2004年河南专升本高数真题+答案解析
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-第 1 页 共 6 页-2004年上半年高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学(工本)试题(课程代码 0023)一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.函数f(x)=xx1x 37-+-的定义域是( ) A .⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-37,B .⎥⎦⎤⎝⎛-∞37,0)0,(C .)37,0()0,( -∞D .)37,(-∞2.设是,则数列}a {1n 2n1a n n +-=( ) A .单调减而下有界 B .单调减而下无界 C .单调增而下有界 D .单调增而下无界3.极限=---→21x )1x ()1x cos(1lim ( ) A .21- B .0 C .1D .21 4.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0x ,20x 22x1,在x=0处( )A .左连续B .右连续C .连续D .前三个均不成立5.设函数f(x)在x 0处可导,则极限=--+→h)h x (f )h x (f lim000h ( ) A .)x (f 20' B .)x (f 210'C .)x (f 0'D .06.设函数=''+-=⎰)(,11)(x f xxx 则( ) A .3)x 1(4+B .2)x 1(4+--第 2 页 共 6 页-C .3)x 1(x 2+- D .3)x 1(x 2+7.下列结论正确的是( ) A .函数y=x 2在[)+∞,0上是单调减函数B .x=0是曲线y=x 3的拐点C .直线y=0是曲线y=|x|在点(0,0)处的切线D ..x=0是函数y=x 3的驻点8.不定积分⎰=-dx x311( ) A .C x 31+-- B .C x 31+- C .C x 3123+--D .C x 3132+--9.定积分⎰=+10dx x11( ) A .2+22lnB .2lnC .2-ln 4D .1-ln 210.曲线2y 2x -=和x=|y|所围成的平面图形面积为( ) A .4πB .2π C .πD .23π 11.在下列方程中其图形是圆柱面的方程是( ) A .x 2+y 2-3=0 B .x 2+y 2+z 2-3=0 C .x 2+y 2-z 2-3=0 D .x 2+y 2-z-3=0 12.与平面3x-4y-5z=0平行的平面方程为( ) A .6x-8y+10z-9=0 B .3x+4y-5z-8=0 C .6x-8y-10z-7=0 D .3x-4y+5z-10=0 13.设z=f(x,y)在(x 0,y 0)处的偏导数存在,则=∂∂)y ,x (00xz( )A .x)y ,x (f )y y ,x x (f lim00000x ∆-∆+∆+→∆B .x)y ,x (f )y ,x x (f lim 000x ∆-∆+→∆C .x)y ,x (f )y ,x x (f lim 0x ∆-∆+→∆D .x)y ,x (f )y ,x x (f lim 00000x ∆-∆+→∆14.函数z=(6x-x 2)(4y-y 2)的驻点个数为( )-第 3 页 共 6 页-A .2B .3C .4D .515.设积分区域B 是连结三点(1,1),(4,1),(4,2)的线段所围成的三角形,则⎰⎰=σBd 4( ) A .4B .6C .8D .1216.设G 是由坐标面和平面x+y+z=1所围成的区域,则三重积分⎰⎰⎰Gdv 化为累积分为( ) A .⎰⎰⎰11010dz dy dxB .⎰⎰⎰--yx 101010dz dxdy C .⎰⎰⎰---yx 10x 101dz dydxD .⎰⎰⎰---xy 10z 1010dz dxdy17.微分方程是x sin xydx dy =+( ) A .可分离变量的微分方程 B .齐次微分方程 C .一阶线性齐次微分方程 D .一阶线性非齐次微分方程 18.下列函数中,是微分方程0y 3y =-'的通解的是( ) A .y=e -3x+CB .y=Ce 3xC .y=Ce -3xD .y=Ce x+319.设a 是非零常数,则当|q|<1时,级数∑∞=-0n n naq )1(收敛于( ) A .q 11- B .q 11+ C .q1a +D .q1a - 20.幂级数∑∞=-1n nn )1x (的收敛区间是( )A .(-1,1)B .[)2,0C .[)1,1-D .(0,2)二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
2003年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.函数y=(x-1)的定义域是( )A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.[2,+∞)D.空集正确答案:C解析:因ln(x-1)≥0,得x-1≥1,即x≥2.2.函数y=1-arctanx是( )A.单调增加且有界函数B.单调减少且有界函数C.奇函数D.偶函数正确答案:B解析:因y’=<0,所以函数单调减少,且有界3.下列等式成立的是( )A.B.C.D.正确答案:C解析:根据两个重要极限,很显然C正确.4.当x→0时,无穷小量1-cosx2是比x4的( )A.等价无穷小B.同阶无穷小C.较高阶无穷小D.较低阶无穷小正确答案:B解析:因x→0时,所以1-cosx2是比x4的同阶无穷小.5.x=0是函数f(x)=-1的( )A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点正确答案:D解析:因为=+∞,所以x=0为第二类间断点.6.下列方程在[0,1]上有实根的是( )A.sinx+x-=0B.x2+3x+1=0C.arcsinx+3=0D.x-sinx+=0正确答案:A解析:对于A,函数f(x):sinx+x-满足在区间[0,1]上连续,且f(0)=<0,f(1)=sinl+>0,所以选A.7.若f(x)在点x0处不连续,则f(x)在点x0处( )A.必定不可导B.一定可导C.可能可导D.极限一定不存在正确答案:A解析:因连续为可导的必要条件,故f(x)在x0处不连续,则f(x)在x0处必不可导.8.曲线y=( )A.有水平渐近线,无垂直渐近线B.无水平渐近线,有垂直渐近线C.无水平渐近线,也无垂直渐近线D.有水平渐近线,也有垂直渐近线正确答案:B解析:因=∞,所以有垂直渐近线x=1;因=∞,所以无水平渐近线.9.已知f(x)=0,f’(0)=1,则( )A.2B.1C.0D.∞正确答案:B解析:10.若y=sine-x,则有( )A.dy=cose-xdxB.dy=e-xsine-xdxC.dy=-e-xcose-xdxD.dy=e-xcose-xdx正确答案:C解析:dy=(-1)cose-x.e-xdx.11.设( )A.B.2tC.1D.t正确答案:A解析:12.若f(x)在(a,b)内二阶可导,且f’(x)>0,f’’(x)<0,则f(x)在(a,b)内( )A.单调增加且是凸的B.单调增加且是凹的C.单调减少且是凸的D.单调减少且是凹的正确答案:A解析:因f’(x)>0,且f’’(x)<0,故曲线为单调增加且为凸的.13.已知f(x)在[0,+∞)上可导,且f’(x)<0,f(0)>0,则方程f(x)=0在[0,+∞)上( )A.有唯一根B.至少存在一个根C.不能确定有根D.没有根正确答案:C解析:题目所给条件无法判断是否有实根.14.函数f(x)=x-的极值点的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个正确答案:C解析:y’=,x=1是驻点,x=0是不可导点,根据判断极值的第一充分条件,x=1,x=0都是极值点.15.下列函数中,在[1,e]上满足拉格朗日中值足理条件的是( ) A.y=lnlnxB.y=lnxC.y=D.y=|x-2|正确答案:B解析:因为y=lnx在[1,e]上连续,在(1,e)内可导,所以满足拉格朗日定理.16.若f(x)的一个原函数为ln2x,则f’(x)= ( )A.2xln2xB.ln2xC.D.正确答案:D解析:因f(x)=(ln2x)’=,所以f’(x)=17.dx =( )A.B.C.D.正确答案:B解析:因为18.设函数ψ(x)=,则ψ’(x)= ( )A.xeB.-xeC.D.正确答案:C解析:φ’(x)=2x.19.下列广义积分收敛的是( )A.B.C.D.正确答案:D解析:对于,当n>1时,广义积分收敛;当n≤1时,广义积分发散,故收敛.20.直线与平面x+2y-z+3=0的位置关系是( )A.互相垂直B.互相平行但直线不在平面上C.直线在平面上D.斜交正确答案:C解析:因为直线的方向向量和平面的法向量满足{1,2,-}.{3,-1,1}=1×3+2×(-1)+(-1)×1=0,所以这两个向量垂直,那么对应的直线与平面平行,又因为直线上的点(1,-1,2)在平面上,所以直线在平面上.21.方程x=确定二元隐函数z=f(x,y),则= ( )A.1B.exC.yexD.y正确答案:C解析:由x=得,z=yex,所以=yex22.设z=x3-3x-y,则它在点(1,0)处( )A.取得极大值B.无极值C.取得极小值D.无法判定是否有极值正确答案:B解析:因=-1,所以(1,0)不是驻点,函数不会存在极值.23.设D={(x,y)|1≤x2+y2≤4},则dxdy=( )A.B.C.D.正确答案:C解析:因为区域D:{(x,y)|≤x2+y2≤4},则可另表示为D:{(r,θ)|0≤θ<2π,1≤r≤2},所以原二重积分可化为24.设D由直线x+y=1,x=0,y=0所围成,则dxdy= ( )A.1B.2eC.e-1D.2e-1正确答案:A解析:25.设D={(x,y),)|(x-1)2+y2≤1},则dxdy= ( )A.3πB.4πC.πD.π2正确答案:C解析:dxdy即为圆(x-1)2+y2=1的面积,dxdy=π26.设L为从点(1,1)到点(0,0)的直线段,则∫L(x2-y2)dx+xydy= ( )A.B.3C.0D.正确答案:D解析:∫L(x2-y2)dx+xydy=27.正项级数满足下列哪一个条件时必定收敛( )A.B.C.D.正确答案:C解析:由正项级数敛散性比值判别法,当<1时,收敛,由选项C:28.的收敛性为( )A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法确定正确答案:B解析:因为级数为交错级数,且满足莱布尼兹条件,所以收敛,又因为加绝对值后所成的级数发散,故该级数为条件收敛29.下列微分方程中,通解为y=(C1+C2x)e-3x的二阶常系数齐次线性微分方程是( )A.y’’-6y’+9y=0B.y’’+6y’+9y=0C.y’’+6y’+9y:1D.y’’+6y’=0正确答案:B解析:因特征根r=-3为重根,所以对应的微分方程为y’’+6y’+9y=0.30.微分方程ylnxdx=xlnydy满足y|x=1=1的特解是( )A.In2+In2y=0B.In2x+In2y=1C.In2x=In2yD.ln2x=In2y+1正确答案:C解析:变量分离得+C,因当x=1时,y=1,所以C=0填空题31.设f(x)=arctanc,g(x)=sin,则g[f(x-1)]=_______正确答案:解析:f(-1)=,所以g[f(-1)]=g32.函数f(x)=1-ln(2x+1)的反函数f-1(x)=____正确答案:y=(e1-x-1),x∈R.解析:因ln(2x+1)=1-y,所以x=(e1-y-1),所以f-1(x)=(e1-x-1),x∈R33.[ln(1+x)-lnx]=________正确答案:1解析:原式=34.若f(x)=,在x=0处连续,则a=_______ 正确答案:解析:35.已知y=sinx,则y(10)=______正确答案:-sinx解析:由(sinx)(n)=sin(x+n.)知,y(10)=sin(x+)=-sinx36.设x2y-e2x=siny,则=_________正确答案:解析:方程两端分别对x求导,得2xy+x2y’-2e2x=cosy.y’所以y’= 37.设y=f(lntanx),且f(x)可微,则=______正确答案:f’(lntanx)解析:=f’(lntanx)(lntanx)’=f’(lntanx)(tanx)’=f’(Ilntanx)38.曲线y在点(1,1)处的切线方程为_______正确答案:x+y-2=0解析:因y’=,所以y’|x=1=-1,所求切线方程为:y-1=-(x-1),即x+y-2=0 39.函数f(x)=x-ln(1+x2)在[-1,2]上的最大值为________正确答案:2-ln5解析:因y’=1-≥0,所以函数y为单调增加,在区间[-l,2]上的最大值为f(2)=2-ln5.40.曲线y=6x2-x3的拐点为________正确答案:(2,16)解析:因y’=12x-3x2,y’’=12-6x,令y’’=0,得x=2,当x2时,y’’=________正确答案:0解析:奇函数在对称区间上的定积分为0.42.由向量a=(2,2,1),b=(4,5,3)为邻边构成的平行四边形面积为_________ 正确答案:3解析:因a×b=={1,-2,2},所以|a×b|=3.43.设z=ln(x2+y2),则=________正确答案:dx+dy解析:因dz=,则dz|(1,1)=+dy.44.若I=dy,则交换积分顺序后I=_______正确答案:解析:由题意可知积分区域D可表示为{(x,y)|1≤x≤e,0≤y≤lnx},转化为先对x后对y的积分,则积分区域D表示为{(x,y)1 0≤y≤1,ey≤x≤e},于是I=45.微分方程y”=24x的通解为_______正确答案:y=x4+c1x2+c2x+c3(其中c1,c2,c3为常数)解析:y’’=12x2+c1,y’=4x3+c1x+c2,y=x4+c1x2+c2x+c3解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2004年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 判断题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.函数f(x)=的定义域是( )A.(-2,2)B.[0,1)∪(1,2]C.(-2,1)∪(1,2)D.(0,1)∪(1,2)正确答案:D解析:由≠0,得4-x2>0,即-20,求交集得D.2.函数y=sin是定义域内的( )A.周期函数B.单调函数C.有界函数D.无界函数正确答案:C解析:y=sin是一个有界函数,所以选C.3.= ( )A.xB.0C.∞D.1正确答案:A解析:4.当x→0时,x→sinx是比x2的( )A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.同阶无穷小D.同阶但非等价无穷小正确答案:B解析:=0,所以当x→0时,x-sinx是比x2的高阶无穷小5.设f(x)=,则x=1是f(x)的( )A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点正确答案:B解析:,间断点x=1处函数f(x)的左右极限都存在且相等,所以x=1是f(x)的可去间断点.6.设f’(x)在点x0的某个邻域内存在,且f(x0)为f(x)的极大值,则= ( )A.0B.1C.2D.-2正确答案:A解析:=2f’(x0),又因为f’(x0)存在且f(x0)是f(x)的极大值,所以f’(x0)=0,所以选A.7.下列函数中,在x=1处连续但不可导的是( )A.y=B.y=|x-1|C.y=cot(x-1)D.y=x2-x正确答案:B解析:y=|x-1|在x=1只连续但不可导,所以选B.8.下列函数中,在[-1,1]上满足罗尔定理条件的是( )A.Y=lnx2B.y=|x|C.y=cosxD.y=正确答案:C解析:y=cosx在[-1,1]上连续,在(-1,1)上可导,cos(-1)=cos1,满足罗尔定理,所以选C.9.设f(x)在x=3的某个领域内有定义,若=-1,则在x=3处( )A.f(x)的导数存在且f(3)≠0B.f(x)的导数不存在C.f(x)取得极小值D.f(x)取得极大值正确答案:D解析:因为=-1,所以存在x=3的邻域,有<0,即无论x>3或x的渐近线有( )A.1条B.2条C.3条D.0条正确答案:B解析:=0,所以y有水平渐近线;=∞,所以y有垂直渐近线,故曲线y有两条渐近线,选B.11.下列函数对应的曲线在定义域内是凹的是( )A.y=e-xB.y=ln(1+x2)C.y=x2-x3D.y=sinx正确答案:A解析:对于A,y’=-e-x,y’’=e-x>0,所以y=e-x在定义域内是凹的.12.下列函数中,可以作为同一个函数的原函数的是( )A.B.C.D.正确答案:C解析:因为同一个函数的原函数应该只相差一个常数,而选项C中只相差一个常数,所以选C.13.下列等式正确的是( )A.∫f’(x)dx=f(x)B.d∫d(f(x))=f(x)+CC.∫f(x)dx=f(x)D.d∫f(x)dx=f(x)正确答案:C解析:选项A未加常数,选项B,C,D等号右端缺dx,因而从形式上讲不对,但∫f(x)dx=f(x)是对的.14.设f(x)为连续函数,则= ( )A.2[f()-f(0)]B.2[f(1)-f(0)]C.-f(0)]D.[f(1)-f(0)]正确答案:A解析:,所以选A.15.下列广义积分收敛的是( )A.B.C.D.正确答案:D解析:对=1,所以D16.若z=exy,则dz|(1,2)= ( )A.exy(ydx+xdy)B.3e2C.2e2dx+e2dy,D.0正确答案:C解析:dz==2e2dx+e2dy,所以选C.17.设f(x,y)=(x-4)2+y2,则点(4,0) ( )A.不是驻点B.是驻点但非极值点C.极大值点D.极小值点正确答案:D解析:因为f(x,y)≥f(4,0),所以点(4,0)是极小值点.18.设区域D由y轴及直线y=x,y=1所围成,则xdxdy=( )A.B.C.D.正确答案:D解析:所以选D.19.直线和直线的关系是( )A.平行但不重合B.重合C.垂直不相交D.垂直相交正确答案:A解析:由直线,知其方向向量为{-1,1,-2},而直线的法向量为{1,-1,2},则,所以两直线只平行而且会重合,将第一条直线上的点(1,3,1)代人第二条直线方程显然不满足,所以两直线仅平行而不重合.20.方程2x2-y2=1表示的二次曲面是( )A.球面B.旋转抛物面C.柱面D.圆锥面正确答案:C解析:方程2x2-y2=1缺一个变量z,因此表示其母线平行于z轴,由于它在xOy坐标平面中表示双曲线,所以更具体地说,它表示的是双曲柱面.21.下列级数中,绝对收敛的是( )A.B.C.D.正确答案:C解析:对于C,加绝对值后变为,根据P级数的特点,>1,所以绝对收敛.22.下列级数中,发散的是( )A.B.C.D.正确答案:A解析:的通项为的极限不为0,所以级数发散.23.级数的和为( )A.0B.eC.e2D.不存在正确答案:C解析:因为幂级数=ex,x∈(-∞,+∞),所以=e224.用待定系数法求方程y’’-2y’+y=xex的特解y*时,下列特解设法正确的是( )A.y*=(ax2+bx+c)exB.y=x(ax2+bx+c)exC.y*=x2(ax+b)e*D.y*=x2(ax2+bx+c)e*正确答案:C解析:齐次微分方程y’’-2y’+y=0的特征方程为r2-2r+1=0,得重根r=1.所以非齐次方程y’’-2y’+y=xex的特解为y*=xk(ax+b)ex,又因为r=1为重根,所以k=2,因此特解为y*=x2(ax+b)ex25.设L为从点A(1,0)沿x轴到点B(-1,0)的直线段,则∫Ly2dx= ( ) A.0B.1C.2D.3正确答案:A解析:根据题意,填空题26.设,(x≠0),则f(x)=______正确答案:x(x-1)解析:令=u,解得x=,代入并整理得f(u)=u(-1),即f(x)=x(x-1).27.=______正确答案:1解析:因为28.设f(x)=在x=0处连续,则k=_________正确答案:解析:若f(x)在x=0处连续,则应有1071=f(0).而,而f(0)=k,所以k=29.设y=x3+5x2+e2x,则y(10)=_________正确答案:210e2x解析:对于函数y=x3+5x2+e2x,求4次导数后,y(4)=24e2x,故y(10)=210e2x 30.设=________正确答案:解析:31.=__________正确答案:1解析:32.y=x3-27x+2在[0,1]上的最大值为__________正确答案:2解析:y’=3x2-27=3(x2-9),因为x∈[0,1],所以y’sindt,则=_________正确答案:-1解析:=-1.34.=_________正确答案:1解析:35.设为f(x)的一个原函数,则f(x)dx=________正确答案:x2+C解析:=x2+C36.广义积分,当__________时收敛.正确答案:q<0解析:显然,第②式中,当q>0时,极限为无穷大,而当q37.过原点且与直线垂直的平面方程为_________正确答案:2x+y-3z=0解析:该平面的法向量可取直线的方向向量{2,1,-3},又平面过点(0,0,0),故平面方程为:2x+y-3z=0.38.设z=e*+=_________正确答案:解析:由z=ex+39.x2dσ=________正确答案:0解析:在极坐标系下,区域D可表示为{(r,0)|0≤θ≤2π,0≤θ≤1}.所以40.设f(x,y)==_______正确答案:解析:判断题41.若f(x)在x=x0处连续,则f[f(x)]在点x=x0处一定连续.( ) A.正确B.错误正确答案:B解析:例如,f(x)=lnx,它在x=处连续,而f[f(x)]=ln(lnx)在x=处无定义,所以f[f(x)]在x=处不连续.42.若数列{xn}有界,则{xn}必收敛.( )A.正确B.错误正确答案:B解析:反例,数列1,0,1,0,1,0…有界,但不收敛.43.方程ln(x+1)=0在[1,e-1]上无实根.( )A.正确B.错误正确答案:A解析:显然=0在[1,e-1]上无实根.现讨论ln(x+1)=0的情况,令f(x)=ln(x+1),则f’(x)由于x∈[1,e-1],所以f’(x)>0,故f(x)在[1,e-1]上单调递增,而f(1)=ln2>0,所以ln(x+1)=0在[1,e-1]上无实根.44.( )A.正确B.错误正确答案:B解析:从y=cosx的图象上可以看出45.若二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数都存在,则z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.( )A.正确B.错误正确答案:A解析:二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在且连续,则z=f(x,y)在点(x0,y0)可微,本题缺少连续这个条件.解答题解答时应写出推理、演算步骤。
1河南省2005年普通高等学校 专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学 答案及解析一、单项选择题(每小题2分,共计60分) 1.答案:C【解析】:C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.答案:D【解析】:图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3.答案:B【解析】: ⇒-x e x~12~12x e x -,应选B.4.答案:B【解析】:2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n nn n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.答案:C【解析】:21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.答案:D 【解析】:41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.答案:A【解析】:对方程yx exy +=两边微分得)(dy dx eydx xdy yx +=++,即dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.答案:B 【解析】:423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f !='⋅='''⇒='=''⇒ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.答案:A【解析】:由罗尔中值定理条件:连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A. 10.答案:B【解析】:在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.211.答案:C 【解析】:0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ,应选C.12.答案:B【解析】:dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.答案:B【解析】:两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f xx-=⇒-⨯=,应选B. 14.答案:A【解析】:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A. 15.答案:C 【解析】:2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.答案:A【解析】:被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.答案:D 【解析】:⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.答案:B 【解析】:x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.答案:A 【解析】:⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.答案:D【解析】:n s n s ρρρρ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D. 21.答案:B 【解析】:两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B. 22.答案:C 【解析】:dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.答案:B【解析】:)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.答案:A325.答案:C【解析】:积分区域在极坐标下可表示为:}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=,从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ,应选C.26.答案:B【解析】:L :,2⎩⎨⎧==x y xx x 从0变到1 , 1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.答案:B【解析】:∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛,∑∞=-1321)1(n nn 是收敛的,但∑∞=1321n n是32=p 的级数发散的,从而级数∑∞=-1321)1(n nn条件收敛,应选B. 28. 答案:C 【解析】:正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=12n nu与∑∞=12n nv收敛,而)(2)(222nnn n v u v u +≤+,所以级数21)(n n nv u+∑∞=收敛 ,应选C.29. 答案:D【解析】:注意对所给的方程两边求导进行验证,可得通解应为222C y xy x =+-,应选D. 30.答案:A【解析】:微分方程的特征方程为0βλ22=+,有两个复特征根i βλ±=,所以方程的通解为t C t C x βsin βcos 21+=,应选A.二、填空题(每小题2分,共30分) 1.答案:116)2(2+-=-x x x f【解析】:⇒+-=⇒++-+=+32)(3)1(2)1()1(22x x x f x x x f116)2(2+-=-x x x f .2.答案:1=a【解析】:因10)6(lim 0)2(lim 222=⇒=-+⇒=-→→a ax x x x x .3.答案:02π12=+--y x 【解析】:2111121=+='===x x x y k ,则切线方程为)1(214π-=-x y , 即02π12=+--y x 02π12=+--y x .44.答案:dx x xe x dy xx]1ln 1[21+-= 【解析】:dx x x e x x x x d edy ey x x x xxx xx]1ln 1[)ln (21ln ln +-=+=⇒=++ .5.答案:),21(∞+ 或),21[∞+【解析】:⇒>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>-⇒-='21001414x x xx x x y ),21(∞+ 或),21[∞+. 6.答案:),1(e【解析】:104)1(21=⇒=-=''⇒⨯='x xx x e y xe y x x,得拐点为),1(e .7.答案:271【解析】:等式x dt t f x ⎰=3)(两边求导有13)(23=x x f ,取3=x 有271)27(=f . 8.答案:45 【解析】:⎰⎰⎰'-'='=''10101012)2(41)2(21)2(21)2(x d x f x f x x f xd dx x f x 45)0(41)2(41)2(21)2(41)2(2110=+-'=-'=f f f x f f . 9.答案:0 【解析】:0)0(00=⇒=⇒=='-f x xey x.10.答案:C x x ++|cos |ln【解析】:⎰⎰++=++=+-C x x xx x x d dx x x x |cos |ln cos )cos (cos sin 1.11. 答案:6【解析】: 6||2210101=⨯=⇒+-=-=⨯b a S k j i k j i b a ρρρρρρρρρρ .12.答案:)()(z x y z y z ++【解析】:令y z z xy z z x F ln ln ln +-=-= ,则221,1,1zz x z z x F y F z F z y x +-=--='='='.)(;2z x y z F F y z z x z F F x z z y z x +=''-=∂∂+=''-=∂∂ ,所以)()(z x y z y z y z x z ++=∂∂+∂∂ .513.答案:821π- 【解析】:积分区域在极坐标系下表示为}10,4πθ0|)θ,{(≤≤≤≤=r r D ,则 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=104π021024π02θ)1θ(sec θcos θsin θ)(rdr d rdr d dxdy x y D8π21)θθ(tan 21θ)1θ(sec 214π024π02-=-=-=⎰d .14.答案:)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n【解析】:21121112111)2)(1(323)(2x x x x x x xx x f -++=-++=-+=-+=, 所以)11(,21)1()2(21)()(0100<<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-=∑∑∑∞=+∞=∞=x x x x x f n n n nn n n n .15.答案:xe B Ax x 22)(+【解析】:2是特征方程04λ4λ2=+-的二重根,且)12(+x 是一次多项式,特解应设为 xe B Ax x 22)(+.三、计算题(每小题5分,共40分)1.xx x x x cos sin 1lim2-+→.【解析】:x x x x x x x xx x x x x cos sin 1)cos sin 1(limcos sin 1lim 2020-+++=-+→→ )cos sin 1(lim cos sin 1lim20x x x x x x x x x ++⨯-+=→→ xx x xx x x x x x cos sin 22lim 2cos sin 1lim 20020+=-+=→→34314sin cos 31lim4000=⨯=-=→x x x x .2.已知2arctan )(,2523x x f x x y ='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=,求0=x dx dy . 【解析】:令u x x =+-2523,则)(u f y = , 22)25(162523arctan 2523)(+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=⨯=x x x x x u f dx du du dy dx dy ,3.求不定积分⎰+dx xx 231.【解析】:⎰⎰⎰+=+=+222223111x d x dx x x x dx x x)1(11)(1122222222x d x x x x d x x x ++-+=+-+=⎰⎰C x x x ++-+=23222)1(321.4.设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=0,210),1ln()(x xx x x f ,求⎰-20)1(dx x f .【解析】:令t x =-1 ,则⎰⎰-=-112)()1(dt t f dx x f⎰⎰⎰⎰+++=+=--10011001)1ln(21)()(dt t dt t dt t f dt t f ⎰+-+++=-1010011)1ln()2ln(dt tt t t t⎰+--+=10)111(2ln 2ln dt t12ln 3)1ln(2ln 21010-=++-=t t .5.设),sin (22y x y e f z x += ,其中),(v u f 可微,求yz x z ∂∂∂∂,. 【解析】:令v y x u y e x=+=22,sin ,则),(v u f z =,复合关系结构如图05-1所示,x vv z x u u z x z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂),(2),(sin v u f x v u f y e v u x'+'=,yvv z y u u z y z ∂∂⨯∂∂+∂∂⨯∂∂=∂∂ ),(2),(cos v u f y v u f y e v u x'+'=.6.求⎰⎰D dxdy y x 22,其中D 是由2,1===x x y xy 及所围成的闭区域.【解析】:积分区域如图05-2所示,曲线x y xy ==,1在第一象限内的交点为(1,1),积分区域可表示为:x y xx ≤≤≤≤1,21.则⎰⎰⎰⎰⎰-==21121222122)1(dx y x dy y x dx dxdy y x x xx x D z vu x xy y 图05-1xx 图05-27⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=213212)(1dx x x dx x x x49242124=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x . 7.求幂级数12012)1(+∞=∑+-n n n x n 的收敛域(考虑区间端点).【解析】: 这是缺项的标准的幂级数,因为 221232113212lim )1(1232)1(lim lim ρx n n x x n n x u u n n n n n n nn n =++=-+⋅+-==∞→+++∞→+∞→, 当1ρ<,即11<<-x 时,幂级数绝对收敛; 当1ρ>,即1>x 或1-<x 时,幂级数发散; 当1ρ=,即1±=x 时,若1=x 时,幂级数化为∑∞=+-012)1(n nn 是交错级数,满足来布尼兹定理的条件,是收敛的,若1-=x 时,幂级数化为∑∞=++-0112)1(n n n 也是交错级数,也满足来布尼兹定理的条件,是收敛的.故幂级数的收敛域为[-1,1].8.求微分方程 0cos 2)1(2=-+'+x xy y x 通解. 【解析】:微分方程可化为 1cos 1222+=++'x xy x x y ,这是一阶线性非齐次微分方程,它对应的齐次线性微分方程0122=++'y x x y 的通解为12+=x Cy . 设非齐次线性微分方程的通解为1)(2+=x x C y ,则222)1()(21)(+-+'='x x xC x x C y ,代入方程得x x C cos )(=',所以C x x C +=sin )(.故原微分方程的通解为1sin 2++=x Cx y (C 为任意常数).四、应用题(每小题7分,共计14分)1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少? 【解析】:设每套公寓租金为x 元时,所获收入为y 元,则 )2000(),200](100200050[>---=x x x y , 整理得 ),14000007200(10012-+-=x x y )72002(1001+-='x y 均有意义,8令0='y 得唯一可能的极值点3600=x ,而此时0501<-=''y ,所以3600=x 是使y 达到极大值的点,即为最大值的点.最大收入为115600340034)2003600](1002000360050[=⨯=---=y (元).故 租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元. 2.平面图形由抛物线x y 22=与该曲线在点)1,21(处法线所围成,试求: (1)该平面图形的面积;(2)该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积.【解析】:平面图形如图05-3所示,切点)1,21(A 处的切线斜率为21='=x y k ,由x y 22=得yy 1=',故A 点处的切线斜率 1121='='===y x y y k ,从而A 点处的法线斜率为-1, 法线方程为023=-+y x . 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=02322y x xy 得另一交点)3,29(-B(1) 把该平面图形看作Y 型区域,其面积为316)6223(2)23(1332132=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--⎰y y y dy y y S ;(2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形OBC 绕x 轴旋转所成旋转体的体积,有故 ⎰⎰+--=--=292329233229022290)312349(ππ)23(π2πx x x xdx x xdx V xπ445]9481[π=-=. 五、证明题(6分)试证:当0>x 时,有xx x x 11ln 11<+<+. 【证明】:构造函数x x f ln )(=,它在)0(∞+,内连续, 当0>x 时,函数在区间]1,[x x +上连续,且xx f 1)(='. 故)(x f 在]1,[x x +上满足Lagrange 中值定理,存在)1,(ξ+∈x x , 使得)ξ()()1(f x f x f '=-+,)1ξ(+<<x x .x图05-3023=-y9而x f x 1ξ1)ξ(11<='<+,故有xx x x 1ln )1ln(11<-+<+, 即0>x 时,xx x x 11ln 11<+<+成立.。
2004年高考试题全国卷1 文科数学(必修+选修I )(河南、河北、山东、山西)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共60分)参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ,那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1-P)n -k一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分 .1.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A ∩(U C B )= ( )A .{2}B .{2,3}C .{3}D . {1,3} 2.已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若 ( )A .21 B .-21 C .2D .-23.已知,a b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|3a b +|= ( )A .7B .10C .13D .4 4.函数1(1)y x =≥的反函数是( )A .)1(222<+-=x x x y B .)1(222≥+-=x x x yC .)1(22<-=x x x yD .)1(22≥-=x x x y球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径, 球的体积公式 V=334R π, 其中R 表示球的半径25.73)12(xx -的展开式中常数项是( )A .14B .-14C .42D .-42 6.设)2,0(πα∈若,53sin =α则)4cos(2πα+= ( )A .57B .51C .27D .47.椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则||2PF =( )A .23 B .3C .27 D .48.设抛物线x y 82=的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是( )A .]21,21[- B .[-2,2]C .[-1,1]D .[-4,4]9.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象( )A .向右平移6π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度C .向左平移6π个单位长度D .向左平移3π个单位长度10.已知正四面体ABCD 的表面积为S ,其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ,设四面体EFGH 的表面积为T ,则ST等于( )A .91B .94C .41 D .31 11.从1,2,……,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是 ( )A .95B .94 C .2111 D .2110 12.已知ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为( )A .3-21 B .21-3 C .-21-3 D .21+3 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.不等式x +x 3≥0的解集是 .14.已知等比数列{,384,3,}103==a a a n 中则该数列的通项n a = . 15.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为 .16.已知a 、b 为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a 、b 在α上的射影有可能是 . ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)等差数列{n a }的前n 项和记为S n .已知.50,302010==a a (Ⅰ)求通项n a ; (Ⅱ)若S n =242,求n.18.(本小题满分12分)求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值.419.(本小题满分12分)已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围.20.(本小题满分12分)从10位同学(其中6女,4男)中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为54,每位男同学能通过测验的概率均为53.试求: (I )选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率;(II )10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.21.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥 P —ABCD ,PB ⊥AD ,侧面PAD 为边长等于2的正三角形,底面ABCD 为菱形,侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.(I )求点P 到平面ABCD 的距离;(II )求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.22.(本小题满分14分)设双曲线C :1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.(I )求双曲线C 的离心率e 的取值范围: (II )设直线l 与y 轴的交点为P ,且.125PB PA =求a 的值.2004年高考试题全国卷1 文科数学(必修+选修I ) (河南、河北、山东、山西)参考答案一、选择题DBCBABCCBACB二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 13.{x |x ≥0} 14.3·2n -3 15.422=+y x 16.①②④三、解答题17.本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式,考查运算能力.满分12分.解:(Ⅰ)由,50,30,)1(20101==-+=a a d n a a n 得方程组⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a ……4分 解得.2,121==d a 所以 .102+=n a n ……7分(Ⅱ)由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程 .24222)1(12=⨯-+n n n ……10分 解得).(2211舍去或-==n n ………12分 18.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函数的有关性质.满分12分.解:xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=.212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=--=x x x x x x x所以函数)(x f 的最小正周期是π,最大值是,43最小值是.41…………12分 19.本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.………………6分6解:函数f (x )的导数:.163)(2-+='x ax x f ………………3分 (Ⅰ)当0)(<'x f (R x ∈)时,)(x f 是减函数.)(01632R x x ax ∈<-+ .3012360-<⇔<+=∆<⇔a a a 且所以,当))((,0)(,3R x x f x f a ∈<'-<知由时是减函数;………………9分(II )当3-=a 时,133)(23+-+-=x x x x f =,98)31(33+--x 由函数3x y =在R 上的单调性,可知 当3-=a 时,R x x f ∈)(()是减函数;(Ⅲ)当3->a 时,在R 上存在一个区间,其上有,0)(>'x f所以,当3->a 时,函数))((R x x f ∈不是减函数. 综上,所求a 的取值范围是(].3,-∞-………………12分20.本小题主要考查组合,概率等基本概念,独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识 解决实际问题的能力,满分12分. 解:(Ⅰ)随机选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率为1-6531036=C C ;………………6分(Ⅱ)甲、乙被选中且能通过测验的概率为.1254535431018=⨯⨯C C ;………………12分21.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.(I )解:如图,作PO ⊥平面ABCD ,垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ,连结PE.∵AD ⊥PB ,∴AD ⊥OB ,∵PA=PD ,∴OA=OD ,于是OB 平分AD ,点E 为AD 的中点,所以PE ⊥AD. 由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD所成二面角的平面角,………………4分 ∴∠PEB=120°,∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯, 即点P 到平面ABCD 的距离为23.………………6分 (II )解法一:如图建立直角坐标系,其中O 为坐标原点,x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(-C A 由此得到: 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅-=-=--=PB BC PB GA BC PB 于是有所以θ,.⊥⋅⊥等于所求二面角的平面角,…………10分 于是,772cos -==θ 所以所求二面角的大小为772arccos-π.…………12分 解法二:如图,取PB 的中点G ,PC 的中点F ,连结EG 、AG 、GF ,则AG ⊥PB ,FG//BC ,FG=21BC. ∵AD ⊥PB ,∴BC ⊥PB ,FG ⊥PB ,∴∠AGF 是所求二面角的平面角.……9分 ∵AD ⊥面POB ,∴AD ⊥EG.又∵PE=BE ,∴EG ⊥PB ,且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中,EG=PE ·cos60°=23.8在Rt △PEG 中,EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π-∠GAE. 所以所求二面角的大小为π-arctan23.…………12分 22.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分14分. 解:(I )由C 与t 相交于两个不同的点,故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得 (1-a 2)x 2+2a 2x -2a 2=0. ① ……2分.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率分的取值范围为即离心率且且6).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+=e e e a a aa a e(II )设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得 ……8分 由于x 1,x 2都是方程①的根,且1-a 2≠0,分所以由得消去所以14.1317,06028912,,.12125,1212172222222222 =>=----=--=a a a a x a a x a a x。
附:参考答案及解析!""#年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷!)$%(理)&本题考查复数的运算%原式’($(!)($))’(!)!’!,故选&%(文)&本题考查集合的运算%易知!!"’{$,*,#},则#"!+,’{$,!,*}"{$,*,#}’{$,*},故选&%!%(理),本题考查函数的奇偶性%由$((%)’-.$/%$(%’(-.$(%$/%’($(%),定义域($0%0$,则$(%)为奇函数,由$(&)’’#$((&)’(’,故选,%(文),本题考查函数的奇偶性的性质%由$(%)为奇函数,则$((&)’($(&)’($!,故选,%*%1本题考查向量的运算%由题知2!2’2"2’$,!・"’2!2・2"2・3456"7’$!#2!/*"2!’!!/6!・"/8"!’$!/69$!/89$!’$*#2!/*"$2’$*,故选1%#%,本题考查反函数与原函数之间的关系%由(’%$($/$(%%$)知(%$#%’((($)!/$,则所求的原函数为(’(%($)!/$,即(’%!(!%/!(%%$),故选,%:%;本题考查二项式定理的有关性质%展开式中的第)/$项为*)/$’1)<(!%*)<()・(($$%))’1)<・!<()・%!$(*)()!・(($)),由题可知:!$(*)()!’"得)’6%展开式中常数项为16<・!<(6・(($)6’$#,故选;%6%(理),本题考查集合之间的运算关系%由已知#&"&+#!+#’!+",易知,错误,故选,%(文),本题考查三角函数的求值%由已知可得345!’#:,$!345(!/"#)$’!(345!・345"#(5)=!・5)="#)$’!(#:9$!!(*:9$!!)’$:,故选,%<%1本题考查圆锥曲线的有关问题%将%$’(*代入椭圆方程得(,’$!,由2-.$2/2-.!2’##2-.(!2’#(2-.($2’#($!’<!,故选1%>%1本题考查直线与圆锥曲线的位置关系%由(!’>%#准线%’(!#/((!,"),设直线的斜率为0(过/与抛物线相交,0一定存在),则直线(’0(%/!)代入(!’>%,得0!(%!/#%/#)’>%#0!%!/(#0!(>)%/#0!’",当0’"时易知有交点,当0)"时,"%"#(#0!(>)!(#0!・#0!%",0#(#0!/#(0#%"#0!*$#($*0*$,故选1%8%,本题考查函数图象的平移变换%由(’345!%#(’5)=("!(!%)#(’5)=["(("!(!%)]#(’5)=(!%/"!)#(’5)=!(%/"#),又(’5)=(!%("6)#(’5)=!(%("$!),可见,由(’5)=!(%/"#)向右移动"#/"$!’*"/"$!’"*,得到(’5)=!(%("$!),故选,%$"%;本题考查两个正四面体的棱之间的关系%连结各面中心如图所示,12?"3’$?*,同理可得:四面体1.24的棱与四面体#"53相对应的棱之比均为$?*,则面积之比为其相对棱的比的平方#*?6’$?8,故选;%$$%(理)&本题考查等可能事件发生的概率%能组成满足题中条件的:#)无重复数字有$,*,:;!,*,#,共有;**/;**’$!,$)有重复数字,!,!,:;*,*,*;#,#,$共有;**;!!/$/;**;!!’<,综上共有$!/<’$8,无条件要求有:9:9:’$!:,则满足条件的概率为$8$!:,故选&%(文)1本题考查概率的求法%满足题中条件的为两个奇数一个偶数或三个偶数,则满足题中条件的数为())取两个奇数一个偶数:1!:・1$#,()))取三个偶数有:1*#%总计为1!:1$#/1*#’##%从$,!,…,8中抽*个不同的数有1*8,则满足题中条件的概率为##1*8’$$!$,故选1%$!%,本题考查方程的解法%由题可知&!’$!,’!’$!,7!’*!#&’@$!!,’’@$!!,7’@$6!欲取最小值可得,只有7’($6!,&’’’$!!时(或&’’’($!!,7’$6!)即可,A &’/’7/7&%$!!・$!!/$!!9(($6!)/$!!9(($6!)’$!($*,故选,%$*%(理){%2%%($}本题考查含绝对值不等式的解法%2%/!2%2%2())当%%"时,易知%/!%%成立#%%",()))当%0"时,2%/!2%(%#%/!%(%或%/!*%#"B %%($,综上可得%%($%(文){%2%%"}本题考查不等式的解法%%($/%!)%",C $/%!B ",A %%",则解集为{%2%%"}%$#%%!/(!’#本题考查动点的轨迹方程%由题可知,2(8#2’$,+#-"’6"7#+#-8’*"7,则2(-82’28#25)=*"7’!,设-(%,(),则(%(")!/(((")$!’!#%!/(!’#%$:%(理)9!!本题考查数列的递推公式的求解%由&9’&$/!&!/*&*/…/(9($)&9($’&$/!&!/…(9(!)&9(!/(9($)&9($’&9($/(9($)&9($(9%*)#&9’9&9($(9%*)#&*&!’*,&#&*’#,…,&9&9($’9#&*&!・&#&*…&9&9($’*9#9…99,故&9’*9#9…99’$9!9*9#9…99!’9!!,当9’!时,&!’&$’$,则&9’$,9’$9!!,9%{!%(文)*・!9(*本题考查等比数列的通项公式的求法%由等比数列的性质&9’&$:9($’&!:9(!’…’&;:9(;#&$"’&*:$"(*#*>#’*9:<#:<’!<#:’!#&9’*・!9(*$6%%&’本题考查直线在平面内的射影的有关问题%两条异面直线在同一平面内的射影不可能出现共线情况,其它都有可能,故有%&’%$<D 本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函数的有关性质%$(%)’(5)=!%/345!%)!(5)=!%345!%!(!5)=%345%’$(5)=!%345!%!($(5)=%345%)’$!($/5)=%345%)’$#5)=!%/$!,所以函数$(%)的最小正周期是",最大值是*#,最小值是$#%$>D (理)本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力%-(#’")’"%:!9"%6!’"%"8,-(#’$)’1$!9"%:!9"%6!/1$!9"%:!9"%#9"%6’"%*,-(#’!)’1!!9"%:!9"%6!/1$!1$!9"%:!9"%#9"%6/1!!9"%:!9"%#!’"%*<,-(#’*)’1!!1$!9"%:!9"%#9"%6/1$!1!!9"%:!9"%#!’"%!,-(#’#)’"%:!9"%#!’"%"#,于是得到随机变量#的概率分布列为:#"$!*#-"%"8"%*"%*<"%!"%"#所以1#’"9"%"8/$9"%*/!9"%*</*9"%!/#9"%"#’$%>%(文)本小题主要考查组合、概率等基本概念,独立事件和互斥事件的概率以及运用概率知识解决实际问题的能力%($)随机选出的*位同学中,至少有一位男同学的概率为$(1*61*$"’:6;(!)甲、乙被选中且能通过测验的概率为答案—$!"#!$"%&’(&$()’"*(+",-(理)本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想+函数!(")的导数:!.("))*"/#"0#"*/#")(*"0#"*)/#"+(1)当#)%时,若"2%,则!.(")2%,若"3%,则!.(")3%+所以当#)%时,函数!(")在区间(45,%)内为减函数,在区间(%,05)内为增函数+(11)当#3%时,由*"0#"*3%,解得"24*#或"3%,由*"0#"*2%,解得4*#2"2%+所以当#3%时,函数!(")在区间(45,4*#)内为增函数,在区间(4*#,%)内为减函数,在区间(%,05)内为增函数;(111)当#2%时,由*"0#"*3%,解得%2"24*#,由*"0#"*2%,解得"2%或"34*#+所以当#2%时,函数!(")在区间(45,%)内为减函数,在区间(%,4*#)内为增函数,在区间(4*#,05)内为减函数+(文)本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力+求函数!(")的导数:!.("))$#"*06"4"+(1)当!.(")2%("!!)时,!(")是减函数+$#"*06"4"2%("!!)"#2%且!)$60"*#2%"#24$+所以,当#24$时,由!.(")2%,知!(")("!!)是减函数;(11)当#)4$时,!("))4$"$0$"*4"0")4$("4"$)$0#,,由函数$)"$在!上的单调性,可知当#)4$时,!(")("!!)是减函数;(111)当#34$时,在!上存在一个区间,其上有!.(")3%,所以,当#34$时,函数!(")("!!)不是减函数+综上,所求#的取值范围是(45,4$]+*%-本小题主要考查棱锥、二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力+(")如图,作%&#平面’()*,垂足为点&+连结&(、&’、&*,&(与’*交于点+,连结%++7’*#%(,8’*#&(,7%’)%*,8&’)&*,于是&(平分’*,点+为’*的中点,所以%+#’*+由此知$%+(为面%’*与面’()*所成二面角的平面角,8$%+()"*%9,$%+&)6%9+由已知可求得%+%)$,8%&)%+・%:1;6%9)$&%$*)$*,即点%到平面’()*的距离为$*+(*)解法一:如图建立直角坐标系,其中&为坐标原点,"轴平行于*’+%(%,%,$*),((%,%$$*,%),%(中点,的坐标为(%,%$$’,$’),连结’,+又知’(",%$*,%),)(4*,%$$*,%)+由此得到:,’—&)(",4%$’,4$’),%(—&)(%,%$$*,4$*),()—&)(4*,%,%)+于是有,’—&・%(—&)%,()—&・%(—&)%,所以,’—&#%(—&,()—&#%(—&+,’—&,()—&的夹角"等于所求二面角的平面角,于是<=:"),’—&・()—&>,’—&>>()—&>)4%*??,所以所求二面角的大小为!4@A<<=:%*??+解法二:如图,取%(的中点,,%)的中点-,连结+,、’,、,-,则’,#%(,-,’(),-,)"*()+7’*#%(,8()#%(,-,#%(,8$’,-是所求二面角的平面角+7’*#面%&(,8’*#+,+又7%+)(+,8+,#%(,且$%+,)6%9+在BC (%+,中,+,)%+・<=:6%9)%$*,在BC (,’+中,’+)"*’*)",于是C@;,’+)+,’+)%$*,又$’,-)!4$,’+,所以所求二面角的大小为!4@A<C@;%$*+*"-本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力+(")由)与.相交于两个不同的点,故知方程组"*#*4$*)""0${)",有两个不同的实数解+消去$并整理得("4#*)"*0*#*"4*#*)%"+所以"4#*)%’#’0##*("4#*){3%,解得%2#%2*且#)"+双曲线的离心率/)"0#%*#)"#*%0",7%2#%2*且#)",8/3%6*且/)%*,即离心率/的取值范围为(%6*,%*)*(%*,05)+(*)设’("",$"),(("*,$*),%(%,")+7%’—&)("*%(—&,8("",$"4"))("*("*,$*4")+由此得"")("*"*,由于"","*都是方程"的根,且"4#*)%,所以"?"*"*)4*#*"4#*,("*"**)4*#*"4#*+消去"*,得4*#*"4#*)*#,6%,由#3%,所以#)"?"$+**-(理)本小题主要考查数列、等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力+(")#*)#"0(4")")%,#$)#*0$")$,#’)#$0(4")*)’,#()#’0$*)"$,所以,#$)$,#()"$+(*)#*00")#*00$0)#*04"0(4")00$0,所以#*00"4#*04")$00(4")0,同理#*04"4#*04$)$04"0(4")04",...,#$4#")$0(4")+所以(#*00"4#*04")0(#*04"4#*04$)0 0(#$4#"))($00$04"0…0$)0[(4")00(4")04"0 0(4")],由此得#*00"4#")$*($04")0"*[(4")04"],于是#*00")$00"*0"*(4")04"+#*0)#*04"0(4")0)$0*0"*(4")04"4"0(4")0)$0*"*(4")04"+{#1}的通项公式为:当1为奇数时,#1)$10"**0(4")14"*&"*4";当1为偶数时,#1)$1**0(4")1*&"*4"+(文)本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式,考查运算能力+(")由#1)#"0(14")2,#"%)$%,#*%)(%,得方程组#"0,2)$%#"0",2{)(%+解得#")"*,2)*+所以#1)*10"%+(*)由31)1#"01(14")*2,31)*’*得方程"*101(14")*&*)*’*+解得1)""或1)4**(舍去)+*%%’年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷#)"+!本题考查解不等式和集合的运算+易知4:{">4*2"2*},5:{">4"2"2$}+4,5){">4"2"2*},故选!+*-(理)D 本题考查极限的求法+由"*0"4*"*0’"4()("0*)("4")("0()("4"))答案—*!!"!!#!$%&!"’!"!!("!"!)!(#*$%&!"’!!"!!#*’",故选+,(文)+本题考查反函数的求法,由"*’!!#(!#(#),"#-!!*’"(#!"*’!(#(!#-),"#(#,故选+,./(理)0本题考查复数的运算,由于’!!*’(’"!$."%*’"!$."%*’)!.)’"($."%*(’(’"!$."%*(’!,故选0,(文)1本题考查导数的几何意义,由题可得"2*.!"(3!,当!*’时,"24!*’*(.,则过(’,(’)处的切线方程为:"!’*(.(!(’)!"*(.!!",故选1,)/0本题考查两曲线关于"*(!对称的之间的关系,#(!,")*-关于!*("对称的曲线方程为#((",(!)*-!圆$为:(("(’)"!((!)"*’!("!’)"!!"*’,故选0,#/+本题考查三角函数的性质,由题可知:-*567("8!’"!")!"!!3*%!(%%!)!"*%!(!3(%%!),故选+,3/9本题考查两图象之间的对称关系,其中"*:!与"*(:!关于!轴对称,"*(:!与"*:(!关于原点对称,故选9,;/1本题考查点到平面距离的求法,由题易知:&&’(*&(’$*&$’&*!",’’2为’到平面&($的距离,则’4’’24"*’4’&4"!’4’(4"!’4’$4"!4’’24*$..,故选1,</(理)1本题考查数形结合能力,由右图可知:符合条件的直线为"*.,易知,连结&(交"*.于),则"*.关于直线&(对称的直线)*也满足题中条件,故共有"条,故选1,(文)0本题考查直线与平面所成的角,如下图所示,’为+在底面上的射影,则&+(’即为所求,4’(4*$"",4+(4*’,则在=5’+’(中,>?@+(’*4’(44+(4*$""!&+(’*)#A,B/(理)9本题考查向量的运算,由向量在已知向量上射影定义知:#*4"’&4・>?@C !,"’&$D *#・!・"’&4!4・4"’&4$*#・(()#,.#)・(’,(")’・$#*()#(3#*(",故选9,(文)9本题考查向量的运算,4"(#4*"!("(#)"*""(""・#!#"*""!""・#*()!""!#"*()!’!)*’!("!#)"*""!""・#!#"*’"!’!""*3!4"!#$4*3,故选9,’-/(理)1本题考查函数的求导及三角函数的增减性判断,由题知"2*>?@!(!@%7!(>?@!*(!@%7!,故函数"*!>?@!(@%7!的极值点为%!(%*’,",…)要求函数的增区间,即求"2D -,即!@%7!C -,当!%(!,"!)时,满足!@%7!C -,故选1,(文)1本题考查直线方程的求法,&(的中点为(’!.","!’")即(",."),&(的垂直平分线的斜率为%*(’(."(’*"!垂直平分线方程为:"(."*"(!(")!"*"!(#"!)!(""(#*-,故选1,’’/1本题考查函数的周期性,"*@%7)!!>?@"!*@%7)!(@%7"!!’*(@%7"!(’(@%7"!)!’*(@%7"!>?@"!!’*(’)@%7""!!’*’<(>?@)!(’)!’*’<>?@)!!;<E 周期,*"!)*!",故选1,’"/0本题考查排列组合的应用,由题可知小于等于".’)#的数有:+))!+..!’,大于等于).#"’的数为:+..!+))!’,则符合条件的数有:+##((+..!+))!’)((+..!+))!’)*#<,故选0,’./(理)-,’,-,3,-,.本题考查随机变量的概率分布:都不是红球的概率+($*-)*0""0"#*-,’,只有一个红球的概率+($*’)*0’.・0’"0"#*-,3,两个都是红球的概率+($*")*0".0"#*-,.,则概率分布为:$-’"+-,’-,3-,.(文)(’"本题考查二项式定理,展开式中的第-!’项为,-!’*0-’-・!’-(-・.-,易知:-*.时,得!;的系数为:0.’-..!0.’-..*(’#!..*(’<!.*(’",’)/#本题考查线性规划问题,!、"满足如右图所示的阴影部分,目标函数/为直线"!!"(/"*-在"轴上截距的一半,由图易知在过(’,’)点时,/最大即/*.8’!"8’*#,’#/!""!""*’本题考查圆锥曲线的基本量之间的关系,由题可知焦点为:(F ’,-),所求椭圆的离心率0*’$"!椭圆中的1.*’$"!.$*",2"*."(1"*"(’*’,则所求椭圆的方程为!""!""*’,’3/"#本题考查棱柱的定义,$错误,若四棱柱相邻的两个侧面与底面垂直,那么四棱柱为直四棱柱;不相邻的两个侧面与底面垂直,这样的四棱柱不一定是直棱柱,"是真命题,%假命题,#真命题,应填"#,’;/本小题主要考查三角函数概念,两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力,(’)证明:G @%7(&!()*.#,@%7(&(()*’#,E@%7&>?@(!>?@&@%7(*.#@%7&>?@((>?@&@%7(*{’#!@%7&>?@(*"#>?@&@%7(*{’#!567&567(*",所以567&*"567(,(")G !"C &!(C !,@%7(&!()*.#,E 567(&!()*(.),即567&!567(’(567&567(*(.),将567&*"567(代入上式并整理得"567"(()567((’*-,解得567(*$"F 3",舍去负值得567(*$"!3",E 567&*"567($*"!3,设&(边上的高为$3,则&(*&3!3(*$3567&!$3567(*.$3$"!3,由&(*.,得$3$*"!3,所以&(边上的高等于$"!3,’</本小题主要考查组合、概率等基本概念,相互独立事件和互斥事件等概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,(’)解法一:三支弱队在同一组的概率为0’#0)<!0’#0)<*’;,故有一组恰有两支弱队的概率为’(’;*3;,解法二:有一组恰有两支弱队的概率0".0"#0)<!0".0"#0)<*3;,(")解法一:&组中至少有两支弱队的概率0"#0".0)<!0’#0..0)<*’",解法二:&、(两组有一组至少有两支弱队的概率为’,由于对&组和(组来说,至少有两支弱队的概率是相同的,所以&组答案—.中至少有两支弱队的概率为!"#!$%(理)本小题主要考查数列、等比数列的概念和性质,分析和推理能力#证明:(!)&!"’!(#"’!)#",!"’!("’""#",*("’")#"("(#"’!)#"),整理得"#"’!("("’!)#",所以#"’!"’!("#""#故{#""}是以"为公比的等比数列#(")由(!)知#"’!"’!(+・#")!")!("!")#于是#"’!(+("’!)・#")!")!(+!"("!")#又!"(,#!(,#故#"(!!’!"(+#因此对于任意正整数"!!,都有#"’!(+!"#(文)本小题主要考查等差、等比数列的概念和性质,考查运算能力#(!)设数列{!"}的公差为$,依题意得方程组!!’$($!!’+${("!,解得!!(-,$(+#所以{!"}的通项公式为!"(+"’!#(")由!"(+"’!得%"("+"’!,所以{%"}是首项%!("-,公比&("+的等比数列#于是得{%"}的前"项和#"("-.("+")!)"+)!(,".("+")!)!-#"/%本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力#解法一:(!)如图,连结’(!、(’!、’),则’(!"("#&’*(’(!"(",*#’*(!为等腰三角形#又知+为其底边(!*的中点,*’+$(!*#&(!’!(!,’!*!"(",*(!*!"(,#又**!(!,*(!*("#&#(!’*为直角三角形,+为(!*的中点,*’+(!"(!*(!,’+(’’!#又+)(!"(’!(""",+)(’!)#*#’+)%#’’!)#&’+)(&’’!)($/0,即’+$+)#因为(!*、+)为平面*+)内两条相交直线,所以’+$平面*+)#(")设,、-分别为*’、*+的中点,连结*!-、,-、*!,,则,-’’+,,-(!"’+#*,-(!",,-$*+#由侧面矩形**!(!(的对角线的交点为+知*+(*!+(!"(!*(!#所以#**!+是边长为!的正三角形,于是*!-$*+,*!-(","#*&*!-,是所求二面角的平面角#又*!,"(*!*"’*,"(!’(""")"(,",*123*!-,(*!-"’,-")*!,""*!-・,-((",")"’(!")"),""・","・!"()",,#即所求二面角的大小为!)451123",,#解法二:如图,以’为原点建立坐标系#(!)*("",/,/),*!("",!,/),(!(/,!,!),+(""",!",!"),)(""",!,/),’+—(((""",!",!"),(!*—((("",)!,)!)#+)—(((/,!",)!"),则’+—(・(!*—((/,’+—(・+)—((/,*’+$(!*,’+$+),因为(!*、+)为平面*+)内两条相交直线,所以’+$平面*+)#(")设*+中点为-,连结*!-,则-(","+,!+,!+),*+—((()""",!",!"),*!-—((()""+,),+,!+),**+—(・*!-—((/,**+$*!-#又’+$*+,*’+—(与*!-—(的夹角!等于所求二面角的平面角#123!(’+—(・*!-—(6’+—(66*!-—(6()",,#所以所求二面角的大小为!)451123",,#"!%本小题主要考查抛物线的性质,直线与抛物线的关系以及解析几何的基本方法、思想和综合解题能力#(!)’的焦点为,(!,/),直线.的斜率为!,所以.的方程为/(0)!#将/(0)!代入方程/"(+0,并整理得0")70’!(/#设((0!,/!),*(0",/"),则有0!’0"(7,0!0"(!#1(—(・1*—(((0!,/!)・(0",/")(0!0"’/!/"("0!0")(0!’0")’!(),#61(—(661*—(6(0"!’/""!・0""’/"""(0!0"[0!0"’+(0!’0")’!7"]"(+!#123〈1(—(,1*—(〉(1(—(・1*—(61(—(661*—(6()",+!+!,所以1(—(与1*—(夹角的大小为!)451123",+!+!#(")由题设,*—(("(,—(得(0")!,/")("(!)0!,)/!),即0")!("(!)0!)"/"()"/!{#,由#得/""(""/"!#&/"!(+0!,/""(+0",*0"(""0!$,联立"、$解得0"(",依题意有"8/#**(","""),或*(",)"""),又,(!,/),得直线.方程为(")!)/("""(0)!)或(")!)/()"""(0)!)#当")[+,$]时,.在/轴上的截距为"""")!或)"""")!#由"""")!("""’!’"")!,可知"""")!在[+,$]上是递减的,*,+*"""")!*+,,)+,*)"""")!*),+#直线.在/轴上截距的变化范围为[)+,,),+]+[,+,+,]#""%(理)本小题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力#(!)函数2(0)的定义域为()!,’9)#2:(0)(!!’0)!#令2:(0)(/,解得0(/#当)!;0;/时,2:(0)8/,当08/时,2:(0);/#又2(/)(/,故当且仅当0(/时,2(0)取得最大值,最大值为/#(")证法一:3(!)’3(%))"3(!’%")(!<=!’%<=%)(!’%)<=!’%"(!<="!!’%’%<="%!’%#由(!)结论知<=(!’0))0;/(08)!,且0,/),由题设/;!;%,得%)!"!8/,)!;!)%"%;/,因此<="!!’%()<=(!’%)!"!)8)%)!"!,<="%!’%()<=(!’!)%"%)8)!)%"%#所以!<="!!’%’%<="%!’%8)%)!")!)%"(/#又"!!’%;!’%"%#!<="!!’%’%<="%!’%;!<=!’%"%’%<="%!’%((%)!)<="%!’%;(%)!)<="#综上,/;3(!)’3(%))"3(!’%");(%)!)<="#证法二:3(0)(0<=0,3:(0)(<=0’!#设,(0)(3(!)’3(0))"3(!’0"),则,:(0)(3:(0))"[3(!’0")]:(<=0)<=!’0"#当/;0;!时,,:(0);/,因此,(0)在(/,!)内为减函数#当08!时,,:(0)8/,因此,(0)在(!,’9)上为增函数#从而,当0(!时,,(0)有极小值,(!)#因此,(!)(/,%8!,所以,(%)8/,即/;3(!)’3(%))"3(!’%")#设-(0)(,(0))(0)!)<=",则-(0)(<=0)<=!’0")<="(<=0)<=(!’0)#当08/时,-:(0);/#因此-(0)在(/,’9)上为答案—+减函数!因为!(")"#,#$",所以!(#)%#!即$(")&$(#)’($("&#()%(#’"))*(!(文)本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运用数学知识解决问题的能力!函数%(&)的导数%+(&)"&(’"&&"’,,令%+(&)"#,解得&",或&""’,!当"’,!,即"!(时,函数%(&)在(,,&-)上为增函数,不合题意!当"’,$,即"$(时,函数%(&)在(’-,,]上为增函数,在(,,"’,]内为减函数,在("’,,&-)上为增函数!依题意应有,当&"(,,.)时,%+(&)%#,当&"(/,&-)时,%+(&)$#!所以.!"’,!/,解得0!"!1,所以"的取值范围是[0,1]!(##.年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷!),2(理)3本题考查集合的运算!由题知’"{#,(,.}#($’"{#,,,(}${#,(,.}"{#,(},故选3!(文)4本题考查集合的运算!%)’"{#,(,5}#($(%)’)"{#,5,0}${#,(,5}"{#,5},故选4!(26本题考查反函数的求法!由*"7(&$##(&")**#&",()**#*",()*&(&$#),故选6!52(理)8本题考查两直线的位置关系!与&’(*&5"#垂直的直线的斜率+"’(,则过点(’,,5)的直线方程为:*’5"’((&&,)#*&(&’,"#,故选8!(文)3本题考查求圆的方程,设圆心为(",#),且"$#,则(",#)到直线5&&.*&."#的距离为(,即95:"&.:#&.95(&.&("(#5"&.";,##""(或""’,.5(舍去),则圆的方程为:(&’()(&(*’#)("((即&(&*(’.&"#,故选3!.!(理)3本题考查复数的运算!原式"(&,’5<,&<)("&,’(5<’5(<&"’5&<,故选3!(文)3本题考查导数的求法!易知*+"((&&,)(&’,)&(&&,)("(&(’(&&(&(&&,"5&(&(&’,,在&",处的导数为:5:,(&(:,’,".,故选3!02(理)8本题考查不等式的解法!原不等式等价于(&&()&(&’5)%#,令(&&()&(&’5)"#得&,"’(,&("#,&5"5,将数轴分成四部分,可见,不等式的解集为:{&9#%&%5或&%’(},故选8!(文)3本题考查函数图象的平移!*"5:(,5)&"(,5)&’,,则只需把*"(,5)&的图象向右平移,个单位,故选3!/24本题考查等差数列的性质,由已知可得(",&"(&"5)&(",=&",>&"(#)"’(.&1=#(",&"(#)&("(&",>)&("5&",=)"0.#",&"(#",=#,(#"",&"(#(:(#",=(:(#",=#,故选4!12(理)6本题考查简单多面体中线面位置关系的判定!8中-与!关系不确定,4同8,6为真命题,3中.与-也可能相交,故选6!(文)8本题考查几何体的体积!由题易知正三棱柱的侧面为正方形并且底面边长为&(,则三棱柱的体积为:&5.(&()(&:("&/(,故选8!=2(理)8本题考查圆锥曲线的基本性质,亦知抛物线的焦点为(’,,#),则椭圆/",,由/"",(得""(##""(’/&(&"5#标准方程为&(.&*(5",,故选8!(文)6本题考查诱导公式和三角函数的求值!原式"(?@A("/&&)’?@A ("/&&)"?@A ("/&&)’’,,故选6!>24本题考查排列组合的应用!(#)全为女班主任有:85.,($)全为男班主任有:850,5位班主任中男女都有为:85>’85.’850"0#.’(.’/#".(#种,应选4!,#2(理)8本题考查球的有关性质,由题可知球的半径0满足."0("(#"#0&"0!由题易知(123",(#B ,如下图,4为球心,2、1、3为球面上的点,44+)面213于4+,易知4+2为(123的平分线,C (124+"/#B ,C *214+为正三角形,则在*244+中44+的长度为42(’4+2&("(&0)(’(&(",,故选8!(文)2本题考查球的有关性质,由题易知球的半径0满足."0("(#"#0&"0!如图,4为球心,44+)面213于4+,因*213为等边三角形,4+必为*213的中心,则在DE *244+中,4+2"&5521"(,所以44+"24(’4+2&("(&0)(’(&(",,故选82,,!4本题考查解三角形!由"、#、/成等差数列则"&/"(##"(&("/&/(".#(,由余弦定理可得#(""(&/(’("/・?@A 1,,("/A<*1"5(#("/",(,综合以上三式可得#(&,(・?@A 5#B &,(".#(##(&"(5&."(&5&,)(##&"5&,,故选4!,(2(理)6本题考查函数的性质!由题可知%(,)"%(’,&()"%(’,)&%(()"’%(,)&%(()#%(,)"’%(,)&%(()#%(()"(%(,)"(:,(",,则%(&&()"%(&)&,#%(0)"%(5&()"%(5)&,"%(,&()&,"%(,)&("(,故选6!(文)8本题考查直线与对数函数间的关系,由于2点在*")@F ,.&的图象上,则2点满足*")@F ,.("’,(#2((,’,(),又2在*"+&上#’,("+:(#+"’,.,故选8!,52(=本题考查二项式定理!则(&’,&&)=的第5&,项为65&,"65=・&=’5・&’5((’,)5"65=(’,)5・&=’5(5,当=’5(5"0时,得5"(,则&0系数为6(=(’,)("1:=("(=!,.2’,(本题考查向量的数量积的应用!由(!’")((!&")"’.#(!(’!・"’"("’.,又9!9"(,9"9".#’!・""’.&.(’(:((".,由?@A 〈!,"〉"!・"9!9・9"9"’.(:."’,(!,02(理)5.本题考查三角函数的最值求法!%(&)"?@A &’,(?@A (&"?@A &’,(((?@A (&’,)"’?@A (&&?@A &&,("’(?@A &’,()(&5.!5.!(文)5(本题考查正弦函数的周期性!*",(A<*&&"2",(A<*(,2&&"2),其最小正周期为(",2"(2""5",所以2"5(!,/2(本题考查线性规划方面的问题!&、*满足的约束条件,如右图阴影部分,目标函数7"(&&*表示直线(&&*’7"#在*轴上的截距,可见当直线过(,,#)时截距最大#7"(:,&#"(!,12本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本技能!A<*(!&".)A<*(!&?@A (!&,"&(((A<*!&?@A !)(A<*!?@A !&(?@A (!"&((A<*!&?@A !).?@A !(A<*!&?@A !)!当!为第二象限角,且A<*!"&,0.时,答案—0!"#!$%&!!!’,%&!!()*+,所以!"#(!$!+)!"#,!$%&!,!$*(",+%&!!"(),-*./(理)本小题主要考查函数的导数计算,利用导数讨论函数的性质,判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力-!0(")(**$")*,",令**$")*,"(’,化简为",$"),(’,解得"*(),(舍去),",(*-当’#"1*时,!0(")2’,!(")单调增加;当*1"#,时,!0(")1’,!(")单调减小;所以!(*)(3#,)*+为函数!(")的极大值-又因为!(’)(’,!(,)(3#4)*2’,!(*)2!(,),所以!(’)(’为函数!(")在[’,,]上的最小值,!(*)(3#,)*+为函数!(")在[’,,]上的最大值-(文)本小题主要考查导数的几何意义,两条直线垂直的性质以及分析问题和综合运算能力-(*)#0(,"$*-直线$*的方程为#(4")4-设直线$,过曲线#(",$"),上的点%(&,&,$&),),则$,的方程为#((,&$*)")&,),-因为$*$$,,则有,&$*()*4,&(),4-所以直线$,的方程为#()*4"),,5-(,)解方程组#(4")4#()*4"),,{5得"(*6#(){7,-所以直线$*和$,的交点的坐标为(*6,)7,)-$*、$,与"轴交点的坐标分别为(*,’)、(),,4,’)-所以所求三角形的面积’(*,8,7489)7,9(*,7*,-*5/(理)本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念,以及运用概率统计知识解决实际问题的能力-(*)"的可能取值为)4’’,)*’’,*’’,4’’-(("()4’’)(’-,4(’-’’.,(("()*’’)(48’-,,8’-.(’-’56,(("(*’’)(48’-,8’-.,(’-4.+,(("(4’’)(’-.4(’-7*,,所以"的概率分布")4’’)*’’*’’4’’(’-’’.’-’56’-4.+’-7*,根据"的概率分布,可得"的期望)"(()4’’)8’-’’.$()*’’)8’-’56$*’’8’-4.+$4’’8’-7*,(*.’-(,)这名同学总得分不为负的概率为(("%’)(’-4.+$’-7*,(’-.56-(文)本小题主要考查相互独立事件同时发生的概率和互斥事件有一个发生的概率的计算方法,应用概率知识解决实际问题的能力-记“这名同学答对第*个问题”为事件+*(*(*,,,4),则((+*)(’-.,((+,)(’-:,((+4)(’-6-(*)这名同学得4’’分的概率(*(((+*+,—+4)$((+*—+,+4)(((+*)((+,—)((+4)$((+*—)((+,)((+4)(’-.8’-48’-6$’-,8’-:8’-6(’-,,.-(,)这名同学至少得4’’分的概率(,((*$((+*+,+4)(’-,,.$((+*)((+,)((+4)(’-,,.$’-.8’-:8’-6(’-76+-,’/本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力-(*)如图,取+,的中点),连结(),则()$+,-作(-$平面+%./,,垂足为-,连结-)-根据三垂线定理的逆定理得-)$+,,所以&()-为侧面(+,与底面所成二面角的平面角-由已知条件可知&()-(6’;,()(6,所以(-"(44,四棱锥(—+%/,的体积0(—+%/,(*4""8.8+4844(56-(,)解法一:如上图以-为原点建立空间直角坐标系-通过计算可得((’,’,"44),+(",4,)4,’),%(",4,7,’),,("),4,)4,’),所以(+—’((",4,)4,")44),%,—’((")+4,).,’),因为(+—’・%,—’(),+$,+$’(’,所以(+$%,-解法二:如图所示,连结+-,延长+-交%,于点1-通过计算可得)-(4,+)"(,4,又知+,("+4,+%(.,得)-+)(+,+%-所以<=(+)-)<=(%+,-得&)+-(&+%,-得&)+-$&+,1(5’;,所以+1$%,-因为直线+1为直线(+在平面+%/,内的射影,所以(+$%,-,*/本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力-直线$的方程为"2$#&(*,即&"$2#)2&(’-由点到直线的距离公式,且22*,得到点(*,’)到直线$的距离3*(&(2)*)2,$&",,同理得到点()*,’)到直线$的距离3,(&(2$*)2,$&",,4(3*$3,(,2&2,$&",(,2&5-由4%+75,得,2&5%+75,即725,)2",%,5,-于是得76,")*%,6,,即+6+),76,$,7#’-解不等式,得7+#6,#7-由于62*2’,所以6的取值范围是"7,#6#"7-,,/(理)本小题主要考查函数的导数,三角函数的性质,等差数列与等比数列的概念和性质,以及综合运用的能力-(*)!0(")()>)"(%&!"$!"#")$>)"()!"#"$%&!")(),>)"!"#"-由!0(")(’,得),>)"!"#"(’-解出"(7!,7为整数-从而"7(7!,7(*,,,4,…,!("7)(()*)7>)7!,!("7$*)!("7)()>)!-所以数列{!("7)}是公比8()>)!的等比数列,且首项!("*)(8-(,)’7("*!("*)$",!(",)$…$"7!("7)(!8(*$,8$…$787)*),8’7(!8(8$,8,$…$787),’7)8’7(!8(*$8$…$87)*)787)(!8(*)87*)8)787),从而’7(!8*)8(*)87*)8)787)-’*$’,$…$’77(!8(*)8),)!8,7(*)8)4(*$8$…$87)*))!8,7(*)8)(*$,8$…$787)*)(!8(*)8),)!8,7(*)8),*)87*)8)!8,7(*)8),(*)87*)8)787)(!8(*)8),),!8,7(*)8)4(*)87)$!87$,(*)8),-因为989(>)!1*,3"?7’@87(’,所以3"?7’@’*$’,$…$’77(!8(*)8),()!>!(>!$*),-(文)本小题主要考查等比数列的概念,前7项和公式等基础知识,考查学生综合运用基础知识进行运算的能力-(*)设等比数列{27}的公比为8,则2,(2*8,27(2*8+-依题意,得方程组2*8(62*8+{(*6,-解此方程组,得2*(,,8(4-故数列{27}的通项公式为27(,・47)*-(,)’7(,(*)47)*)4(47)*,’7・’7$,’,7$*(4,7$,)(47$47$,)$*4,7$,),・47$*$*#4,7$,),47・47"$,$*4,7$,),・47$*$*(*,即’7・’7$,’,7$*#*-,’’+年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷")*-A 本题考查集合的运算-9表示单位圆上的点的集合-:表示抛物线上的点的集合-9*:表示圆与抛物线交点的个数,即为",$#,(*",)#{(’解的个数,消去"得#,$#)*(’,#2’,有两个解一个正、一个负,又#%’,则负根舍去-代入原方程"有两个,则方程组有两组解,故对应两个交点,则应选A-另解:数形结合,抛物线顶点(’,’)在圆内部,则抛物线与圆有两个交点,故选A-答案—6!"#本题考查三角函数的周期"!(")$%&’("!%!!(!!)")$%&’(!!)"!%$%&’((!)"!)%$%*&’("!%$%&’("!%,!(!)")$%&’(!)"!%$%&’((!!)"!)%$%+,&"!%"!("),则最小正周期为!!,另解数形结合求解"-"(理).本题考查数列的性质"由题可知,数列的公差#$$/*$!/*!$0*(*0)0$!,然后根据前%项和公式求出&1、&2、&0,可得."另解:由$!)$/$3!$2$3,则前1项和与前2项和相等,故选."(文).本题考查等比数列的前%项和公式,设公比为’则’-$$2$!$!1-4$!5!’$-,则前1项的和为:-)4)!5)/6$6!3,故选."1"7本题考查圆的切线的有关问题"易知圆心((!,3),则()连线的斜率为*+,$#-*36*!#$*-!切)点的切线斜率*$*6*+,$6#-!过)点切线方程-#*-$6#-("*6)!"*#--)!$3,故选7"2"(理)8本题考查函数的定义域"由题易知39"!*6$6!69"!$!!#*!$"9*6或69"$#!,故选8"(文).本题考查原函数与反函数之间的关系"设.(63)$$!!($)$63!6)-*$$63!-*$$-!!$$*!,故选."0"8本题考查复数的三角形式"设其三角形式为:/$0(+,&!-!)’&’(!-!)$*6!0)#-!0’,由题知:#-!0#$-!0$!,则/#$*6)-’!/!#$*!*!-’,故选8"5"#本题考查双曲线的性质"由题可知1$$6!!$$!1,又+!$$!)1!$$!)$!1$21$!!+$$#2!,故选#"/"7本题考查绝对值不等式的解法"原不等式等价于")6%369"{)69-或")693*-9"{)69*6!"%*639"{9!或"9*6*19"{9*!!39"9!或*19"9*!,故选7"4"#本题考查几何体体积的求法,易知正三棱锥的侧棱长为#!,则其体积为60(#!)-$#!-,故选#"(若一个三棱锥的三条侧棱两两相互垂直且侧棱长分别为$、1、+,则其体积为6$1+)63".本题考查三角形的解法"由余弦定理可得:+,&2$2(!)23!*3(!!2(・23$1!)-!*(#6-)!!:-:1$6!";&’(2$#-!,则2(边上的高4$23・&’(2$-:#-!$-!#-,故选."66"(理)8本题考查不等式的解法"使得!(")%6成立,有"96(")6)!%{6或"%61*"#*6%{6!"96%")6%%{6或"%6"#*6${-!"96")6%6或")6${*6或"%63$"*6${4!3$"96或"$*!或6$"$63!"$*!或3$"$63,故选8"(文)8本题考查二项式定理"由题可知展开式中第0)6项为:50)6$#00・(#")0*0・(*6")0$#00・"-*0!・(*6)0・"*0$(*6)0・#00"-*-!0,当0$!时,即第-项为常数项,其值为:(*6)!・#!0$0:2!$62,故选8"6!"#本题考查排列组合的应用"首先将四名老师进行分成-组有#!1,然后将其进行全排列有8--,由乘法原理有#!18--$-0"6-"-60本题考查球的性质"由题易知,如右图截面半径0为:0$6!*(6!)#!$#-!6,截面的面积&截$!0!$!:(#-!6)!$-1!6!"球的表面积为&球$1!6!,则:&截<&球$-1!6!<1!6!$-<60$-60"61"(理)6本题考查三角函数的最值"则-$&’("#)-+,&"$!(6!&’(")#-!+,&")$!・&’((")!-),由"&[3,!!],;!-$")!-$2!0,;-%!&’(!0$6"(文)#2!本题考查三角函数的最值"由题可知,-$#2!&’((")!)(其中!$=>+?=((*!)),其最大值为#2!"62"(理)*!本题考查函数的性质"设"93,则*"@3,!(*")$-*"*6"又!(*")$*!(")!!(")$*-*")6,A !(")与.(")互为反函数!设.(*/)$$!!($)$*/,又当"%3时,!(")%3,当"93,!(")93!*-*$)6$*/!-*$$-!!$$*!"(文){"%69"$!}本题考查函数的定义域"由题可知39"*6$6!69"$!"60"(理)#2本题考查抛物线的性质"由定义可知,)点到-轴的距离等于)点到7(!,3)的距离,即)点到2点与到-轴的距离之和等于%)2%)%)7%,又%)2%)%)7%%%27%,即2、)、7三点共线时最小,即最小值为%27%$(!*3)!)(3*6)#!#$2"(文)6本题考查数形结合能力"由下(右)图可知,设圆心到直线的距离为#!#$%3*3*63%-!)1#!$!@6,则圆上的点到直线的最小值为:!*6$6"(理)(文)65B 本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力"原式$&’("+,&!"!&’("+,&"+,&!",因为?=("$6!时,&’(""3,+,&!""3,所以原式$6!+,&""因为"为锐角,由?=("$6!得+,&"$!#2,;原式$#21"6/B(理)本小题主要考查解带绝对值的方程以及指数和对数的概念与运算"当6*!"%3,即"$3时,原方程化为1"*!")6$66,(!"*6!)!$161,解得!"$6!C #16!"!"$6!*#16!93,无解"由!"$6!)#16!@6知"@3,舍去"当6*!"93,即"@3时,原方程化为1")!"*6$66,(!")6!)!$141,解得!"$*6!C5!,!"$*6!*5!93,无解"!"$*6!)5!,"$D,E !-@3"原方程的解为"$D,E !-"(文)本小题主要考查指数和对数的性质以及解方程的有关知识"(!")!*1(!")*6!$3"(!"*0)(!")!)$3"故!"$0,!"$*!(无解)"所以"$D,E !0"64B本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题,应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力"设矩形温室的左侧边长为$F ,后侧边长为1F ,则$1$/33"蔬菜的种植面积&$($*1)(1*!)$$1*11*!$)/$/3/*!($!)!1)"所以&$/3/*1!#$1$01/(F !)"当$$!1,即$$13(F ),1$!3(F )时,&最大值$01/(F !)"答:当矩形温室的左侧边长为13F ,后侧边长为!3F 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为01/F !"!3B 本小题主要考查两个平面垂直的性质,直线与平面所成角等有关知识,以及逻辑思维能力和空间想象能力"(6)如图6,取2(中点8,连结)8、38"因为)2$)(,所以)8’2(,又已知面)2(’面23(,所以)8’面23(,8为垂足"答案—5。
2002年考试2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试一、单项选择题(每小题2分,共计60分)在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代码写在题 干后面的括号内。
不选、错选或多选者,该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 ( )A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解:C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 ( ) A .x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解:图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时,与12-x e 等价的无穷小量是 ( ) A. x B.2x C. x 2 D. 22x解: ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n ( ) A. e B. 2e C. 3e D. 4e解:2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续,则 常数=a ( )A. 1B. -1C. 21D. 21-解:21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C.6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim0=--→h f h f h ,则=')1(f ( )A. 1B. 21-C. 41D. 41-解:41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为 ( )A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解:对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f =',则=)()(x f n ( ) A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n解:423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f !='⋅='''⇒='='', ⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 ( ) A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D .]1,1[|,|)(-=x x f 解:由罗尔中值定理条件:连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-= ( ) A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线,又有水平渐近线,D. 无水平、垂直渐近线 解:0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ,应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd ( )A.t a b 2sinB.t a b32sin -C.t a b 2cosD.tt a b22cos sin -解:dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22t a bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx11)(,则=)(x f ( )A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解:两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ,则⎰=dx x xf )(sin cos ( )A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 ( )A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解:2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x ( )A.0B.32 C.34 D.32- 解:被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aa dx x f )( ( )A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a adx x f )( D.⎰-aadx x f )(解:⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( ( )A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 ( )A.⎰b a dx x f )(是)(x f 的一个原函数B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数 C.⎰ax dt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 ( ) A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行解:n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数xz∂∂和y z ∂∂存在是它在该点处可微的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解:两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln = ,则=)2,1(dz ( )A.dx x y 2B.dy dx 2121-C.dy dx 21-D.dy dx 21+ 解:dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 ( ) A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解:)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x x z,应选B.24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 ( )A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C. ⎰⎰4022),(xdx y x f dy D. ⎰⎰42),(ydx y x f dy解:积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A. 25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(( )A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解:积分区域在极坐标下可表示为:}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=,从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20c o s20)s i n ,c o s (a r d rr r f d ,应选C. 26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧,=+⎰Ldy x xydx 22( )A. -1B.1C. 2D. -1解:L :,2⎩⎨⎧==xy xx x 从0变到1 ,1422210410310332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中,条件收敛的是 ( )A .∑∞=+-11)1(n nn n B .∑∞=-1321)1(n n nC .∑∞=-121)1(n nn D .∑∞=+-1)1()1(n n n n解:∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛,∑∞=-1321)1(n n n是收敛的,但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的,从而级数∑∞=-1321)1(n nn条件收敛,应选B. 28. 下列命题正确的是 ( ) A .若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛,则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B .若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛,则级数)(212n n nv u +∑∞=收敛 C .若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛,则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D .若级数∑∞=1n n n v u 收敛,则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解:正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒ ∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛,而)(2)(222nnn n v u v u +≤+,所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ,应选C 。
数学河南专升本试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B的元素个数是:A. 1B. 2C. 3D. 42. 已知函数f(x)=x^2-4x+3,求f(1)的值:A. -2B. -1C. 0D. 13. 根据题目,若a>b>0,那么下列不等式中正确的是:A. a^2 > b^2B. a^3 > b^3C. a^4 > b^4D. a > b4. 已知等差数列的首项a1=3,公差d=2,求第5项a5的值:A. 9B. 11C. 13D. 155. 若cosθ=0.6,0°<θ<90°,则sinθ的值是:A. 0.8C. 0.7D. 0.96. 根据题目,若x^2-5x+6=0,则x的值为:A. 2B. 3C. 1, 2D. 1, 67. 已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(2,-1),且a>0,则a的值是:A. 1/4B. 1/2C. 1D. 28. 根据题目,若sinx=1/√2,x∈[0,2π],则x的值为:A. π/4B. 3π/4C. π/2D. 5π/49. 根据题目,若方程x^2+4x+4=0有实数根,则判别式的值为:A. 0B. 4C. 16D. -1610. 已知正弦函数y=sin(x)的周期是:A. πC. 3πD. 4π二、填空题(每题2分,共20分)11. 根据题目,若x+y=10,x-y=2,则x^2+y^2的值为________。
12. 已知等比数列的首项a1=2,公比q=3,求第4项a4的值是________。
13. 根据题目,若直线y=3x+2与x轴的交点坐标为________。
14. 根据题目,若圆的半径r=5,圆心坐标为(0,0),则圆的方程是________。
15. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求f'(x)的值为________。
河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入(jìnrù)本科阶段学习考试高等数学试卷及答案河南省普通高等学校(gāoděngxuéxiào)选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷及答案河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段(jiēduàn)学习考试高等数学试卷(shìjuàn)一. 单项选择题(每题2分,共计(ɡònɡ jì)60分)在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案,并将其代码(dài mǎ)写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者,该题不得(bu de)分.1. 函数的定义域为()A. B. C. D. 解:.2.()A.1B. 0C.D.解:.3. 点是函数(hánshù)的( )A.连续(liánxù)点B. 跳跃(tiàoyuè)间断点C.可去间断(jiànduàn)点D. 第二类间断(jiànduàn)点解: .4.下列极限存在的为()A. B. C.D.解:显然只有,其他三个都不存在,应选 B.5.当时,是比的()A.低阶无穷小 B.高阶无穷小 C.等阶无穷小 D.同阶但不等价无穷小解:,.6.设函数(hánshù),则()A.在处连续(liánxù),在0=x处不连续(li ánxù) B.在0=x处连续(liánxù),在1-=x处不连续(liánxù)C.在1-=x,,处均连续 D.在x,0,处均不连续1-=解:)(x f在1-=x处连续;f在0=x处不连续;应选(x)A.7.过曲线上的点(0,1)处的法线方程为()A. B.C. D.解: .8.设函数(h ánsh ù))(x f 在0=x 处可导,且,则( )A. -1B.1C. -3D. 3解:,应选(y īn ɡ xu ǎn)C.9.若函数(h ánsh ù) ,则( )A. B.C. D.解:)ln(ln )(ln )(ln 1x x x x x +-,应选(y īn ɡ xu ǎn)B. 10.设函数(h ánsh ù)由参数方程确定,则( )A.-2B.-1C.D.解:=π=422x dx y d 234,应选(y īn ɡ xu ǎn)D.11.下列函数中,在区间[-1,1]上满足罗尔中值定理(d ìngl ǐ)条件的是 ( )A. B.C.D.解:验证(y ànzh èng)罗尔中值定理的条件,只有21x y -=满足(m ǎnz ú),应选C.12. 曲线(q ūxi àn)的拐点是( )A.0=xB.C.无拐点D.解:)2,0(-,应选(y īn ɡ xu ǎn)B.13. 曲线(qūxiàn)()A. 只有水平(shuǐpíng)渐进线B. 既有水平(shuǐpíng)渐进线又有垂直渐进线C. 只有垂直(chuízhí)渐进线D. 既无水平渐进线又无垂直渐进线解:.14.如果)(x f的一个原函数是,那么()A. B.C. D.解:,应选D.15.( )A . B.C.D.解: ,应选(y īn ɡ xu ǎn)A.16.设,则的取值范围(f ànw éi)为( )A . B. C.D.解:此题有问题,定积分是一个(y ī ɡè)常数,有,根据(g ēnj ù)定积分的估值性质,有121≤≤I ,但这个常数也在其它(q ít ā)三个区间,都应该正确,但真题中答案是B.17. 下列广义(gu ǎngy ì)积分收敛的是 ( )A. B. C.D.解:显然(xi ǎnr án)应选D. 18.( ) A.B.C.D.解:=-⎰-33|1|dx x ⎰⎰-+--3113)1()1(dxx dx x ,应选(y īn ɡ xu ǎn)D.19.若)(x f 可导函数(h ánsh ù),,且满足(m ǎnzA.B.C.D.解:对⎰+-=xdtttt f x f 022cos 1sin )(22ln )(两边(li ǎngbi ān)求导有:,即有,还初始条件,代入得,应选(y īn ɡ xu ǎn)A.20. 若函数(h ánsh ù))(x f 满足(m ǎnz ú),则=)(x f ( )A. B.C.D.解:令,则,故有=)(x f 21+x ,应选(y īnɡ xu ǎn)C.21. 若 则( )AB CD解: ,应选(y īn ɡxu ǎn)C.22.直线(zh íxi àn)与平面(p íngmi àn)的位置(w èi zhi)关系为A. 直线与平面斜交B. 直线与平面垂直C. 直线在平面内D. 直线与平面平行解: ,而点(-2,-4,0)不在平面内,为平行,应选D.23.()A. 2B.3C. 1D.不存在解:,应选(yīnɡ xuǎn)A.24.曲面(qūmiàn)在点(1,2,5)处切平A. B. C.解:令,+zx,也可以(kěyǐ)把点y-2=54(1,2,5)代入方程验证(yànzhèng),应选A.25.设函数,则A. B. C.D.解:=∂∂∂xy z22233y x -,应选(y īn ɡ xu ǎn)B.26.如果(r úgu ǒ)区域D 被分成两个(li ǎn ɡ ɡè)子区域(q ūy ù)和且,,则( )A. 5B. 4C. 6D.1解:根据(g ēnj ù)二重积分的可加性, ,应选C.27.如果是摆线从点到点的一段弧,则( )A. B.C. D.解:有此积分与路径(lùjìng)无关,取直线段从变到0,则,应选(yīnɡ xuǎn)C.28.以通解(tōngjiě)为(为任意(rènyì)常数)的微分方程(wēi fēn fānɡ chénɡ)为( )A. B. C. D.解: ,应选B.29. 微分方程的特解形式应设为()A . B. C.D.解:-1是单特征方程的根,是一次多项式,应设,应选(yīnɡ xuǎn)A.30.下列四个级数(jí shù)中,发散的级数是()A. B. C.D.解:级数(jí shù)∑∞=-110003 2nnn的一般(yībān)项的极限(jíxiàn)为,是发散的,应选B.二、填空题(每题2分,共30分)31.的____________条件是.解:显然为充要(充分且必要).32. 函数在区间单调,其曲线在区间内的凹凸性为的.解:在)2,0( 内单调增加,在内大于零,应为凹的.33.设方程(fāngchéng)为常数(chángshù))所确定的隐函数 ,则_____.解:.34. .解:.35. .解:函数(hánshù)在区间(qū jiān)是奇函数,所以(suǒyǐ).36. 在空间直角坐标系中,以为顶点的的面积为__ .解:,所以的面积为.37. 方程(fāngchéng)在空间(kōngjiān)直角坐标下的图形为__________.解:是椭圆柱面与平面(píngmiàn)的交线,为两条平行(píngxíng)直线.38.函数(hánshù)的驻点为 .解: .39.若,则 .解:.40.解: .41.直角坐标系下的二重积分(其中为环域)化为极坐标形式为___________________________.解:.42.以为通解的二阶常系数(x ìsh ù)线性齐次微分方程为 .解:由xxxe C eC y 3231--+=为通解知,有二重(èr zh òn ɡ)特征根-3,从而,微分方程(w ēi f ēn f ān ɡ ch énɡ)为.43.等比级数(j í sh ù),当_______时级数(j í sh ù)收敛,当_______时级数发散.解: 级数是等比级数, 当时,级数收敛,当时,级数发散. 44.函数展开为x 的幂级数为__________________解:.45.的敛散性为________的级数.解:,级数发散.三、计算题(每小题5分,共40分)46.求.解:.47. 求.解:.48.已知,求.解:.49. 计算(j ì su àn)不定积分.解:.50.求函数的全微分(w ēi f ēn).解:利用(l ìy òng)微分的不变性,.51.计算(j ì su àn),其中(q ízh ōng)D 是由所围成的闭区域(q ūy ù). 解:积分区域D 如图所示:把区域看作 Y 型,则有x112,故.52.求微分方程(w ēi f ēn f ān ɡ ch én ɡ)满足(m ǎnz ú)初始条件的特解.解:这是一阶线性非齐次微分方程(w ēi f ēn f ān ɡ ch én ɡ),它对应的齐次微分方程的通解(tōngji ě)为,设是原方程(f āngch éng)解,代入方程有,即有,所以,故原方程的通解为,把初始条件1)0(-=y 代入得:,故所求的特解为.53.求级数的收敛半径及收敛区间(考虑区间端点).解:这是标准的不缺项的幂级数,收敛半径,而,故收敛(sh ōuli ǎn)半径.当时,级数(j í sh ù)化为,这是调和级数,发散(f ās àn)的;当时,级数(j í sh ù)化为,这是交错(jiāocu ò)级数,满足莱布尼兹定理的条件,收敛的; 所以级数的收敛域为.四、应用题(每题7分,共计14分)54. 过曲线上一点作切线L ,D 是由曲线2x y ,切线L 及x 轴所围成的平面图形,求(1)平面图形D 的面积;(2)该平面图形D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积.xyo1 1解:平面图形D如图所示:因,所以切线L的斜率,切线L的方程为,即取x为积分变量,且.(1)平面图形D的面积为.(2)平面(píngmiàn)图形D绕x轴旋转一周所生成(shēnɡ chénɡ)旋转体的体积为.55.一块铁皮宽为24厘米(lí mǐ),把它的两边折上去,做成一正截面为等腰梯形的槽(如下图),要使梯形的面积最大,求腰长x和它对底边(dǐ biān)的倾斜角.解: 梯形(tīxíng)截面的下底长为,上底长为,高为,所以截面面积为,即,令得唯一驻点.根据题意(t í y ì)可知,截面的面积最大值一定存在,且在内取得(q ǔd é),又函数在D 内只有一个可能的最值点,因此可以(k ěy ǐ)断定时,截面(ji émi àn)的面积最大.五、证明题(6分)56. 证明(zh èngm íng)方程在区间内仅有一个实根. 证明:构造函数 ,即有,显然函数)(x f 在区间连续,且有,由x 224-x α连续函数的零点定理知方程即⎰π--=02cos 1ln dxx e xx 在区间),(3e e 有至少有一实数根.另一方面,在区间),(3e e 内恒小于零,有方程0)(=x f ,即⎰π--=02cos 1ln dxx e xx 在区间),(3e e 有至多有一实数根.综上所述, 方程⎰π--=02cos 1ln dxx e xx 在区间),(3e e 内仅有一个实根.内容总结(1)河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷及答案。
2004年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试高等数学试卷一、单项选择题(每小题2分,共50分)在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需更改,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 1.函数1ln y x=+的定义域为( ) A .(2,2)- B .[0,1)(1,2]C .(2,1)(1,2)-D .(0,1)(1,2)【答案】D【解析】要使函数有意义,须使240x ->,即22x -<<,由ln 0x ≠,得0x >且1x ≠,则行数的定义域为(0,1)(1,2).2.函数1sin y x=是定义域内的( )A .周期函数B .单调函数C .有界函数D .无界函数【答案】C 【解析】由于1sin 1x≤,显然在其定义域内是一个有界的函数.3.lim sinn xn n→∞⋅=( ) A .x B .0 C .∞ D .1【答案】A【解析】变量是n ,则sinsinlim sin lim lim 1n n n x xx n n n x x x n n n→∞→∞→∞⋅==⋅=.中公学员 培训讲义2学员专用 请勿外泄4.当0x →时,sin x x -是比2x ( ) A .低阶的无穷小 B .高阶的无穷小C .等价的无穷小D .同阶但非等价的无穷小【答案】B【解析】2200001sin 1cos 2lim lim lim lim 0224x x x x xx x x x x xx →→→→--====,所以当0x →时,sin x x -是比2x 高阶的无穷小.5.设2arcsin(1)()1x f x x -=-,则1x =是()f x 的( )A .连续点B .可去间断点C .跳跃间断点D .第二类间断点【答案】B【解析】2111arcsin(1)arcsin(1)11lim ()limlim 1112x x x x x f x x x x →→→--==⋅=--+,间断点1x =处函数()f x 的左、右极限都存在且相等,所以1x =是()f x 的可去间断点.6.设()f x '在点0x x =的某个邻域内存在,且0()f x 为()f x 的极大值,则000(2)()limh f x h f x h→+-=( )A .0B .1C .2D .2-【答案】A 【解析】0000000(2)()(2)()lim 2lim 2()2h h f x h f x f x h f x f x h h→→+-+-'==,而由题目知0()f x '存在,且()f x 在0x x =处取到极大值,则0x x =是()f x 的驻点,所以0()0f x '=.故选A .7.下列函数中,在1x =处连续但不可导的是( )A .211x y x -=- B .1y x =-C .cot(1)y x =-D .2y x x =-【答案】B【解析】该题采用排除法.A 、C 显然在1x =处不连续,B 、D 都在1x =处连续,但D 在1x =处可导,故只有B 符合要求.8.下列函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是( )A .2ln xB .xC .cos xD .211x - 【答案】C【解析】罗尔定理条件有三个:①()f x 在[,]a b 上连续;②()f x 在(,)a b 内可导;③()()f a f b =.A 不满足①,2ln x 在0x =处不连续;B 不满足②,x 在0x =处不可导;C 满足罗尔定理得条件;D 不满①、②和③.9.设()f x 点3x =的某个邻域内有定义,若23()(3)lim 1(3)x f x f x →-=--,则在3x =处( )A .()f x 的导数存在且(3)0f '≠B .()f x 的导数不存在C .()f x 取得极小值D .()f x 取得极大值【答案】D 【解析】因为23()(3)lim 1(3)x f x f x →-=--,所以存在3x =的某个去心邻域,使得2()(3)0(3)f x f x -<-.即无论3x >或3x <都有()(3)f x f <,又()f x 在3x =的某邻域有定义,所以()f x 在3x =处取得极大值.10.曲线232(2)x y x +=-的渐近线有( )A .1条B .2条C .3条D .0条中公学员 培训讲义4学员专用 请勿外泄【答案】B【解析】232lim 0(2)x x x →∞+=-,所以曲线有水平渐近线0y =;2322lim (2)x x x →+=∞-,所以曲线有垂直渐近线2x =,故y 有两条渐近线.11. 下列函数对应的曲线在定义域内凹的是( )A .x y e -=B .2ln(1)y x =+C .23y x x =-D .sin y x =【答案】A【解析】x y e -=,x y e -'=-,0x y e -''=>,所以曲线x y e -=在定义域内时凹的.12.下列函数中,可以作为同一函数的原函数的是( ) A .21sin 2x 和1cos 24xB .ln ln x 和2ln xC .21sin 2x 和1cos 24x -D .2tan 2x 和2csc 2x【答案】C【解析】2111sin 2sin cos sin 2222x x x x '⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭,111cos 2(sin 2)2sin 2442x x x '⎛⎫-=--⋅= ⎪⎝⎭,故选C .13.下列等式正确的是( ) A .()()f x dx f x '=⎰B .()()d df x f xC =+⎰C .()()df x dx f x dx =⎰D .()()d df x f x '=⎰【答案】C【解析】A 未加常数C ,而B 中()()d df x f x dx '=⎰,D 等号右端缺dx .只有()()df x dx f x dx =⎰是对的,故选C .14.设()f x '为连续函数,则102x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰( )A .12(0)2ff ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦B .[]2(1)(0)f f -C .11(0)22f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦D .[]1(1)(0)2f f - 【答案】A 【解析】1111220000122()2()2(0)2222xu x x x f dx f d f u du f u f f =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=−−−→==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰.15.下列广义积分收敛的是( ) A .2ln e xdx x +∞⎰B .1ln e dx x x +∞⎰C .e+∞⎰D .21ln edx x x+∞⎰【答案】D【解析】选项A ,223ln 1ln ln (ln )3ee e x dx xd x x x +∞+∞+∞===+∞⎰⎰;选项B ,11ln ln ln ln ln e ee dx d x x x x x+∞+∞+∞===+∞⎰⎰; 选项C ,112(ln )ln 2(ln )eeex d x x +∞+∞-+∞===+∞⎰⎰;选项D ,22111ln 1ln ln ln ee e dx d x x x x x+∞+∞+∞==-=⎰⎰.16.设xy z e =,则(1,2)dz =( )A .()xy e xdy ydx +B .23eC .222e dx e dy +D .0【答案】C中公学员 培训讲义6学员专用 请勿外泄【解析】22(1,2)(1,2)()2xy xy dz e ydx e xdy e dx e dy =⋅+⋅=+.17.设22(,)(4)f x y x y =-+,则点(4,0)( ) A .不是驻点 B .是驻点但非极值点C .极大值点D .极小值点【答案】D【解析】2(4)x f x =-,2y f y =,令两式等于0,解得4x =,0y =.2xx A f ==,0xy B f ==,2yy C f ==,240B AC -=-<,20A =>,所以点(4,0)为(,)f x y 的极小值点.18.设区域D 由y 轴及直线y x =,1y =所围成,则Dxdxdy =⎰⎰( )A .1B .12 C .13D .16【答案】D【解析】12111300011(1)236x Dx xdxdy dx xdy x x dx x ⎡⎤==-=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰.19.设直线L 1:1312x ty t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩与直线L 2:234112x y z ---==-的关系是( ) A .平行但不重合 B .重合C .垂直但不相交D .垂直相交【答案】A【解析】两直线的方向向量分别为1(1,1,2)=--s ,2(1,1,2)=-s ,且112112--==-,所以两直线平行或重合,将第一条直线上的点(1,3,1)代入第二条直线方程显然不满足,所以两直线平行但不重合.20.方程2221x y -=表示的二次曲面是( )A .球面B .旋转抛物面C .柱面D .圆锥面【答案】C【解析】方程2221x y -=缺一个变量z ,因此表示一个母线平行于z 轴的柱面,由于它在xOy 坐标平面中表示双曲线,所以更具体地说,它表示的是双曲柱面.21.下列级数中绝对收敛的是( )A.n n ∞=B .13(1)2nnn ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑C .32111(1)n n n ∞-=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑D .11(1)nn n n∞=--∑ 【答案】C 【解析】选项A,n n ∞∞===,当n →∞~,级数发散;选项B ,1133(1)22nnnn n ∞∞==⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑,公比1q >的等比级数,发散;选项C ,332211111(1)n n n n n ∞∞-==⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑,1p >的p 级数,收敛,原级数绝对收敛; 选项D ,1111(1)nn n n n n n ∞∞==---=∑∑,1lim1n n n →∞-=,不满足级数收敛的必要条件,级数发散. 故选C .22.下列级数中发散的是( )中公学员 培训讲义8学员专用 请勿外泄A .1sin 2n n π∞=∑B .111(1)1n n n ∞-=-+∑ C .134nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑D .311n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑【答案】A 【解析】limsin02n n π→∞≠,A 不满足级数收敛的必要条件,所以级数发散.23.级数02!nn n ∞=∑的和为( )A .0B .eC .2eD .不存在【答案】C【解析】因为幂级数0!n x n x e n ∞==∑,(,)x ∈-∞+∞,所以202!n n e n ∞==∑.24.用待定系数法求方程2x y y y xe '''-+=的特解*y 时,下列特解设法正确的是( ) A .*2()x y ax bx c e =++ B .*2()x y x ax bx c e =++C .*2()x y x ax b e =+D .*22()x y x ax bx c e =++【答案】D【解析】方程2x y y y xe '''-+=对应的齐次方程20y y y '''-+=的特征方程为2210r r -+=,解得121r r ==.由()xf x xe =知1λ=是特征方程的二重根,故特解形式为*22()x y x ax bx c e =++.25.设L 为从点(1,0)A 沿x 轴到点(1,0)B -的直线段,则2L y dx =⎰( )A .0B .1C .2D .3【答案】A【解析】L :0y =,x :11→-,则12100Ly dx dx -==⎰⎰.二、填空题 (每小题 2分,共 30分)1.设211(0)x x f x x x ++⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭,则()f x =________.【答案】(1)x x - 【解析】令1x u x +=,解得11x u =-,代入原式变为()(1)f u u u =-,即()(1)f x x x =-.2.若lim 1n n x →∞=,则22lim 3n n n n x x x +-→∞++=________. 【答案】1【解析】由lim 1n n x →∞=,得2lim 1n n x +→∞=,2lim 1n n x -→∞=,故22lim 13n n n n x x x +-→∞++=.3.设21cos ,0(),0xx f x x k x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则k =________.【答案】12【解析】()f x 在0x =处连续,应有lim ()(0)x f x f →=,而22200011cos 12lim ()lim lim 2x x x xx f x x x →→→-===,(0)f k =,所以12k =.4.设3225x y x x e =++,则(10)y =________. 【答案】1022x e【解析】3225x y x x e =++,223102x y x x e '=++,226102x y x e ''=++,3262x y e '''=+,,(10)1022x y e =.5.设2tx t y e ⎧=⎪⎨=⎪⎩,则22d y dx =________.中公学员 培训讲义10学员专用 请勿外泄【答案】3(1)4t e t t - 【解析】()()2t dy y t e dx x t t '==',22232(1)()4t te d dy t d y e t dt dx dx dx t t dt'⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==='. 6.24sin 2lim x x tdt x→=⎰________.【答案】1 【解析】2220433000sin 2sin 2222lim lim lim 144x x x x tdt x x x x x x x→→→⋅⋅===⎰.7.3272y x x =-+在[]0,1上的最大值为________. 【答案】2【解析】3272y x x =-+,223273(9)y x x '=-=-,因为[]0,1x ∈,所以0y '<,从而函数在[]0,1上单调递减,故最大值为(0)2y =.8.设2()sin x f x tdt π-=⎰,则2f f π⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________. 【答案】1-【解析】2()sin xf x tdt π-=⎰,则22sin 02f tdt πππ-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰,则0022(0)sin cos 12f f f tdt tπππ--⎡⎤⎛⎫===-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰.9.1ln exdx =⎰________.【答案】1【解析】111111ln ln ln (1)1ee e e exdx x x xd x e x dx e dx e e x =-=-⋅=-=--=⎰⎰⎰⎰.10.设2x e 为()f x 的一个原函数,则2()xe f x dx -=⎰________.【答案】2x C +【解析】利用分部积分法,因为()f x 的一个原函数为2x e ,则222222()2x x x x x e f x dx e de e e xdx x C ---==⋅⋅=+⎰⎰⎰.11.广义积分1101qdx x +⎰当________收敛. 【答案】0q <【解析】100111110000lim ln lim(ln1ln ),011lim 111lim lim 1,0q q q q x q dx dx x x q qx q εεεεεεεεεε+++++→→++→→→⎧=-=∞=⎪⎪==⎨⎡⎤⎛⎫⎪-=--≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩⎰⎰, 第二式当0q <时极限为1q-,故0q <时,广义积分收敛.12.过原点且与直线L :113213x y z -++==-垂直的平面方程为________. 【答案】230x y z +-=【解析】该平面的法向量可取直线的方向向量(2,1,3)-,又平面过点(0,0,0),故平面的点法式方程为230x y z +-=.13.设2xy z e x=+,则2z x y ∂=∂∂________. 【答案】22yx-中公学员 培训讲义12学员专用 请勿外泄【解析】22221x xz y e y e x x x ∂⎛⎫=+⋅-=- ⎪∂⎝⎭,222z z y x y y x x ∂∂∂⎛⎫==- ⎪∂∂∂∂⎝⎭. 14.2221x y x ydxdy +≤=⎰⎰________.【答案】0【解析】在极坐标系下,区域D 可表示为0201r θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩,所以22212222222000111cos sin cos sin cos cos 55x y x ydxdy d r r rdr d d πππθθθθθθθθ+≤=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 32011cos 053πθ=-⋅=.15.设222(,)ln(3)x y f x y x y +=--,则10lim (,)x y f x y →→=________. 【答案】2ln 2【解析】函数(,)f x y 在点(1,0)连续,故 2211022102lim (,)limln(3)ln(310)ln 2x x y y x y f x y x y →→→→+⋅+===----.三、判断是非题(每小题2分,共10分)1.若)(x f 在0x x =处连续,则)]([x f f 在点0x x =处一定连续.( ) 【答案】×【解析】把0x x =代入)]([x f f 中,可得)]([0x f f .)(x f 在0x x =处连续,并不可以得到)(x f 在)(0x f 处是连续的,故错误. 2. 若数列{}n x 有界,则{}n x 必收敛.( ) 【答案】×【解析】3. 方程0)1ln(1=+x x 在]1,1[-e 上无实根.( )【答案】√ 【解析】 4.⎰⎰-<202cos cos ππxdx xdx .( )【答案】× 【解析】5. 若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数都存在,则),(y x f z =在点),(00y x 处可微.( )【答案】× 【解析】四、计算题 (每小题5 分,共40 分) 1.求极限11lim 1x x x x +→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭.【答案】2e - 【解析】11(2)2212lim lim 111x x x x x e x x ++⋅---→∞→∞--⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭.2.设()y y x =是由方程221y x e y +=所确定的函数,求(1,0)dydx.【答案】2-【解析】方程221y x e y +=两边对x 求导得2220y y xe x e y y y ''++⋅=,代人1x =,0y =,得 (1,0)(1,0)2dy y dx'==-.中公学员 培训讲义14学员专用 请勿外泄3.计算不定积分32cos x x dx ⎰.【答案】22211sin cos 22x x x C ++【解析】()2322221111cos cos cos sin sin sin 2222x ux x dx x x dx u udu ud u u u udu ==−−−→==-⎰⎰⎰⎰⎰ ()2221111sin cos sin cos 222u u u C x x x C =++=++.4.计算0x⎰. 【答案】233π⎫⎪⎭【解析】x t =,则2x t =,2dx tdt =,当0x =时,0t =,当3x =时,3t =[]33322000012212arctan 23113x t tdt dt t t t t π⎫⎫=⋅=-=-=⎪⎪++⎝⎭⎭⎰.5.设(,)z f x y xy =+可微,求dz . 【答案】1212()()dz f yf dx f xf dy ''''=+++ 【解析】12121zf f y f yf x∂''''=⋅+⋅=+∂,12121z f f x f xf y ∂''''=⋅+⋅=+∂, 1212()()z zdz dx dy f yf dx f xf dy x y∂∂''''=+=+++∂∂.6.计算2112200y dy x y dx -+⎰.【答案】6π【解析】1131201236dy d r rdr r πππθ=⋅=⋅=⎰⎰⎰.7.求幂级数211(1)2n nn x ∞=+∑的收敛区间(不考虑端点情况).【答案】(1)【解析】由于缺项,令2(1)x t +=,则2111(1)22nnn n n n t x ∞∞==+=∑∑,11112lim lim 122n n n n nn a a ρ++→∞→∞===,所以收敛半径2R =,所以22t -<<,即2(1)2x +<时级数收敛,解得收敛区间为(1).8.求微分方程0y y ''-=的积分曲线方程,使其在(0,0)处与直线y x =相切. 【答案】1122x xy e e -=-【解析】0y y ''-=的特征方程为210r -=,得特征根1r =±,所以通解为12x x y C e C e -=+.由已知条件(0)0y =,01x y ='=,解得112C =,212C =-,于是所求积分曲线方程为1122x xy e e -=-.五、应用题 (每小题7 分,共 14 分)1.某地域人口总数为50万,为在此地域推广某项新技术,先对其中1万人进行培训,使其掌握此项技术,并开始在此地域推广.设经过时间t ,已掌握此技术人数为()x t (将()x t 视为连续可微变量).其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,且比例常数为(0)k k >,求()x t .【答案】505050()49ktkte x t e =+中公学员 培训讲义16学员专用 请勿外泄【解析】令()y x t =,由题意可知(50)y ky y '=-,(0)1y =, 分离变量(50)dykdt y y =-,两边同时积分(50)dykdt y y =-⎰⎰,解得ln ln(50)50y y kt C --=+.当0t =,1y =时,ln49C =-,故505050()49ktkte y x t e ==+.2.过点(1,0)P 做抛物线2y x =-的切线L ,L 与上述抛物线及x 轴所围成一平面图形,求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积. 【答案】6π【解析】设切点为00(2)x x -,切线的斜率为0022x x y x ='=-则切线方程为0002)22y x x x x -=--,切线经过(1,0)P ,代入解得03x =,即切点坐标为(3,1),切线方程为1(1)2y x =-.故3222112(2)36x V x dx πππ=⋅⋅⋅--=⎰.六、证明题 (6 分)证明:当0x >时,22ln(1)1x x x +>+. 【解析】令22()ln(1)1f x x x x =++,则2222222211()10111(1)x x x f x x x x x x +-⎛⎫+'=+=> +++++⎝,所以()f x 单调递增,而0x >,则()(0)0f x f >=,故ln(x >.。