利用平方根的定义及性质解题的几个技巧

中考数学复习技巧如何应对复杂的平方根题目数学是中考中重要的一门科目，其中平方根题目往往是考生们头疼的部分。

面对复杂的平方根题目，我们应该采取什么复习技巧呢？接下来，我将为大家介绍几种应对复杂平方根题目的技巧。

一、掌握基本的平方根运算规律复习平方根题目的基础，就是掌握平方根的运算规律。

平方根的性质主要包括以下几个方面：1. 平方根与指数的关系：a的n次方等于b，那么a等于什么呢？答案就是a等于b的1/n次方。

2. 平方根的乘法运算：对于任意的非负实数a和b，有√(a*b)=√a * √b。

3. 平方根的除法运算：对于任意的非负实数a和b，有√(a/b)=√a / √b。

4. 平方根的加减运算：对于任意的非负实数a和b，有√(a+b)≠√a + √b，但是√(a+b)的近似值可以用√a + √b来计算。

通过掌握这些基本的平方根运算规律，我们就能够更加轻松地解答复杂的平方根题目。

二、应用平方根的性质简化题目在解答复杂的平方根题目时，我们可以利用平方根的性质来简化题目，从而减少计算的难度。

具体来说，可以运用以下几种方法：1. 合并根式：对于含有多个根号的表达式，我们可以合并相同根号下面的数字来简化计算。

例如，√3 + √5 + √3可以合并为2√3 + √5。

2. 分解根式：对于根号下面为一个大数的情况，可以尝试将这个大数分解为两个较小的数的乘积。

例如，√75可以分解为√(25*3)，再进一步化简为5√3。

3. 有理化分母：对于含有分数的根式表达式，我们可以通过有理化分母的方法将其转化为不含有分数的形式，从而方便计算。

例如，对于表达式1/√2，我们可以乘以√2/√2，得到√2/2。

通过灵活运用这些方法，我们可以将复杂的平方根题目转化为简单的计算，提高解题效率。

三、多做练习题提高熟练度只有通过多做练习题，才能够真正掌握解答复杂平方根题目的技巧，提高熟练度。

平时，在复习数学的过程中，可以选择一些重点章节的习题集或者模拟试题，有针对性地进行练习。

初中数学解题技巧灵活应用平方根和立方根的性质数学是一门实用的学科，而数学解题是培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要途径之一。

在初中数学中，平方根和立方根是常见的数学概念，它们的性质在解题中经常被灵活应用。

本文将探讨如何灵活应用平方根和立方根的性质解决数学问题。

一、平方根的性质及应用平方根是数学中的一个重要概念，表示一个数的平方根。

平方根的性质十分有趣，并且在解题中有很大的帮助。

1. 平方根的乘法性质平方根的乘法性质是指，两个非负数的乘积的平方根等于它们的平方根的乘积。

即√(a*b) = √a * √b。

例如，我们要计算√(9 * 16)，可以将它分解成√9 * √16 = 3 * 4 = 12。

这个性质在解题中可以简化计算过程，特别是当需要计算较大数的平方根时。

2. 平方根的开方性质平方根的开方性质是指，如果a的平方等于b，那么a等于±√b。

例如，如果x^2 = 25，那么x等于±√25，即x等于±5。

这个性质在解方程中经常被用到。

3. 平方根的倒数性质平方根的倒数性质是指，一个数的倒数的平方根等于它的平方根的倒数。

即，1/√a = √(1/a)。

例如，我们需要计算1/√9，可以将它化简为√(1/9)= 1/3。

这个性质在解题中可以简化计算过程。

二、立方根的性质及应用立方根是数学中的另一个重要概念，表示一个数的立方根。

立方根的性质在解题中同样发挥着重要作用。

1. 立方根的乘法性质立方根的乘法性质是指，两个数字的乘积的立方根等于它们的立方根的乘积。

即∛(a*b) = ∛a * ∛b。

例如，我们要计算∛(8 * 27)，可以将它分解成∛8 * ∛27 = 2 * 3 = 6。

这个性质在解题中可以简化计算过程，特别是当涉及到较大数的立方根时。

2. 立方根的开方性质立方根的开方性质是指，如果a的立方等于b，那么a等于∛b。

例如，如果x^3 = 64，那么x等于∛64，即x等于4。

数学中的平方根知识点解析及解题技巧数学中的平方根是我们在初等数学中学习的重要知识点之一。

平方根是指某个数的算术平方根，即找到一个数，使其平方等于给定的数。

在解题过程中，了解平方根的概念、性质以及一些解题技巧是非常重要的。

本文将对数学中的平方根进行解析，并提供一些解题技巧。

一、平方根的定义与性质平方根的定义：设a和b都是实数，则b是a的平方根，当且仅当b的平方等于a。

符号表达为√a = b 或 a的平方根等于b。

1. 平方根的性质：a) 非负实数的平方根是实数；b) 负数没有实数平方根，在复数域中有两个互为相反数的平方根；c) 非零数的正平方根和负平方根互为相反数。

二、平方根的求解方法在解题过程中，常见的平方根求解方法有以下几种：1. 倍增法：倍增法是一种通过逐步逼近来求解平方根的方法。

例如，对于一个非负实数a，可以从一个合适的起始值b开始，通过逐步增加b的值，使得b的平方逼近a，直到满足要求。

2. 二分法：二分法是一种通过取平均值来逐步逼近平方根的方法。

对于一个非负实数a，可以确定一个上下界b和c，使得b的平方小于a，c的平方大于a。

然后通过取b和c的平均值来逐步逼近平方根的解。

3. 牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种通过逐步逼近来求解平方根的方法。

该方法基于泰勒级数展开，通过不断逼近函数与x轴的交点来求解平方根。

三、平方根的解题技巧1. 化简被开方数：在进行平方根运算时，如果被开方数可以进行化简，可以大大简化计算过程。

例如，对于√4，可以将其化简为2，避免了对浮点数的计算。

2. 判断平方数：在求解平方根时，我们可以先判断被开方数是否为平方数。

如果是平方数，那么其平方根一定是整数。

因此，可以通过判断被开方数是否为平方数，来确定是否可以通过直接求平方根来得到答案。

3. 利用平方根的性质：在解题过程中，我们可以利用平方根的性质来简化运算。

例如，利用√ab = √a * √b，可以化简被开方数的因式分解，从而减少计算量。

掌握初中数学中的平方与平方根解题技巧在初中数学学习过程中，平方与平方根是一个重要的概念。

掌握好平方与平方根的解题技巧，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高解题效率。

本文将介绍一些掌握初中数学中的平方与平方根解题技巧，希望能对你的学习有所帮助。

一、平方的计算与应用平方是一个数与自身相乘的结果。

在数学中，平方通常用小的数字上方加上数字“2”来表示，例如“5²”表示5的平方。

在计算平方时，我们可以使用不同的方法。

一种常见的方法是使用乘法法则，即将一个数与自身相乘。

例如，要计算5的平方，我们可以将5乘以5，即5×5=25，所以5的平方是25。

除了基本的平方计算之外，我们还需要了解一些平方的应用。

例如，平方可以用于计算正方形的面积。

正方形的每条边长都相等，那么它的面积就是边长的平方。

假设一个正方形的边长是5 cm，那么它的面积就是5²=25平方厘米。

此外，平方在物理学中也有广泛的应用，例如速度的平方可以用来计算物体的动能，加速度的平方可以用来计算物体的加速度等等。

二、平方根的计算与应用平方根是平方的逆运算。

给定一个数的平方，我们可以用平方根来求出原来的数。

平方根通常用√符号表示。

例如，√25表示25的平方根，结果是5。

计算平方根有多种方法，其中一种常用的方法是通过估算与逼近。

例如，我们要计算一个大于1的数的平方根，可以先估算一个近似值，然后利用逼近方法逐步逼近更精确的值。

此外，平方根也有一些应用。

例如，在几何学中，平方根可用于求解正方形的边长。

如果已知一个正方形的面积是25平方厘米，我们可以通过求解25的平方根，得出正方形的边长是5 cm。

另一个应用是在物理学中，平方根可用于计算速度、加速度等的大小。

通过将速度的平方根与时间相乘，可以计算出物体在给定时间内的位移。

三、平方与平方根的解题技巧掌握平方与平方根的解题技巧对于初中数学学习来说非常重要。

以下是一些常见的解题技巧：1. 利用平方根的性质：平方根的计算中，我们需要了解一些平方根的性质。

算术平方根知识点总结算术平方根是数学中重要的概念之一，在数学的学习过程中常常涉及到。

本文将对算术平方根的定义、性质及求解方法进行总结。

通过阅读本文，读者将能够准确理解算术平方根的概念，熟练运用相关方法，提高数学解题的能力。

一、算术平方根的定义算术平方根是指一个数的平方等于它的平方根的数。

以数a为例，如果一个正数x满足x^2=a，那么x就是a的算术平方根。

二、算术平方根的性质1. 非负数的算术平方根都是非负数。

即，如果a≥0且x^2=a，那么x≥0。

2. 正数的算术平方根只有一个。

即，如果a>0且x^2=a，那么x只有一个解。

3. 零的算术平方根是零。

即，0^2=0，所以0是0的算术平方根。

4. 负数没有实数算术平方根。

即，如果a<0，那么方程x^2=a没有实数解。

三、求解算术平方根的方法1. 常见正数的算术平方根可以通过手算方法求得。

例如，我们可以通过试探法或近似法，逐步逼近一个数的平方根。

2. 对于较大的数，可以利用计算器或电脑软件来求解算术平方根。

3. 在解题过程中，可以通过运用一些特定的运算性质来求解算术平方根。

例如，利用开方运算的性质，可以将复杂的问题简化为简单的计算。

四、算术平方根的应用算术平方根在生活中和其他学科中有广泛的应用。

下面列举一些常见的应用场景：1. 几何学中的勾股定理：勾股定理中涉及到了平方根的概念，通过找出两个边的平方和等于第三边的平方，可以判断三角形是否为直角三角形。

2. 物理学中的速度计算：在物理学的速度计算中，常常需要运用平方根来计算速度的大小。

3. 统计学中的标准差：在统计学中，标准差是一种衡量数据离散程度的指标，其计算过程需要使用平方根。

4. 金融学中的收益率计算：在金融学中，计算投资收益率时，常常需要运用平方根进行计算。

五、总结通过阅读本文，我们了解了算术平方根的定义、性质及求解方法。

算术平方根在数学中具有重要的地位，也广泛应用于其他学科和实际生活中。

根式的运算平方根与立方根一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。

2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3≥0a ≥0。

4、公式：⑴2=a （a ≥0a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2B ．±2C ．4D ．±4 2、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ． 4、327= ， 64-的立方根是 ； 5、7的平方根为 ，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。

平方根方程解题方法和技巧
平方根方程是一种常见的高中数学题型，它的解题过程需要掌握一定的方法和技巧。

下面介绍几种解平方根方程的方法：
1. 移项消元法
平方根方程的主要特点是方程中含有根号。

为了消去根号，我们可以将方程两边平方，得到一个新的方程。

但是需要注意，平方根方程的解集可能会发生变化，因此需要检验解是否合法。

2. 代数变形法
有些平方根方程不同于一次方程，不容易直接求解。

这时，我们需要通过代数变形来简化方程，使其变成容易求解的形式。

比如，将根号下的式子分解成两个数的积，或者将方程中的常数项移到方程的一边。

3. 图像法
有些平方根方程可以通过图像法求解。

我们可以将方程两边移项，得到根号下的式子等于一个常数。

然后，将方程化为平方的形式，得到一个二次函数的图像。

通过分析二次函数的图像，我们可以得到方程的解集。

在解平方根方程时，还需要注意一些技巧，比如有理化分母、提取公因数等。

此外，对于一些特殊的平方根方程，也需要掌握相应的解题方法。

通过不断练习，我们可以掌握解平方根方程的方法和技巧，提高数学解题能力。

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高中数学平方根题型解题方法论述在高中数学中，平方根是一个重要的概念和题型。

解决平方根题目需要掌握一定的方法和技巧。

本文将从平方根的定义、求解方法、考点分析以及一些实际例题进行详细论述，以帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用平方根的知识。

一、平方根的定义和基本性质平方根是指一个数的平方等于它本身的非负实数。

例如，2的平方根为√2，因为√2 × √2 = 2。

平方根的基本性质包括：1. 非负性：平方根是非负实数，即√x ≥ 0。

2. 唯一性：一个数的平方根是唯一的，即对于非负实数x，只有一个非负实数a满足a × a = x。

3. 乘法性：(√a) × (√b) = √(a × b)，其中a和b为非负实数。

了解平方根的基本定义和性质对于解决平方根题目非常重要，可以帮助我们正确理解题目并运用相关的求解方法。

二、平方根的求解方法1. 直接开方法：对于完全平方数，可以直接开平方根。

例如，√16 = 4，因为4 × 4 = 16。

这种方法适用于求解较小的平方根。

2. 近似法：对于非完全平方数，可以使用近似法求解。

例如，要求解√2的近似值，可以使用长除法、牛顿迭代法等数值方法进行计算。

这种方法适用于求解较大的平方根或无法直接开方的平方根。

3. 平方根的性质法：对于一些特殊的平方根，可以利用平方根的性质进行求解。

例如，要求解√(a × b)，可以利用乘法性质将其拆分为√a × √b。

这种方法可以简化计算过程，提高解题效率。

三、平方根题目的考点分析平方根题目通常涉及到平方根的定义、基本性质以及求解方法。

具体的考点包括：1. 平方根的非负性：在解题过程中，需要注意平方根是非负实数的特点。

如果在计算过程中得到了负数的平方根，需要检查是否存在计算错误。

2. 完全平方数的特殊性：完全平方数的平方根是整数，可以直接开方得到结果。

在解题时，需要注意判断给定数是否为完全平方数，以选择合适的求解方法。

平方根概念解题的几个技巧平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助.一、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.例1、若,622=----y x x 求y x 的立方根.分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x =2.从而可求出y =－6.解 ∵⎩⎨⎧≥-≥-0202x x , ∴⎩⎨⎧≥≤22x x x =2; 当x =2时,y =－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336.二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根.分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a )=0,从而可求出a =－1,问题就解决了.解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a )=0, a =－1.a 的平方的相反数的立方根是.113-=-三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a =0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例3、已知：y =)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根.分析 y =)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小，而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y =)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0时，y 最小.由2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1.所以b a 的非算术平方根是.11-=-四、巧用平方根定义解方程.我们已经定义:如果x 2=a （a ≥0）那么x 就叫a 的平方根.若从方程的角度观察,这里的x 实际是方程x 2=a （a ≥0）的根.例4、解方程（x +1）2=36.分析 把x +1看着是36的平方根即可.解 ∵（x +1）2=36 ∴x +1看着是36的平方根. x +1=±6.∴x 1=5 , x 2=－7.例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x +1)3=64这个方程呢?不妨试一试.利用平方根的定义及性质解题如果一个数的平方等于a （a ≥0），那么这个数是a 的平方根．根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题．例1 已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．分析：根据平方根的性质知：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．互为相反数的两个数的和为零．解：由2a －1+a －11=0，得a =4，所以2a －1=2×4－1=7．所以这个数为72=49．例2 已知2a －1和a －11是一个数的平方根，求这个数．分析：根据平方根的定义，可知2a －1和a －11相等或互为相反数．当2a －1=a －11时，a =－10，所以2a －1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;当2a －1+a －11=0时,a =4,所以2a －1=7,这时所求得数为72=49.综上可知所求的数为49或441.例3 已知2x－1的平方根是±6,2x+y－1的平方根是±5,求2x－3y+11的平方根.分析:因为2x－1的平方根是±6,所以2x－1=36,所以2x=37;因为2x+y－1的平方根是±5,所以2x+y－1=25,所以y=26－2x=－11,所以2x－3y+11=37－3×(－11)+11=81,因为81的平方根为±9,所以2x－3y+11的平方根为±9.例4 若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m为（）（A）－3 （B）1 （C）－3或1 （D）－1分析：本题分为两种情况：（1）可能这个平方相等，即2m－4=3m－1，此时，m=－3；（2）一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以（2m－4）+（3m－1）=0，解得m=1．所以选（C）．练一练:1.已知x的平方根是2a－13和3a－2,求x的值.2.已知2a－13和3a－2是x的平方根,求x的值3.已知x+2y=10,4x+3y=15, 求x+y的平方根..答案:1.49;2. 49或1225; 3.5估计方根的取值，你会吗在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜．解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手．例１ ）（A ）3.15 3.16 （B ）3.16 3.17（C ）3.17 3.18 （D ）3.18 3.19.10 3.15、3.16、3.17、3.18、3.19当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间.解：计算知，2223.15= 9.9225 , 3.16= 9.9856 , 3.17= 10.0489.所以23.16＜10＜23.17.所以3.16 3.17，应选B .例2 估计68的立方根的大小在( )（A ） 2与3之间 （B ）3与4之间（C ） 4与5之间 （D ）5与6之间.分析：要估计68的立方根的大小在哪两个连续整数之间，只需看看68在哪两个连续整数的立方之间．解：计算知，33332= 8 , 3=27 , 4= 64 , 5= 125．所以34＜68＜35．所以45，应选B ．例3 最接近的是（ ）（A ）2.5 （B ）2.6 （C ）2.7 （D ）2.8.分析：要比较2.5、2.6、2.7、2.8更接近，只需看看这四个数中哪个数的平方更接近7.解：计算知，22222.5 = 6.25 , 2.6 = 6.76 , 2.7 = 7.29 , 2.8 =7.84.因为22227 2.5 = 0.75 , 7 2.6 = 0.24 , 2.77 = 0.29 , 2.87 = 0.84----，所以22.6比22.5、22.7、22.8更接近7，所以2.6比2.5、2.7、2.8.应选B .《平方根》典例分析平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考.一、基本题型例1 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；（3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 点评：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误. 想一想：如果把例1改为：求下列各数的平方根.你会解吗？请试一试.例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-.点评：弄清与平方根有关的三种符号±a 、a 、－a 的意义是解决这类问题的关键.±a 表示非负数a 的平方根.a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根.注意a ≠±a .在具体解题时，符与“”的前面是什么符号，其计算结果也就是什么符号，既不能漏掉，也不能多添.例3 若数m 的平方根是32+a 和12-a ，求m 的值.分析：因负数没有平方根，故m 必为非负数，故本题应分两种情况来解.解： 因为负数没有平方根，故m 必为非负数.（1）当m 为正数时，其平方根互为相反数，故（32+a ）+（12-a ）=0，解得3=a ，故32+a =9332=+⨯，912312-=-=-a ，从而8192==a .（2）当m 为0时，其平方根仍是0，故032=+a 且0433=-a ，此时两方程联立无解.综上所述，m 的值是81.想一想：如果把例3变为：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.你会解吗？请试一试.二、创新题型例4 先阅读所给材料，再解答下列问题：若1-x 与x -1同时成立，则x 的值应是多少？有下面的解题过程：1-x 和x -1都是算术平方根，故两者的被开方数x x --1,1都是非负数,而1-x 和x -1是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情形成立，那就是它们都等于0，即1-x =0，x -1=0，故1=x . 问题：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.解：由阅读材料提供的信息，可得,012=-x 故21=x . 进而可得2=y .故y x =41212=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 点评：这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料，总结出正确的结论，然后用所得的结论解决问题.例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第④、⑤个式子. ①44141411611622=⨯=⨯=⨯=⨯=； ②244242421623222=⨯=⨯=⨯=⨯=； ③344343431634822=⨯=⨯=⨯=⨯=.分析：要写出第④、⑤个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第④、⑤个式子的被开方数应该分别是64和80.解：④84244441646422=⨯=⨯=⨯=⨯=； ⑤544545454516580222=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=.点评：这是一个探究性问题，也是一道发展数感的好题，它主要考查观察、归纳、概括的能力．解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点，然后从特殊的例子，推广到一般的结论，这是数学中常用的方法，同学们应多多体会，好好掌握！。