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[课件]概率论与数理统计(回归分析)PPT

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概率论与数理统计课件ppt

概率论与数理统计课件ppt

简化数据结构，解释变量间的关系。
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
概率论与数理统计ppt课件 完整版

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P(AB)P(A)P(B)P(A)B.
推广 P (A B C )P(A )P(B )P(C) P(A)B P(A)C P(B)C P(AB ).C
n
P (A 1 A 2 A n ) P(A i ) P(A i A j )
i1
1i jn
P(A i A j Ak )
1i jkn
17
例3. 某接待站在某一周曾接待过12次来访, 且都是在周二 和周四来访. 问是否可以推断接待时间是有规定的?
注
实际推断原理:“小概率事件在一次试 验中实际上是不可能发生的”.
18
二、几何定义:
定义若对于一随机试验,每个样本点出现是等可能的 ,
样本空间所含的样本点个数为无穷多个,且具有非 零的 ,有限的几何度量,即 0m(),则称这一随机 试验是一几何概型的 .
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑
在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
例1.老王的妻子一胎生了3个孩子,已知老大是女孩，求另 两个也都是女孩的概率(假设男孩、女孩出生率相同).
1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)>0, 称
P(B| A) P(AB) P(A)
(1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） (2) P(S)=1;（规范性) (3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有
概率论与数理统计(回归分析)

概率论与数理统计(回归分析)


调整R方值 考虑到自变量数量的R方值，用 于比较不同模型之间的拟合优度。 调整R方值越接近于1，说明模型 拟合优度越好。
残差图 通过观察残差与实际观测值之间 的关系，判断模型是否符合线性 关系、是否存在异方差性等。
05
逻辑回归分析
逻辑回归模型
01
逻辑回归模型是一种用于解决 二分类问题的统计方法，基于 逻辑函数将线性回归的预测值 转换为概率形式。
多元非线性回归模型
在多个自变量X1, X2, ..., Xp的条件下，预测因变量Y的非线性数 学模型。模型形式为Y = f(β0, β1*X1, β2*X2, ... , βp*Xp)，其
中f表示非线性函数。
多元逻辑回归模型
用于预测分类结果的多元回归模型，适用于因变量Y为二分 类或多分类的情况。
多重共线性问题
非线性回归模型是指因变量和自 变量之间的关系不是线性的，需 要通过变换或参数调整来拟合数 据。
形式
非线性回归模型通常采用指数函 数对数函数、多项式函数等形 式来表达。
适用范围
非线性回归模型适用于因变量和 自变量之间存在非线性关系的情 况，例如生物医学、经济学、社 会学等领域。
常用非线性回归模型
指数回归模型
线性回归模型假设因变量和自变 量之间存在一种线性关系，即当 一个自变量增加或减少时，因变 量也会以一种恒定的方式增加或 减少。
最小二乘法
01
02
03
最小二乘法是一种数学 优化技术，用于估计线
性回归模型的参数。
最小二乘法的目标是找 到一组参数，使得因变 量的观测值与预测值之
间的平方和最小。
最小二乘法的数学公式为： β=(XTX)^(-1)XTY，其中 X是自变量的数据矩阵，Y 是因变量的数据向量，β
概率论与数理统计ppt课件

概率论与数理统计ppt课件


04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
数理统计CH回归分析课件

数理统计CH回归分析课件


2024/10/4
21
回归最小二乘估计
(2)最小二乘思想
n
n
| i |
2 i
i 1
i 1
残差计算：
yi a bxi i
i yi a bxi
➢用残差(误差)平 方和代表试验点与 回归直线旳总距离
2024/10/4
➢回归方程旳最小二乘
估计可归结为求解下
面旳优化模型：
n
Min a,b
n i 1
yi
a
bxi
2
n i 1
b
yi a bxi
2
n
2 yi a bxi xi i 1
2024/10/4
24
回归最小二乘估计
(3)回归最小二乘估计
x
1 n
n i 1
xi
y
1 n
n i 1
yi
Q 0 a aˆ,b bˆ a
n
即 2 yi aˆ bˆxi 0 i 1
2024/10/4
40
回归明显性检验
(3)模型和假设
线性回归模型 线性有关假设
➢由线性回归模型可推论：
E yi E a bxi i a bxi
Var yi Var a bxi i Var i 2
2024/10/4
10
7.2 一元线性回归
(1)案例和问题
x称作自变量 y称作响应变量
案例：某特种钢抗拉强度试 抗拉强度试验成果 验，控制某稀有金属含量x
x(%) y(MPa) 测得不同抗拉强度y，试验
2.07 128 成果如表所示。
3.10 194 4.14 273 5.17 372 6.20 454
yi
概率论与数理统计完整ppt课件

概率论与数理统计完整ppt课件

化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
数理统计CH7回归分析ppt课件

数理统计CH7回归分析ppt课件

回归分析就是对相关关系中的函数 部分进行估计和检验
6/3/2019
王玉顺：数理统计07_回归分析
7
7.1 变量间的关系
(5)为什么称作“回归分析”
生物学家F·Galton和统计学家K·Pearson 的种族身高研究(1889)。
高个父亲群体的平均身高
高个父亲群体儿子们的平均身高
整个种族的平均身高
低个父亲群体儿子们的平均身高 低个父亲群体的平均身高
11 12
Cov
e



21
22
n,1 n,2
n阶协差阵
1,n
1 0

2,n


In


0

1
n,n

0
0
0
0


1
nn
n阶单位阵
6/3/2019
王玉顺：数理统计07_回归分析
16
7.2 一元线性回归
(4)回归分析内容
7.1 变量间的关系
Correlation between Variables
6/3/2019
王玉顺：数理统计07_回归分析
3
7.1 变量间的关系
(1)函数关系
Pstress 100 sint
6/3/2019
王玉顺：数理统计07_回归分析
4
7.1 变量间的关系
(2)随机关系
Pstress
27
7.2.1 回归最小二乘估计
(3)回归最小二乘估计
克莱姆法则
1y
bˆ nx xy xy nxy
x2 nx 2
x2 nx 2
7.2 线性回归分析 《概率论与数理统计》课件

7.2 线性回归分析 《概率论与数理统计》课件


20.00
30.00
40.00
X
50.00
60.00
70.00
二、一元线性回归
• 2．最小二乘法
二、一元线性回归
二、一元线性回归
3.最小二乘估计的基本性质
二、一元线性回归
上述定理表明，的最小二乘估计是无偏 的，从上述证明过程中还知道它们又是线 性的，因此的最小二乘估计分别是的线性 无偏估计.
是均值为0的正态变量.为估计未知的回归函
数f x ，我们通过n次独立观测,得 x 与 y 的 n
对实测数据 xi , yi i1,2, ,n, 对 f x 作估计.
一、回归分析的相关概念
当线性回归模型只有一个控制变量时， 称为一元线性回归模型，有多个控制变量 时称为多元线性回归模型，本着由浅入深 的原则，我们重点讨论一元的，在此基础 上简单介绍多元的.
• 4. 回归方程的显著性检验
二、一元线性回归
• 5. 相关性检验
• 6. 预测与控制
三、 多元线性回归
实际应用中，很多情况要用到多元回归 的方法才能更好地描述变量间的关系，因 此有必要在本节对多元线性回归做一简单 介绍，就方法的实质来说，处理多元的方 法与处理一元的方法基本相同，只是多元 线性回归的方法复杂些，计算量也大得多， 一般都用计算机进行处理.
随机变量 y 与普通变量 x 之间的关系.通过
试验，可得到 x 、y 的若干对实测数据，将
这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图 叫做散点图.
二、一元线性回归
二、一元线性回归
Y
130.00
120.00
110.00
100.00
90.00
80.00
70.00
概率论与数理统计课件--一元回归分析.ppt

概率论与数理统计课件--一元回归分析.ppt


相关关系举例
例如：在气候、土壤、水利、种子和耕作技术等条件基本 相同时，某农作物的亩产量 Y 与施肥量 X 之间有一定的关系， 但施肥量相同，亩产量却不一定相同。亩产量是一个随机变量。
又如：人的血压 Y 与年龄 X 之间有一定的依赖关系，一 般来说，年龄越大，血压越高，但年龄相同的两个人的血压不 一定相等。血压是一个随机变量。
相关关系问题
在现实问题中，处于同一个过程中的一些变量， 往往是相互依赖和相互制约的，它们之间的相互关系 大致可分为两种：
（1）确定性关系——函数关系；
（2）非确定性关系——相关关系；
相关关系表现为这些变量之间有一定的依赖关系， 但这种关系并不完全确定，它们之间的关系不能精确 地用函数表示出来，这些变量其实是随机变量，或至 少有一个是随机变量。
（3）利用所得到的经验公式进行预测和控制。
一元线性回归模型
设随机变量Y依赖于自变量x，作n次独立试验，
得n对观测值：(x 1 ,y 1 )(x 2 ,y 2 ) (x n ,y n )
称这n对观测值为容量为n的一个子样，若把这n对观
测值在平面直角坐标系中描点，得到试验的散点图.
如果试验的散点图中各点呈直线状，则假设这批数
因此，统计学上讨论两变量的相关关系时，是设法
确定：在给定自变量 X x 的条件下，因变量 Y的
条件数学期望 E (Y | x)
回归分析的概念
研究一个随机变量与一个（或几个）可控变量之间 的相关关系的统计方法称为回归分析。
引进回归函数 (x)E(Y|x)
y(x)E (Y|x)称为回归方程
回归方程反映了因变量Y随自变量 x的变化而变化
n
n
( yi y )2 ( yi yi )2
《概率论与数理统计》教学课件(共8章)第8章 回归分析与方差分析

《概率论与数理统计》教学课件(共8章)第8章 回归分析与方差分析

由于y是随机变量，对于x的每一确定值，y有它的分布。若y的数学期望存在，则其取值随x的取
值而定，即y的数学期望是x的函数，记为μ(x)。μ(x)称为y关于x的回归函数，简称为y关于x的回归。
根据μ(x)的不同形式，回归分析分为线性回归和非线性回归，其中线性回归又分为一元线性回归和多
元线性回归。
8.1
∧
b−t (n−2)
α
2
∧
σ
Lxx
∧
,b + t (n−2)
α
2
∧
σ
Lxx
.
例如，例1中b的置信度为0.95的置信区间为
0.8706−2.3646 ×
=(0.8346, 0.9066).
0.9408
4060
, 0.8706 + 2.3646 ×
0.9408
4060
8.1
一元线性回归
8. 1. 6
利用回归方程进行预测
8. 1. 4
线性假设的显著性检验
∧
引理 对于一元线性回归，有b~N(b,σ2/Lxx)。
n
n
∧ ∑ (xi −x)(yi −y) ∑ (xi −x)yi
∧
证 因为b=i=1 n
=i=1
，所以b是y1,y2,…,yn的线性组合，而y1,y2,…,yn是独立的正
n
∑ (xi−x)2
∑ (xi −x)2
8. 1. 4
线性假设的显著性检验
n
n
∑ (xi−x)2 D(yi) ∑ (xi −x)2σ2
∧
D(b)=i=1n
= i=1
n
2
2
[ ∑ (xi −x) ]
[ ∑ (xi −x)2 ] 2
概率论与数理统计书ppt课件

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条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。

[课件]概率论与数理统计(相关分析)PPT

定义9.2 当rxy > 0时，称{xi}和{yi}正相关 当rxy < 0时，称{xi}和{yi}负相关 当rxy = 0时，称{xi}和{yi}不相关．
9.1.2
相关系数
在实际应用中，为了说明{xi}和{yi}的相关程度，通 常将相关程度分为以下几种情况： 当|rxy| ≥ 0.8时，可视{xi}与{yi}为高度线性相关；
第9章 相关分析与一元回归分析
9.1 相 关 分 析
例如，农作物产量与施肥量的关系
商业活动中销售量与广பைடு நூலகம்投入的关系
人的年龄与血压的关系 每种股票的收益与整个市场收益的关系 家庭收入与支出的关系等等．
9.1 相 关 分 析
这种大量存在于随机变量间既互相联系，但又不 是完全确定的关系，称为相关关系． 从数量的角度去研究这种关系，是数理统计的一个 任务．
回归分析的思想早已渗透到数理统计学科的其他分 支，随着计算机的发展和各种统计软件的出现，回归 分析的应用越来越广泛．
第9章 相关分析与一元回归分析
9.1 相 关 分 析
在大量的实际问题中, 随机变量之间虽有某种关系, 但这种关系很难找到一种精确的表示方法来描述． 例如，人的身高与体重之间有一定的关系，知道 一个人的身高可以大致估计出他的体重，但并不能 算出体重的精确值． 其原因在于人有较大的个体差异，因而身高和体 重的关系，是既密切但又不能完全确定的关系． 随机变量间类似的这种关系在大自然和社会中屡 见不鲜．
9.1.2
相关系数
可以看到，各散点图的散点分布和一条直线相比均 有一定差别
9.1.2
相关系数
其中单位面积营业额 y 与日人流量 x2 、居民年消费额 x3的线性关系相对较明显一些 y与商场商品丰富程度满意度x6有一定的线性关系

概率论与数理统计ppt课件


注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章 数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章 参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章 假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 置信区间与假设检验之间的关系 样本容量的选取 分布拟合检验 秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例： 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13


事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定

例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖

概率论与数理统计ppt课件(完整版)

27
( 1)
n 1
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列 事件的概率:
(1) P ( A B ); (2) P ( A B); (3) P ( A B); (4)P( A B ).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑 在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
P(B) P( A).
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
26
性质4. 对任一事件 A,
P( A) 1.
性质5. 对任一事件A, P( A) 1 P( A).
性质6. 对任意两事件 A, B有 P( A B) P( A) P(B) P( AB ).
推广
P( A B C) P ( A) P ( B ) P (C )
1 对于每一个事件 B, 有 1 P(B | A) 0.
0
2 P(S | A) 1.
0
3 设B 1 , B 2 , 两两互不相容, 则 P( B i | A ) P(B i | A).
i 1 i 1
0
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
m( A) P ( A) m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量 , m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度 量来合理 规定的概率称为 几何概率 . 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预

[课件]概率统计 回归分析PPT

2 2 ˆ 所 以 ， 的 无 偏 估 计 Q n 2 )0 . 1 8 6 . e(
（四）线性假设的显著性检验
采用最小二乘法估计参数a和b，并不需要事先知道Y与x之间 一定具有相关关系，即使是平面图上一堆完全杂乱无章的散 点，也可以用公式求出回归方程。因此μ(x)是否为x的线性函 数，一要根据专业知识和实践来判断，二要根据实际观察得 到的数据用假设检验方法来判断。
n
n
( xi )a ( xi 2 )b xi yi .
i 1 i 1 i 1
2 1 1 记 号 ： y y x x x , i,x i,S x x i ni ni i
n
n
n
S x x y ,S y y y . x y i i y y i
ˆ ˆ ˆ 性 质 ： a , ba 分 别 是 , b 的 无 偏 估 计 ， 从 而 E ( Y ) a b x 。
1 ˆ 证 明 ： 因 为 b S / SS x x Y , x y x x x x i i i 1 x x i
1 ˆ E ( b ) S x x E ( Y ) S x x ( a b x ) x x i i i i i
即 要 检 验 假 设 H : bH 0 ,1 : b 0 , 0
若原假设被拒绝，说明回归效果是显著的，否则， 若接受原假设，说明Y与x不是线性关系，回归方程 无意义。回归效果不显著的原因可能有以下几种：
（1）影响Y取值的，除了x，还有其他不可忽略的因素； （2）E(Y)与x的关系不是线性关系，而是其他关系； （3）Y与x不存在关系。
( 5 ) 回 归 函 数 ( x ) a b x 的 点 估 计 和 置 信 区 间 ；

《概率论与数理统计》课件


条件概率与独立性
条件概率
在某个事件B已经发生的条件下，另 一事件A发生的概率，记为P(A|B)。
独立性
两个事件A和B如果满足 P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A和B是 独立的。
随机变量及其分布
01
随机变量
随机变量是定义在样本空间上的 一个实值函数，表示随机试验的 结果。
02
离散型随机变量
03
连续型随机变量
离散型随机变量的取值可以一一 列举出来，其概率分布可以用概 率质量函数或概率函数表示。
连续型随机变量的取值范围是一 个区间或半开区间，其概率分布 可以用概率密度函数表示。
数理统计初步
02
统计数据的描述
01
统计数据的收集
描述如何通过调查、试验或观测 等方法，获取用于统计分析的数
据。
03
夫链
随机过程的基本概念
随机过程
随机过程是一组随机变量，每个随机 变量对应于时间或空间的一个点。
有限维分布
描述随机过程在有限个时间点上的联 合分布。
独立性
如果随机过程在不相交的时间区间上 的随机变量是独立的，则该随机过程
是独立的。
马尔科夫链及其性质
马尔科夫性
在已知现在状态下，未来与过去独立，即“未来 只取决于现在”。
03
数据的可视化
介绍如何使用图表（如直方图、 散点图等）将数据可视化，以便 更直观地理解数据分布和关系。
02
数据的整理
介绍如何对数据进行分类、排序 和分组，以便更好地理解和分析
。
04
数据的数字特征
介绍如何使用均值、中位数、众 数、方差等统计量来描述数据的
中心趋势和离散程度。
参数估计与置信区间
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9.2 回归分析
线性回归模型的一般形式为：
y x x ... x 0 1 1 2 2 k k

其中，0和i（i = 1，2，…，k）是未知常数，称为 回归系数，实际中常假定 ～N(0，2)．
一元线性回归模型的一般形式为：
y x , 0 1
2 ~N （ 0 ， ）
由 ～N(0，2)的假定，容易推出y ～N(0 + 1x, 2)
9.2 回归分析
本章主要讨论一元线性回归分析和可化为线性回 归的一元非线性回归分析． 它们是反映两个变量之间关系的简单模型，但从 中可以了解到回归分析的基本思想、方法和应用．
9.2 回归分析
9.2.1 一元线性回归分析
达到最小的 ˆ 0 和 ˆ1 ．即解方程：
Q ( 0 , 1 ) 0 0 , Q ( , ) 0 1 0 1
n yi 0 1 xi 0 i 1 或 (9.6) n yi 0 1 xi xi 0 i1
试根据这些数据进行合金钢的强度y(单位：107Pa)
9.2.1 一元线性回归分析
为了研究这些数据中所蕴含的规律性，首先在 Excel中由12对数据作出散点图，如图9.7所示．
从图看到，数据点大致落在一条直线附近，这告诉 我们变量x和y之间大致可看作线性关系．从图中还看 到，这些点又不完全在一条直线上，这表明x和y的关 系并没有确切到给定x就可以唯一确定y的程度．
达到最小的 ˆ 0 和 ˆ1 ，分别作为0，1的估计，并称 ˆ 0
和 ˆ1 为0和1的最小二乘估计．
i 1
9.2.1 一元线性回归分析
1．参数0和1的最小二乘估计
通常可采用微积分中求极值的办法，求出使
2 Q ( , ) [ y ( x )] 0 1 i 0 1i i 1 n
我们用一个例子来说明如何进行一元线性回归分 析 为了研究合金钢的强度和合金中含碳量的关系， 专业人员收集了 12 1 2 3 4 组数据如表 5 6 7 9.1所示． 8 9 10 11 12 序号
含 碳 量 0.10 x(%) 合 金 钢 42.0 的强度 y(107Pa) 0.11 0.12 43.0 45.0 0.13 0.14 0.15 45.0 45.0 47.5 0.16 0.17 0.18 49.0 53.0 50.0 0.20 55.0 0.21 0.23 55.0 60.0
9.2.1 一元线性回归分析
事实上，还有许多其它随机因素对y产生影响．
如果只研究x和y的关系，可以考虑建立一元线性回 归模型：
y x , 0 1
2 ~N （ 0 ， ）
(9.1)
其中ε是除含碳量x外其它诸多随机因素对合金钢强度 y的综合影响，假定它是零均值的正态随机变量．
设对模型 (9.1)中的变量 x ， y进行了 n次独立观察， 得样本(xi，yi) (i = 1，2，…，n)．由(9.3)式知随机 误差i = yi – (0 + 1xi)． 最小二乘法的思想是：由 xi ， yi 估计 0 ， 1 时，使 误差平方和
2 Q ( , ) [ y ( x )] 0 1 i 0 1i n
y x i 0 1 i i
(9.3)
来描述．这里 εi是第 i 次观测时 ε 的值，它是不能观测 到的．
9.2.1 一元线性回归分析
由于各次观测独立， εi 看作是相互独立与 ε 同分布的 随机变量．即有 yi = 0 + 1xi + i，i相互独立，且
i ～N(0，2)， i = 1，2，…，n (9.4) (9.4)给出了样本(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的概 率性质．它是对理论模型进行统计推断的依据，也 常称(9.4)式为一元线性回归模型．
9.2.1 一元线性回归分析
要建立一元线性回归模型，首先利用n组独立观测 数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)来估计0和1， 以估计值ˆ 0 和 ˆ1分别代替(9.2)式中的0和1，得到
ˆ ˆx ˆ y 0 1
(9.5)
由于此方程的建立有赖于通过观察或试验积累的数 据，所以称其为经验回归方程（或经验公式） 经验回归方程也简称为回归方程，其图形称为回 归直线．
概率论与数 理统计(回归 分析)
9.2 回归分析
如果设随机变量 y是因变量，x1，x2，…，xn是影 响y的自变量，回归模型的一般形式为： y = f (x1，x2，…，xn) + ε
其 中 ε 为 均 值 为 0 的 正 态 随 机 变 量 ， 它 表 示 除 x1 ， x2，…，xn之外的随机因素对y的影响． 在回归分析中，当只有一个自变量时，称为一元 回归分析；当自变量有两个或两个以上时，称为多 元回归分析； f 是线性函数时，称线性回归分析，所 建回归模型称为线性回归模型； f 是非线性函数时， 称非线性回归分析，所建回归模型称为非线性回归 模型．
ˆ ˆ x为拟合值（预测值 ˆ 当给定x = x0时，称 y 0 0 1 0 或回归值）．
9.2.1 一元线性回归分析
那么，如何利用n组独立观察数据来估计0和1呢？
一般常用最小二乘估计法和最大似然估计法
下面只介绍0和1的最小二乘估计法．
9.2.1 一元线性回归分析
1．参数0和1的最小二乘估计
9.2.1 一元线性回归分析
y x , 0 1
2 ~N （ 0 ， ）
(9.1) (9.2)
由(9.1)式，不难算得y的数学期望:
E ( y ) x地算出 E(y) ．称方程 (9.2)为y关于x的回归方程． 现对变量 x, y 进行了 n 次独立观察，得样本 (xi ， yi) (i = 1，2，…，n)．据(9.1)式，此样本可由方程