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空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。
本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。
一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。
向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。
性质：1.数量积是实数。
2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。
3.数量积满足交换律：a · b = b · a。
4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。
二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。
性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。
2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。
3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。
【高考导航】高考对本节的要求：理解右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体顶点的坐标；掌握空间向量的坐标运算法则；掌握空间两点间距离公式；会根据坐标，判断两个向量共线或垂直；会运用中点坐标公式解决有关问题.此节内容高考必考，而且是以解答题的形式出现.例如2003全国新课程卷12分；2003上海春季高考题12分；2002全国新课程卷12分.【学法点拨】本节内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O 和一个单位正交基底｛i ，j ，k ｝建立坐标系，对于O 点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变.如向量的数量积a ²b =|a |²|b |cos<a ，b >在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为λ，对于中点公式要熟记.同时了解空间定比分点公式以及重心坐标公式.总之对于本节的学习要结合平面向量的有关知识，加强练习巩固.【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底｛i ，j ，k ｝（i ，j ，k 按右手系排列）建立坐标系，坐标轴正方向与i ，j ，k 方向相同.空间一点P 的坐标的确定可以按如下方法：过P 分别作三个坐标平面的平行平面（或垂直平面），分别与坐标轴交于A 、B 、C 三点，|x|=O A ，|y|=O B ，|z|=O C ，当与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0.同理确定y 、z.点P 的坐标与坐标相同.2.向量的直角坐标运算设a =(a 1，a 2，a 3)，b =（b 1，b 2，b 3），则 a +b =(a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3)， a -b =(a 1-b 1，a 2-b 2，a 3-b 3)， a ²b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a ∥b ⇔a 1=λb 1，a 2=λb 2，a 3=λb 3(λ∈R ).或11b a =22b a =33b a a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 3.夹角和距离公式 (1)夹角公式设a =(a 1，a 2，a 3)，b =(b 1，b 2，b 3) 则cos<a ，b >=332221232221332211b b b a a a b a b a b a ++∙++++（2）距离公式设A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），则 ||=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.（3）定比分点公式设A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），则 若M 分AB 为定比λ（λ≠-1），则M 的坐标为 x=λλ++121x x ，y=λλ++121y y ，z=λλ++121z z ，特别地，当λ=1即M 为中点时得中点坐标公式： x=221x x +，y=221y y +，z=221zz +. 由中点公式，可得以A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），C （x 3，y 3，z 3）为顶点的三角形重心公式：x=3321x x x ++，y=3321y y y ++，z=3321zz z ++.4.两个概念(1)向量垂直于平面，若表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，称a 垂直于α，记作a ⊥α.(2)法向量，如果a ⊥α，称向量a 是α的法向量. 二、重点难点突破本节重点是空间右手直角坐标系，向量的坐标运算，夹角公式和距离公式.建立右手直角坐标系要以题中已知条件为依托，让尽可能多的点，尽可能多的线落在轴上或者是坐标平面上，简化运算过程.空间向量坐标运算要抓住空间向量的坐标表示这一根本去突破.即向量a 在空间用惟一的有序数组a =(x ，y ，z)来表示.对于夹角公式.两点间距离公式要多练习.本节的难点是向量坐标的确定及夹角公式和两点间距离公式的应用.要理解两点间距离公式类似于平面上两点间的距离公式.可直接套用，两公式都与坐标原点的选取无关.三、易错点和易忽略点导析1.本节课涉及到几何量的代数运算，夹角公式和两点间距离公式的应用.易出现计算不准确而导致结论错误.2.易忽略向量坐标的表达形式a =（x ，y ，z ），在实际解题中有很多同学忽略了“=”，与点坐标(x ，y ，z)混淆.【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨【例1】 已知空间三点A （-2，0，2），B （-1，1，2），C （-3，0，4）.设a =AB ，b =AC ，（1）求a 和b 的夹角θ；（2）若向量k a +b 与k a -2b 互相垂直，求k 的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.解：∵A(-2，0，2)，B （-1，1，2），C(-3，0，4)，a =AB ，b =AC ， ∴a =(1，1，0)，b =（-1，0，2）. (1)cos θ=||||b a b a ∙∙=52001⨯++--1010，∴a 和b 的夹角为π-arccos1010.(2)∵k a +b =k （1，1，0）+（-1，0，2）＝（k-1，k ，2）， k a -2b =（k+2，k ，-4），且(k a +b )⊥（k a -2b ），∴（k-1，k ，2）²（k+2，k ，-4）=(k-1)(k+2)+k 2-8=2k 2+k-10=0. 则k=-25或k=2. 点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做.(k a +b )(k a -2b )=k 2a 2-k a ²b -2b 2=2k 2+k-10=0， 解得k=-25，或k=2. 【例2】 如图9-6-1，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG=41CD ，H 是C 1G 的中点.应用空间向量的办法解决下列问题：(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长.思维入门指导：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.解：如图9-6-1，建立空间直角坐标系O 一xyz ，D 为坐标原点O ，由已知得E(0，0，21)，F(21，21，0)，C(0，1，0)，C 1(0，1，1)，B 1(1，1，1)，G(0，43，0). (1)则EF =(21，21，-21)，C B 1=(-1，0，-1). ∴EF ²C B 1=(21，21，-21)²(-1，0，-1) =21³(-1)+21³0+(-21)³(-1)=0. ∴EF ⊥C B 1.即EF ⊥B 1C. (2)G C 1=(0，-41，-1)，则|G C 1|=417. 又|EF |=23，且EF ²G C 1=83， ∴cos<EF ，G C 11=1751. (3)∵H 是C 1G 的中点，由中点坐标公式知H(0，87，21).又F(21，21，0)， ∴FH=||=222)021()2187()210(-+-+-=841. 点拨：通过向量，把几何问题转化为代数计算，是数学中化归思想的具体体现，而且在解立体几何题中，由于向量的引入，避免了一些繁难的推理论证，用定量计算代替定性分析，从而降低了难度.二、应用思维点拨【例3】 已知a 、b 、c 为正数，且a+b+c=1，求证：113+a +113+b +113+c ≤43.思维入门指导：本题考查|a |²|b |≥a ²b 的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a ，b .然后结合数量积性质进行运算.证明：设m =(113+a ，113+b ，113+c )，n =(1，1，1)， 则|m |=4，|n |=3. ∵m ²n ≤|m |²|n |，∴m ²n =113+a +113+b +113+c ≤|m |²|n |=43. 当1131+a =1131+b =1131+c 时，即a=b=c=31时，取“=”号.点拨：若m =(x ，y ，z)，n =(a ，b ，c)，则由m ²n ≤|m |²|n |，得(ax+by+cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2).此式又称为柯西不等式(n=3).三、创新思维点拨【例4】 如图9-6-2，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∠PDA 为θ，能否确定θ，使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线?若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由.思维入门指导：对于判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，这是一种最常用也是最基本的方法.解：以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz.设|AD|=2a ，|AB|=2b ，∠PDA=θ.则A(0，0，0)、B(0，2b ，0)、C(2a ，2b ，0)、D(2a ，0，0)、P(0，0，2atan θ)、M(0，b ，0)、N(a ，b ，atan θ).∴AB =(0，2b ，0)，PC =(2a ，2b ，-2atan θ)，MN =(a ，0，atan θ). ∵AB ²MN =(0，2b ，0)²(a，0，atan θ)=0， ∴AB ⊥MN .即AB ⊥MN.若MN⊥P C ，则MN ²PC =(a ，0，atan θ)²(2a，2b ，-2atan θ)=2a 2-2a 2tan 2θ=0.∴tan 2θ=1，而θ是锐角. ∴tan θ=1，θ＝45°.即当θ=45°时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线.点拨：对于条件开放型问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决.向量、空间坐标系的建立，让人耳目一新，回味无穷.四、高考思维点拨【例5】（2003，全国，12分）如图9-6-3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.(1)求A 1B 与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数表示)； (2)求点A 1到平面AED 的距离.(学习了第7节后再做此问.) 思维入门指导：本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.借助向量和坐标系解立体几何问题的步骤是：①建立适当的空间直角坐标系(或仿射坐标系)；②确定关键点的坐标；③写出相关向量；④运用向量公式进行计算.解：(1)连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 上的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 如图9-6-3所示建立坐标系，坐标原点为C ，设CA=2a.则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1），A 1（2a ，0，2），E （a ，a ，1），G(32a ，32a ，31). ∴GE =(3a ，3a ，32)，BD =(0，-2a ，1). ∵²=-32a 2+32=0. 解得a=1.∴1BA ＝（2，-2，2），BG ＝(32，-34，31). ∴cos∠A 11=213132314∙=37.A 1B 与平面ABD 所成角是arccos37. （2）由（1）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （D ，0，1），AE ²ED =(-1，1，1)²(-1，-1，0)=0，1AA ²ED =(0，0，2)²(-1，-1，0)=0，∴ED⊥平面AA 1E. 又ED ⊂平面AED ，∴平面AED ⊥平面AA 1E. 又面AED∩面AA 1E=AE ，∴点A 在平面AED 上的射影K 在AE 上. 设AK =λAE ，则K A 1=A A 1+=(-λ，λ，λ-2). 由K A 1²AE =0，即λ+λ+λ-2=0，解得λ=32. ∴K A 1=(-32，32，-34). ∴|A 1|=362. 故A 1到平面AED 的距离为362. 点拨：由上述例题可以看出，利用向量知识解决几何问题的基本思路是：根据题意巧构向量或把题中有关线段看作向量，利用向量中的有关公式列出方程求解.思路清晰，方法简捷规范.五、经典类型题思维点拨 【例6】 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和BC 的中点，如图9-6-4，试问在棱BB 1上是否存在点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1？若存在，指出点M 的位置；若不存在，说明理由.思维入门指导：数学“开放性问题”主要具有“非完备性、不确定性、发散性和探究性”等特征.“开放性问题”的题意新颖，解法多样，立体几何“开放性问题”特别能培养学生的发散思维能力和空间想象能力.近年来，这类问题已成为高考命题的热点.解：以D 点为坐标原点，建立如图9-6-4所示的空间右手直角坐标系D －xyz ，因为棱长等于1，所以D 1(0，0，1)，E(1，21，0)，F(21，1，0)，B 1(1，1，1). 设点M 在棱BB 1上，可设M 点的坐标为(1，1，λ)(0≤λ≤1)， 则M D 1=(1，1，λ-1)，1EB =(0，21，1)，1FB =(21，0，1). 由于D 1M ⊥平面EFB 1的充要条件为D 1M⊥FB 1，且D 1M ⊥EB 1， 即M D 1²1EB =(1，1，λ-1)²(0，21，1)=21+λ-1=0，M D 1²1FB =(1，1，λ-1)²(21，0，1)=21+λ-1=0，得λ=21. 而21∈[0，1]，因此存在点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1，且M 是棱BB 1的中点. 点拨：用代数的方法研究解决几何问题，自然离不开运算.但在运算过程，中要注意概念的灵活应用.六、探究性学习点拨【例7】 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，所有棱的长度都是2，M 是BC 边的中点，问：在侧棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°？思维入门指导：立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.解：以A 点为原点，建立如图9-6-5所示的空间右手直角坐标系A －xyz. 因为所有棱长都等于2，所以A （0，0，0），C （0，2，0），B （3，1，0），B 1(3，1，2)，M(23，23，0). 点N 在侧棱CC 1上，可设N （0，2，m ）（0≤m ≤2），则1AB =(3，1，2)，MN =(-23，21，m)， 于是|1AB |=22，||=12+m ，1AB ²=2m-1.如果异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°，那么向量1AB 和的夹角是45°或135°，而cos<1AB ，MN 1122122+∙-m m ，所以122122+∙-m m =±22. 解得m=-43，这与0≤m≤2矛盾. 即在侧棱CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°.点拨：通过以上例子可以看出，在解决一些立体几何探索性问题时，利用空间向量，能够避免繁琐的“找”、“作”、“证”，只须通过定量计算，就可解决问题，降低了思维难度，易于把握，体现了空间向量在解题中的巨大作用.A 卷：教材跟踪练习题 （60分 45分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），则△ABC 的重心G 的坐标为（ ） A.(34，34，0) B.(34，0，34) C.(34，34，1) D.(34，34，2) 2.若向量a =(1，λ，2)，b =(2，-1，2)a ，b 夹角的余弦值为98，则λ的值为（ ） A.2 B.-2 C.-2或552 D.2或-552 3.已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）A.a ：|a |=b ：|b |B.a 1²b 1=a 2²b 2=a 3²b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使a =k b 4.在下列各结论中，不正确的是（ ）A.两非零向量a =(x 1，y 1，z 1)和b =(x 2，y 2，z 2)垂直的充要条件为x 1²x 2+y 1²y 2+z 1²z 2=0B.若向量a =(x 1，y 1，z 1)和b =(x 2，y 2，z 2)则 a ²b ≤))((222222212121z y x z y x ++++C.已知a ，b 是两个非零向量，则<a ，b >=arccos22ba b a ∙∙D.a²b =0是a =0或b =0的充要条件5.已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是（ ） A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.16.下列各组向量共面的是（ ）A.a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)B.a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)C.a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)D.a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1) 二、填空题（每小题4分，共16分）7.若点P （x 、y 、z ）到A （1，0，1）、B （2，1，0）两点的距离相等，则x 、y 、z 满足的关系式是__________________.8.已知a +b =(2，-8，5)，a -b =（-8，16，-3），则a ²b =__________.9.已知a =(1，2，3)，b =（1，0，1），c =a -2b ，d =m a -b ，若c ∥d ，则m=______ . 10.与a =(1，1，0)共线的单位向量为____________ . 三、解答题（每小题7分，共14分）11.已知△ABC 的顶点A （1，1，1），B （2，2，2），C （3，2，4），试求△ABC 的面积. 12.设向量a =(3，5，-4)，b =(2，1，8)，确定λ、μ的值，使λa +μb 与z 轴垂直.B 卷：综合应用创新练习题 （90分 90分钟）一、学科内综合题(10分)1.设空间两个不同的单位向量a =(x 1，y 1，0)，b =(x 2，y 2，0)与向量c =(1，1，1)的夹角都等于4. (1)求x 1+y 1和x 1y 1的值；(2)求<a ，b >的大小(其中0＜<a ，b >＜π). 二、应用题（10分）2.已知F 1=i +2j +3k ，F 2=-2i +3j -k ，F 3=3i -4j +5k ，若F 1，F 2，F 3共同作用于同一物体上，使物体从点M 1（1，-2，1）移到点M 2(3，1，2)，求物体合力做的功.三、创新题（60分）（一）教材变型题（10分）3.（P 42习题9.6第9题变型）在正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AB 1、B 1B 的中点，求直线AM 与CN 所成角.（二）一题多解（15分）4.已知三角形三顶点(1，-2，-3)，B （-1，-1，-1），C （0，0，-5）.试证明它是直角三角形.（三）一题多变(15分) 5.如图9-6-6，矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，问BC 边上是否存在Q 点，使PQ ⊥，说明理由.(1)一变：问当Q 点惟一，且cos<，>=1010时，求点P 的位置. （四）新解法题(1O 分)6.如图9-6-7所示，在长方体O ABC —O 1A 1B 1C 1中，O A=2，AB=3，AA 1=2，E 是BC 的中点.（1）求直线A O 1与B 1E 所成角的大小； （2）作O 1D ⊥A C 于D ，求点O 1到点D 的距离. （五）新情境题（10分）7.O 1、G 、H 分别为△ABC 的外心、重心、垂心，且不重合.试证明O 1、G 、H 三点共线，且O 1G ：GH=1：2.四、高考题(10分)8.(2003，全国新课程)如图9-6-8，已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1的中点，点F 为BD 1的中点(注：正四棱柱即底面为正方形的长方体).(1)求证：EF 为BD 1与CC 1的公垂线； (2)求点D 1到面BDE 的距离. 加试题：竞赛趣味题（10分）（第八届加拿大数学奥林匹克竞赛题）已知四边形ABCD 中，四个角∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 、∠DAB 都是直角.求证：四边形ABCD 必是矩形.【课外阅读】平面法向量的进一步研究在试验（修订）教材第二册（下B ）给出了这样一个概念：如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量.课本仅给出了这个概念，在其例题、课后练习、习题中均未涉及对此概念的进一步研究，但是利用平面的法向量（或法单位向量）解有关立体几何中空间的角和距离等问题时，将更能体现出教材（下B ）的特点.下面就有关的问题作一些探讨.1.如何利用空间坐标求法向量及法单位向量【例1】 已知三点A （2，3，-3）、B （4，5，-2）、C （6，8，0）.求与平面ABC 垂直的一个法向量和法单位向量.解：假设n 是与平面ABC 垂直的某一个向量，设此向量为n =（x ，y ，1），则n ⊥AB 且n ⊥AC ，因为AB =（2，2，1），AC =（4，5，3），故由n ⊥AB 及n ⊥AC 分别得2x+2y+1=0及4x+5y+3=0，解之有x=21，y=-1，故n =(21，-1，1)即为平面ABC 的一个法向量，又|n |=23，故所求一个法单位向量n 0=||n n =32(21，-1，1)=(31，-32，32).点拨：为了求n 这个未知向量，按理应当设n =(x ′，y ′，z ′)，但是因为相差一个常数因子并不影响其与平面ABC 的垂直性，在z ′≠0的条件下，由n =(x ′，y ′，z ′)=z ′(''z x ，''z y ，1)，令''z x =x ，''z y =y ，于是可设n =(x ，y ，1)，同理也可设n =(1，y ，z)或(x ，1，z)，这样做可以减少一个待定的未知数.2.利用平面的法向量求线面角如图9-6-9，AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，如果与n 之间所成的角ϕ为锐角，则斜线AB 与平面α之间所成的角θ=2π-ϕ.【例2】 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中（如图9-6-19），M 、N 分别是棱B 1C 1、AD 的中点，求直线AD 与平面BMD 1N 所成角的余弦值.解：不妨假定正方体棱长为1.以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 方向分别作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则D （0，0，0）、A(1，O ，0)、D 1（0，0，1）、N(21，0，0)、M(21，1，1)、B(1，1，0)，N D 1=(21，0，-1)，NB =(21，1，0).设n =（x ，y ，1）是垂直于平面BMD 1N 的法向量，由例1的方法可求得x=2，y=-1.∴n =(2，-1，1).又DA =(1，0，0)，则DA ²n =2，|DA |=1，|n |=6. ∴以ϕ表示DA 与n 所成之角，则 cos ϕ||||n DA ∙=62=36. 以θ表示DA 与平面BMD 1N 所成之角，则cos θ=p 2cos 1-=961-=33. 点拨：为了避免向量n 中双重符号选取的麻烦，对于平面α的斜线向量l 与法向量n 之间的锐角ϕ可由cos ϕ=||||||n l n l ∙∙来确定.3.利用平面的法向量求二面角如图9-6-11，设用θ表示欲求的二面角α-l -β的值，又设n 1、n 2分别是平面α及β的法向量，这两个法向量的方向应该是这样配备的：当α或β半平面绕着其棱l 转动到与另一半平面重合时，这两个向量的方向应当一致，在满足这些条件之下，我们有cos θ=||||2121n n n n ∙.【例3】 如图9-6-12，ABCD 是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，又SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21，求面SCD 与面SAB 所成二面角的正切值. 解：建立如图9-6-12所示的空间直角坐标系A 一xyz ，有A(0，0，0)、D(21，0，0)、C(1，1，0)、S(0，0，1)，则=(21，0，0)是平面SAB 的法向量.设面SCD 的法向量n =(1，λ，μ)，由例1的方法可求得λ=-21，μ=21.∴n =(1，-21，21). 如以θ表示欲求二面角的值，则cos θ=cos<，n .因²n =(21，0，0)²(1，-21，21)=21，||=21， |n |=22)21()21(1+-+=23， ∴cos θ=232121∙=32，sin θ=31.∴tan θ=21=22. 4.利用平面的法向量求点到面的距离求点P 到平面M 的距离d ，可以在平面M 上任取一点A ，则AP 在M 的法单位向量n 0上的射影长就是所求的距离：d=|²n 0|=||||n n AP ∙(n 为平面M 的一个法向量). 【例4】 如图9-6-13，已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.解：建立如图9-6-13所示的空间直角坐标系C 一xyz ，则E(2，4，0)、F(4，2，0)、G(0，0，2)、B(0，4，0).设平面EFG 的法向量n =(λ，μ，1)，由例1方法可求得λ=μ=31.∴n =(31，31，1)，|n |=311.因为E 是平面EFG 上一点，故所求距离d=||||n n ∙=311)1,31,31()0,0,2(∙-=11112.点拨：直线到与它平行的平面的距离，或两个平行平面间的距离都可转化为点到平面的距离来求.5.利用平面的法向量求两异面直线a 与b 的距离先设法找出直线a 与b 的公垂线上的单位向量n 0，然后在a 、b 上分别各取一点A 及B ，则d=|²n 0|=||||n n AB ∙(n 为与直线a 、b 都垂直的一个向量). 【例5】 如图9-6-14，已知正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求BC 1与DB 1的距离.解：建立如图9-6-14所示的空间直角坐标系D —xyz ，则D （0，0，0）、B （1，1.0）、C 1（0，1，1）、B 1（1，1，1），1BC =（-1，0，1），1DB =（1，1，1）.设n =（λ，μ，1）是同时与BC 1、DB 1垂直的向量，则由n ²1BC =(λ，μ，1)²(-1，0，1)=-λ+1=0及n ²1DB =(λ，μ，1)²(1，1，1)=λ+μ+1=0，∴λ=1，μ=-2.∴n =(1，-2，1)，|n |=6.∴d=||1n n BB ∙=6)1,2,1()1,0,0(-∙=66.点拨：n 是与异面直线都垂直的向量，实际上我们也可把n 看作是经过异面直线a 、b中的一条直线且平行于另一条直线的平面的一个法向量.参考答案A 卷一、1.D 点拨：根据三角形重心坐标公式可解得答案.2.C 点拨：由题知95422∙++-λλ=98⇒λ=-2或λ=552. 3.D 点拨：由共线向量定线易知.4.D 点拨：a ²b ＝0⇔a ⊥b ，而不是a =0或b =0.5.A 点拨：由题知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0244361642x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x6.A 点拨：由共面向量基本定理可得.二、7.2x+2y-2z-3=0 点拨：由|PA |=|PB |，利用空间两点距离公式化简可得. 8.-59 点拨：⎩⎨⎧--=--=∙)3,16,8()5,8,2(b a b a ⇒⎩⎨⎧-=-=)4,12,5()1,4,3(b a ⇒a ²b =-59.9.m=21点拨：∵c =(-1，2，1)，d =(m-1，2m ，3m-1)， 又∵c ∥d ，∴11--m =m 22=131-m ⇒m=21.10.(22，22，0)或(-22，-22，0) 点拨：∵a =(1，1，0)=2(22，-22，0)，∴e =(22，22，0)或e =(-22，-22，0). 三、11.解：∵A(1，1，1)，B(2，2，2)，C(3，2，4)，∴AB =(1，1，1)，AC =(2，1，3).∴|AB |=3，|AC |=14，AB ²AC =(1，1，1)²(2，1，3)=6. ∴||||AC AB ∙=1436∙=426则sinA=A 2cos 1-=71.∴S △ABC =21|AB|²|AC|²sinA=21²3²14²71=26. 即△ABC 的面积为26. 点拨：可以自己尝试用向量表示三角形面积公式.12.解：由(λa +μb )²(0，0，1)=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ）²（0，O ，1）=-4λ+8μ=0知，只要λ、μ满足-4λ+8μ=0即可使λa +μb 与z 轴垂直.B 卷一、1.解：(1)∵|a |=|b |=1，∴x 21+y 21=1，∴x 22=y 22=1.又∵a 与c 的夹角为4π， ∴a ²c =|a ||c |cos 4π=22222111++=26. 又∵a ²c =x 1+y 1， ∴x 1+y 1=26. 另外x 21+y 21=(x 1+y 1)2-2x 1y 1=1，∴2x 1y 1=(26)2-1=21.∴x 1y 1=41. (2)cos<a ，b >=||||b a ba ∙=x 1x 2+y 1y 2， 由(1)知，x 1+y 1=26，x 1y 1=41.∴x 1，y 1是方程x 2-26x+41=0的解. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42611y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42611y x同理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42622y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42622y x∵a ≠b ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+==,426,4261221y x y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-==.426,4261221y x y x∴cos<a ，b >=426+²426-+426+²426-=41+41=21.∵0≤<a ，b >≤π.∴<a ，b >=3π.二、2.解：W =F ²s =(F 1+F 2+F 3)²21M M =14.三、(一)3.解：如答图9-6-1所示，把D 点视作坐标原点，以、、1DD 方向为正方向，建立空间直角坐标系D 一xyz ，则A(1，0，0)，M （1，21，21），C （0，1，0），N(1，1，21).∴AM =(0，21，21)，CN =(1，0，21).∴AM ²CN =41，|AM |=22，|CN |=25. ∴设直线AM 与CN 所成的角为α，则cos α=252241∙=101.∴α=arccos1010.故AM 与CN 所成的角为arccos 1010. (二)4.证法一：||=222)13()12()11(+-++-++=414++=9=3， ||=222)51()1()1(+-+-+-=1611++=32， |AC |=22)53()2(1+-+-+=441++=3. ∴||+||2=9+9=18=||2. ∴三角形ABC 是直角三角形.证法二：∵AB =(-1，-1，-1)-(1，-2，-3)=(-2，1，2)， =(0，0，-5)-(-1，-2，-3)=(-1，2，-2)，∴²=(-2)³(-1)+1³2+2³(-2)=2+2-4=0. ∴AB ⊥AC .∴三角形ABC 是直角三角形.(三)5.解：如答图9-6-2所示，建立空间直角坐标系A 一xyz ，设P （0，0，z ），D （0，a ，0），Q （1，y ，0），则=(1，y ，-z)，=(-1，a-y ，0)，且⊥. ∴PQ ²QD -1+y(a-y)=0⇒y 2-ay+1=0.∴△=a 2-4.当a ＞2时，△＞0，存在两个符合条件的Q 点； 当a ＝2时，△＝0，存在惟一一个符合条件的Q 点； 当a ＜2时，△＜0，不存在符合条件的Q 点. (1)当Q 点惟一时，由5题知，a=2，y=1.∴B(1，0，0)，BP =(-1，0，z)，QD =(-1，1，0).∴cos<BP ，QD ||||QD BP ∙=2112∙+z =1010. ∴z=2.即P 在距A 点2个单位处. (四)6.老解法(纯几何解法)；用平移找到两条异面直线所成角，然后放到三角形中去求角.第(2)问用等积法求距离.新解法（向量法）：(1)如答图9-6-3所示，以O 为原点，分别以、、1OO 为O x 轴、O y 轴、O z 的正方向建立空间直角坐标系O 一xyz ，∵||=2，|=3，|A A 1|=2，E 为BC 的中点，∴A （2，0，0），O 1（0，0，2），B 1（2，3，2），E （1，3，0）. 则1AO =(-2，0，2)，E B 1=(-1，0，-2). ∴cos<1AO ，E B 1>=-1010. 则<1AO ，E B 1>=π-arccos1010. 所以直线A O 1与B 1E 所成角为arccos1010. (2)连结O D ，∵O 1D ⊥AC ，∴O D ⊥AC.设D （x ，y ，0）.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙2221||||||0OA AD OD O ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=+-4)2(0322222y x y x y x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1312,1318y x 或⎩⎨⎧==00y x (舍去) ∴点D 的坐标为(1318，1312，0). 则|O 1|=2222)132()1318(++=132862.(五)7.证明：如答图9-6-4建立直角坐标系O －xy.设A （0，a ），B （-b ，0），C （c ，0），则G(3c b +-，3a).设垂心H （0，λ），则BH =（b ，λ），AC =（c ，-a ）由BH ⊥AC ，∴²=bc-a λ=0，从而λ=abc ， 即H （0，abc ） 又D(2c b +-，0)，E(2c ，2a). 设外心O 1(2c b +-，μ)，E O 1=(2b ，2a，-μ)，AC =(c ，-a)， 由O 1E ⊥AC 知E O 1²AC =2bc -a(2a-μ)=0. ∴μ=a bc a 22-.即O 1(2cb +-，a bc a 22-).于是可得G O 1=(6cb -，a bc a 632+-)，H O 1=(2c b +-，a bc a 232+-)∴O 1=31O 1可知O 1、G 、H 三点共线，且O 1G ：GH=1：2. 四、8.(1)证明：如答图9-6-5所示，建立空间直角坐标系，得B(0，1，0)，D 1(1，0，2)，F(21，21，1)，C 1(0，0，2)，E(0，0，1).∴EF =(21，21，0)，1CC =(0，0， 2)，1BD =(1，-1，2).∴EF ²1CC =0，1BD ²EF =0.即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1. 故EF 是CC 1与BD 1的公垂线.(2)解：连结ED 1，有V 1DBD E -=V DBE D -1.由(1)知EF ⊥面DBD 1.设D 1到面BDE 的距离为d ，则S△DBE²d=S 1DBD △²EF.∵AA 1=2，AB=1，∴BD=BE=ED=2，EF=22. ∴S 1DBD △=21²2²2=2，S △DBE =21²23²(2)2=23.∴d=23222=332.故点D 1到平面BDE 的距离为332.加试题：证明：如答9-6-6，以A 为原点，分别以AB 、AD 为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则可设B （a ，0，0），D （0，b ，0），其中a 、b 均不为零.设C （c ，d ，e ），则有=（a ，0，0），=（c-a ，d ，e ），=（-c ，b-d ，-e ），＝（0，b ，0）.∵∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 都是直角，∴AB ²BC =a(c-a)=0，BC ²CD =0，CD ²AD =b （b-d ）=0.则e=0.这说明C 在平面ABD 内，即四边形ABCD 是平面四边形.又它的四个角都是直角，故四边形ABCD 是矩形.。
.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）若，，则，，，，，；，．夹角公式：．（3）两点间的距离公式：若，，则或。
对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。
3．用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。
向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。
线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。
（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。
二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离⑴点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。
⑵直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
⑶两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
①线线平行的判定：判定定理性质定理判定定理判定定理性质定理判定定理总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。
(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。
判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。
二、基本例题例1已知：分析：利用线面平行的性质与平行公理。
注意严格的公理化体系的推理演绎。
说明：过l分别作平面∴l∥m同理l∥n∴m∥n又又例2. 已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面经过点P且与AB垂直，设M是a上任意一点，N是b 上任意一点。
第三讲空间向量的坐标运算【基础知识】一、空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.二、空间点的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=x i+y j+z k.在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A 的竖坐标.三、空间向量的坐标表示在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=x i+y j+z k.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z).四、空间向量常用结论的坐标表示设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).1.建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标;2.求出直线的方向向量;3.证明两向量共线;4.说明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的 有向线段不共线,即可得证. 六、证明两直线垂直的步骤:1.根据已知条件和图形特征,建立适当的空间直角坐标系,正确地写出各点的坐标;2.根据所求点的坐标求出两直线方向向量的坐标;3.计算两直线方向向量的数量积为0;4.由方向向量垂直得到两直线垂直. 七、求两异面直线夹角的步骤1.求异面直线a ,b 上的方向向量的坐标:a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2);2.利用公式cos<a ,b >= 求解;3.设异面直线a ,b 所成的角为θ,则cos θ=|cos<a ,b >|.【考点讲解】考点一：求点的坐标例1．已知空间点(3,1,4)P --，则点P 关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．(3,1,4)--- B ．(3,1,4)-- C ．(3,1,4)-D ．(3,1,4)考点二：求向量的坐标例2．给定空间三个点()1,1,2A ､()3,7,1B -､()5,4,0C . (1)求以向量AB ､AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ； (2)求与向量AB ､AC 都垂直的单位向量a .考点三：线性运算的坐标表示例3．已知向量()3,2,5a =-，()1,5,1b =-，则3a b -=（ ） A ．8,11(),14-B ．9,3(),15-C ．10,1(),16-D ．(0,13,2)考点四：数量积运算的坐标表示例4．（多选）已知空间向量()1,1,1a =，()1,0,2b =-，则下列正确的是（ ） A ．()0,1,3a b +=B ．3a =C ．2a b ⋅=D ．a <，4b π→>=考点五：求长度或距离例5．空间两点()1,2,3A 、()2,0,5B 之间的距离为______．考点六：求角度例6．已知()cos ,1,sin a αα=-，()sin ,1,cos b αα=-，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．90° B ．60°C ．30°D ．0°考点七：根据平行或垂直求参数的值例7.已知点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设a AB =，b AC =． (1)求a ，b 夹角的余弦值．(2)若向量ka b +，2ka b -垂直，求k 的值． (3)若向量a b λ-，a b λ-平行，求λ的值．【课堂练习】1.已知向量(2,1,3),(,2,6)a b x →→=-=-，若a b →→⊥，则实数x 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102.若向量()1,,0a λ=，(2,1,2)b =-且a 与b 的夹角余弦值为23，则实数λ等于（ ） A ．0B ．－43C ．0或－43D ．0或433.平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（ ） A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,14. （多选）已知平面{}00P n P P α=⋅=，其中点0P 是平面α内的一定点，n 是平面α的一个法向量，若0P 坐标为()2,3,4，()1,1,1n =，则下列各点中在平面α内的是（ ） A ．()1,3,5B ．()4,3,2C ．()2,3,8-D ．()2,3,8-5. （多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,P Q R 分别在111,,AB CC D A 上，并满足111(01)1D R AP CQ a a PB QC RA a===<<-，设1,,AB i AD j AA k ===，设PQR ∆的重心为G ，下列说法正确的是（ ）A ．向量,,i j i j k +-可以构成一组基底B ．当12a =时，111j+333DG i k =-C ．当13a =时，PQ 在平面1ADD ．对任意实数a ，总有0RG DG ⋅=6.已知空间三点A (1，-1，-1)，B (-1，-2，2)，C (2，1，1)，则AB 在AC 上的投影向量的模是______.7.设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a 满足对任意的,,x y a xi y j --的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．8.已知空间中三点(),1,2A m -，()3,1,4B -，()1,,1C n -． (1)若A ，B ，C 三点共线，求m n +的值；(2)若AB ，BC 的夹角是钝角，求m n +的取值范围．【课后练习】1.若点(2,5,1)A --，(1,4,2)B ---，(3,3,)C m n +-在同一条直线上，则m n -=（ ） A ．21B ．4C ．-4D ．102.已知直线2,l l l 的方向向量分别为()()1,4,2,2,1,a b m =-=-，若12l l ⊥，则m 等于（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.设,x y ∈R ，向量(,1,1),(1,,1),(2,4,2)a x b y c ===-，且,a c b c ⊥∥，则||x y +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44.已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =，且3a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．60︒B ．120︒C ．30D ．150︒5. （多选）对于非零空间向量a ，b ，c ，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ） A ．若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角 B ．若()1,2,3a =，()1,1,1b =--，则a b ⊥ C ．若a b b c ⋅=⋅，则a c =D ．若()1,0,0a =，()0,2,0b =，()0,0,3c =，则a ，b ，c 可以作为空间中的一组基底 6．（多选）已知空间向量()2,1,1a =--，()3,4,5b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2//a b a + B ．53a b = C ．()56a a b ⊥+D ．a 与b 夹角的余弦值为7．（多选）已知空间中三点()0,1,0A ，()1,2,0B ，()1,3,1C -，则正确的有（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是()1,1,0C ．AB 与BC 夹角的余弦值是D ．平面ABC 的一个法向量是()1,1,3-8. 平面α经过点()0,0,2A 且一个法向量()1,1,1n =--，则平面α与x 轴的交点坐标是______．9．已知()1,1,2A -，()1,0,1B -．设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设1,,13C λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则实数λ=______．10.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：,,i j k 分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x 轴､y 轴､z 轴）正方向的单位向量，若向量n xi yj zk =++，则n 与有序实数组（x ，y ，z ）相对应，称向量n 的斜60°坐标为[x ，y ，z ]，记作[,,]n x y z =. (1)若[]1,2,3a =，[1,1,2]b =-，求a b +的斜60°坐标；(2)在平行六面体11ABCD ABC D -中，AB =AD =2，AA 1=3，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，如图，以{}1,,AB AD AA 为基底建立“空间斜60°坐标系”.①若1BE EB =，求向量1ED 的斜60坐标； ①若[]2,,0AM t =，且1AM AC ⊥，求AM .。
