）探究证明 如图3，试猜想MNCE的值是否与()0180αα︒<<︒的度数有关，若有关，请用含α的式子表示出MNCE，若无关，请说明理由； （3）拓展应用如图4，2,36AC B =∠=︒，点D 、E 分别是射线AB 、CB 上的动点，且AD CE =，点M 、N 、P 分别是线段CD 、AE 、AC 的中点，当1BD =时，请直接写出MN 的长． 解析：（1）②2MN CE =2）MN CE 的值与α的度数有关，sin 2MN CE α=；（3）MN 的长55-35+ 【分析】（1）②先根据线段的和差求出AD CE =，再根据中位线定理、平行线的性质得出,45PM PN APN CPM =∠=∠=︒，从而可得出90NPM ∠=︒，然后根据等腰直角三角形的性质即可得；（2）参照题（1）的方法，得出PMN 为等腰三角形和NPM ∠的度数，再利用等腰三角形的性质即可求出答案；（3）分两种情况：当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时和当点D 、E 分别是边AB 、CB 的延长线上的动点时，如图（见解析），先利用等腰三角形的性质与判定得出,ABC BCE CAB AFC ∠=∠∠=∠，再根据相似三角形的判定与性质得出BC 、CE 的长，由根据等腰三角形的三线合一性得出1,182BP AC CBP ABC ⊥∠=∠=︒，从而可得sin18︒的值，最后分别利用（2）的结论即可得MN 的长． 【详解】 （1）②,AB BC BD BE ==∴AD CE = ,90AB BC B =∠=︒∴ABC 为等腰直角三角形，45ACB CAB ∠=∠=︒∵点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点 11//,,//,22PN CE PN CE PM AD PM AD ∴==,45,45PM PN APN ACB CPM CAB ∴=∠=∠=︒∠=∠=︒∴18090NPM APN CPM ∠=︒-∠-∠=︒ ∴PMN 为等腰直角三角形，∴222MN PN CE == 即22MN CE =； （2）MNCE的值与α的度数有关，求解过程如下： 由（1）可知，PM PN =，即PMN 为等腰三角形180180NPM APN CPM ACB CAB B α∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠=如图5，作PH MN ⊥ 则11,222NH MN NPH NPM α=∠=∠= 在Rt NPH 中，sin NHNPH PN∠=，即12sin 122MN CE α=则sin 2MN CE α=；（3）依题意，分以下两种情况： ①当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时如图6，作ACB ∠的角平分线交AB 边于点F ，并连结BP2,36,AC ABC AB AC =∠=︒=72ACB CAB ∴∠=∠=︒136,722ACE BCE ACB AFC ABC BCE ∴∠=∠=∠=︒∠=∠+∠=︒,ABC BCE CAB AFC ∴∠=∠∠=∠2BF CF AC ∴===，ACF ABC ~AF ACAC AB∴=，即2AC AF AB =⋅ 设==AB BC x ，则2AF AB BF x =-=- 22(2)x x ∴=-解得15x 或15x =-（不符题意，舍去）即15BC =+1515CE BC BE BC BD ∴=-=-=+-=由（2）可知，36sin sin182MN CE ︒==︒ sin185sin18MN CE ∴=⋅︒=︒点P 是AC 上的中点1,182BP AC CBP ABC ∴⊥∠=∠=︒，112CP AC ==（等腰三角形的三线合一）在Rt CBP 中，sin CP CBP BC ∠=，即151sin18415-︒==+51555sin18544MN --∴=︒=⨯=②如图7，当点D 、E 分别是边AB 、CB 的延长线上的动点时 同理可得：15BC =+15125CE BC BE BC BD ∴=+=+=++=+5135sin18(25)44MN CE -+∴=⋅︒=+⨯=综上，MN 的长为554-或354+．【点睛】本题考查了中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况，并结合题（2）的结论是解题关键．8．()1问题发现如图①，正方形,ABCD DEFG 、将正方形DEFG 绕点D 旋转，直线AE CG 、交于点,P 请直接写出线段AE 与CG 的数量关系是 ，位置关系是 _；()2拓展探究如图②，矩形,2,2,ABCD DEFG AD DE AB DG ==、将矩形DEFG 绕点D 旋转，直线,AE CG 交于点,P ()1中线段关系还成立吗/若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AE CG 、的数量关系和位置关系，并说明理由；()3解决问题在()2的条件下，24,28,AD DE AB DG ====矩形DEFG 绕D 点旋转过程中，请直接写出当点P 与点G 重合时，线段AE 的长，解析：()1,AE CG AE CG =⊥；()()21中数量关系不成立，位置关系成立．1,2AE AE CG CG =⊥，理由见解析；()32565【分析】（1）证明△ADE ≌△CDG （SAS ），可得AE ＝CG ，∠DAG ＝∠DCG ，再由直角三角形两个锐角互余即可证得AE ⊥CG ；（2）先证明△ADE ∽△CDG ，利用相似三角形的性质证明即可．（3）先通过作图找到符合题意的两种情况，第一种情况利用勾股定理求解即可；第二种情况借助相似三角形及勾股定理计算即可． 【详解】（1）,AE CG AE CG =⊥；理由如下：由题意知在正方形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒，,AD DC DE DG ==， EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠EDA GDC ∴∠=∠在△ADE 与△CDG 中，AD DC ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CDG （SAS ） ∴AE CG =，DEA DGC ∠=∠ ∵对顶角相等，∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠ 90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥．（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．即：1,2AE AE CG CG =⊥ 理由如下：由题意知在矩形ABCD DEFG 、中，90EDG ADC ∠=∠=︒，EDG GDA ADC GDA ∴∠+∠=∠+∠EDA GDC ∴∠=∠2,2AD DE AB DG ==，2AD DC .EDAGDC ∴ 12AE CG ∴=，DEA DGC ∠=∠ ∵对顶角相等∴,DEA EDG DGC GPE ∠+∠=∠+∠90.GPE ∴∠=AE CG ∴⊥．综上所述：1,2AE AE CG CG =⊥ （3）如图1，当点G 、P 在点A 处重合时，连接AE ，则此时∠ADE ＝∠GDE ＝90°∴在Rt △ADE 中，AE ＝22224225AD DE +=+= ，如图1，当点G 、P 重合时， 则点A 、E 、G 在同一直线上，∵AD ＝DG ＝4，∴∠DAG ＝∠DGA ，∵∠ADC ＝∠AGP ＝90°，∠AOD ＝∠COG ，∴∠DAG ＝∠COG ，∴∠DGA ＝∠COG ，又∵∠GDO ＝∠CDG ，∴△GDO ∽△CDG ，∴DO DG OG DG DC CG==48CG ∴DO ＝2，CG ＝2OG ，∴OC ＝DC －DO ＝8－2＝6，∵在Rt △COG 中，OG 2＋GC 2＝OC 2，∴OG 2＋（2OG ）2＝62，∴OG ＝655（舍负）， ∴CG ＝1255， 由（2）得：12AE CG = ∴AE ＝655， 综上所述，AE 的长为25或655． 【点睛】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键．9．[问题解决]（1）如图1．在平行四边形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上的点B '处，折线AE 交BC 于点E ，连接B 'E ．求证：四边形ABEB '是菱形．[规律探索]（2）如图2，在平行四边形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点P 的直线折叠，点B 恰好落在AD 上的点Q 处，点A 落在点A ′处，得到折痕FP ，那么△PFQ 是等腰三角形吗？请说明理由．[拓展应用]（3）如图3，在矩形纸片ABCD （AD ＞AB ）中，将纸片沿过点P 的直线折叠，得到折痕FP ，点B 落在纸片ABCD 内部点B '处，点A 落在纸片ABCD 外部点A '处，A B ''与AD 交于点M ，且A 'M ＝B 'M ．已知：AB ＝4，AF ＝2，求BP 的长．解析：（1）证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）422．【分析】（1）由平行线的性质和翻折可推出CEB ABE '∠=∠，即//AB B E '．故四边形ABEB '是平行四边形，再由翻折可知AB AB '=，即证明平行四边形ABEB '是菱形．（2）由翻折和平行线的性质可知BPF QPF ∠=∠，BPF QFP ∠=∠，即得出QPF QFP ∠=∠，即PFQ △是等腰三角形．（3）延长PB '交AD 于点G ，根据题意易证()FA M GB M ASA ''≅，得出结论2A F B G AF ''===，FM GM =．根据（2）同理可知PFG △为等腰三角形，即FG =PG ．再在Rt A FM '中，FM =2PG FG FM ===2PB PB PG B G ''==-=．【详解】（1）由平行四边形的性质可知//AD BC ，∴AB E CEB ''∠=∠，由翻折可知AB E ABE '∠=∠，∴CEB ABE '∠=∠，∴//AB B E '．∴四边形ABEB '是平行四边形．再由翻折可知AB AB '=，∴四边形ABEB '是菱形．（2）由翻折可知BPF QPF ∠=∠，∵//AD BC ，∴BPF QFP ∠=∠，∴QPF QFP ∠=∠，∴QF =QP ，∴PFQ △是等腰三角形．（3）如图，延长PB '交AD 于点G ，根据题意可知90FA M GB M ''∠=∠=︒，在FA M '和GB M '中，90FA M GB M A M B M FMA GMB ''''∠=∠''=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()FA M GB M ASA ''≅，∴2A F B G AF ''===，FM GM =．根据（2）同理可知PFG △为等腰三角形．∴FG =PG ．∵2A F AM '==，∴在Rt A FM '中，FM =∴2FG FM ==∴PG =∴2PB PB PG B G ''==-=．【点睛】本题为矩形的折叠问题．考查矩形的性质，折叠的性质，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，综合性强．掌握折叠的性质和正确的连接辅助线是解答本题的关键．10．（1）探究发现：下面是一道例题及解答过程，请补充完整：如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°，求证：AP2+BP2=CP2证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP’B，连接PP’，则△APP’为等边三角形∴∠APP’=60° ，PA=PP’ ，PC=∵∠APB=150°，∴∠BPP’=90°∴P’P2+BP2= ，即PA2+PB2=PC2（2）类比延伸：如图②在等腰△ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．（3）联想拓展：如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2（其中k＞0），请直接写出k的值．解析：（1）P’B，P’B2；（2）2PA2+PB2=PC2，见解析；（3）3【分析】（1）根据旋转的性质和勾股定理直接写出即可．（2）将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，论证PP′=2PA，再根据勾股定理代换即可．（3）将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，论证3，再根据勾股定理代换即可．【详解】（1）PC=P’B，P’P2+BP2=P’B2（2）关系式为：2PA2+PB2=PC2证明：将△APC 绕A 点逆时针旋转90°，得到△AP’B ，连接PP’，则△APP’为等腰直角三角形，∴∠APP’=45°，PP’=2PA ，P C=P’B ，∵∠APB=135°，∴∠BPP’=90°，∴P’P 2+BP 2=P’B 2，∴2PA 2+PB 2=PC 2．（3）k=3将△APC 绕点A 顺时针旋转120°得到△AP’B ，连接PP’，过点A 作AH ⊥PP’，可得303,APP PP PA PC P B '︒''∠===60APB ︒∠=90BPP '︒∴∠=222P P BP P B ''∴+=222(3)PA PB PC ∴+=222()kPA PB PC +=3k ∴=【点睛】本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、勾股定理是解题的关键．11．如图1，在等腰三角形ABC 中，120,,A AB AC ∠==点D E 、分别在边AB AC 、上，,AD AE =连接,BE 点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点．（1）观察猜想图1中，线段NM NP 、的数量关系是____，MNP ∠的大小为_____；（2）探究证明把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接,MP BD CE 、、判断MNP △的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若1,3AD AB ==，请求出MNP △面积的最大值． 解析：（1）相等，60；（2）MNP △是等边三角形，理由见解析；（3）MNP △面积的3【分析】（1）根据＂120,,A AB AC ∠==,AD AE =点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点＂，可得MN //BD ，NP //CE ，根据三角形外角和定理，等量代换求出MNP ∠．（2）先求出ABD ACE △≌△，得出ABD ACE ∠=∠，根据MN //BD ，NP //CE ，和三角形外角和定理，可知MN=PN ，再等量代换求出MNP ∠，即可求解．（3）根据BD AB AD ≤+，可知BD 最大值，继而求出MNP △面积的最大值．【详解】()1由题意知：AB=AC ，AD=AE ，且点M N P 、、分别为DE BE BC 、、的中点， ∴BD=CE ，MN //BD ，NP //CE ，MN=12BD ，NP=12EC∴MN=NP又∵MN //BD ，NP //CE ，∠A=120︒，AB=AC ，∴∠MNE=∠DBE ，∠NPB=∠C ，∠ABC=∠C=30根据三角形外角和定理，得∠ENP=∠NBP+∠NPB∵∠MNP=∠MNE+∠ENP ，∠ENP=∠NBP+∠NPB ，∠NPB=∠C ，∠MNE=∠DBE ，∴∠MNP=∠DBE+∠NBP+∠C=∠ABC+∠C =60． ()2MNP 是等边三角形．理由如下：如图，由旋转可得BAD CAE ∠=∠ 在ABD 和ACE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD ACE SAS ∴≌BD CE ABD ACE ，=∠=∠∴．点M N 、分别为DE BE 、的中点，MN ∴是EBD △的中位线，12MN BD ∴=且//MN BD 同理可证12PN CE =且//PN CE ,MN PN MNE DBE NPB ECB ，∴=∠=∠∠=∠MNE DBE ABD ABE ACE ABE ∠=∠=∠+∠=∠+∠ENP EBP NPB EBP ECB ∠=∠+∠=∠+∠MNP MNE ENP ACE ABE EBP ECB ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠60ABC ACB =∠+∠=︒．在MNP △中∵∠MNP=60︒，MN=PNMNP ∴是等边三角形．()3根据题意得:BD AB AD ≤+即4BD ≤，从而2MN ≤MNP △的面积212MN ==． ∴MNP △【点睛】本题主要考查了三角形中点的性质、三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识；正确掌握三角形相似的判定定理、三角形外角和定理以及图形旋转的相关知识是解题的关键．12．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一动点，设DE ＝nEA ，连接CE 并延长，交AB 于点F ．（1）尝试探究：如图1，当∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，DE ＝EA 时，BF ，BA 之间的数量关系是 ；（2）类比延伸：如图2，当△ABC 为锐角三角形，DE ＝EA 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移：如图3，当△ABC 为锐角三角形，DE ＝nEA 时，请直接写出BF ，BA 之间的数量关系．解析：（1）23BF AB =；（2）仍然成立，见解析；（3）221BF n AB n =+ 【分析】 （1）尝试探究：过点D 作DMCF ，交AB 于M ，可证BDM BCF ∽, ，AFE AMD ∽ ，可得11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ==== ，可证BM MF AF ＝＝， 可得BF ，BA 之间的数量关系； （2）类比延伸：过点D 作DMCF ，交AB 于M ，可证BDM BCF ∽，AFE AMD ∽，可得11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ====，可证BM MF AF ＝＝，可得BF BA ，之间的数量关系； （3）拓展迁移：过点D 作DMCF ，交AB 于M ，由平行线分线段成比例可得BM MF FM nAF ＝，＝，可得22AB nAF AF BF nAF +＝，＝，即可求BF BA ，之间的数量关系．【详解】解：（1）尝试探究如图，过点D 作DM CF ，交AB 于M∵AD 是中线，AE DE ＝∴1122BD CD BC AE AD ＝＝，＝ ∵DM CF ，∴BDM BCF ∽，AFE AMD ∽ ∴11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ==== ∴22BF BM AM AF ＝，＝∴BM MF AF FM ＝，＝∴BM MF AF ＝＝∴23BF AB =（2）类比延伸：结论仍然成立，理由如下：如图，过点D 作DM CF ，交AB 于M∵AD 是中线,AE DE ＝ ∴1122BD CD BC AE AD ＝＝，＝ ∵DM CF ，∴BDM BCF ∽，AFE AMD ∽ ∴11,22BD BM AE AF BC BF AD AM ==== ∴22BF BM AM AF ＝，＝∴BM MF AF FM ＝，＝∴BM MF AF ＝＝∴23BF AB = （3）拓展迁移 如图，过点D 作DMCF ，交AB 于M∵DM FC ，且BD CD ＝∴1BD BM DC FM== ∴BM MF ＝∵DM CF DE nEA ，＝∴1AE AF DE FM n== ∴FM nAF ＝∴BM MF nAF ＝＝∴2AB nAF AF +＝ 2BF nAF ＝ ∴221BF n AB n =+ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质综合，根据题干条件作出辅助线并得到对应的相似三角形是解决本题的关键.13．在Rt ABC 中，9072ACB AB AC ∠=︒==，，，过点B 作直线m AC ∥，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到A B C '''（点A B ，的对应点分别为A B ''，）．（1）问题发现如图1，若P 与A 重合时，则ACA '∠的度数为____________；（2）类比探究：如图2，设AB 与BC 的交点为M ，当M 为A B ''的中点时，求线段PQ 的长；（3）拓展延伸在旋转过程中，当点P Q ，分别在CA CB ''，的延长线上时，试探究四边形PA B O ''的面积是否存在最小值．若存在，直接写出四边形PA B O ''的最小面积；若不存在，请说明理由．解析：（1）60︒；（2）72；（3）33 【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到3∠A'BC=90°，可得3cos BC A CB A C ''∠==，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°； （2）根据M 为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM ，进而得到332PB ==，依据tan ∠Q=tan ∠33，进而得出PQ=PB+BQ=72； （3）依据S 四边形PA'B′Q =S △PCQ -S △A'CB '=S △PCQ 3S 四边形PA'B′Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ =123，利用几何法或代数法即可得到S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA'B′Q =3-3 【详解】解：（1）由旋转可得：2AC A C ''==，90,7,2ACB AB AC ∠=︒==，3BC ∴90ACB ∠=︒，m AC ∥，90A BC '∴∠=︒，cos BC A CB A C '∴∠==' 30A CB '∴∠=︒，60ACA ∴'∠=︒．（2）M 为A B ''的中点，A CM MA C ''∴∠=∠,山旋转可得，MA C A '∠=∠，A A CM '∴∠=∠，tan tan PCB A ∴∠-∠32PB ∴==，tan tan BQC PCB ∠=∠=2BQ BC ∴===， 72PQ PB BQ ∴=+=；（3）S 四边形PA B Q PCQ A CB PCQ S S S ''''==-△△△S ∴四边形PA B Q ''最小即PCQ S 最小，12PCQ S PQ BC ∴=⨯⨯=△， 取PQ 的中点C ，90PQC ∠=︒，12CC PQ '∴=，即2PQ CC '=， 当CG 最小时，PQ 最小，CG PQ ∴⊥，即CG 与CB 正合时,CG 最小，min CG ∴=min PQ =，PCQ S ∴△的最小值3=， S 四边形PA B Q ''=3【点睛】此题考查四边形综合题，旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题关键在于掌握旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．14．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180a a ︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180a β+=︒时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是他的研究过程：特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=︒，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=︒，120A B ∠+∠=︒，123BC =6CD =，63DA =P ，使PDC △与PAB △之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由．解析：（1）①12；②4，（2）12AD BC =；理由见解析，（3）存在；313【分析】（1）①首先证明ADB '∆是含有30的直角三角形，可得1122AD AB BC '==，即可解决问题；②首先证明BAC B AC ''∆∆≌，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题． （2）AD 与BC 的数量关系为12AD BC =，如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，先证四边形AC MB ''是平行四边形，再证明BAC AB M '∆∆≌，即可解决问题．（3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，做直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，先证明PA PD =，PB PC =，再证明+180APD BPC ∠∠=︒，即可得出结论，再在Rt PDQ ∆中，根据勾股定理，即可求出PQ 的长．【详解】（1）①如图2，∵ABC ∆是等边三角形，把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，∴===AB AC BC AB AC ''=，又∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，∴=DB DC ''，∴AD B C ''⊥，即90ADB '∠=︒，∵60BAC ∠=︒，180BAC B AC ''∠+∠=︒，∴120B AC ''∠=︒，∴=30B C ''∠∠=︒，∴在ADB '∆中，90ADB '∠=︒，30B '∠=︒， ∴1122AD AB BC '==．故答案为：12． ②如图3，∵90BAC ∠=︒，+=180BAC B AC ''∠∠︒，∴==90BAC B AC ''∠∠︒，即ABC ∆和AB C ''∆为直角三角形，∵把AB 绕点A 顺时针旋转α得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '， ∴=AB AB '，=AC AC '，∴在ABC ∆和AB C ''∆中，===AB AB BAC B AC AC AC '''∠'⎧⎪∠⎨⎪⎩∴BAC B AC ''∆∆≌，∴=BC B C ''，∵AD 是AB C ''△边B C ''上的中线，AB C ''∆为直角三角形，∴1122AD B B C C ''==， 又∵8BC =， ∴11=8=422AD BC =⨯． 故答案为：4． （2）12AD BC =， 如图5，延长AD 到M ，使AD DM =，连接B M '、C M '，图5∵=B D DC ''，AD DM =，∴四边形AC MB ''是平行四边形，∴AC B M AC ''==，∵+=180BAC B AC ''∠∠︒，+=180B AC AB M '''∠∠︒，∴=BAC AB M '∠∠，∵=AB AB '，∴在BAC ∆和AB M '∆中，==AC B M BAC AB M AB AB ''=⎧'⎪∠∠⎨⎪⎩∴BAC AB M '∆∆≌，∴BC AM =， ∴12AD BC =． （3）存在，如图6，延长AD 交BC 的延长线于M ，作BE AD ⊥于E ，作直线BC 的垂直平分线交BE 于P ，交BC 于F ，连接PA 、PD 、PC ，作PDC ∆的中线PQ ，连接DF 交PC 于O ，图6∵+=120A B ∠∠︒，∴=180=60M A B ∠︒-∠-∠︒， ∵=90C ∠︒，∴=180=30MDC M MCD ∠︒-∠-∠︒，在Rt DCM ∆中，∵=6CD ，=90DCM ∠︒，=30MDC ∠︒， ∴3CM =43DM =60M ∠︒， 在Rt BEM ∆中，∵=90BEM ∠︒，143BM BC CM =+==30MDC ∠︒，∴1732EM BM ==， ∴33DE EM DM =-= ∵=63AD ∴=AE DE ，∵BE AD ⊥，∴PA PD =，PB PC =，在Rt CDF ∆中，∵=6CD ，=63CF∴tan 3CDF ∠=∴60CDF CPF =︒=∠∠，∴FCP CFD ∆∆≌，∴CD PF =，∵//CD PF ，∴四边形CDPF 是矩形，∴=90CDP ∠︒，∴=60ADP ADC CDP ∠∠-∠=︒，∴ADP ∆是等边三角形，∴==63PA PD AD =∵=60BPF CPF ∠∠=︒，∴120BPC ∠=︒，∴+180APD BPC ∠∠=︒，∴PDC ∆与PAB ∆之间满足小明探究的问题中的边角关系，在Rt PDQ ∆中，∵=90PDQ ∠︒，63PD PA AD ===，132DQ CD ==， ∴()2222=363313PQ DQ DP +=+=．【点睛】 本题考查了三角形的综合问题．掌握全等三角形的性质以及判定定理、直角三角形斜边中线定理、解直角三角形、勾股定理、中线的性质是解题的关键．在处理三角形的边旋转问题时，旋转前后边长不变，根据已知角度变化，求得线段之间关系．在证明某点是否存在问题时，先假设这点存在，能求出相关线段或坐标，即证实存在性．15．《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：（问题）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a （x ﹣2）2﹣经过原点O ，与x 轴的另一个交点为A ，则a= ．（操作）将图①中抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G ，如图②．直接写出图象G 对应的函数解析式． （探究）在图②中，过点B （0，1）作直线l 平行于x 轴，与图象G 的交点从左至右依次为点C ，D ，E ，F ，如图③．求图象G 在直线l 上方的部分对应的函数y 随x 增大而增大时x 的取值范围．（应用）P 是图③中图象G 上一点，其横坐标为m ，连接PD ，PE ．直接写出△PDE 的面积不小于1时m 的取值范围． 解析：【问题】：a=；【操作】：y=；【探究】：当1＜x ＜2或x ＞2+时，函数y 随x 增大而增大；【应用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+． 【详解】 试题分析：【问题】：把（0，0）代入可求得a 的值；【操作】：先写出沿x 轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式；【探究】：令y=0，分别代入两个抛物线的解析式，分别求出四个点CDEF 的坐标，根据图。

山东省聊城市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析山东省聊城市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020莘.中考模拟) 如图，二次函数y=ax²+bx+c （a≠0）的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为（3，0），顶点C 的坐标为（1，4）。

（1） 求二次函数的解析式和直线BD 的解析式；（2） 点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值；（3） 在抛物线上是否存在异于B 、D 的点Q ，使△BDQ 中BD 边上的高为2？若存在求出点Q 的坐标；若不存在请说明理由。

~~第2题~~(2020聊城.中考真卷) 如图，二次函数y ＝ax ＋bx ＋4的图象与x 轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，其对称轴与线段BC 交于点E ．垂直于x 轴的动直线l 分别交抛物线和线段BC 于点P 和点F ，动直线l 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x 轴正方向移动到B 点．（1） 求出二次函数y ＝ax ＋bx ＋4和BC 所在直线的表达式；（2） 在动直线l 移动的过程中，试求使四边形DEFP 为平行四边形的点P 的坐标；（3） 连接CP ，CD ，在移动直线l 移动的过程中，抛物线上是否存在点P ，使得以点P，C ，F 为顶点的三角形与 D CE 相似，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．~~第3题~~(2019莘.中考模拟) 如图，抛物线y=-x +bx+c 交x 轴于点A （-3，0)和点B ，交y 轴于点C(0，3）．222（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S=4S，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值，并求出△DAC 面积的最大值．~~第4题~~(2019聊城.中考真卷) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线，线段以及轴于点．（1）求抛物线的表达式；（2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；（3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值．~~第5题~~(2018莘.中考模拟) 已知如图，抛物线y=x+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．~~第6题~~(2018聊城.中考模拟) 已知，抛物线y=ax+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．△A OP△BOC22（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3） a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．~~第7题~~(2018聊城.中考真卷) 如图，已知抛物线与轴分别交于原点和点，与对称轴交于点 .矩形的边在轴正半轴上，且，边，与抛物线分别交于点， .当矩形沿轴正方向平移，点，位于对称轴的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为；点，位于对称轴的两侧时，连接，，此时五边形的面积记为 .将点与点重合的位置作为矩形平移的起点，设矩形平移的长度为 .（1）求出这条抛物线的表达式；（2）当时，求的值；（3）当矩形沿着轴的正方向平移时，求关于的函数表达式，并求出为何值时，有最大值，最大值是多少？~~第8题~~(2017高唐.中考模拟) 如图，已知抛物线y=﹣ +bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE// BC交AC于E，DF//AC交BC于F．①求证：四边形DECF是矩形；②试探究：在点D运动过程中，DE、DF、CF的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值，若变化，试说明变化情况．~~第9题~~(2017冠.中考模拟) 如图，已知抛物线y=﹣ x+bx+4与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B （8，0）（1）求抛物线的解析式及其对称轴．（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由．（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．~~第10题~~(2017阳谷.中考模拟) 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数y= 的图像与正比例函数y=kx（k≠0）的图像相交于横坐标为2的点A，平移直线OA，使它经过点B（3，0）．（1）求平移后直线的表达式；（2）求OA平移后所得直线与双曲线的交点坐标．山东省聊城市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：2解析：~~第2题~~答案：解析：答案：解析：~~第4题~~答案：解析：答案：解析：~~第6题~~答案：解析：答案：解析：~~第8题~~答案：解析：~~第9题~~答案：解析：答案：解析：。

山东省德州市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析山东省德州市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020德州.中考真卷) 如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是 ，在x 轴上任取一点M ． 连接AM ，分别以点A 和点M 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于G，H 两点，作直线GH ， 过点M 作x 轴的垂线l 交直线GH 于点P ． 根据以上操作，完成下列问题．探究：（1） 线段PA与PM 的数量关系为________，其理由为：________．（2） 在x 轴上多次改变点M 的位置，按上述作图方法得到相应点P 的坐标，并完成下列表格：M 的坐标……P 的坐标……（3） 请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L ， 猜想曲线L 的形状是________．（4） 验证：设点P 的坐标是，根据图1中线段PA 与PM 的关系，求出y 关于x 的函数解析式．（5） 应用：如图3，点， ，点D 为曲线L 上任意一点，且 ，求点D 的纵坐标 的取值范围．~~第2题~~(2019乐陵.中考模拟) 如图，关于x 的二次函数y ＝x ＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A(1，0)和点B ，与y 轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.（1） 求二次函数的表达式；（2） 在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标；（3） 有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M ，N 同时停止运动，问点M ，N 运动到何处时，△MNB 面2积最大，试求出最大面积．~~第3题~~(2019夏津.中考模拟) 如图1，抛物线y=-x +2x+3与x 轴交于A ，B ，与y 轴交于C ，抛物线的顶点为D ，直线l 过C 交x 轴于E (4，0）.（1） 写出D 的坐标和直线l 的解析式；（2） P(x ，y ）是线段BD 上的动点（不与B ，D 重合），PF ⊥x 轴于F ，设四边形OFPC 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求S 的最大值；（3） 点Q 在x 轴的正半轴上运动，过Q 作y 轴的平行线，交直线l 于M ，交抛物线于N ，连接CN ，将△CMN 沿CN 翻转，M 的对应点为M’.在图2中探究：是否存在点Q ，使得M'恰好落在y 轴上?若存在，请求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.~~第4题~~(2019宁津.中考模拟) 如图1，已知二次函数y=ax +bx+c(a 、b、c 为常数，a≠0)的图象过点0（0，0）和点A （4，0），函数图象最低点M 的纵坐标为- ，直线l 的解析式为y=x.（1） 求二次函数的解析式；（2） 直线/沿x 轴向右平移，得直线I ，I 与线段0A 相交于点B ，与x 轴下方的抛物线相交于点C ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，把△BCE 沿直线/折叠，当点E 恰好落在抛物线上点E'时（图2），求直线l 的解析式；（3） 在（2)的条件下，I 与y 轴交于点N ，把△BON 绕点0逆时针旋转135°得到△B’ON'，P 为l 上的动点，当△PB’N'为等腰三角形时，求符合条件的点P 的坐标.~~第5题~~(2019德州.中考真卷)如图，抛物线与轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且．（1） 求抛物线的解析式；22（2）若，是抛物线上的两点，当， 时，均有，求 的取值范围；（3） 抛物线上一点，直线与轴交于点，动点在线段上，当时，求点 的坐标．~~第6题~~(2019德州.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．点M 是边BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），反比例函数y ＝（k ＞0，x ＞0）的图象经过点M 且与边AB 交于点N ， 连接MN ．（1） 当点M 是边BC 的中点时．①求反比例函数的表达式；②求△OMN 的面积；（2） 在点M 的运动过程中，试证明： 是一个定值．~~第7题~~(2018德州.中考模拟) 已知，m，n 是一元二次方程x +4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x +bx+c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．（1） 求这个抛物线的解析式；（2） 设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3） 点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为 个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．~~第8题~~(2018德州.中考真卷) 如图1,在平面直角坐标系中,直线 与抛物线 交于两点，其中, .该抛物线与轴交于点 ,与 轴交于另一点.（1） 求的值及该抛物线的解析式;（2） 如图2.若点为线段上的一动点(不与 重合).分别以 、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△ 和等腰直角△ ,连接 ,试确定△ 面积最大时 点的坐标.22（3） 如图3.连接 、 ,在线段 上是否存在点 ,使得以为顶点的三角形与△ 相似,若存在,请直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由.~~第9题~~(2017德州.中考模拟) 阅读材料，回答问题一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20 海里的圆形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A 处时，测得台风中心移到位于点A 正南方向B 处，且AB=100海里．（1） 若这艘轮船自A 处按原速度和方向继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，说明理由；（2） 现轮船自A 处立即提高船速，向位于北偏东60°方向，相距60海里的D 港驶去，为使台风到来之前，到达D 港，问船速至少应提高多少（提高的船速取整数， ≈3.6）？~~第10题~~(2017城.中考模拟) 如图，抛物线y= x +bx+c 与y 轴交于点C （0，﹣4），与x 轴交于点A ，B ，且B 点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P 是AB 上的一动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于E ，连接CP ，求△PCE 面积的最大值．（3）若点D 为OA 的中点，点M 是线段AC 上一点，且△OMD 为等腰三角形，求M 点的坐标．山东省德州市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：2解析：~~第2题~~答案：解析：~~第3题~~答案：解析：答案：解析：~~第5题~~答案：解析：答案：解析：~~第7题~~答案：解析：~~第8题~~答案：解析：~~第9题~~答案：解析：答案：解析：。

1.如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=- 4/9x2+bx+c 经过A、C两点，与AB边交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；②当S最大时，在抛物线y=- 4/9x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC= 43，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点、在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位臵共有（）A、2个 B、3个 C、4个 D、5个3、九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得如图所放风筝的高度，进行了如下操作：（1）在放风筝的点A处安臵测倾器，测得风筝C的仰角∠CBD=60°；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC的长度为70米；（3）量出测倾器的高度AB=1.5米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE约为米．（精确到0.1米， 3≈1.73）．4、附加题：已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= kx的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．5、在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换：1、f（a，b）=（-a，b）．如：f（1，3）=（-1，3）；2、g（a，b）=（b，a）．如：g（1，3）=（3，1）；3、h（a，b）=（-a，-b）．如：h（1，3）=（-1，-3）．按照以上变换有：f（g（2，-3））=f（-3，2）=（3，2），那么f（h（5，-3））等于（）A、（-5，-3）B、（5，3）C、（5，-3）D、（-5，3）6、自2008年爆发全球金融危机以来，部分企业受到了不同程度的影响，为落实“促民生、促经济”政策，济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案，调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成（计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数）．下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息：职工甲乙月销售件数（件）200 180月工资（元）1800 1700（1）试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元？（2）若职工丙今年六月份的工资不低于2000元，那么丙该月至少应销售多少件产品？7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4 2，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长；（2）当MN∥AB时，求t的值；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．8、已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A （-3，0），C（0，-2）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9．如图，在ABC △中，2AB AC ==，20BAC ∠= ．动点P Q ，分别在直线BC 上运动，且始终保持100PAQ ∠= ．设BP x =，CQ y =，则y 与x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（ ）10、如图，点C 为线段AB 上任意一点（不与A 、B 重合），分别以AC 、BC 为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE ，CA=CD ，CB=CE，∠ACD 与∠BCE 都是锐角且∠ACD=∠BCE ，连接AE 交CD 于点M ，连接BD交CE 于点N ，AE 与BD 交于点P ，连接PC ．（1）求证：△ACE ≌△DCB ；（2）请你判断△AMC 与△DMP 的形状有何关系并说明理由；（3）求证：∠APC=∠BPC ．11.如图，直线y=ax （a ＞0）与双曲线交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（4，m ），点B 的坐标为（n ，-2）（1）求m 、n 的值；（2）若双曲线 y=k/x(k ＞0)的上点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线 y=k/x(k ＞0)于P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点P 为顶点组成的四边形的面积为24，求点P 的坐标．12、如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式；Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．（2）设此抛物线与直线y=x 相交于点A ，B （点B 在点A 的侧），平行于y 轴的直线x=m （0＜m ＜ 5+1）与抛物线交于点M ，与直线y=x 交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）；（3）在条件（2）的情况下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．13、如图，小陈从O 点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O 时一共走了 米．14、如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，…，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n =15、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原 来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线 QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（2）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由．16、如图，一个直角三角形纸片的顶点A 在∠MON 的边OM 上移动，移动过程中始终保持AB ⊥ON 于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由；（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．、17、如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．18、如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN．19、如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上．过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积，②当2＜t＜4时，求S关于t的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．若不存在，请说明理由。

山东省烟台市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析山东省烟台市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020烟台.中考真卷) 如图，抛物线y ＝ax +bx+2与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝2OB ，与y 轴交于点C ，连接BC，抛物线对称轴为直线x ＝ ，D 为第一象限内抛物线上一动点，过点D 作DE ⊥OA 于点E ，与AC 交于点F ，设点D 的横坐标为m ．（1） 求抛物线的表达式；（2） 当线段DF 的长度最大时，求D 点的坐标；（3） 抛物线上是否存在点D ，使得以点O，D ，E 为顶点的三角形与相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．~~第2题~~(2019烟台.中考真卷) 如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与 轴交于点，过点 作 轴交抛物线于另一点，作轴，垂足为点 .双曲线经过点，连接，.（1）求抛物线的表达式；（2）点 ， 分别是 轴， 轴上的两点，当以， ， ， 为顶点的四边形周长最小时，求出点 ，的坐标；~~第3题~~(2018烟台.中考真卷) 如图1，抛物线y=ax +2x+c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （1，0）两点，过点B 的直线y=kx+ 分别与y 轴及抛物线交于点C ，D ．22（1） 求直线和抛物线的表达式；（2） 动点P 从点O 出发，在x 轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t 的值；（3） 如图2，将直线BD 沿y 轴向下平移4个单位后，与x 轴，y 轴分别交于E ，F 两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M ，在直线EF 上是否存在点N ，使DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点M ，N 的坐标；若不存在，请说明理由．~~第4题~~(2017烟台.中考真卷) 如图1，抛物线y=ax +bx+2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB=4，矩形OBDC 的边CD=1，延长DC 交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设P H 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．山东省烟台市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：2解析：~~第2题~~答案：解析：答案：解析：答案：解析：。

山东省中考数学压轴题集1．（山东省中招、日照市、东营市中考）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG ＝CG ；（2）将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADC EG图①FB ADC图②GEFBADC图③E2．（山东省济南市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC＝5，AB＝4，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向2终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．A D（2）当MN∥AB时，求t的值．N （3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．CB M3．（山东省济南市）已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝－1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（－3，0）、C（0，－2）．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．AC xyB O4．（山东省青岛市）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝6cm ，CD ＝4cm ，BC ＝BD ＝10cm ，点P 由B 出发沿BD 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动，速度为1cm/s ，交BD 于Q ，连接PE ．若设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PE ∥AB ？（2）设△PEQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △PEQ ＝252S △BCD ？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．A DCFBE QP5.（山东省德州市（德城））如图，已知抛物线y ＝x 2－1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与△PCA 相似？若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．A B O PCxy6．（山东省烟台市）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，且CD ＝2AD，tan∠ABC＝2，过点D作DE∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．（1）求证：BC＝CD；（2）将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG.．求证：CD垂直平分EG．（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．A DECBG7．（山东省烟台市）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且经过点（2，－3a ），对称轴是直线x ＝1，顶点是M ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C ，M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P ，A ，C ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线y ＝－x ＋3与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B ，D 重合），经过A ，B ，E 三点的圆交直线BC 于点F ，试判断△AEF 的形状，并说明理由；（4）当E 是直线y ＝－x ＋3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）OB xA MC1y-38．（山东省枣庄市）如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．y xOAB9．（山东省枣庄市）如图，在平面直角坐标系中，点C （－3，0），点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且满足：32－OB ＋|OA －1|＝0．（1）求点A 、点B 的坐标；（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 由C 向B 运动，连结AP ，设△ABP 的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A ，B ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．O xA C y B10．（山东省威海市）如图，在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，(0，3)，过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求当AD ＋CD 最小时点D 的坐标；（3）以点A 为圆心，以AD 为半径作⊙A ．①证明：当AD ＋CD 最小时，直线BD 与⊙A 相切．②写出直线BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标：______________．O A BCly x11．（山东省威海市）一次函数y ＝ax ＋b 的图象分别与x 轴、y 轴交于点M ，N ，与反比例函数y ＝xk 的图象相交于点A ，B ．过点A 分别作AC ⊥x 轴，AE ⊥y 轴，垂足分别为C ，E ；过点B 分别作BF ⊥x 轴，BD ⊥y 轴，垂足分别为F ，D ，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A ，B 在反比例函数y ＝xk 的图象的同一分支上，如图1，试证明：①S 四边形AEDK ＝S 四边形CFBK ；②AN ＝BM ．（2）若点A ，B 分别在反比例函数y ＝x k的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．OA (x 1,y 1)KC y xB (x 2,y 2)F D E N M图1OA (x 1,y 1)K C y xB (x 3,y 3)F DE N M图212．（山东省淄博市）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长是2．O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上．一条抛物线经过A 点，顶点D 是OC 的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）正方形OABC 的对角线OB 与抛物线交于E 点，线段FG 过点E 与x 轴垂直，分别交x 轴和线段BC 于F ，G 点，试比较线段OE 与EG 的长度；（3）点H 是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段IJ 过点H 与x 轴垂直，分别交x 轴和线段BC 于I 、J 点，点K 在y 轴的正半轴上，且OK ＝OH ，请证明△OHI ≌△JKC ．OC yxJH GKBI A FE D13．（山东省淄博市）如图，在矩形ABCD 中，BC ＝20cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ ＝x cm （x ≠0），则AP ＝2x cm ，CM ＝3x cm ，DN ＝x 2cm ．（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．Q B CDNAPM14．（山东省潍坊市）在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝a，DC＝b，BC＝a＋b，且a≤b．取AD的中点P，连结PB、PC．（1）试判断三角形PBC的形状；（2）在线段BC上，是否存在点M，使AM⊥MD．若存在，请求出BM的长；若不存在，请说明理由．DPAB C15．（山东省潍坊市）如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A 、B 、C 、D 四点．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点D ，与直线y ＝x 交于点M 、N ，且MA 、NC 分别与圆O 相切于点A 和点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x 轴于点E ，连结DE ，并延长DE 交圆O 于F ，求EF 的长．（3）过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ，判断点P 是否在抛物线上，说明理由．O xy N CDE FBMA16．（山东省滨州市）如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝20cm ，DC ＝30cm ，∠ADC ＝45°．对于抛物线部分，其顶点为CD 的中点O ，且过A 、B 两点，开口终端的连线MN 平行且等于DC ．（1）如图①所示，在以点O 为原点，直线OC 为x 轴的坐标系内，点C 的坐标为（15，0），试求A 、B 两点的坐标；（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3cm 的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长．N BCDA M yx图①O AB图②17．（山东省菏泽市）如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴分别交于B (1，0)、C (5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．O yxAB C18．（山东省莱芜市）如图，在平面直角坐标系中，以点A(－3，0)为圆心、5为半径的圆与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于D、M两点（点D在点M的下方）．（1）求以直线x＝－3为对称轴、且经过D、C两点的抛物线的解析式；（2）若点P是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC＋PD的取值范围；（3）若点E为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．O yxAB CDM19．（山东省泰安市）如图，△OAB 是边长为2的等边三角形，过点A 的直线y ＝－33x ＋m 与x 轴交于点E ．（1）求点E 的坐标；（2）求过A 、O 、E 三点的抛物线解析式；（3）若点P 是（2）中求出的抛物线AE 段上一动点（不与A 、E 重合），设四边形OAPE 的面积为S ，求S 的最大值．y xB AO E20．（山东省济宁市）在平面直角坐标系中，边长为2的正OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y ＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．（1）求OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设△MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．OC B xyA MN21．（山东省聊城市）如图，已知正方形ABCD 的边长与Rt △PQR 的直角边PQ 的长均为4厘米，QR ＝8厘米，AB 与QR 在同一条直线l 上．开始时点Q 与点B 重合，让△PQR 以1厘米/秒速度在直线l 上向左匀速运动，直至点R 与点A 重合为止，t 秒时△PQR 与正方形ABCD 重叠部分的面积记为S 平方厘米．（1）当t ＝3秒时，求S 的值．（2）求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（3）写出t 为何值时，重叠部分的面积S 有最大值，最大值是多少？A B Q P R CD l22．（山东省临沂市）如图，抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标．B OC yA x 4-2。

【2013·山东潍坊·24题】如图，抛物线y=ax2+bx+c 关于直线x=1对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4，点D（2，32）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2（k≠0）的图象，点O为坐标原点。

（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值；（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M、N两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P，使得无论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）由题意知，点A、B关于直线x=1对称∵AB=4∴A（-1，0），B（3，0）设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)∵点D（2，32）在抛物线上∴-3a=32，得a=-12∴抛物线的解析式为y=-12x2+x+32（2）∵当x=0时，y=32∴C（0，32）∴CD∥AB，CD=2，OC=3 2∴四边形OBDC是直角梯形，OB=3∴S梯形OBDC=12(OB+CD)·OC=154∵直线l平分四边形OBDC的面积∴S梯形OFGC=12(OF+CG)·OC=158∴OF+CG=5 2由y=kx-2知，直线l要平分四边形OBDC，则一定有k＞0∵当y=0时，x=2k∴F（2k，0），即OF=2k∵当y=32时，x=72k∴G（72k，32），CG=72k∴2k+72k=52∴k=115（3）存在满足题述条件的点P。

∵直线PM与PN关于y轴对称∴∠MPE=∠NPE过点M、N作y轴的垂线，垂足为H、K。

∵tan∠MPE=MHPH，tan∠NPE=NKPK∴MHPH=NKPK，即MH·PK=NK·PH设M（x1，kx1-2），N（x2，kx2-2），P（0，m）则MH=x1，PH=m-kx1+2，NK=-x2，PK=m-kx2+2∴x1(m-kx2+2)=-x2(m-kx1+2)整理得(m+2)(x1+x2)=2kx1x2……①由题意得，平移后的抛物线解析式为y=-12x2由-12x2=kx-2得，x2+2kx-4=0由韦达定理得x1+x2=-2k，x1x2=-4则，①式为：-2k(m+2)=-8k∵k≠0∴m=2故，存在满足题述条件的点P，其坐标为（0，2）【2013·山东威海·25题】如图，在平面直角坐标系中，直线y =1322x +与直线y =x 交于点A ，点B 在y =1322x +上，∠BOA=90°。