1.2完备化

度量空间的完备化度量空间是数学中的一个重要概念，它是指一个集合，其中定义了一个度量函数，用来衡量集合中元素之间的距离。

在度量空间中，我们可以讨论收敛性、连续性等概念。

然而，并不是所有的度量空间都是完备的，即存在一些序列在该空间中无法收敛。

为了解决这个问题，数学家们引入了完备化的概念，通过在原度量空间中添加一些额外的元素，使得原空间变得完备。

本文将介绍度量空间的完备化的概念、性质以及一些例子。

一、度量空间的完备化的定义在介绍度量空间的完备化之前，我们先来回顾一下度量空间的定义。

设X是一个非空集合，d是X上的一个度量函数，即对于任意的x, y, z∈X，满足以下条件：1. 非负性：d(x, y) ≥ 0，且当且仅当x = y时，d(x, y) = 0；2. 对称性：d(x, y) = d(y, x)；3. 三角不等式：d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)。

那么，我们可以定义度量空间(X, d)为一个有序对，其中X是一个非空集合，d是X上的一个度量函数。

接下来，我们来定义度量空间的完备化。

设(X, d)是一个度量空间，我们称(X, d)的完备化为一个度量空间(Y, ρ)，满足以下条件：1. Y是一个集合，且包含X；2. ρ是Y上的一个度量函数，且对于任意的x, y∈X，有ρ(x, y) = d(x, y)；3. 对于任意的序列{x_n}⊆X，在度量空间(Y, ρ)中，如果序列{x_n}收敛，则它的极限也在Y中。

简单来说，度量空间的完备化就是在原度量空间中添加一些额外的元素，使得原空间中的所有收敛序列在完备化空间中也能收敛。

二、度量空间的完备化的性质度量空间的完备化具有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍。

1. 完备性：度量空间的完备化是一个完备的度量空间。

也就是说，在完备化空间中，任意的Cauchy序列都是收敛的。

2. 唯一性：度量空间的完备化是唯一的，即对于给定的度量空间，它的完备化是唯一的。

合同附件的完备性合同编号：日期：甲方：（全称）联系地址：联系电话：乙方：（全称）联系地址：联系电话：鉴于甲方与乙方就以下事项达成一致意见，双方特此签订本合同附件的完备性协议（以下简称“本协议”）：1. 完备性要求1.1 甲方与乙方的合同（以下简称“主合同”）附件应完整，不得有缺失或遗漏。

主合同的附件应包括但不限于：合同的附图、计划、规范、技术文件、证明文件等。

1.2 主合同的附件应与主合同的内容相一致，对主合同的约定予以补充、具体化或解释。

2. 文件保管责任2.1 甲方应对主合同及其附件进行妥善保管，防止丢失、损坏或外泄。

2.2 乙方应对甲方提供的主合同附件进行审阅，并在签署之前仔细核对附件的完备性。

2.3 如甲方自行保管主合同及其附件，甲方应根据需要保持合适的备份。

3. 完备性确认3.1 在主合同签署之前，甲方应向乙方提供主合同的附件并确认其完备性。

3.2 如甲方向乙方提供的主合同附件不完备或不一致，乙方有权要求甲方进行补充或修正。

3.3 如乙方未在签署主合同之前提出异议，即视为乙方已确认主合同及其附件的完备性。

4. 变更与补充4.1 本协议的变更与补充应采取书面形式，并经甲方与乙方双方签字或盖章确认。

4.2 本协议的变更与补充应为主合同附件的变更与补充，以确保主合同及其附件的完备性与一致性。

5. 法律适用与争议解决5.1 本协议的签署、生效、解释、执行以及争议的解决，均适用甲方所在地的法律。

5.2 如双方就本协议的内容或执行发生争议，应通过友好协商解决。

协商不成的，应提交甲方所在地的有管辖权的人民法院解决。

6. 生效方式6.1 本协议一式两份，甲方与乙方各持一份，具有同等法律效力。

6.2 本协议自双方当事人签署之日起生效，有效期至主合同履行完毕。

甲方（盖章）：乙方（盖章）：签署日期：签署日期：。

2024数学三考研大纲第一部分：数学分析1.实数与实数的基本性质1.1实数的完备性1.2实数序列的性质1.3实数级数的收敛性与发散性2.极限与连续2.1极限的定义与性质2.2函数的极限与连续2.3一元函数的微分学3.不定积分与定积分3.1不定积分的概念与性质3.2定积分的概念与性质3.3定积分的计算方法4.函数列与函数项级数4.1函数列的收敛性4.2函数项级数的收敛性4.3函数项级数的一致收敛性5.幂级数与傅里叶级数5.1幂级数的收敛半径与收敛域5.2幂级数的常用运算5.3傅里叶级数的性质与应用第二部分：代数与几何1.线性代数1.1实数向量空间与内积空间1.2矩阵与行列式1.3向量空间的基与维数2.线性方程组与矩阵的应用2.1线性方程组的基本概念与解法2.2矩阵的特征值与特征向量2.3矩阵的对角化与相似变换3.多元函数的微分学3.1多元函数的偏导数与全微分3.2多元函数的极值与条件极值3.3隐函数与参数方程的微分4.曲线积分与曲面积分4.1曲线积分的定义与性质4.2曲面积分的定义与性质4.3绿公式与高斯公式5.空间解析几何5.1空间中的直线与平面5.2空间曲线与曲面的方程5.3空间中的向量与坐标系第三部分：概率与统计1.随机事件与概率1.1随机事件的概念与性质1.2概率的基本概念与公理1.3概率的运算与应用2.随机变量与概率分布2.1随机变量的概念与分类2.2离散型随机变量的概率分布2.3连续型随机变量的概率密度函数3.随机变量的特征与分布3.1随机变量的数学期望与方差3.2常见离散型与连续型分布3.3多维随机变量的联合分布与边缘分布4.大数定律与中心极限定理4.1大数定律的概念与证明4.2中心极限定理的概念与应用4.3样本统计量的极限分布5.统计推断与假设检验5.1参数估计与区间估计5.2假设检验的基本原理5.3常用假设检验的方法与步骤第四部分：数学建模与应用1.数学建模的基本概念1.1数学建模的过程与方法1.2数学建模的评价标准与特点1.3数学建模在实际问题中的应用2.线性规划模型2.1线性规划问题的数学描述2.2单纯形法与对偶问题2.3整数线性规划问题与解法3.非线性规划模型3.1非线性规划的基本概念与性质3.2非线性规划的解法与应用3.3动态规划与整数规划问题4.数学建模实例分析4.1数学建模实例的选择与分析4.2实际问题的数学建模过程4.3数学建模结果的解释与应用5.模拟与优化算法5.1随机模拟与蒙特卡洛方法5.2优化算法的基本概念与分类5.3优化算法在数学建模中的应用结语数学三考研大纲是考生备战考研数学的重要参考资料，内容涵盖了数学分析、代数与几何、概率与统计、数学建模与应用等多个领域，全面系统地呈现了数学学科的基本知识与方法。

之阳早格格创做那是第一版HDMI版原，当初推出的HDMI1.1版最下只收援1080i尺度的旗号，却没有克没有及完备的收援1080P下浑规格.正在前些年还能基原谦脚用户的需要，时于今日，只是收援1080i方法已然没有克没有及谦脚广大影音收烧友的需要.当初的第一版HDMI1.1已经利害常没有错了，虽然正在兼容性上有一些问题，收援800×600、1024×768等尺度辨别率.即即是现阶段矮端仄板电视采与的1366×768辨别率，那一最初版原的HDMI借心已然是正在兼容性上没有克没有及为大家交受了.更有甚者，配备那种借心的液晶电视正在播搁下浑旗号时还无法举止面对于面输出，所浮现的绘里还会出现朦胧没有浑、色彩禁绝等问题.HDMI1.2版原的推出，很大程度上办理了HDMI 1.1收援的辨别率较矮、共电脑设备兼容性较好等问题，HDMI尺度构造正在05年推出了HDMI 1.2尺度.那种鉴于ttOMtT2版尺度的交心正在单链交上达到了165MHz戴宽，不妨提供4.95Gbps的数据传输率，也便能完备收援1080p的齐下浑视频旗号.通过建改典型尺度，HDMI1.2版原还巩固了对于PC设备隐现交心的兼容性，也便能沉快收援包罗1366×768正在内的所有隐现辨别率，更是不妨周到收援隐现绘里的面对于面模式.HDMI1.3版原是当前应用最为广大的一种尺度，那也是暂时大普遍仄板电视所采与的HDMI交心.HDMI1.3版戴去最大的变更是将单链交戴宽频次提下到340MHz，也便能让那些液晶电视赢得10.2Gbps的数据传输量，1.3版的线是有4对于传输通讲组成，其中1对于通讲是时钟通讲，其余3对于是TMDS通讲（最小化传输好分旗号），他们的传输速度分别为3.4GBPS.那么3对于便是3*3.4=10.2GPBS更是能将HDMI1.1、1.2版原所收援的24位色深大幅扩充至30位、36位及48位(RGB或者YCbCr).HDMI 1.3的是收援1080P；一些央供没有下的3D也收援（表里上没有收援，本质有些不妨）.HDMI 1.4已经不妨收援4K了，然而是受造于戴宽10.2Gbps，1080p(1920x1200@30Hz50Hz)最下只可达到3840×2160辨别率战30FPS帧率，。

基于完备集合经验模态分解-归一化希尔伯特变换的神经网络储层流体识别张健; 薛雅娟; 常强; 张莉萍【期刊名称】《《科学技术与工程》》【年(卷),期】2019(019)025【总页数】10页(P48-57)【关键词】BP; 神经网络; 储层识别; 经验模态分解; 瞬时属性; 分频剖面模型【作者】张健; 薛雅娟; 常强; 张莉萍【作者单位】成都信息工程大学通信工程学院成都610225; 中国石化地球物理重点实验室南京210000【正文语种】中文【中图分类】P631地震信号的时频属性包含丰富的地层信息，已被证实可较好反映储层特征，尤其是碳酸盐岩储层[1,2]。

由于地震信号是复杂的非线性非平稳信号，采用传统信号处理方法进行地震资料解释，结果存在较大偏差[3]。

而时频分析方法将一维时间信号转换到时频域，可以从时间和频率两个维度对信号进行分析，是处理非线性非平稳信号的重要手段，已被广泛用于储层分析。

但S变换、短时傅里叶变换等传统时频分析方法受测不准原理限制，时间分辨率和频率分辨率不能同时最优，无法满足高精度地震数据解释的要求[4]。

Huang等[5]提出了一种从信号的物理意义和局域限制条件定义出发的高精度时频分析方法，即希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang transform，HHT)。

它包括经验模态分解(empirical mode decomposition，EMD)和希尔伯特变换(Hilbert transform，HT)两部分。

首先通过EMD将多频率分量的复杂信号分解成有限个单频率或窄带信号的固有模态函数(intrinsic mode function，IMF)，再对各IMF 分别进行希尔伯特谱分析，提取信号在不同频率尺度上的瞬时信息[6]。

基于HHT 的地震属性被广泛研究 [7—10]，并且已经成功应用于储层预测和烃类检测 [11—14]，但模态混叠、谱分析存在负值和突变等情况限制了HHT算法的应用[15]。

1.3 度量空间的可分性与完备性在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．1.3.1 度量空间的可分性定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ⊂，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ⊂，通常称A 是B 的稠密子集．注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ⊂．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密；(2) x B ∀∈，{}n x A ∃⊂，使得lim (,)0n n d x x →∞=；(3) B A ⊂（其中A A A '=，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x AB O x δ∈⊂．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B ．证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ⊂，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密．证明 由定理1.1知B A ⊂，C B ⊂，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ⊂⊂，于是有C A ⊂，即A 在C 中稠密．□注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}(1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知：(2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密．(3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ⊂⊂⊂．定义 1.3.2 设X 是度量空间，A X ⊂，如果存在点列{}n x A ⊂，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．注3：X 是可分的度量空间是指在X 中存在一个稠密的可列子集．例1.3.1 欧氏空间n R 是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成n R 的一个可列稠密子集．}证明 设12{(,,,)|,1,2,,}n n i Q r r r r Q i n =∈=为n R 中的有理数点集，显然n Q 是可数集，下证n Q 在n R 中稠密．对于n R 中任意一点12(,,,)n x x x x =，寻找n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =，使得()k r x k →→∞．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数i x (1,2,,i n =)，存在有理数列()k i i r x k →→∞.于是得到n Q 中的点列{}k r ，其中12(,,,)k k k k n r r r r =，1,2,.k =现证()k r x k →→∞．0ε∀>，由()k i i r x k →→∞知，i K ∃∈N ，当i k K >时，有||ki i r x -<1,2,,i n =取12max{,,,}n K K K K =，当k K >时，对于1,2,,i n =，都有||k i i r x -<，因此(,)k d r x ε=即()k r x k →→∞，从而知n Q 在n R 中稠密．□例 1.3.2 连续函数空间[,]C a b 是可分的．{具有有理系数的多项式的全体[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，而[,]o P a b 是可列集．}证明 显然[,]o P a b 是可列集．()[,]x t C a b ∀∈，由Weierstrass 多项式逼近定理知，()x t 可表示成一致收敛的多项式的极限，即0ε∀>，存在(实系数)多项式()p t ε，使得(,)max |()()|2a t bd x p x t p t εεε≤≤=-<另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式00()[,]p t P a b ∈，使得00(,)max |()()|2a t bd p p p t p t εεε≤≤=-<因此，00(,)(,)(,)d x p d x p d p p εεε≤+<，即0()(,)p t O x ε∈，在[,]C a b 中任意点()x t 的任意邻域内必有[,]o P a b 中的点，按照定义知[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密．□例1.3.3 p 次幂可积函数空间[,]p L a b 是可分的．证明 由于[,]o P a b 在[,]C a b 中稠密，又知[,]C a b 在[,]p L a b 中稠密，便可知可数集[,]o P a b 在[,]p L a b 中稠密．□例1.3.4 p 次幂可和的数列空间p l 是可分的．证明 取12{(,,,,0,,0,)|,}o n i E r r r r Q n =∈∈N ，显然o E 等价于1n n Q ∞=，可知o E 可数，下面证o E 在p l 中稠密．12(,,,,)p n x x x x l ∀=∈，有1||p i i x ∞=<+∞∑，因此0ε∀>，N ∃∈N ，当n N >时，1||2p pin N x ε∞=+<∑又因Q 在R 中稠密，对每个i x (1i N ≤≤)，存在i r Q ∈，使得||2p pi i x r Nε-<，(1,2,3,,)i N =于是得1||2p Npiii x r ε=-<∑令0120(,,,,0,,0,)N x r r r E =∈，则11011(,)(||||)()22ppNppppi i iii i N d x x x r xεεε∞==+=-+<+=∑∑因此o E 在p l 中稠密．□例1.3.5 设[0,1]X =，则离散度量空间0(,)X d 是不可分的．证明 假设0(,)X d 是可分的，则必有可列子集{}n x X ⊂在X 中稠密．又知X 不是可列集，所以存在*x X ∈，*{}n x x ∉．取12δ=，则有 ***01(,)(,)2O x x d x x x δ⎧⎫=<=⎨⎬⎩⎭即*(,)O x δ中不含{}n x 中的点，与{}n x 在X 中稠密相矛盾．□思考题: 离散度量空间0(,)X d 可分的充要条件为X 是可列集．注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如 (0.625)10=(0.101)2 0.625⨯2=1.25取1；0.25⨯2=0.50取0；0.5⨯2=1.00取1． 二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即1221011(0.)()2nn i ii x x x x ==∑，例如(0.101)2=1010111(101)(0.625)248=⨯+⨯+⨯=． 因此[0,1]与子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或对等，由[0,1]不可数知A 不可列．例1.3.6 有界数列空间l ∞是不可分的．12{(,,,,)=()| }n i l x x x x x x ∞==为有界数列，对于()i x x =，()i y y =∈l ∞，距离定义为1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-．证明 考虑l ∞中的子集12{(,,,,)0 1}n n A x x x x x ===或，则当,x y A ∈,x y ≠时，有(,)1d x y =．因为[0,1]中每一个实数可用二进制表示，所以A 与[0,1]一一对应，故A 不可列．假设l ∞可分，即存在一个可列稠密子集0A ，以0A 中每一点为心，以13为半径作开球，所有这样的开球覆盖l ∞，也覆盖A ．因0A 可列，而A 不可列，则必有某开球内含有A 的不同的点，设x 与y 是这样的点，此开球中心为0x ，于是001121(,)(,)(,)333d x y d x x d x y =≤+<+=矛盾，因此l ∞不可分．□1.3.2 度量空间的完备性实数空间R 中任何基本列(Cauchy 列)必收敛．即基本列和收敛列在R 中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．定义1.3.3 基本列设{}n x 是度量空间X 中的一个点列，若对任意0ε>，存在N ，当,m n N >时，有(,)m n d x x ε<则称{}n x 是X 中的一个基本列(或Cauchy 列）． 定理1.3.3 (基本列的性质) 设(,)X d 是度量空间，则 (1) 如果点列{}n x 收敛，则{}n x 是基本列； (2) 如果点列{}n x 是基本列，则{}n x 有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点． 证明 (1) 设{}n x X ⊂，x X ∈，且n x x →．则0ε∀>，N N ∃∈，当n N >时，(,)2n d x x ε<，从而n ，m N >时，(,)(,)(,)22n m n m d x x d x x d x x εεε≤+<+=．即得{}n x 是基本列．(2) 设{}n x 为一基本列，则对1ε=，存在N ，当n N >时，有1(,)1N n d x x ε+<=，记11211max{(,),(,),,(,),1}1N NN N M d x x d x x d x x +++=+，那么对任意的,m n ，均有 11(,)(,)(,)2n m n N m N d x x d x x d x x M M M ++≤+<+=，即{}n x 有界．(3) 设{}n x 为一基本列，且{}kn x 是{}n x 的收敛子列，().kn x x k →→∞于是，10,N ε∀>∃∈N ，当1,m n N >时，(,)2n m d x x ε<；2N ∃∈N ，当2k N >时，(,)2kn d x x ε<．取12max{,}N N N =，则当n N >，k N >时，k n k N ≥>，从而有(,)(,)(,)22k k n n n n d x x d x x d x x εεε≤+<+=，故()n x x n →→∞．□注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy 列)，那么基本列是收敛列吗？ 例 1.3.7 设(0,1)X =，,x y X ∀∈，定义(,)d x y x y =-，那么度量空间(,)X d 的点列1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭是X 的基本列，却不是X 的收敛列．证明 对于任意的0ε>，存在N ∈N ，使得1N ε>，那么对于m N a =+及n N b =+，其中,a b ∈N ，有11(,)11(1)(1)n m n m a bd x x x x N b N a N a N b -=-=-=++++++++ max{,}1(1)(1)a b a b N a N b Na Nb Nε+<<=<+++++，即得{}n x 是基本列．显然1lim 01n X n →∞=∉+，故{}n x 不是X 的收敛列．或者利用1{}{}1n x n =+是R 上的基本列，可知0ε∀>，N ∃∈N ，当,n m N >时有 1111n m ε-<++．于是可知1{}1n x n ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭也是X 上的基本列．□ 如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．定义1.3.4 完备性如果度量空间X 中的任何基本列都在X 中收敛，则称X 是完备的度量空间． 例1.3.8 n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间．证明 由n R 中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R 的完备性易得．□ 例1.3.9 连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间．(距离的定义：[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-)证明 设{}n x 是[,]C a b 中的基本列，即任给0ε>,存在N ，当,m n N >时，(,)m n d x x ε<即[,]max ()()m n t a b x t x t ε∈-<故对所有的[,]t a b ∈,()()m n x t x t ε-<，由一致收敛的Cauchy 准则，知存在连续函数()x t ，使{()}n x t 在[,]a b 上一致收敛于()x t ，即(,)0()m d x x n →→∞,且[,]x C a b ∈.因此[,]C a b 完备．□例1.3.10 设[0,1]X C =，(),()f t g t X ∈，定义110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰，那么1(,)X d 不是完备的度量空间．(注意到例1.3.9结论(,)X d 完备)证明 设10 021111()() 222111 12n t f t n t t n t n ⎧≤<⎪⎪⎪=-≤<+⎨⎪⎪+≤≤⎪⎩()[0,1]n f t C ∈的图形如图1.3.1所示．显然()[0,1]n f t C ∈，1,2,3,n =．因为1(,)m n d f f 是下面右图中的三角形面积，所以0ε∀>，1N ε∃>，当,m n N >时，有1111(,)2m n d f f n mε=-<，112m ma =+112n na =+|()()|m n S f t f t dx∆=-⎰图1.3.1 ()[0,1]n f t C ∈图像及有关积分示意图于是{}n f 是X 的基本列．下面证{}n f 在X 中不收敛．若存在()f t X ∈，使得1(,)0()n d f f n →→∞．由于1(,)n d f f 1|()()|n f t f t dt =-⎰11122111221|()||()()||1()|n nn f t dt f t f t dt f t dt ++=+-+-⎰⎰⎰，显然上式右边的三个积分均非负，因此1(,)0n d f f →时，每个积分均趋于零．推得1212[0,]0()(,1]1t f t t ∈⎧=⎨∈⎩ 可见()f t 不连续，故{}n f 在X 中不收敛，即[0,1]C 在距离1d 下不完备．□表1.3.1 常用空间的可分性与完备性度量空间距离 可分性 完备性n 维欧氏空间(,)nR d(,)d x y =√ √ 离散度量空间0(,)X dX 可数 00 (,)1x y d x y x y =⎧=⎨≠⎩当时当时√√ X 不可数× √ 连续函数空间[,]C a b[,](,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-√ √1(,)()()bad f g f x g x dx =-⎰√× 有界数列空间l ∞ 1(,)sup ||i i i d x y x y ≥=-× √ p 次幂可和的数列空间p l 11(,)||pp p i i i d x y x y ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑√√ p 次幂可积函数空间([,],)p L a b d1[,](,)(|()()|)ppa b d f g f t g t dt =-⎰√√由于有理数系数的多项式函数集0[,]P a b 是可列的，以及0[,]P a b 在[,]P a b 、[,]C a b 、[,]B a b 以及[,]p L a b 中稠密，可知闭区间[,]a b 上多项式函数集[,]P a b 、连续函数集[,]C a b 、有界可测函数集[,]B a b 、p 次幂可积函数集[,]p L a b 均是可分的．前面的例子说明n 维欧氏空间n R 以及p 次幂可和的数列空间p l 也是可分空间，而有界数列空间l ∞和不可数集X 对应的离散度量空间0(,)X d 是不可分的．从上面的例子及证明可知，n 维欧氏空间n R 是完备的度量空间，但是按照欧氏距离(0,1)X =却不是完备的；连续函数空间[,]C a b 是完备的度量空间，但是在积分定义的距离110(,)|()()|d f g f t g t dt =-⎰下，[0,1]C 却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明p 次幂可和的数列空间p l 是完备的度量空间，p 次幂可积函数空间[,](1)p L a b p ≥是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理． 定理1.3.4 (闭球套定理)设(,)X d 是完备的度量空间，(,)n n n B O x δ=是一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃． 如果球的半径0()n n δ→→∞，那么存在唯一的点1n n x B ∞=∈．证明 (1)球心组成的点列{}n x 为X 的基本列．当m n >时，有m m n x B B ∈⊂((,)n n O x δ=)，可得(,)m n n d x x δ≤． (2.4)0ε∀>,取N ，当n N >时，使得n δε<，于是当,m n N >时，有(,)m n n d x x δε≤<，所以{}n x 为X 的基本列．(2)x 的存在性．由于(,)X d 是完备的度量空间，所以存在点x X ∈，使得lim n n x x →∞=．令(2.4)式中的m →∞，可得(,)n n d x x δ≤即知n x B ∈，1,2,3,n =，因此1n n x B ∞=∈．(3) x 的唯一性．设还存在y X ∈，满足1n n y B ∞=∈，那么对于任意的n ∈N ，有,n x y B ∈，从而(,)(,)(,)20n n n d x y d x x d x y δ≤+≤→()n →∞，于是x y =．□注4：完备度量空间的另一种刻画：设(,)X d 是一度量空间，那么X 是完备的当且仅当对于X 中的任何一套闭球：12n B B B ⊃⊃⊃⊃，其中(,)n n n B O x δ=，当半径0()n n δ→→∞，必存在唯一的点1n n x B ∞=∈．大家知道1lim(1)n n e n→∞+=，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答．定义1.3.5 等距映射设(,)X d ，(,)Y ρ是度量空间，如果存在一一映射:T X Y →，使得12,x x X ∀∈，有1212(,)(,)d x x Tx Tx ρ=，则称T 是X 到Y 上的等距映射，X 与Y 是等距空间(或等距同构空间)． 注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与(,)X d 相关的数学命题，通过等距映射T ，使之在(,)Y ρ中同样成立．因此把等距同构的(,)X d 和(,)Y ρ可不加区别而看成同一空间．定义1.3.6 完备化空间设X 是一度量空间，Y 是一完备的度量空间，如果Y 中含有与X 等距同构且在Y 中稠密的子集Y'，则称Y 是X 的一个完备化空间．图1.3.2 度量空间X 的完备化示意图定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)对于每一个度量空间X ，必存在一个完备化的度量空间Y ，并且在等距同构意义下Y 是唯一确定的．例1.3.11 设,(,)x y R ∈=-∞+∞，定义距离(,)|arctan arctan |d x y x y =-，试证(,)R d 不是完备的空间．证明 取点列{}n x R ⊂，其中n x n =，注意lim arctan 2n n x π→∞=，显然不存在一点x R ∈，使得(,)|arctan arctan |0()n n d x x x x n =-→→∞．所以点列{}n x 在R 中没有极限．由于lim arctan 2x x π→∞=，即0ε∀>，N ∃，当,m n N >时，有|arctan |22m πε-<，|arctan |22n πε-<，于是(,)|arctan arctan |n m n m d x x x x =-|arctan ||arctan |22n m x x ππε≤-+-<因此点列{}n x 是基本列，却不是收敛列．□。

完备的财务制度一、总则1.1 目的：明确制定财务制度的目的是为了规范和强化企业的财务管理，提高财务运作效率，防范风险，保障财务数据的真实性和完整性。

1.2 适用范围：财务制度适用于企业所有涉及财务管理的部门和岗位，包括财务部门、业务部门、采购部门等。

1.3 遵守法律法规：财务制度必须遵守国家相关法律法规，保证公司的财务管理活动符合法律规定。

1.4 修订程序：财务制度应定期进行修订，修订程序包括提出修订建议、讨论通过、通知执行、评估效果等步骤。

二、会计核算制度2.1 会计科目体系：明确会计科目的设置原则和会计科目的分类标准，确保资产、负债、权益、成本、收入、费用等会计要素的正确核算。

2.2 会计凭证和账务处理：规定会计凭证的形式和内容，明确会计核算的流程和账务处理方法，确保会计记录的准确性和完整性。

2.3 财务报表编制：规定财务报表的编制程序和内容要求，包括资产负债表、利润表、现金流量表等，确保财务报表的真实性和可靠性。

2.4 财务分析和报告：规定财务分析的方法和内容要求，包括对财务指标的分析、财务风险的评估等，确保管理层获得准确的财务信息进行决策。

三、资金管理制度3.1 预算管理：规定预算编制的程序和要求，包括年度预算、部门预算等，确保资金的有效利用和控制。

3.2 资金流动管理：规定企业的资金流动管理程序和要求，包括资金汇总、支付、收款等，确保资金安全和流动性。

3.3 银行账户管理：规定企业银行账户的开立、使用、管理程序和要求，包括资金的划拨、监督等，确保资金的安全和合规。

3.4 投资管理：规定企业的投资管理程序和要求，包括投资决策、投资监管等，确保投资的安全和回报。

四、费用管理制度4.1 费用预算管理：规定费用预算的编制程序和要求，包括人工成本、材料成本、其他费用等，确保费用的控制和预警。

4.2 费用报销管理：规定费用报销的流程和要求，包括费用报销申请、审批、支付等，确保费用的合理支出和管理。

大学生安全教育的关键问题安全，作为大学生们在校园生活中最基本的需求之一，是任何学校都十分重视和关注的问题。

然而，随着社会的不断发展和犯罪形势的日益复杂化，大学生们也面临着越来越多的安全威胁和挑战。

为了确保大学生的人身安全以及维护校园的安宁和稳定，安全教育成为了大学校园中一项至关重要的工作。

本文将探讨大学生安全教育中的关键问题，并提出相应的解决方案。

一、校园安全问题1.1 监控设施不完善当前，大学校园内的监控设施存在一定的不完善情况，特别是一些人流量较大但监控盲区较多的区域，容易成为不法分子的作案地。

例如，校园内的停车场、图书馆外的夜间自习区域等地，常常缺乏有效的监控设备，给不法分子以可乘之机。

解决方案：为了改善这一情况，学校可以增加监控摄像头的数量，并优化其布局，确保校园内的各个角落都能得到有效监控。

同时，学校也需要增加监控人员的数量和技术培训力度，提高监控系统的监管水平和应急处理能力。

1.2 安全防护设施不完备在某些校园中，安全防护设施的建设存在一定的问题。

例如，校园周边缺少有效的防护墙或栏杆，容易导致外部人员擅自进入校园，给师生的人身安全带来潜在威胁。

此外，一些学校的门禁系统也缺乏完善，容易被人冒名顶替进入校园。

解决方案：学校应当加强对校园安全设施的建设和维护，确保校园周边有足够的安全防护措施，防止外部人员的非法闯入。

同时，门禁系统也需要升级改善，确保只有合法的师生才能进入校园，提高校园安全的预防性。

二、个人安全问题2.1 自我防护意识薄弱许多大学生对自身安全防护的重要性认识不足，缺乏有效的自我保护意识。

在夜间归寝、外出旅游或参加社交活动时，容易因为粗心大意而成为不法分子的目标。

解决方案：大学应将安全教育纳入课程体系，加强对学生的安全意识教育，提升他们的自我防护能力。

同时，利用校园广播、校园媒体等宣传渠道，加强对安全知识的宣传普及，增加学生的安全意识。

2.2 安全防范技能不足许多大学生在实际情况中缺乏安全防范技能，一旦遇到紧急情况时无法及时有效地采取正确的自救措施。