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相对论（完全非弹性）碰撞相对论碰撞：兹有两粒子A 、B 在同一直线上运动。
粒子A 静止质量为01m ，粒子B 静止质量为02m 。
粒子A 速度为1v ，粒子B 以速度2v 与A 发生正碰撞12v v >。
设碰撞后两粒子粘合在一起组成一复合粒子。
求：复合粒子的质量、动量和动能以及运动速度和静止质量。
解：（1）假设复合粒子的质量为M ，则由“质量守恒”或“能量守恒”有质量守恒等价地表达为能量守恒（2）假设复合粒子的动量为P ，则由“动量守恒”有（3）假设复合粒子的速度为V ，则由V M P ⋅= 有⇒-+-=⋅-+⋅-=⋅=220221012220212101)(1)(1)(1)(1;cv m cv m M v cv m v c v m P VM P（4）假设复合粒子的静止质量为0M ，则有动能202c M c M E k ⋅-⋅=由于 20)(1cV M M -=，所以得到20)(1cV M M -⋅=于是得到22022101222021210122022101222)(1)(1)(1)(1;)(1)(1)(1cv m cv m v c v m v cv m V cv m cv m M c cVM c M E k -+-⋅-+⋅-=-+-=⋅-⋅-⋅=从而得到复合粒子的动能：（5）假设复合粒子的静止质量为0M ，则有静止质量20)(1cVM M -⋅=由于22022101222021210122022101)(1)(1)(1)(1;)(1)(1cv m cv m v c v v cv V cv m cv m M -+-⋅-+⋅-=-+-=从而得到复合粒子的静止质量：⇔⋅-+⋅-⋅--+-==222202121012222022101020121000201210])(1)(1[1])(1)(1[),;,(),;,(v cv m v cv m c cv m cv m m m v v M M m m v v M关于复合粒子的静止质量的讨论：例0：0020121;6.0,0m m m c v v==⋅==000002223),;6.0,0(m m m m c M ⋅>⋅⋅=⋅ 例1：02010201),;,(m m m mv v M +=当且仅当21v v v ==例2：0201,v v v v=-=0201222002012022010201000)2(112),;,(m m v c v c m m m m m m v v M +>+⋅⋅-⋅⋅⋅++=-附录：例12-8 相对论碰撞：两相同粒子A 、B ，静止质量均为m 0，粒子A 静止，粒子B 以0.6c 的速度与A 发生碰撞，设碰撞后两粒子粘合在一起组成一复合粒子。
狭义相对论1.电磁理论建立后预言了电磁波，由此引发了牛顿力学与电磁理论的矛盾？这个矛盾的实质是什么？解决这个矛盾有两条思路,请分别对它们作简要说明。
光速不变的推论与伽利略速度变换矛盾。
思路1：以太学说：以太被认为是电磁波的传递介质，麦克斯韦方程只对“以太系”成立，光在以太系中的速度为c。
思路2：麦克斯韦理论是正确的，修改牛顿力学。
2.迈克耳孙—莫雷实验的目的是什么？实验结果与理论预言是否一致？实验结果说明什么？3.狭义相对论的公理（前提）是什么？它们是根据什么提出来的？实验基础是什么？相对性原理和光速不变原理。
意大利科学家伽利略以天才的思考，证实了物理学著名的相对性原理。
他这样告诉我们：把你和几位朋友关进一条大船甲板下面的大房间里，带上一些苍蝇、蝴蝶和其他小飞虫。
再找一个大桶，装满水，放几条鱼进去。
找一个盛了水的瓶子挂起来，让它把水一滴一滴地滴进下面的一个细颈瓶里。
船静止不动的时候，你可以观察到这些小飞虫以不同的速度向房内各个方向飞去，鱼向不同的方向游动，水滴落进下面的瓶子里。
你把任何东西扔给你的朋友，只要距离相等，朝这个方向扔不比朝那个方向扔用更多的力量。
你立定跳远，无论向哪个方向跳，距离都是一样的远。
当你仔细观察了上述现象之后，用你想用的任何速度开船，只要运动是匀速的，也不忽左忽右地摆动，你就看不出上述各种运动有任何变化。
你也不能通过它们中的任何一个现象来确定船是运动着呢，还是停着不动。
归纳上述事实，就产生了物理学的相对性原理。
光速不变原理是由联立求解麦克斯韦方程组得到的，并为迈克尔逊—莫雷实验所证实。
迈克耳孙—莫雷实验4.在惯性系中可以用一把直尺确定坐标轴的标度，对这把直尺有什么要求？因为移动直尺时直尺的长度会改变，这把直尺的静长能改变吗？在惯性系中需要在各点设置测量时间的时钟，并校准它们的零点和快慢，这些是如何实现的？直尺对于该惯性系静止。
不能。
5.什么叫做事件？什么是事件的时空坐标？怎样测量一个事件的时空坐标？请举例说明。
课时15.2狭义相对论的其他结论广义相对论简介1.知道相对论速度变换公式。
2.知道相对论质能关系。
3.初步了解广义相对论的几个主要观点及主要观测证据。
4.关注宇宙学研究的新进展。
重点难点:相对论速度变换公式与质能方程。
教学建议:在狭义相对论的两个基本假设基础上,光速极限条件下,经典的伽利略速度叠加法则不再适用,在此条件下介绍相对论速度变换公式。
另一重要内容是爱因斯坦质能方程,它揭示了质量与能量的相互联系。
对于广义相对论,要有所了解,体会人类对自然的认识在不断扩展。
导入新课:时间和长度对于不同速度的参考系,将有不同的测量结果,那么,速度、质量和能量将会有什么情况呢?狭义相对论是惯性参考系之间的理论,爱因斯坦把相对性原理推广到非惯性系在内的任意参考系,提出了广义相对论。
1.狭义相对论的其他结论(1)相对论速度变换公式设高速火车的速度为v,车上的人以速度u'沿着火车前进的方向相对火车运动,光在真空中的速度为c,则此人相对地面的速度为u=①。
(2)相对论质量物体以速度v运动时的质量为m,和它静止时的质量m0之间有如下关系:m=②,根据此式可知,微观粒子的运动速度很高时,它的质量明显大于静止时的质量,这个现象必须考虑,也就是说物体的质量与物体的③速度有关,并不是恒定不变的。
(3)质能方程物体具有的能量与物体的④质量有关,其表达式为E=⑤mc2。
2.广义相对论简介(1)广义相对性原理:在狭义相对论中,不同惯性参考系中,一切物理规律都是相同的,爱因斯坦在狭义相对论的基础上,把相对性原理推广到包括非惯性参考系在内的任意参考系,在⑥任何参考系中,物理规律都是相同的,这就是广义相对性原理。
(2)等效原理:我们无法判断,在一个封闭的电梯内,物体加速运动是由引力引起的还是参考系相对于物体运动造成的,一个均匀的引力场与一个做⑦匀加速运动的参考系等价。
这就是等效原理。
(3)广义相对论的几个结论①根据等效原理,物质的引力使光线⑧弯曲。
第六章狭义相对论6.1相对论的基本原理和时空理论认为时空和质量的测量有绝对意义,与观测者所处的参考系⽆关,这种绝对时空和绝对质量观念是经典⼒学的“公理”基础,其集中反映便是伽俐略变换.但从19世纪末年起,⼈们发现这种观念与电磁现象和⾼速运动的实验事实不符.在迈克尔孙等⼈光速测量实验的基础上,爱恩斯坦于1905年创⽴了狭义相对论.这⼀理论的两个基本假设是:相对性原理——物理定律在所有惯性系都有相同的形式；光速不变原理——真空中的光速在所有惯性系沿任何⽅向都是常数c,与光源的运动⽆关.间隔不变性间隔不变性是相对性原理与光速不变原理的数学表述.设惯性系中,任意两事件的空时坐标为和,定义两事件的间隔为(6.1)在另⼀惯性系中,这两事件的空时坐标为,,间隔为(6.2)惯性系概念要求空时坐标变换必须是线性变换,即,,⽽当两个惯性系的相对速度时,这两个惯性系将等同于⼀个惯性系.因⽽对任何两个惯性系,应当有(6.3)洛伦兹变换设惯性系以速度沿惯性系的x轴正向运动,两参考系相应坐标轴平⾏,时两参考系的原点重合(⼀个事件),由(6.3)式,可导出任⼀事件的空时坐标从系到系的变换——洛伦兹变换,,, (6.4)其中 , (6.5)将(6.4)式中的换为,可得逆变换.当, (6.4)过渡到伽俐略变换.因果律与相互作⽤的最⼤传播速度洛伦兹变换表明,时空的测量有相对意义,即测量结果与观测者所处的参考系有关,这是相对论时空观的⼀个⽅⾯.另⼀⽅⾯,是认为事物发展变化的因果关系有绝对意义,即因果关系不因参考系的变换⽽改变,从时间次序来说,就是在⼀个惯性系中,作为结果的事件必定发⽣在作为原因的事件之后,变换到任何其它惯性系,都必须保持这⼀时间次序.从这⼀要求出发,由间隔不变性或洛伦兹变换,可得出推论——真空中的光速c是⾃然界⼀切相互作⽤传播速度的极限.间隔分类在任何⼀个惯性系中,任何两事件的间隔只能属于如下三种分类之⼀：类时间隔；类光间隔；类空间隔.在⼀个惯性系中有因果关系的两事件,两者之间必定存在某种相互作⽤,其传播速度只能⼩于c或等于c,因⽽有因果关系的两事件之间隔必定类时或类光,变换到任何其它惯性系,绝对保持因果关系,相互作⽤的传播速度仍然⼩于c或等于c,即间隔仍然类时或类光.在⼀个惯性系中⽆因果关系的两事件,间隔必定类空,变换到任何其它惯性系,绝对保持⾮因果关系,间隔仍然类空.同时相对性在某个惯性系中,如果两事件于不同地点同时发⽣,即这两事件⽆因果关系,由洛伦兹变换可推知,在其它惯性系看来,这两事件的发⽣不同时.这意味着,在某个惯性系不同地点对准的时钟,在其它惯性系看来没有对准.时钟延缓效应在物体静⽌的参考系中,测得任⼀过程进⾏的时间,称为这过程的“固有时”.由洛伦兹变换,在其它惯性系中,测得这过程进⾏的时间变慢了：(6.6)这效应对于两个惯性系来说是相对的,即在系上看系的时钟变慢,在系上看系的时钟也变慢.但是在有加速运动的情形,时间延缓效应是绝对效应.尺度缩短效应当物体以速度相对于惯性系运动,若在平⾏于运动⽅向上这物体的静⽌长度为,由洛伦兹变换,在系中测得这长度缩短为(6.7)这效应对于两个惯性系来说,也是相对的.但在垂直于运动的⽅向,这⼀效应不会发⽣.时钟延缓与尺度缩短效应,是在不同参考系中观察物质运动在时空关系上的客观反映,是统⼀时空的两个基本属性,与具体过程和物质的具体结构⽆关.速度变换由洛伦兹变换(6.4),可导出物体速度从惯性系到之间的变换, ,(6.8)将换为-,可得逆变换.可以证明,若在⼀个参考系中物体的速度,变换到任何其它参考系仍有.仅当,(6.8)式才过渡到经典速度变换.6.2 洛伦兹变换的四维形式四维协变量相对论认为时空是统⼀的.为此将三维空间与第四维虚数坐标统⼀为四维复空间(6.9)于是当系以速度沿系的轴正向运动时,洛伦兹变换(6.4)可表为, (6.10)重复指标(上式中右⽅的)意味着要对它从1⾄4求和.变换系数构成的矩阵为(6.11)由于洛伦兹变换(6.10)满⾜间隔不变性(6.3),亦即不变量 (6.12)因此,洛伦兹变换是四维时空中的正交变换,即变换矩阵满⾜(6.13)(6.10)的逆变换为(6.14)在洛伦兹变换下,按物理量的变换性质分类为：标量(零阶张量,不变量) (6.15)四维⽮量(⼀阶张量) (6.16)四维⼆阶张量 (6.17)例如,间隔和固有时就是洛伦兹不变量.可以证明,每⼀类四维协变量的平⽅都是洛伦兹变换下的不变量.利⽤这⼀普遍规律,可将物体的速度和光速,能量和动量,电荷密度和电流密度,标势和⽮势,电场和磁场等物理量统⼀为四维协变量,由此可以清楚地显⽰出被统⼀起来的物理量之间的内在联系,并将描写物理定律的⽅程式表⽰成相对性原理所要求的协变形式.6.3 相对论⼒学相对论⼒学⽅程在低速运动情形下,经典⼒学⽅程在伽利略变换下满⾜协变性.为使⾼速运动情况下⼒学⽅程也满⾜协变性,构造四维速度 (6.18)四维动量 (6.19)四维⼒ (6.20) (四维加速度 ),其中是三维速度,是三维⼒,是⼒的功率,是四维⼒的空间分量.由于固有时和静⽌质量是洛伦兹不变量,因此、和都是按(6.16)⽅式变换的四维协变⽮量,于是相对论⼒学⽅程(6.21)在洛伦兹变换下满⾜协变性.由,这⽅程包含的两个⽅程为(6.22)(6.23)相对论质量、动量和能量由⽅程(6.22)和(6.23)可知,⾼速运动情形下物体的质量、动量和能量分别为(6.24)(6.25)(6.26)质速关系(6.24)表明,物体的质量随其运动速度的增⼤⽽增加,即质量测量与时空测量⼀样,存在相对论效应.仅当,才有,此时相对论动量(6.25)过渡到经典动量.质能关系(6.26)中,是运动物体或粒⼦的总能量,是其静⽌能量,是其相对论动能.仅当物体或粒⼦的速度,才有,即⾮相对论动能.质能关系的重要意义在于它表明,⼀定的质量来源于⼀定的相互作⽤能量.由可推知,静⽌质量的粒⼦,必定有静⽌能量,因⽽应当存在某种深层次的内部结构,物体或粒⼦的静⽌质量,来源于其内部存在的相互作⽤能量.由多粒⼦组成的复合物之所以出现质量亏损,便是这复合物内部的粒⼦存在⼀定相互作⽤能(结合能)的反映.(6.19)式表⽰的四维动量,是将相对论动量和能量统⼀起来的协变⽮量：(6.27)在物体或粒⼦静⽌的参考系中,其动量,能量,在任⼀惯性系中,设其动量为,能量为,由的平⽅是洛伦兹变换下的不变量,可得能量、动量和质量的普遍关系式(6.28)由(6.26)和(6.28),可得粒⼦静⽌质量的⼀种表达式(6.29)即通过测量粒⼦的动量和动能,可计算其静⽌质量.光⼦的能量和动量由质能关系(6.26)可推知,以速度运动的粒⼦,例如光⼦,其静⽌质量应当为零,即这类粒⼦应当没有内部结构.由波粒⼆象性,光⼦能量为,其中为⾓频率,,为普朗克常数.因光⼦,由(6.28)式,其动量为,为波⽮量,表⽰光⼦运动⽅向的单位⽮量.6.4 电动⼒学的相对论协变性相对论电动⼒学⽅程定义四维算符(6.30)(6.31)是协变⽮量算符,是标量算符.电流是电荷的运动效应,⽽电荷电流是电磁势和电磁场的激发源.因此,有理由将电荷密度与电流密度,标势与⽮势 ,电场E与磁场B ,统⼀为四维协变量.四维电流密度 (6.32)四维势 (6.33)其中,带电体静⽌时的电荷密度是洛伦兹标量,和均按(6.16)变换.由,构造电磁场张量(6.34)它按(6.17)变换.这是⼀个反对称张量,其矩阵形式为(6.35)构造四维洛伦兹⼒密度(6.36)它按(6.16)变换,其中是三维洛伦兹⼒密度,是电场对电荷作的功率密度.于是,电动⼒学的基本⽅程电荷守恒定律 (6.37)洛伦兹规范 (6.38)达朗贝尔⽅程 (6.39)麦克斯韦⽅程(6.40)能量动量守恒定律 (6.41)都满⾜相对论协变性.(6.41)式中,是将电磁场的能量密度,能流密度S,动量密度g和动量流密度统⼀起来的协变张量：(6.42)矩阵形式为(6.43)势和场的相对论变换在参考系变换下,电荷与电流存在相对性,电磁势和电磁场必然也存在相对性.当惯性系以速度沿系x 1轴的正向运动时,电磁势按变换,即, , , (6.44)电磁场按变换,即，, (6.45)其中下标∥表⽰与运动⽅向平⾏的分量,⊥表⽰垂直分量.将(6.44)式和(6.45)式中的改为-,即得逆变换.在参考系变换下,电磁波的相位是不变量.构造四维波⽮量(6.46)它与四维时空的乘积反映了相位不变性.因此,四维波⽮量必定按变换.当光源沿系x 1轴的正向以速度运动时,便有, , , (6.47)由此可得相对论多普勒效应与光⾏差的表达式, (6.48)其中,为光源静⽌参考系系中的辐射频率,是波⽮即辐射⽅向与x 1轴正向的夹⾓；是在系中观测到的频率,是这参考系中辐射⽅向与光源运动⽅向的夹⾓.6.5电磁场中带电粒⼦的拉格朗⽇量和哈密顿量静⽌质量为,电荷为e的带电粒⼦在电磁场中以速度相对于系运动时,粒⼦的相对论运动⽅程为(6.49)为粒⼦的动量.由, ,可导出粒⼦的拉⽒量(6.50)⽽和作⽤量S都是洛伦兹变换下的不变量:(6.51)(6.52)由⼴义动量的定义 ,可得粒⼦的正则动量和哈密顿量H：(6.53)(6.54)于是拉格朗⽇⽅程(6.55)和正则运动⽅程, (6.56)均与⽅程(6.49)等价.哈密顿量(6.54)第⼀项是粒⼦的相对论能量,故可构造四维正则动量(6.57)由此可得相对论正则运动⽅程, (6.58)。
狭义相对论的两个原理和两个条件狭义相对论的两条基本原理是什么?狭义相对论的两条基本原理是狭义相对性原理和光速不变原理。
1、狭义相对性原理一切物理定律（除引力外的力学定律、电磁学定律以及其他相互作用的动力学定律）在所有惯性系中均有效；或者说，一切物理定律（除引力外）的方程式在洛伦兹变换下保持形式不变。
不同时间进行的实验给出了同样的物理定律，这正是相对性原理的实验基础。
2、光速不变原理光在真空中总是以确定的速度c传播，速度的大小同光源的运动状态无关。
在真空中的各个方向上，光信号传播速度（即单向光速）的大小均相同（即光速各向同性）。
光速同光源的运动状态和观察者所处的惯性系无关。
这个原理同经典力学不相容。
有了这个原理，才能够准确地定义不同地点的同时性。
爱因斯坦狭义相对论的两个基本原理爱因斯坦狭义相对论是一种物理学理论，用于解释物质和能量如何在宇宙中运动。
它是爱因斯坦在20 世纪初期提出的，并成为现代物理学的基础之一。
狭义相对论的两个基本原理是：基本不变性原理：所有的观察者，无论他们的相对运动如何，都应该观察到光的速度是相同的。
这意味着，对于不同的观察者来说，光的速度是不受他们的速度的影响的。
引力与加速度的等价原理：所有的质体都应该受到相同的引力作用。
这意味着，无论质体处在什么加速度环境中，它们都应该表现出相同的运动规律。
例如，在地球表面上落下的两个质体，不论它们的质量和形状如何，都应该以相同的加速度掉落。
这两个原理都是爱因斯坦狭义相对论的核心部分，并且在现代物理学中被广泛使用。
它们提供了一种更加精确的方法来解释宇宙中的自然现象，并为我们对宇宙的理解提供了基础。
一、狭义相对论的两个基本假设1、狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的。
2、光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的。
二、广义相对论：1、广义相对性原理和等效原理①广义相对性原理：在任何参考性中，物理规律都是相同的；②等效原理：一个均匀的引力场与一个做匀加速运动的参考系等价。
第14章 近代物理学一、简答题1、简述狭义相对论的两个基本原理。
答：爱因斯坦相对性原理: 所有的惯性参考系对于运动的描述都是等效的。
光速不变原理： 光速的大小与光源以及观察者的运动无关，即光速的大小与参考系的选择无关。
2、简述近光速时粒子的能量大小以及各部分能量的意义。
答：总能量2E mc = 2,静能量20E c m =,动能为()20k -m E c m =表示的是质点运动时具有的总能量，包括两部分，质点的动能k E 及其静动能20c m 。
3、给出相对论性动量和能量的关系，说明在什么条件下，cp E =才成立? 答：相对论性动量和能量的关系为：22202c p E E +=，如果质点的能量0E E >> ,在这种情况下则有cp E =。
4、爱因斯坦相对论力学与经典力学最根本的区别是什么? 写出一维情况洛伦兹变换关系式。
答案：经典力学的绝对时空观与相对论力学的运动时空观。
相对论力学时空观认为：当物体运动速度接近光速时，时间和空间测量遵从洛伦兹变化关系：()vt x -='γx ⎪⎭⎫ ⎝⎛-='x cv t 2t γ 5、写出爱因斯坦的质能关系式，并说明其物理意义。
答：2E mc = 或2E mc ∆=∆物理意义：惯性质量的增加和能量的增加相联系，能量的改变必然导致质量的相应变化，相对论能量和质量遵从守恒定律。
6、什么是光的波粒二象性?答：光的波粒二象性指的是光即有粒子性又具有波动性，其中，粒子的特性有颗粒性和整体性，没有“轨道性”；波动的特性有叠加性,没有“分布性”。
一般来说，光在传播过程中波动性表现比较显著，当光与物质相互作用时，粒子性表现显著。
光的这种两重性，反映了光的本质。
二、选择题1、一观察者测得一沿米尺长度方向匀速运动着的米尺的长度为m 8.0。
则此米尺的速度为(真空中的光速为s m 8103⨯) ( B )：(A) s m 8102.1⨯ (B) s m 8108.1⨯ (C) s m 8104.2⨯ (D) s m 8103⨯ 2、一宇航员要到离地球5光年的星球去旅行，如果宇航员希望将路程缩短为3光年，则他所乘坐的火箭相当于地球的速度应为光速的几倍( C )： (A) 0.5(B) 0.6(C) 0.8(D) 0.93、一静止质量为0m 的物体被加速到02m ，此时物体的速度为光速的几倍( D )： (A) 1 (B) 0.5 (C) 0.707 (D) 0.8664、在惯性系S 中，有两个静止质量都是0m 的粒子A 和B ，分别以速度v 沿同一直线相向运动，碰后合在一起成为一个粒子，则合成粒子静质量0M 的值为(c 表示真空中光速) ( D )：(A)02m (B) ()2012c vm -(C)()212c vm - (D)()2012c vm -5、质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的4倍时，其质量为静止质量的几倍? ( B )： (A) 4(B) 5(C) 6(D) 86、k E 是粒子的动能，p 是它的动量，那么粒子的静能等于( A )：(A)()kk 2E E -c p 222 (B)()kk 2E E -cp 22(C) ()222E -c p k(D)()kk 2E E -pc 27、一个光子和一个电子具有同样的波长，则( C )： (A) 光子具有较大的动量； (B) 电子具有较大的动量； (C) 它们具有相同的动量； (D) 光子没有动量。
牛顿力学碰撞问题与狭义相对论碰撞问题碰撞问题是牛顿力学和狭义相对论中一个重要的研究领域。
在牛顿力学中，碰撞问题通常被描述为两个物体在一定时间内发生接触并相互作用，使它们之间的动量和能量发生变化。
牛顿力学中的碰撞问题可以分为完全弹性碰撞和非完全弹性碰撞两种类型。
完全弹性碰撞的特点是碰撞前后物体的总动量守恒，碰撞时物体之间没有能量损耗。
非完全弹性碰撞则会导致能量损耗，使得碰撞后物体的总能量小于碰撞前的总能量。
在狭义相对论中，碰撞问题的研究需要考虑相对论效应的影响。
相对论效应会导致物体的质量随着速度的增加而增加，同时也会影响物体之间的相互作用力。
在狭义相对论中，碰撞问题同样可以分为完全弹性碰撞和非完全弹性碰撞两种类型。
但与牛顿力学不同的是，在狭义相对论中，能量和动量不再是分别守恒的，而是统一为能动量守恒。
因此，牛顿力学和狭义相对论对碰撞问题的研究各有其特点和限制。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的理论进行分析。
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No.1 运动的描述一、选择题1. 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速度为v，平均速率为v ，它们之间的关系有 [ D ](A) v v v v ==, (B) v v v v =≠, (C) v v v v ≠≠,(D) v v v v ≠=,注意：①平均速度t r∆∆= v ，矢量。
②平均速率t ∆∆=sv ，标量。
③一般情况下，|||r |s ∆≠∆。
④瞬时速度tr ∆∆=→∆0t lim v 。
⑤瞬时速率|v |v=（即瞬时速率是瞬时速度的大小，这与平均速度和平均速率的关系不同） 2. 某物体的运动规律为kt tv -=d d ，式中的k 为大于零的常数。
当t ＝0时，初速为0v ，则速度v 与t 的函数关系是 [ B ](A) 0221v kt v += (B) 0221v kt v +-=注意：①求积分。
3. 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为j bt i at r 22+=（其中a 、b 为常量）则该质点作 [ B ] (A) 匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物线运动 (D) 一般曲线运动 注意：①求导数。
②求运动方程。
4.一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r的端点处，其速度大小为 [ D ]（C ）tr d d( D)22)d d ()d d (ty tx +注意：①即求模长。
二、填空题★1. 一质点的运动方程为SI)(62t t x -=，则在t 由0至4 s 的时间间隔内，质点的位移大小为8m ，在t 由0到4 s 的时间间隔内质点走过的路程为 10 m 。
注意：①陷阱，4秒内并不是一直在往前，中间存在一个先去后返的过程。
2. ()()t t r t r ∆+与为某质点在不同时刻的位置矢量，试在两个图中分别画出三、计算题1.（p36 习题1.6）一质点在xy 平面上运动，运动函数84,22-==t y t x （采用国际单位制）。
