《线性代数》模拟试卷B及答案

《线性代数》试题B 与答案一、填空题1.四阶行列式ij a 的展开式中，项13342142a a a a 所带的符号是 号.2.设矩阵1102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2A = ；n A = . 3.设A 是n 阶方阵，2A =-，则13()T A A -= .4.已知向量组123,,ααα线性无关，向量组122313,,k αααααα+++线性相关，则常数k = .5.若矩阵A 有个特征值为1，则3223B A A =-有个特征值为 .6.若实对称矩阵两个特征向量(1,2,1),(1,1,)T T a --，则a = .二、选择题1.若三阶行列式的值为零，则该行列式中 ( )（A ）一行元素全为零 （B ）两行元素相等（C ）两行元素对应成比例 （D ）有一行可以用另外两行线性表出2.若A 为3阶方阵，*A 为伴随矩阵，则*(2)A = ( )（A ）*2A （B ）*4A （C ）*8A （D ）*16A3.若矩阵A 中有两个r 阶子式不为零，则必有（ ）（A ）()r A r = （B ）()r A r ≥ （C ）()r A r < （D ）()r A r >4.设同阶非零矩阵,A B 满足AB O =，则A 的行向量组与B 的行向量组 ( )（A ）分别都线性无关 （B ）只有一个线性无关（C ）分别都线性相关 （D ）以上答案均错 5.若矩阵10000201a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与10000002b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似,则( )（A ）1,1a b ==- （B ）1,1a b == （C ）1,1a b =-= （D ）1,1a b =-=-三、计算题1．求行列式10121103111010203040---的第四行元素的代数余子式之和. 2．设矩阵011221103A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且2AX A X -=,求矩阵X . 3．求向量组(1,0,1,0)a = ，(1,1,0,1)b =- ，(1,2,1,2)c =-- ，(1,1,0,1)d =-- 的秩和一个极大无关组.四、计算、讨论题1．设矩阵121201101A a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，向量12b k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组AX b =对应的齐次方程组的基础解系含有两个解向量，且AX b =有解，求,a k 的值和非齐次线性方程组的全部解.2．已知矩阵00111100A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，（1）求A 的全部特征值；（2）若A 相似于某个对角矩阵，求a 的值；（3）在（2）的情况下，求出A 的小于零的特征值所对应的一个特征向量．五、证明题设*X 是非齐次线性方程组AX b =的一个解，12,X X 是对应的齐次方程组的一个基础解系，求证: 向量组*X ，1X ，2X 线性无关.答案：一、填空题1.负.2.1304⎛⎫ ⎪⎝⎭；12102n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 3.3n . 4.1-. 5.1-. 6.1. 二、选择题1.D .2.B .3.B .4.C .5.A .三、计算题1．1-． 2．122210025⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭. 3．3r =；,,a b c . 四、计算、讨论题1．1a =，1k =-；11212314232x C x C C x C x C =-+⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩或12310211010001X C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 2．（1）121λλ==-，31λ=；（2）故1a =；（3）101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．五、证明题提示：设有常数012,,k k k 使得*01122k X k X k X O ++=，推出00k =，120k k ==．。

《线性代数》样卷B一、选择题（本题共10小题,每小题2分，共20分)(从下列备选答案中选择一个正确答案) 1、排 列7352164的逆序数为（ ） （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 2、若A 为n 阶可逆矩阵，下列各式正确的是（ ） （A ）11(2)2A A --= （B ）0A A *⋅≠（C ）11()A A A-*-= （D ）111[()][()]T T T A A ---=3、以初等矩阵001010100⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭右乘初等矩阵001100010A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相当于对矩阵A 施行初等变换为（ ） （A ）23r r ↔ （B ）23C C ↔ （C ）13r r → （D ）13C C ↔ 4、奇异方阵经过（ ）后，矩阵的秩有可能改变（A ）初等变换 （B ）左乘初等矩阵 （C ）左右同乘初等矩阵 （D ）和一个单位矩阵相加 5、 如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵A 的秩为（ ）（A ）n （B ）s （C ）s n - （D ）以上答案都不正确 6、向量组123,,βββ 线性无关，234,,βββ 线性相关，则有（ ）（A ）1β可由423,,βββ 线性表示 （B ）2β可由143,,βββ 线性表示 （C ）3β可由124,,βββ 线性表示 （D ）4β可由123,,βββ 线性表示 7、 以下结论正确的是（ ）（A ）一个零向量一定线性无关； （B ）一个非零向量一定线性相关； （C ）含有零向量的向量组一定线性相关； （D ）不含零向量的向量组一定线性无关 8、n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件9、 关于x 的一次多项式10213111()2543111f x x ---=-----，则式中一次项的系数为（ ）（A ）2 （B ）—2 （C ）3 （D ）—3 10、下列不可对角化的矩阵是（ ）（A ）实对称矩阵 （B ）有n 个相异特征值的n 阶方阵 （C ）有n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵 （D ）不足n 个线性无关的特征向量的n 阶方阵二、填空题（本题共10空，每空2分，共20分） （请将正确答案填入括号内）1、若三阶方阵A 的3重特征值为2，则行列式A =2、已知6834762332124321D --=--，则212223246834A A A A +-+= . 3. 设A 为三阶可逆矩阵，且13A =，则()13A -= 4、 125=13--⎛⎫ ⎪-⎝⎭5、矩阵112134134-⎛⎫⎪- ⎪⎪--⎝⎭的秩是 6、行列式526742321-中元素－2的代数余子式是7、设0=AX 为一个4元齐次线性方程组，若321,,ξξξ为它的一个基础解系，则秩()R A =8、设211132121A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的行最简形为： .9、已知(6,4,3),(1,3,2)T T x y ==--，则[],x y = . 10、 设向量T )2,2,3(-=α与向量T t ),3,4(=β正交，则=t三、计算题（本题共2小题,每小题6分，共12分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、计算4222242222422224n D =2、已知2()41f x x x =-+，120210002A -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f A .四、综合应用题（本题共4小题，共48分） （要求写出主要计算步骤及结果）1、（8分）已知向量组()()()1231,2,3,2,1,1,3,0,5,7,3,4,TTTααα==--=-，（1）求该向量组的秩. （2）求该向量组的一个最大无关组. （3）将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示. 2、（8分）验证123(0,2,1),(2,1,3),(3,3,4)T T T ααα==-=--为R 3的一个基并求12(1,2,3),(2,3,1)T T ββ==-在这个基中的坐标。

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上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷课程代码 105208 课程序号姓名 学号 班级一、单选题(每小题2分，共计20分)1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。

2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则*2A -=__-72__。

3. 设矩阵01000010********A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。

4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式226A A I +=，则()14A I -+=22AI - 。

5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。

6. 方程组1243400x x x xx ++=⎧⎨+=⎩ 的一个基础解系是 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101,0011 。

……………………………………………………………装订线…………………………………………………7. 设矩阵12422421A k --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，500050004A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且A 与B 相似，则=k 4 。

8. 123,,ααα是R 3的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001100010 。

9. 已知4131210,32111a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。

10. 设二次型22212312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 54||<t 。

二．选择题（每题3分，共15分）1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。

(A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1TAA -=; (D) *T A A =2. 矩阵 B 合同于145-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(A) 151-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ; （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321;（C ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112;（D ）121-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。

北京师范大学XX 分校2007-2008学年第一学期期末考试（B 卷）开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__ __ 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123345__0____567= 2、行列式sin cos cos sin _______+-=-1313113xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则______-+=21222350A A A4、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==45，则||______=20A B5、设A 为3阶方阵，且A =2，则A-=12 46、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12311102103，则A 的秩()R A = 37、已知3阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式A *=9，则=A 38、向量组,,,αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111322023001线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1232963线性相关，则___1____=x10、设5元方程组=0A x 的系数矩阵A 的秩为3，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式13632196233418第2行第2列元素的代数余子式A =22（ D ）（A ）6； （B ）9； （C ）12； （D ）15。

拟题学院（系）： 数理学院适用专业： 全校 2015-2016学年 1 学期 线性代数（必修）B 卷 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每小题3分，共15分）1. -2M2.11B A --3.111,,336- 4. 0 5. 2k >二、选择题（每小题3分，共15分）1. C2. D3. A4. B5. B三、计算题(每小题10分，共20分)1.解：888811111511151181151115111151115==原式——————————————————————5分11110400851200400004==2. 解：()22AX B X A E X B =+⇒-=1112012,002A E ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ————————————3分()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———————————— 8分所以111100101X --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

—————————————————————— 10分四、计算题(第1题10分，第2题15分，第3题15分，共40分)拟 题 人： 周红燕书写标准答案人： 周红燕1.解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=00000100000120011221~10000500000120011221~13600512000240011221~46063332422084211221),(b A ————————————8分3)(,2)(==B R A R 因此 ——————————————————10分2. 解：111111101152321130012263(,)01226300000054331200000B A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭————8分基础解系为123115226,,100010001ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，特解为23000η-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，—————————————13分通解为112233x k k k ξξξη=+++。

2008 -2009学年第二学期《线性代数 B 》试卷量组1，2， ，m ， 的秩为5. 设A 为实对称阵，且AI M 0,则二次型f =x T A x 化为f =y T A -1 y 的线性变换是x= __________ .T6. 设 R 3 的两组基为 a 11,1,1 ，a 2 1,0, 1 ，a 3 1,0,1 ；2,3,4 , 3 3,4,3 ，则由基 a !,a 2,a 3到基 1, 2, 3的过渡矩阵为、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18 分）一一一-二二 -三四五六总分(共 0 0 12. A 为n 阶方阵,AA T = E 且A 0,则A E |.3•设方阵A1 2 24 t 3 , B 为三阶非零矩阵，且AB=O,则t 3114.设向量组m线性无关，向量 不能由它们线性表示，贝U 向1(1,2,1,)T ，22009年6月22日6小题，每小题3分，满分18分）、填空题 1 0 0 10 01.设D n 为n 阶行列式，则D n = 0的必要条件是[]. (A) D n 中有两行元素对应成比例； (B) D n 中各行元素之和为零； (C) D n 中有一行元素全为零；(D)以D n 为系数行列式的齐次线性方程组有非零解.2.若向量组 ，，线性无关，，， 线性相关，则[](A)必可由，， 线性表示； (B)必可由，， 线性表示； (C)必可由，， 线性表示； (D)必可由，，线性表示.3.设3阶方阵A 有特征值0,— 1,1，其对应的特征向量为P i , P 2,P 3, 令1 亠( P 1, P 2, P 3)，则 P —1AP =[ ].1 0 00 0 0(A) 01 0 ；(B) 01 0 ；0 0 0 0 0 10 01 0(C) 0 10 ；(D) 0 00 .0 0 —10 0—14. 设 a 1, a, a 线性无关，则下列向量组线性相关的是[](A) a, a, a - a ；(B) a 1,a + a, a 1+ a ；(C) a +( 也， a + a, a + a ； (D) a 1- a, a - a, a - a .5. 若矩阵A a x 4有一个3阶子式不为0,则A 的秩R ( A )=[]. (A) 1； (B) 2; (C) 3；(D) 4.6. 实二次型f 二X T A X 为正定的充分必要条件是[].(A) A 的特征值全大于零； (B) A 的负惯性指数为零；(C)AI > 0 ；(D) R(A) = n .、解答题(共5小题，每道题8分，满分40分)。

《线性代数B 》模拟试卷五参考答案一、填空题（每空3分，共18分）1．设(1,1,1)α=，(1,1,1)T β=-，则T T βα= 1 ；解：1(1,1,1)111T Tβα⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭2．设(1,1,1,2)T α=-，(1,2,1,1)T β=--，则向量αβ+与αβ-的夹角为 2π； 解：因为(1,1,1,2)(1,2,1,1)(0,3,2,3)T T T αβ-+--=-+=，(1,1,1,2)(1,2,1,1)(2,1,0,1)T T T αβ----=---=，而[,]023(1)20(3)(1)0αβαβ+-=⨯+⨯-+⨯+-⨯-=， 所以αβ+与αβ-正交，即αβ+与αβ-的夹角为2π（或者090） 3．设向量组1230224571:1,,1A ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A 的一个最大线性无关组为：12,αα； 解：因为21212331321021021022(,,)1240220115157055000r r r A r r r r ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪ ⎪==−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()2R A =，从而A 的一个最大线性无关组为：12,αα（或者13,αα，或者23,αα） 4．已知 3 阶方阵A 有特征值 -1，1，2，则 22A A +=24-。

解：因为2()2f A A A =+，则22()x f x x +=，因为3 阶方阵A 有特征值 -1，1，2 所以12(1)1f --==-，223(1)1f +==，2228(2)2f +⨯== 从而2(1)(1)(2)242f f f A A =-=-+5．设4元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为3 , 且它的三个解向量123,,ηηη 满足1(1,1,1,1)Tη=，23(1,2,1,1)Tηη+=,则Ax b =的通解为： ； 解：因为()3R A =，所以0Ax =的基础解系含向量的个数为：4()431R A -=-=， 又Ax b =的三个解向量123,,ηηη，所以12322(1,1,1,1)()(1,2,1,1)(1,0,1,1)TT Tξηηη==-+-=是0Ax =的一个非零解，从而可作为其基础解系。

20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：广东财经大学试题参考答案及评分标准20XX14-20XX15学年第一学期课程名称 线性代数（B 卷）课程代码20XXXX20XXXX0XX4 课程负责人 柴啸龙 共2页…………………………………………………………………………………………………一、填空题（每小题3分，共30分）1.2;2. 100100100c b a⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 3. 5; 4. 3A I -； 5. n m ⨯; 6. s t =; 7. n ; 8.124; 9.-4； 20XXXX. 36. 二、单选题（每小题3分，共20XXXX 分） 1. A 2 .C 3.B 4. C 5.D 三、计算题（每小题20XXXX 分，共40分）1 . 解：原式=121014511151603120----- （3分）=24121(1)(1)11516312+--⨯--- (6分)=121(1)01715051--⨯- (8分)=-92 (20XXXX 分)2. 解：作方程组的增广矩阵 ()A b ，并对它施以初等行变换则 ()9110172152311115361101272242160000A b ⎛⎫-⎪--⎛⎫⎪⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭(3分) 即原方程组与方程组1342349117211272x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩同解，其中34,x x 为自由变量取3400x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得方程组的一个解1200η⎛⎫⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（6分）取自由变量34x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别为10,01⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即得导出组基础解系：1342349107211072x x x x x x ⎧+-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩12917211,720110ξξ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (9分)因此全体解为：1122x c c ηξξ=++，其中12,c c 为任意常数。