全部高等数学计算公式高等数学是数学的一个分支，包括微积分、线性代数、数理方程、概率论、复分析等多个内容。
每个分支都有大量的计算公式，下面将分别介绍这些分支中一些经典的计算公式。
一、微积分公式1.极限公式：(1)函数极限公式：$lim(f(x)±g(x))=limf(x)±limg(x)$$lim(f(x)g(x))=limf(x)·limg(x)$$lim\frac{{f(x)}}{{g(x)}}=\frac{{limf(x)}}{{limg(x)}}$(2)常见函数极限：$lim\frac{{sinx}}{{x}}=1$$lim(1+\frac{1}{{n}})^n=e$$lim(1+\frac{1}{{n}})^{n(p-q)}=e^{(p-q)}$2.导数公式：(1)基本导数公式：$(c)'=0$$(x^n)'=nx^{n-1}$$(e^x)'=e^x$$(a^x)'=a^xlna$$(lnx)'=\frac{1}{{x}}$$(sinx)'=cosx$$(cosx)'=-sinx$$(tanx)'=sec^2x$(2)导数的四则运算：$(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$(\frac{{f(x)}}{{g(x)}})'=\frac{{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}}{{g^2(x)}}$(3)链式法则：$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$3.积分公式：(1)基本积分公式：$\int{cx^n}dx=\frac{{cx^{n+1}}}{{n+1}}+C$$\int{e^x}dx=e^x+C$$\int{a^x}dx=\frac{{a^x}}{{lna}}+C$$\int{\frac{{1}}{{x}}}dx=ln，x，+C$$\int{sinx}dx=-cosx+C$$\int{cosx}dx=sinx+C$$\int{sec^2x}dx=tanx+C$(2)常用积分公式：$\int{u}dv=uv-\int{v}du$$\int{sin^2x}dx=\frac{{x}}{2}-\frac{{sin2x}}{4}+C$$\int{cos^2x}dx=\frac{{x}}{2}+\frac{{sin2x}}{4}+C$4.泰勒展开公式：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2+...+\frac{{f^{(n)}}}{{n!}}(x-a)^n+R_n(x)$二、线性代数公式1.行列式公式：(1)二阶行列式：$D=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$(2)三阶行列式：$D=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=aei+bfg+c dh-ceg-afh-bdi$2.矩阵运算公式：(1)两个矩阵的和：$A+B=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix }+\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{2 2}\end{bmatrix}$(2)两个矩阵的乘积：$AB=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}=\begin{ bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\a_{ 21}b_{11}+a_{22}b_{21}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}\end{bmatrix}$3.特征值与特征向量公式：$A-\lambda I=0$其中，A为矩阵，$\lambda$为特征值，I为单位矩阵。
高等数学宝典（上篇）——公式大全（含微分方程、复变函数）一. 初等数学1. 三角函数 (1) 相互联系,1cos sin 22=+x x ,sec 1tan 22x x =+ .csc 1cot 22x x =+ ,1csc sin =⋅x x ,1sec cos =⋅x x .1cot tan =⋅x x ,tan cos sin x x x = .cot sin cos x xx= 奇变偶不变, 符号看象限:⎩⎨⎧±±=±±±=±=+,3 ,1 ,0 )(,4 ,2 ,0 )()2(n cof n f nf αααπ其中“±”号由角)2(απ+n 所处的象限确定. (2) 和角公式,sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=±,sin sin cos cos )cos(βαβαβα∓=±tan tan 1tan tan )tan(βαβαβα∓±=±(3) 积化和差)],sin()[sin(21cos sin βαβαβα−++= )],cos()[cos(21cos cos βαβαβα−++=)].cos()[cos(21sin sin βαβαβα−−+−=(4) 和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα−+=+ 2sin2cos2sin sin βαβαβα−+=−,2cos 2cos 2cos cos βαβαβα−+=+ .2sin 2sin 2cos cos βαβαβα−+−=−(5) 降幂公式22cos 1sin 2αα−=.22cos 1cos 2αα+= (6) 半角公式, ,1cos sin tansin 1cos αααα−==+, 1cos sin cot sin 1cos αααα+==−.2. 复数(1) 代数表示 z = a +b i(2) 三角表示 z = r (cos θ +i sin θ), 其中r = |a + b i| = , a = r cos θ, b = r sin θ. (3) 指数表示 a + b i = re i θ (欧拉公式: e i θ = cos θ +i sin θ ).3. 一些常见的曲线(1) 圆222a y x =+的参数方程为⎩⎨⎧==,sin ,cos θθa y a x极坐标方程为ρ = a (θ∈[0, 2π) );(2) 圆222)(a a y x =−+的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin ,cos t a a y t a x (t ∈[0, 2π) ) 极坐标方程为ρ = 2a sin θ (θ∈[0, π) ) ;(3)圆222)(a y a x =+−的参数方程为⎩⎨⎧=+=,sin ,cos t a y t a a x (t ∈[0, 2π) )极坐标方程为ρ = 2a cos θ )]2,2((ππθ−∈ ;(4) 圆222)(a y a x =++的参数方程为⎩⎨⎧=+−=,sin ,cos t a y t a a x (t ∈[0, 2π) ) 极坐标方程为ρ = -2a cos θ ))23,2[(ππθ∈;(5) 圆222)(a a y x =++的参数方程为⎩⎨⎧+−==,sin ,cos t a a y t a x (t ∈[0, 2π) ) 极坐标方程为ρ = -2a sin θ (θ∈[π, 2π) );(6) 椭圆12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin ,cos t b y t a x (t ∈[0, 2π) );(7) 空间螺线⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin ,cos bt z t a y t a x (t;(8) 笛卡儿叶线x 3+y 3=3axy的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=3231313t at y t at x ;(9) 星形线x 2/3+y 2/3=a 2/3的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==θθ33sin cos a y a x ; (10) 摆线(圆滚线) 22)1arcsin(y ay aya x −−−=的参数方程为⎩⎨⎧−=−=)cos 1()sin (t a y tt ax;(11) 心形线)(2222x y x a y x −+=+的极坐标方程为ρ = a (1-cos θ);(12) 心形线)(2222x y x a y x ++=+的极坐标方程为ρ = a (1+cos θ);(13) 双纽线(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2)的极坐标方程为ρ2 = a 2cos2θ ;(14) 双纽线(x 2+y 2)2=2a 2xy的极坐标方程为ρ2 = a 2sin2θ ;(15) 阿基米德螺线xya y x arctan 22=+的极坐标方程为ρ = a θ(16) 不经过原点的直线ax + by + c = 0 (a 2 + b 2 ≠ 0)⇒ a ρcos θ + b ρsin θ + c = 0⇒.sin cos θθρb a c+=例如: x = a (a > 0) ⇒2,2(cos ππθθρ−∈=ax = a (a <0) ⇒23,2(cos ππθθρ∈=a y = a (a >0) ⇒);,0(sin πθθρ∈=ay = a (a <0) ⇒);2,(sin ππθθρ∈=ay = x − a (a > 0) ⇒43,4(sin cos ππθθθρ−∈+=a 二. 极限1. |q |<1, nn q ∞→lim = 0. 2. n n n ∞→lim =1.3. 设数列{a n }与{b n }都收敛, a a n n =∞→lim , b b n n =∞→lim , 则n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim )(lim = a ±b ; )lim )(lim ()(lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→== ab ;n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim =b a (b ≠0). 4. 设x n =m m ll n b n b b n a n a a ++++++ 1010, 其中a l ≠0, b m ≠0, l ≤m , 则∞→n lim x n =⎩⎨⎧<=m l m l a m l 0. 5. ∞→n lim (p 1+22p+…+n p n ) =2)1(−p p , 其中p >1. 6. ()nn n 11lim +∞→= e. 7. 设)(lim 0x f x x →=A , )(lim 0x g x x →=B . 则)(lim )(lim )()([lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±= A ±B;)](lim )][(lim [)]()([lim 0x g x f x g x f n n x x ∞→∞→→== AB ; )(lim )(lim )()(lim 000x g x f x g x f x x x x x x →→→==B A(B ≠0).8. 设y = f (u )与u = g (x )的复合函数f [g (x )]在x 0的某去心邻域)(0x N内有定义.若)(lim 0x g x x →=u 0, )(lim 0u f u u →=A , 且∀x ∈)(0x N, 有g (x )≠u 0, 其中x 0, u 0为有限值.则复合函数f [g (x )]当x →x 0时也有极限, 且)]([lim 0x g f x x →=)(lim 0u f u u →=A .9. x x x sin lim 0→=1. xx x ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim = e.10. 常用的等价无穷小:sin x ～tan x ～arcsin x ～arctan x ～ x (x →0); (1- cos x )～221x (x →0) ln(1+x )～x (x →0) (e x -1)～x (x →0) (n x +1-1)～nx (x →0); [α)1(x +-1]～αx (x →0). 三. 导数与微分1. 导数定义: 0000000)()(lim )()(lim lim)(0x x x f x f x x f x x f x yx f x x x x −−=∆−∆+=∆∆=′→→∆→∆.2. 函数四则运算的求导法则).()(])()([x v x u x v x u ′±′=′± ).()()()(])()([x v x u x v x u x v x u ′+′=′⋅.)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u ′−′=⎥⎦⎤⎢⎣⎡/3. 反函数的求导法则设定义在区间I 上的严格单调连续函数x = f ( y )在点y 处可导, 且0)(≠′y f , 则其反函数y = f -1(x )在对应的点x 处可导, 且)(1)()(1y f x f′=′−即yx x y d d 1d d =. 4. 复合函数的求导法则设函数)(x u ϕ=在点x 处可导, 函数y = f (u )在对应的点)(x u ϕ=处可导, 则复合函数))((x f y ϕ=在点x 处可导, 且),()(d d x u f xyϕ′′=即x u u y x y d d d d d d ⋅=. 5. 设函数y = f (x )由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ确定. ),(t x ϕ= )(t y ψ=在区间],[βα上可导, 函数)(t x ϕ= 具有连续的严格单调的反函数),(1x t −=ϕ且,0)(≠′t ϕ则)).(()(1x t y −==ϕψψ函数y = f (x )的导函数由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧′′=′=)()()(t x t y y t x ϕ确定.6. 基本求导公式(1) (x α)′ = αx α−1. (2)(a x )′ = a x ln a . (3) (e x )′ = e x . (4) (log a x )′ =1ln x a . (5) (ln x )′ =1x. (6) (sin x )′ = cos x . (7) (cos x )′ = −sin x . (8) (tan x )′ = sec 2x . (9)(cot x )′ = −csc 2x . (10) (sec x )′ = sec x ⋅tan x . (11) (csc x )′ = −csc x ⋅cot x . (12) (arcsin x )′=(arccos x )′ =(14) (arctan x )′ =211x +. (15) (arccot x )′ = −211x +. 7. 一些简单函数的高阶导数(n , k 为正整数) (1)⎪⎩⎪⎨⎧>=<+−−⋅=−,0,!,)1()1()()(n k n k n n k x k n n n x k n k n(2) ,)1()1()1()()(k n k k n x k n n n x −−−−++⋅−= (3) ,)1()1(])1[()(k k x k x −+−−⋅=+ααααα (4) ),(ln )()(a a a k x k x = 特别的, ,)()(x k x e e =(5) ,)!1()1()(ln 1)(kk k x k x −−=− (6) )1()!1()1()]1[ln(1)(k k k x k x +−−=+−(7)),2sin()(sin )(πk x x k += (8) 2cos()(cos )(πk x x k +=(9) ()()()0()nn k n k k n k uv C u v −==∑ ()(1)(2)()()()(1)(1)(1)2!!n n n n k k n n n n n n k u v nu v u v u v uv k −−−−−−+′′′=++++++8. 微分四则运算法则: ,d d )(d v u v u ±=± ,d d )(d v u u v uv += ).0(d d d 2≠−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛v v vu u v v u 9. 微分复合运算法则(一阶微分形式不变性)设函数y = f [g(x )]由可微函数y = f (u )与u = g (x )复合而成, 则有,d )(d u u f y ′= ,d )(d x x g u ′= 另一方面, d y =().d )(d )()(d )]([u u f x x g u f x x g f ′=′′=′10. 拉格朗日中值定理:设函数f (x )满足下列条件: (1) f (x )∈C [a , b ], (2) f (x )在(a , b )内可导. 则至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得f (b ) − f (a ) = f ′(ξ)(b −a ). 11. 柯西中值定理:设函数f (x ), g (x )满足下列条件:(1) f , g ∈C [a , b ], (2) f , g 在(a , b )内可导, (3) g ′(x )≠0 ∀x ∈(a , b ).则至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ′′=−−13. 洛必达法则设函数f (x )在区间(x 0, x 0+δ)(δ>0)内满足下列条件: (1) ,0)(lim )(lim 0==++→→x g x f x x x x (2) f , g 在(x 0, x 0+δ)内可导, 且,0)(≠′x g (3) A x g x f x x =′′+→)()(lim 0(A 为有限数或∞). 则.)()(lim )()(lim 00A x g x f x g x f x x x x =′′=++→→ 设函数f (x )在区间(x 0, x 0+δ)(δ>0)内满足下列条件: (1) ,)(lim )(lim 0∞==++→→x g x f x x x x (2) f , g 在(x 0, x 0+δ)内可导, 且,0)(≠′x g (3)A x g x f x x =′′+→)()(lim 0(A 为有限数或∞). 则.)()(lim )()(lim 00A x g x f x g x f x x x x =′′=++→→ 不可用洛必达法则的情形.(1) 21lim 1++→x x x , (2) xx x x sin lim +∞→, (3) x x xx x e e e e −−+∞→+−lim .事实上, 21lim 1++→x x x =32, xx x x sin lim +∞→=sin 1(lim x xx +∞→=1, x x x x x e e e e −−+∞→+−lim =x x x e e 2211lim −−+∞→+−=1. 14. 带皮亚诺余项的泰勒公式设函数f (x )在x 0处n 阶可导, 则f (x )=k nk k x x k x f )!)(000)(−∑=+ o((x -x 0)n ). 15. 几个初等函数的麦克劳林公式(1) e x =1+x +21x 2+61x 3+…+!1n x n+ o(x n ).(2) sin x = x -!31x 3+!51x 5-…+(-1)n )!12(1+n x 2n +1 + o(x 2n +1). (3) cos x = 1-!21x 2+!41x 4-…+(-1)n )!2(1n x 2n + o(x 2n ).(4) ln(1+x ) = x -21x 2+31x 3-…+(-1)n -1n 1x n + o(x n ).(5) α)1(x +=n x n n x x !)1()1(!2)1(12+−−++−++αααααα + o(x n ).(6) sin 2x =22cos 1x −=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−+−−n nn x n x x x 2242)2(o )!2()2()1(!4)2(!2)2(12121=)(o !)!12(!2)1(3221142n n n n x x n n x x +−−++−−+ .(7) cos 2x =1- sin 2x = 1-)(o !)!12(!2)1(322142n n n nx x n n x x +−−+−+− .16. 带拉格朗日余项的泰勒公式设函数)(],[)(n b a C x f ∈, 且)1(),()(+∈n b a C x f , 则],[,0b a x x ∈∀, 有 f (x )=knk k x x k x f )!)(000)(−∑=+10)1()()!1()(++−+n n x x n f ξ, 其中ξ介于x 与x 0之间. 17. 几个初等函数的带拉格朗日余项的麦克劳林公式(1) e x=1+x +21x 2+61x 3+…+!1n x n+1)!1(++n x x n e θ (x ∈R , 0<θ<1).(2) sin x = x -!31x 3+!51x 5-…+(-1)n -1)!12(1−n x 2n -1 +12)!12(cos )1(++−n n x n x θ (x ∈R , 0<θ<1). (3) cos x = 1-!21x 2+!41x 4-…+(-1)n )!2(1n x 2n +221)!22(cos )1(+++−n n x n x θ (x ∈R , 0<θ<1). (4) ln(1+x ) = x -21x 2+31x 3-…+(-1)n -1n 1x n+)1(1)1)(1()1(++++−n n n x n x θ (x ∈R , 0<θ<1). (5) α)1(x +=n x n n x x !)1()1(!2)1(12+−−++−++αααααα +11)1)!1()()1(+−−++−−n n x x n n αθααα (x ∈R , 0<θ<1). 18. 曲率(1) 设曲线C 在直角坐标系中的方程为y = y (x )且y (x )具有二阶导数. 则K =232])(1[y y ′+′′.(2) 设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y y t x x , 则K =2322])()[(t t t t t t y x y x y x ′+′′′′−′′′. 四. 一元积分1. 定积分的性质(1) 若f , g 在[a , b ]上可积, k 1, k 2∈R , 则∫+bax x g k x f k )]d ()([21.)d (d )(21∫∫+=babax x g k x x f k(2) 若f 在某区间I 上可积, 则f 在I 的任一子区间上可积, 且∀a , b , c ∈I ,∫bax x f d )(.)d (d )(∫∫+=bcc ax x f x x f(3) 若f , g 在[a , b ]上可积, 且∀x ∈[a , b ], f (x )≤g (x ), 则∫bax x f d )(≤.d )(∫bax x g(4) 若f 在[a , b ]上可积, 且∀x ∈[a , b ], f (x )≥0, 则∫bax x f d )(≥0.(5) 若f 在[a , b ]上可积, 则∫bax x f d )(≤.d )(∫bax x f(6) 若f 在[a , b ]上可积, 且∀x ∈[a , b ], m ≤f (x )≤M , 则m (b -a )≤∫bax x f d )(≤M (b -a ).(7) 若f ∈C [a , b ], 则至少存在一点ξ∈[a , b ]使∫bax x f d )(= f (ξ)(b -a ).2. 变上限积分所定义的函数的性质设f (x )∈C[a , b ], 则函数∫=Φxat t f x d )()(在区间[a , x ]上可导, 且Φ′(x )= f (x ).3. 微积分学基本公式若f (x )∈C[a , b ], F (x )为f (x )在区间[a , b ]上的一个原函数, 则∫bax x f d )(= F (b )-F (a ).4. 不定积分的性质(1) ),(]d )([x f x x f =′∫,d )(]d )([d x x f x x f =∫,)(d )(C x f x x f +=′∫ .)()(d C x f x f +=∫(2) 设f (x ), g (x )有原函数, k 1, k 2∈R , 则.d )(d )(d )]()([2121∫∫∫+=+x x g k x x f k x x g k x f k5. 基本积分表(1) d k x kx C =+∫ (k 是常数). (2) 1d 1x x x C ααα+=++∫ (α ≠−1)(3) 1d ln ||x x C x =+∫. (4) 21d arctan 1x x C x =++∫.(5)arcsin x x C =+. (6) cos d sin x x x C =+∫. (7) sin d cos x x x C =−+∫. (8) 221d sec d tan cos x x x x C x==+∫∫. (9) 221d csc d cot sin x x x x C x==−+∫∫. (10) sec tan d sec x x x x C =+∫. (11) csc cot d csc x x x x C =−+∫. (12) d x xe x e C =+∫.(13) d ln xxa a x C a=+∫. (14) sh d ch x x x C =+∫. (15)ch d sh x x x C =+∫. (16) tan d ln |cos |x x x C =−+∫.(17) cot d ln |sin |x x x C =+∫ (18) sec d ln |sec tan |x x x x C =++∫.(19)csc d ln |csc cot |x x x x C =−+∫ (20)2211d arctan xx C a x a a=++∫. (21) 2211d ln 2x a x C x a a x a −=+−+∫. (22) 2211d ln 2a x x C a x a a x −=+−−∫.(23)C +∫. (24) ln(x x C =++∫.(25) 2ln ||2a x x C =±+∫.(26) 2arcsin 2a x x C a =+∫. (27) /20sin d n n I x x π=∫=/20cos d nx x π∫=21n n I n−−.6. 换元积分法(1) 第一类换元积分法: 设函数u =ϕ (x )可微, F (u )为f (u )的一个原函数. 则∫′x x x f d )()]([ϕϕ∫=u u f d )(C u F +=)(.)]([C x F +=ϕ(2) 常见的凑微分法①)(d 1d b ax ax +=(a , b 为常数且a ≠0) ②)(d )1(1d 1b ax an x x n n++=+(a , b 为常数且a ≠0, n ≠-1)③),(ln d 1x x x= ④),(d d xx e x e = ⑤),(cos d d sin x x x −= ⑥),(tan d d sec 2x x x = ⑦),(arctan d d 112x x x =+ ⑧∫+x x a 122∫+++++=x x a x a x x a x d )(222222∫++++=)(d 12222x a x x a x , ⑨∫−x a x d 122∫−−+−+=x a x a x x a x x d )(222222∫−+−+=)(d 12222a x x a x x ,⑩∫−+x x x d 112=∫−x x 112∫−+x x x d 12∫−−−=)1(d 1121arcsin 22x x x .(3) 第二类换元积分法: 设函数f (x ) 连续, 函数x = ϕ (u )有连续的导数, ϕ '(u )≠0, 且∫′u u u f d )()]([ϕϕ.)(C u F +=则∫x x f d )(∫′=u u u f d )()]([ϕϕC u F +=)(.)]([1C x F +=−ϕ (4) 常见的第二类换元法①令u b ax n =+(a , b 为常数且a ≠0) ②令nd cx bax ++= t (其中ac ≠0, b , d 不同时为零) ③令,1u x =④令u = tan 2x , 则sin x =221u u +, cos x =2211u u −+, d x =22d 1uu +.⑤令x = a sin t , = a cos x , d x = a cos t d t , 其中a > 0, t ∈ [0, π/2].⑥令x = a sec t , a tan x , d x = a sec t tan t d t , 其中a > 0, t ∈ (0, π/2).⑦令x = a tan t , a sec x , d x = a sec 2x d t , 其中a > 0, t ∈ (0, π/2).7. 分部积分法(1) 不定积分的分部积分法∫u (x )d v (x ) = u (x )v (x ) - ∫v (x )d u (x )(2) 分部积分法中u (x ), v (x )的常见选取方法① P (x )sin x d x = -P (x )d(cos x ), P (x )cos x d x = P (x )d(sin x ). ② P (x )e x d x = P (x )d(e x ).③ P (x ) ln x d x = ln x d(∫P (x )d x ).④ e ax cos(bx )d x =a 1cos(bx )d(e ax ) =b 1e ax d(sin(bx )), e ax sin(bx )d x =a 1sin(bx )d(e ax ) =b1−e ax d(cos(bx )).(3) 定积分的分部积分法∫′bax x v x u d )()(∫=bax v x u )(d )(.)(d )()()(∫−=babax u x v x v x u8. 平面曲线的弧长(1) 在直角坐标系中: y = f (x ), x ∈[a , b ], 其中,C )()1(],[b a x f ∈取d s =,)d ()d (22y x +则∆s -d s = o(∆x ) (∆x →0), 于是.d )(12∫′+=bax y s(2) 参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ t ∈[α, β], 其中,C )(),()1(],[βαψϕ∈t td s =22)d ()d (y x+,t =于是.d )]([])([22∫′+′=βαψϕt t t s(3) 极坐标系中: ρ = ρ (θ), θ∈[α, β], 则⎩⎨⎧==θθρθθρsin )(cos )(y x , .d )]([)(22∫′+=βαθθρθρs 9. 空间曲线的弧长设空间曲线L 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩ t ∈[α, β], 其中(1)[,](),(),()C ,x t y t z t αβ∈则d s,t = 于是L的长度为.s t βα=∫10. 平面图形的面积(1) 直角坐标系中① y = f (x ) 与 y = g (x )以及x = a , x = b 所围成的图形的面积(其中f (x )≥ g (x )).d )]()([∫−=bax x g x f A② x = ϕ(y ) 与 x = ψ(y )以及y = c , y = d 所围成的图形的面积(其中ψ(y )≥ ϕ(y )).d )]()([∫−=dcy y y A ϕψ(2) 极坐标系中ρ = a θ, θ∈[α, β], ,d )(21d 2θθρ=A .d )(212∫=βαθθρA 11. 空间立体的体积(1) 平行截面面积A (x )已知的立体(a ≤ x ≤ b ): d V = A (x )d x , .d )(∫=bax x A V(2) 旋转体的体积① y = f (x ) (x ∈[a , b ])绕x 轴旋转一周(其中f (x )≥0), A (x ) = π f 2(x ), 故.d )(2∫=b a x x f V π② x = g (y ) (y ∈[c , d ])绕y 轴旋转一周(其中g (y )≥0), A (y ) = πg 2(y ), 故.d )(2∫=dcy y g V π五. 微分方程1. 一阶可分离变量的微分方程:),()(d d y g x f xy=其中f (x ), g (y )连续. )()(d d y g x f x y =x x f y g y d )()(d =⇒∫∫=⇒x x f y g yd )()(d .)()(C x F y G +=⇒ (其中g (y )≠0, )(1)(y g y G =′ F ′ (x ) = f (x ), C 为任意常数) 2. 一阶线性微分方程: ),()(d d x q y x p xy=+其中p (x ), q (x )连续.(1) 对于,0)(d d =+y x p x y分离变量得:,d )(d x x p yy −= ∫=−x x p Ce y d )(( C 为任意常数). (2) 对于),()(d d x q y x p xy=+ ∫=−x x p e x C y d )()(得].d )([d )(d )(C x e x q e y x x p x x p +∫∫=∫− 3. 可经变量代换化为已知类型的几类一阶微分方程 (1) 齐次方程:),,(d d y x f xy= 其中f (tx , ty ) = f (x , y ), .0≠∀t①将原方程化为),(d d x yx y ϕ= ②令x y u =得,ux y = 从而d d d d x u x u x y +=代入原方程并整理得,)(d d u u xux −=ϕ③分离变量, 得,d )(d xxu u u =−ϕ ④两边积分,⑤以xy代替u . (2) 伯努里方程: ,)()(d d αy x q y x p x y=+其中.1,0≠α①两边同除以αy 得),()(d d 1x q y x p xy y =+−−αα②令,1α−=y z 则,d d )1(d d x y y xz αα−−= 原方程化为),()1()()1(d d x q z x p x z αα−=−+ ③解上述关于z 的一阶线性非齐次微分方程,④ 以α−1y 代替z .4. 可降阶的高阶微分方程 (1) )()(x f yn =型(2) 不显含未知函数y 的方程:).,(y x f y ′=′′令,z y =′ 则).,(d d z x f xz= 若解之得),,(1C x z ϕ= 则.d ),(21∫+=C x C x y ϕ (3) 不显含自变量x 的方程: ).,(y y f y ′=′′改取y 为自变量, 令),(y z y z =′= 则.d d d d d d d d yz z x y y z x z y ⋅=⋅==′′ 于是原方程化为).,(d d z y f y zz= 这是关于z (y )的一阶微分方程, 若解之得: ),,(1C y z ϕ= 即),,(d d 1C y x y ϕ= 则.),(d 21∫+=C C y yx ϕ5. 设a 1(x ), a 2(x ) f (x ) ∈ C I , 则∀x ∈I 及任给的初始条件y (x 0) = y 0, y ′(x 0) = y 1, 初值问题⎩⎨⎧=′==+′+′′,)(,)(),()()(100021y x y y x y x f y x a y x a y 存在定义于区间I 上的唯一解y = y (x ).6. 设y 1(x ), y 2(x )是线性齐次方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = 0的两个解, 1212()()()()()y x y x W x y x y x =′′, 则(1) y 1(x ), y 2(x )在区间I 上线性相关 ⇔ ∃x 0∈I 使它们的Wronski 行列式W (x 0) = 0.(2) y 1(x ), y 2(x )在区间I 上线性无关⇔∀x ∈I , 它们的Wronski 行列式W (x ) ≠ 0. 7. 线性齐次方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = 0必存在两个线性无关的解.8. 设y 1(x ), y 2(x )是线性齐次方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = 0的两个线性无关的解, 则该线性齐次方程的解集S 是y 1(x ), y 2(x )生成的一个二维线性空间{}112212|,.y c y c y c c =+为任意常数9. 设y *(x )是二阶线性非齐次方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = f (x ) ①的一个特解, y 1(x ), y 2(x )是对应的齐次方程 y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = 0 ②的两个线性无关的解, 则y = c 1y 1(x ) + c 2y 2(x ) + y *(x )为非齐次方程①的通解. 10. 设)(*x y i 是方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = f i (x ) (i = 1, 2, …, n )的特解,则)()(**1x y x y n ++ 是方程y ″ + a 1(x )y ′ + a 2(x ) y = f 1(x ) + … + f n (x )的特解. 11. 二阶线性常系数齐次方程的解法(1) 特征方程ar 2+br +c = 0有两个相异实根r 1, r 2, 则通解.2121xr xr e c e c y += (2) 特征方程有两个相等实根r 1 = r 2 = r , 则通解.)(21rx e x c c y +=(3) 特征方程有一对共轭复根r = α ± i β, 则通解).sin cos (21x c x c e y xββα+= 12. 二阶线性常系数非齐次方程的解法(1) 待定系数法求ay ″+by ′+cy = f (x ) (a ≠0, b , c 为常数)的特解.① f (x ) = P n (x )e α x .若α不是ar 2+br +c = 0的根, 则令y * = (b 0x n +b 1x n -1 +…+ b n -1x + b n )e α x . 若α是ar 2+br +c =0的单根, 则令y * = x (b 0x n +b 1x n -1 +…+ b n -1x + b n )e α x . 若α是ar 2+br +c =0的重根, 则令y * = x 2(b 0x n +b 1x n -1 +…+ b n -1x + b n )e α x . 再代入原方程, 通过比较系数确定b 0, b 1, …, b n . ② f (x ) = P n (x )e α x cos βx 或f (x ) = P n (x )e α x sin βx .先求ay ″+by ′+cy = P n (x )e α x [cos βx + isin βx ] = P n (x )e (α+i β)x 的特解Y *.则原方程的特解互取为⎪⎩⎪⎨⎧===xe x P xf Y xe x P xf Y y xn xn ββααsin )()( *,Im cos )()( *,Re * (2) 常数变易法13. n 阶Euler 方程: a 0x n y (n ) + a 1x n -1y (n -1) +…+ a n -1xy ′ + a n y = f (x ) (其中a 0, a 1, …, a n 为常数). 14. 二阶Euler 方程的解法.令x = e t, 则ax 2y ′′ + bxy ′ + cy = f (x )化为).(d d )(d d 22te f cy ty a b t y a =+−+这是一个线性常系数微分方程, 求出其通解后将t 换为ln x 即得原方程的解.六. 多元函数微分学1. 偏导数定义00(,)x y zx ∂∂ = z x (x 0, y 0) = f x (x 0, y 0) = x y x f y x x f x ∆−∆+→∆),(),(lim 00000.00(,)x y zy ∂∂ = z y (x 0, y 0) = f y (x 0, y 0) = y y x f y y x f y ∆−∆+→∆),(),(lim 00000.),,()(2222y x f xfx z x z x xx =∂∂=∂∂=∂∂∂∂ ),,()(22y x f y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂=∂∂∂∂),,()(22y x f x y fx y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂=∂∂∂∂ ),,()(2222y x f y f y z y z y yy =∂∂=∂∂=∂∂∂∂2. 可微的必要条件:若函数f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处可微, 则 ① f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处连续;② f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处存在偏导数, 且.d ),(d ),(d 0000),(00y y x f x y x f z y x y x+=3. 全微分的运算法则d[f (x , y ) ± g (x , y )] = d f (x , y ) ± d g (x , y );d[f (x , y )g (x , y )] = g (x , y )d f (x , y ) + f (x , y )d g (x , y );),(),(d ),(),(d ),(),(),(d2y x g y x g y x f y x f y x g y x g y x f −= (g (x , y ) ≠ 0). 4. 方向导数(1) z = f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处沿着向量l 的方向导数00(,)x y z ∂∂lty x f t y t x f t ),()cos ,cos (lim00000−++→βα,其中向量l 的方向余弦为cos α, cos β.(2) 若函数f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处可微, 则f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)处沿任一方向l 的方向导数都存在,且有.cos ),(cos ),(0000),(00βαy x f y x f zy x y x +=∂∂l5. 梯度grad f (x 0, y 0)j.),(i ),(0000y x f y x f y x +=6. 复合函数微分法(1) 设函数u = ϕ(x ), v = ψ(x )在点x 处可导, 而z = f (u , v )在对应的点(u , v )处可微,则复合函数z = f (ϕ(x ), ψ(x ))在点处可导, 且x vv z x u u z x z d d d d d d ∂∂+∂∂=d d grad {,}.d d u v z x x=⋅ (2) 设函数u = ϕ(x , y ), v = ψ(x , y )在点(x , y )处可偏导, 而z = f (u , v )在对应的点(u , v )处可微,则复合函数z = f (ϕ(x , y ), ψ(x , y ))在点(x , y )处存在偏导数, 且xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂},,{grad x v x u z ∂∂∂∂⋅= y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂},,{grad yv y u z ∂∂∂∂⋅= 7. 隐函数微分法(1) 设二元函数F (x , y )满足下列条件:①F x (x , y ), F y (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续. ②F (x 0, y 0) = 0, ③F y (x 0, y 0) ≠ 0.则存在点x 0的一个邻域N (x 0, δ )以及在N (x 0, δ )内定义的唯一的函数y = y (x )满足: (i) y 0 = y (x 0), F (x , y (x )) ≡ 0, ∀x ∈N (x 0, δ ).(ii) 在N (x 0, δ )中, 函数y = y (x )有连续的导数, 且yxF F y −=′ (2) 设n +1元函数F (x 1, x 2, …, x n , y )满足下列条件:①),,,,(21y x x x F n x i (i = 1, 2, …, n ), F y (x 1, x 2, …, x n , y )在点M 0的某邻域内连续. ②F (M 0, y 0) = 0, ③F y (M 0, y 0) ≠ 0.则存在点M 0的一个邻域N (M 0, δ )以及在N (M 0, δ )内定义的唯一的一个n 元函数 y = y (x 1, x 2, …, x n )满足: (i) y 0 = y (M 0),且F (x 1, x 2, …, x n , y (x 1, x 2, …, x n )) ≡ 0, ∀( x 1, x 2, …, x n )∈N (M 0, δ ). (ii) y = y (x 1, x 2, …, x n )在N (M 0, δ )中有一阶连续偏导数, 且y x iF F x yi −=∂∂(i = 1, 2, …, n ).(3) 设三元函数F (x , y , z ), G (x , y , z )满足下列条件:①F x , F y , F z , G x , G y , G z 在点M 0(x 0, y 0, z 0)的某邻域内连续.②F (x 0, y 0, z 0) = 0, G (x 0, y 0, z 0) = 0, ③.00≠M zy z y G G F F则存在点x 0的一个邻域N (x 0, δ )以及在N (x 0, δ )内定义的唯一的一组函数⎩⎨⎧==)()(x z z x y y 满足:(i) y 0 = y (x 0), z 0 = z (x 0), 且⎩⎨⎧≡≡0))(),(,(0))(),(,(x z x y x F x z x y x F ∀x ∈N (x 0, δ ).(ii) y = y (x ), z = z (x )在N (x 0, δ )中均有连续的导数,且,),(),(),(),(d d z y G F x z G F x y ∂∂∂∂=,),(),(),(),(d d z y G F y x G F x z ∂∂∂∂=其中,),(),(x z x z G G F F x z G F =∂∂,),(),(zy zy G G F F z y G F =∂∂.),(),(yx yx G G F F y x G F =∂∂8. 切线方程与法平面方程(1) 设曲线Γ的参数方程为(),(),(),x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩ M 0, M 的坐标分别为(x (t 0), y (t 0), z (t 0)), 则切线方程为)()()(000000t z z z t y y y t x x x ′−=′−=′− 故切向量为a = {x ′(t 0), y ′(t 0), z ′(t 0)}, 法平面的方程为x ′(t 0)(x -x 0) + y ′(t 0) (y -y 0) + z ′(t 0)(z -z 0) = 0. (2) 设曲线Γ的方程为⎩⎨⎧==),(),(x z z x y y 则点))(),(,(0000x z x y x M 处的切线方程为)()()()(100000x z x z z x y x y y x x ′−=′−=− 法平面方程为:(x -x 0) + y ′(x 0) (y -y (x 0)) + z ′(t 0)(z -z (x 0)) = 0.(3) 设曲线Γ的方程为⎩⎨⎧==,0),,(,0),,(z y x G z y x F 它确定⎩⎨⎧==),(),(x z z x y y 则点M 0处的切线方程为:00),(),(),(),(),(),(000M M M y x G F z z x z G F y y z y G F x x ∂∂−=∂∂−=∂∂−法平面方程为:.0)(),(),()(),(),()(),(),(000000=−∂∂+−∂∂+−∂∂z z y x G F y y x z G F x x z y G F M M M9. 切平面方程与法线方程(1) Σ: F (x , y , z ) = 0在点M 0(x 0, y 0, z 0)处的切平面方程为,0))(())(())((000000=−+−+−z z M F y y M F x x M F z y x法线方程为)()()(000000M F z z M F y y M F x x z y x −=−=−(2) Σ: z = f (x , y )在点M 0(x 0, y 0, z 0)处的切平面方程为,0)())(,())(,(0000000=−−−+−z z y y y x f x x y x f y x法线方程为1),(),(0000000−−=−=−z z y x f y y y x f x x y x10. 多元函数的Taylor 公式设二元函数f (x , y )在点M 0(x 0, y 0)的某邻域N (M 0)内有n +1阶连续偏导数. 则 ∀M (x 0+∆x , y 0+∆y )∈N (M 0), 有),(00y y x x f ∆+∆+),()(),(0000y x f y y x x y x f ∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+= +∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+),((!21002y x f yy x x),()(!100y x f y y xx n n ∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+),()()!1(1001y y x x f y y x x n n ∆+∆+∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+++θθ 其中0<θ <1.上式称为二元函数f (x , y )在点M 0处带有Lagrange 型余项的n 阶Taylor 公式. 特殊情形 (1) 中值公式),(00y y x x f ∆+∆+y y y x x f x y y x x f y x f y x ∆∆+∆++∆∆+∆++=),(),(),(000000θθθθ其中0<θ <1.(2) 一阶Taylor 公式),(00y y x x f ∆+∆+),((),(0000y x f y y xx y x f ∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+=),()(21002y y x x f yy x x ∆+∆+∂∂⋅∆+∂∂⋅∆+θθ0],[),(00M y x f f y x y x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆∆∆+y x M H y x f )(],[21*其中M *(x 0+θ∆x , y 0+θ∆y ), 0<θ <1, H f (M )为f 在点M (x , y )处的Hessian 矩阵.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡yy xy xy xx f f f f(3) Maclaurin 公式f (x , y ) = f (0, 0)∑=∂∂+∂∂⋅+nk k f y y x x k 1)0,0()(!1),(()!1(11y x f y y x x n n ∆∆∂∂⋅+∂∂⋅+++θθ, 其中0<θ <1.七. 数量函数积分1. 数量函数积分的定义 ∫Ω f (M )d Ω = 01lim()nkk d k f M→=∆Ω∑.2. 数量函数积分的性质(1) ∫Ω [a f (M ) + b g (M )]d Ω = a ∫Ω f (M )d Ω + b ∫Ω g (M )d Ω, 其中a , b 为常数.(2) ∫Ω f (M )d Ω = ∫Ω1 f (M )d Ω + ∫Ω2 f (M )d Ω, 其中Ω = Ω1∪Ω2, 且Ω1与Ω2无公共内点. (3) f (M ) ≤ g (M ) (∀M ∈Ω) ⇒ ∫Ω f (M )d Ω ≤ ∫Ω g (M )d Ω. (4) |∫Ω f (M ) d Ω| ≤ ∫Ω | f (M )|d Ω.(5) a ≤ f (M ) ≤ b (∀M ∈Ω) ⇒ aV ≤ ∫Ω f (M )d Ω ≤ bV , 其中V 为Ω的度量. (6) f (M ) ∈ C Ω ⇒ ∃M ∗∈Ω s.t. ∫Ω f (M )d Ω = f (M ∗)V , 其中V 为Ω的度量. 3. 直角坐标系下的二重积分的计算(1) D = {(x , y ) | a ≤ x ≤ b , ϕ1(x ) ≤ y ≤ ϕ2(x )}, 则∫∫D f (x , y )d σ =21()()d (,)d bx ax x f x y y ϕϕ∫∫.(2) D = {(x , y ) | c ≤ y ≤ d , ψ1(y ) ≤ x ≤ ψ2(y )}, 则∫∫D f (x , y )d σ =21()()d (,)d dy cy y f x y x ψψ∫∫.4. 二重积分换元法设函数f (x , y )在有界闭区域D 上连续, x = ϕ(u , v ) 和 y = ψ(u , v )有一阶连续偏导数, 且Jacobi 行列式J (u , v ) =(,)(,)x y u v ∂∂=u vu vϕϕψψ≠ 0,则 ∫∫D f (x , y )d x d y = ∫∫D f (ϕ(u , v ), ψ(u , v ))|J (u , v )|d u d v .5. 极坐标系下二重积分的计算令x = ρcos ϕ, y = ρsin ϕ, 则∫∫D f (x , y )d x d y = ∫∫D f (ρcos ϕ, ρsin ϕ)ρd ρd ϕ. (1) 极点O 在D 的外部D = {(ϕ, ρ) | α ≤ ϕ ≤ β, ρ1(ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2(ϕ)}, 则∫∫D f (x , y )d x d y =21()()d (cos ,sin )d f βρϕαρϕϕρϕρϕρρ∫∫.(2) 极点O 在D 的边界曲线上D = {(ϕ, ρ) | α ≤ ϕ ≤ β, 0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ)}, 则∫∫D f (x , y )d x d y =()d (cos ,sin )d f βρϕαρϕρϕρϕρ∫∫.(3) 极点O 在D 的内部D = {(ϕ, ρ) | 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ ρ(ϕ)}, 则∫∫D f (x , y )d x d y =2()d (cos ,sin )d f πρϕϕρϕρρρϕ∫∫.6. 广义极坐标变换令x = a ρcos ϕ, y = b ρsin ϕ, 则∫∫D f (x , y )d x d y = ∫∫D f (a ρcos ϕ, b ρsin ϕ)ab ρd ρd ϕ. 7. 直角坐标系下三重积分的计算(1) Ω = {(x , y , z ) | (x , y ) ∈ D xy , z 1(x , y ) ≤ z ≤ z 2(x , y )}, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =21(,)(,)[(,,)d ]d d xyz x y z x y D f x y z z x y ∫∫∫. (2) Ω = {(x , y , z ) | (y , z ) ∈ D yz , x 1(y , z ) ≤ x ≤ x 2(y , z )}, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =21(,)(,)[(,,)d ]d d yzx y z x y z D f x y z x y z ∫∫∫.(3) Ω = {(x , y , z ) | (z , x ) ∈ D zx , y 1(z , x ) ≤ y ≤ y 2(z , x )}, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =21(,)(,)[(,,)d ]d d zxy z x y z x D f x y z y z x ∫∫∫.(4) Ω = {(x , y , z ) | (x , y ) ∈ D (z ), p ≤ z ≤ q }, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =()[(,,)d d ]d qpD z f x y z x y z ∫∫∫. (5) Ω = {(x , y , z ) | (y , z ) ∈ D (x ), a ≤ x ≤ b }, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =()[(,,)d d ]d ba D x f x y z y z x ∫∫∫. (6) Ω = {(x , y , z ) | (z , x ) ∈ D (y ), c ≤ y ≤ d }, 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v =()[(,,)d d ]d d cD y f x y z z x y ∫∫∫.8. 柱面坐标系下三重积分的计算令x = ρcos ϕ, y = ρsin ϕ, z = z , 则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v = ∫∫∫Ω f (ρcos ϕ, ρsin ϕ, z )ρd ϕd ρd z . 9. 球面坐标系下三重积分的计算令x = r sin θcos ϕ, y = r sin θsin ϕ, z = r cos θ,则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v = ∫∫∫Ω f (r sin θcos ϕ, r sin θsin ϕ, r cos θ)r 2sin θd r d θd ϕ. 10. 广义球坐标系下三重积分的计算令x = ar sin θcos ϕ, y = br sin θsin ϕ, z = cr cos θ,则∫∫∫Ω f (x , y , z )d v = ∫∫∫Ω f (ar sin θcos ϕ, br sin θsin ϕ, cr cos θ)abcr 2sin θd r d θd ϕ.11. 第一型曲线积分的计算(1) L : y = y (x ) ∈(1)[,]C,a b 则 ∫L f (x , y )d s=(,(baf x y x x ∫.(2) L : x = x (y ) ∈(1)[,]C ,c d 则 ∫L f (x , y )d s=((),dcf x y y y ∫.(3) L : x = x (t ), y = y (t ) ∈(1)[,]C ,αβ 则 ∫L f (x , y )d s=((),(f x t y t t βα∫.(4) L : ρ = ρ(ϕ) ∈(1)[,]C,αβ 则 ∫L f (x , y )d s=(()sin ,()cos f βαρϕϕρϕϕϕ∫.(5) L : x = x (t ), y = y (t ), z = z (t ) ∈(1)[,]C ,αβ 则∫L f (x , y , z )d s=((),(),(.f x t y t z t t βα∫12. 第一型曲面积分的计算(1) 设Σ: z = z (x , y )分片光滑, f 在Σ上连续, Σ在xOy 平面上的投影区域为D xy ,则∫∫Σ f (x , y , z )d A=(,,(,d xyD f x y z x y x y ∫∫.(2) 设Σ: y = y (z , x )分片光滑, f 在Σ上连续, Σ在zOx 平面上的投影区域为D zx ,则∫∫Σ f (x , y , z )d A=(,(,),d zxD f x y z x z z x ∫∫.(3) 设Σ: x = x (y , z )分片光滑, f 在Σ上连续, Σ在yOz 平面上的投影区域为D yz ,则∫∫Σ f (x , y , z )d A=((,),,d yzD f x y z y z y z ∫∫.13. 线密度为µ(x , y )的平面曲线段L 的质心坐标(x ,y )(,)d (,)d LLx x y s x x y s µµ=∫∫,(,)d (,)d LLy x y s y x y sµµ=∫∫.14. 面密度为µ(x , y )的平面薄片D 的质心坐标(x ,y )(,)d d (,)d d DDx y x y x x y x y x µµ=∫∫∫∫,(,)d d (,)d d DDx y x y y x y x yy µµ=∫∫∫∫. 15. 密度为µ(x , y , z )的空间立体Ω的质心坐标(x ,y ,z )(,,)d d d (,,)d d d x y z x y z x x y z x y x z µµΩΩ=∫∫∫∫∫∫,(,,)d d d (,,)d d d x y z x y z y x y z x y y z µµΩΩ=∫∫∫∫∫∫, (,,)d d d (,,)d d d x y z x y z z x y z x y z zµµΩΩ=∫∫∫∫∫∫.16. 线密度为µ(x , y )的平面曲线段L 对x 轴的转动惯量I x = ∫L y 2µd s , 对y 轴的转动惯量I y = ∫L x 2µd s . 17. 面密度为µ(x , y )的平面薄片D 对x 轴的转动惯量I x = ∫∫D y 2µd σ, 对y 轴的转动惯量I y = ∫∫D x 2µd σ. 18. 密度为µ(x , y , z )的空间立体Ω关于x 轴, y 轴, z 轴的转动惯量I x , I y , I z .I x = ∫∫∫Ω (y 2+ z 2)µd x d y d z , I y = ∫∫∫Ω (z 2+ x 2)µd x d y d z , I z = ∫∫∫Ω (x 2+ y 2)µd x d y d z .19. 线密度为µ(x , y )的平面曲线段 L 对位于L 外的点M 0(x 0, y 0)处的单位质点的引力F 的两个分量F x =03()(,)d L k x x x y s r µ−∫, F y =03()(,)d L k y y x y s rµ−∫, 其中k 为引力常数, r20. 面密度为µ(x , y , z )的曲面块Σ对Σ外的一点M 0(x 0, y 0, z 0)处单位质点的引力F 的三个分量F x =03()d k x x A r µΣ−∫∫, F y =03()d k y y A r µΣ−∫∫, F z =03()d k z z A rµΣ−∫∫,。
大学高等数学公式大全第一部分：微积分基础一、导数1. 导数的定义：导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的运算法则：常数函数的导数为0。
幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1，即d/dx(x^n) =nx^(n1)。
指数函数的导数为指数函数乘以指数，即d/dx(a^x) = a^xln(a)。
对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数，即d/dx(ln(x)) =1/x。
三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) =sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
3. 高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
例如，f''(x)表示二阶导数。
二、积分1. 定积分的定义：定积分是一个函数在某个区间上的累积和，表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 积分的运算法则：常数函数的积分为其乘以区间长度，即∫[a,b]c dx = c(ba)。
幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度，即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。
指数函数的积分为其指数函数除以指数，即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。
对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度，即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。
三角函数的积分：∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C，∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C，∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。
3. 积分的性质：积分与导数互为逆运算，即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。
积分区间可以改变顺序，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。
积分可以分解为多个区间上的积分，即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
高等数学常用公式大全1.微分学公式：- 导数的定义：若函数y=f(x)在点x0处可导，则其导数为f'(x0)=lim(x→x0)(f(x)-f(x0))/(x-x0)-基本导数公式：- (1) 常数函数的导数：d(C)/dx = 0，其中C为常数- (2) 幂函数的导数：d(x^n)/dx = n*x^(n-1)，其中n为实数- (3) 指数函数的导数：d(e^x)/dx = e^x- (4) 对数函数的导数：d(ln(x))/dx = 1/x- (5) 三角函数的导数：d(sin(x))/dx = cos(x)，d(cos(x))/dx = -sin(x)，d(tan(x))/dx = sec^2(x)，d(cot(x))/dx = -csc^2(x)，d(sec(x))/dx = sec(x)*tan(x)，d(csc(x))/dx = -csc(x)* cot(x)2.积分学公式：- 不定积分的性质：∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx，∫k*f(x)dx = k*∫f(x)dx，其中f(x)和g(x)是可积函数，k是常数-基本积分公式：- (1) 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C，其中n不等于-1- (2) 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数- (3) 对数函数的不定积分：∫1/x dx = ln，x， + C- (4) 三角函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C，∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C，∫sec(x) dx = ln，sec(x)+tan(x)， + C，∫csc(x) dx = ln，csc(x)-cot(x)， + C3.微分方程公式：- 一阶线性微分方程：dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数，分别称为系数函数和非齐次项函数。
