04自主招生物理讲义：质心的计算拓展【讲师版】

rc
rdm
r
O
dm
dm
2
xdm xC dm
,
ydm yC dm
,
zdm zC dm
注意： 1.质心的坐标值与坐标系的选取有关；
2.质量分布均匀、形状对称的实物，质心
位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合； 4. 质点到质心的距离之比与其质量成反比； 5. 质心可以不在物体之内。
x1
l
O
Hale Waihona Puke xc xcx2' x2
S
S
x
开始时，系统质心位置
mx1 Mx2 xc mM
终了时，系统质心位置
mx1 Mx2 xc mM ml S 解得 mM
第3章动量与角动量
M ( x2 x2 ' ) m( x1 ' x1 ) S lS Ml s lS mM
i
画系统 受力图
iX
0
PX 0
MVX mx 0
x VX X

是m相对于小车的速度
m VX X M m
12
第3章动量与角动量
m VX X M m
t 0 X
t m X VX dt 0 X dt 0 M m t
M ydm 0 Rsin πR Rd 2 R yc M M π
π
dm

O
x
xc 0
几何对称性
说明 (1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上；
(2) 质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与 其他因素无关。
第3章动量与角动量 6

浅谈物体质心求法班级：计科1012班学号：2010125142 姓名：周海摘要：在讨论一个质点系的运动时，我们常常引入质量中心（简称质心）的概念。

很多物体的形状是不规则的不连续的，在讨论这些物体的运动时准确的求出它们的质心就显得很重要。

同时，微积分和坐标系在这里应用的也很广。

关键词：质心，质量，位置矢量（位矢）。

正文：一：质心定义及求质心相关公式设一个质点系由N个质点组成，以m1,m2,…mi,…,mN分别表示各质点的质量，以r1,r2,…,r i,…，r N分别表示各质点对某一坐标原点的位矢（图3.12）。

我们用公式定义这一质点系的质心的位矢，式中是质点系的总质量。

利用位矢沿直角坐标轴的分量，由式（3.12）可以得到质心坐标表达式如下：一个大的连续物体，可以认为是由许多质点（或质元）组成的，以d m表示其中任一质元的质量，以r表示其位矢，则大物体的质心位置可用积分法求得，即有它的三个直角坐标分量式分别为：二：相关例题上题是利用上述公式所求得物体质心的。

对于均匀直棒、均匀圆盘、均匀球体等形体的物体均可以运用上述公式求得它们的质心就在它们的几何对称中心上。

这题是狠抓定义再结合割补的思想完成的。

对于求像这类不规则的物体的质心，一般要抓住定义做，同时也需要结合物体的特点灵活地运用相应的方法处理。

三：小结从以上两个例题中我们可以看到求物体质心的方法。

其实关键就是要狠抓定义和公式，其他的全是数学问题了。

从中我们看到了微积分和坐标系的重要运用，如果数学这一部分不过关，就很艰难，所以学好数学对物理的学习是很重要的。

在学习这一部分时我们要抓住所要求的物体的特征并且需要一定的灵活变通。

例如学会灵活割补法，灵活建立最合适的正确的直角坐标系等。

上课之前认真预习，上课跟着老师转认真听讲，课后及时完成作业才能最终真正地掌握好所学知识。

参考文献：《大学物理学》张三慧（第二版）。

第三讲 质心运动定理与刚体转动定律 2018.10.16多个质点构成的系统，假设系统的质量可以集中于一点，这个点即为质量中心，简称质心。

质心是质点系质量分布的平均位置，与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。

值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。

一、质心运动定理设系统由n 个质点组成，各质点的质量分别为n m m m ⋅⋅⋅21、，位矢分别是n r r r ⋅⋅⋅21、，则此质点系质心的位置矢量C r 为nn n C m m m r m r m r m r +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=212211 因此，质心的加速度 nn n C m m m a m a m a m a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=212211 设第i 个质点所受的外力为i F ，第j 个质点对第i 个质点所受的作用力为)(i j f ji ≠，则对每个质点应用牛顿第二定律有 11131211a m f f f F n =+⋅⋅⋅+++22232122a m f f f F n =+⋅⋅⋅+++∙∙∙∙∙∙将n 个式子相加，并注意到质点间的相互作用力有ij ji f f -=，得n n n a m a m a m F F F +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++221121令F 21=+⋅⋅⋅++n F F F ，称为质点系所受到的合外力，m m m m n =+⋅⋅⋅++21，称为质点系的总质量，则C ma =F这表明，质点系所受的合外力等于质点系的总质量与其质心加速度的乘积，这就是质心运动定理。

二、质心运动守恒定理如果作用于质点系的合外力恒等于零，则质心将处于静止或匀速直线运动状态。

如果作用于质点系的所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零，则质心在该轴的方向上将处于静止或匀速直线运动状态。

三、刚体的转动定律刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体，是一种理想模型。

③第1s、第2s、…第ns的位移之比：
x : x : : xN 1: 3 : : (2n 1) ④前1m、前2m、…前nm所用时间之比：
t1 : t2 : : tn 1: 2 : : n
⑤第1m、第2m、…第nm所用时间之比：
t : t : : tN 1: ( 2 1) : : ( n n 1)
r2 min
(v12
v22
2v1v2 cos )L2 L2 (v1 v2 (v12 v22 2v1v2 cos )
cos )2
L2v22 sin2
v12 v22 2v1v2 cos
故此过程中两质点间距离的最小值为
rmin
Lv2 sin v12 v22 2v1v2 cos
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P从A到B1：
v12
-
v
2 0
-（2 g
sin
g
cos）L
②
P从B1到B2： v12 2g sin L
联立以上三式求解得：
v1
mg sin mg cos
3 3
v0
③
tan
所以从B1回到A的过程中，P做匀速直线运动。
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例7．（北约2013题19．12分）某车辆在平直路面上作行驶测试，
vA vB 3 2
vA 6 vB
vB vC 6 2
vC 12 vB
vB
vA2 vC2 2
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方法三：图像法
v/ms-1
vC
6 vB
23 3 vA
o
t/s
t1
t2
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（3）中间时刻速度法 •中间时刻的瞬时速度等于全程的平均速度。有些题目中应用 它可以避免常规解法中应用位移公式列出的含有时间的平方 的复杂式子，从而简化解题过程，提高解题速度。