试 题 二 （考试时间：120分钟）
一、填空（每小题4分，共32分） 1．若矩阵A 相似于矩阵{}2,1,1−diag ，则3
1−A
= 。
2．设33)(×=ij a A 是实正交矩阵且111=a ，T
b )0,0,1(=，则方程组A X =b 的解为 3．设n 阶方阵A 满足2
340A A E −+=，则1
)4(−+E A = 。
4．设A 为4×3阶矩阵，且R (A )=2，又⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=301020204B ，则R (A B)- R (A )=
5．若二次型
31212
322213212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定的，则
t 满足 。
6．已知三阶方阵A 的特征值为2，3，4，则A 2= 。
7．已知五阶实对称方阵A 的特征值为0，1，2，3，4，则R (A )= 。 8．设⎟⎟⎠
⎞⎜
⎜⎝⎛=1201A 则=k
A 。（k 为正整数）。 二、（10分）计算行列式：112230000000
00000011
1
1
1
n n a a a a a D a a −−−=
−L L L M M M O M M L L 三、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+−+=+−+=+−+3
23432424321
43214321x x x x x x x x x x x x λ
讨论λ为何值时，方程组无解，有解？在有解的情况下，求出全部解。
四、（10分）已知二次型322
32
22
13214332),,(x x x x x x x x f +++=
（1）把二次型f 写成Ax x x x x f T
=)(321，，的形式； （2）求矩阵A 的特征值和特征向量；
（3）求正交阵Q，使f 通过正交变换X QY =化为标准形。
五、（10分）已知向量组T
)2,0,4,1(1=α，T
)3,1,7,2(2=α，T a ),1,1,0(3−=α，
T
b )4,,10,3(=β，试讨论（1）a,b 取何值时，β不能由331,,ααα线性表出；
（2）a,b 取何值时，β可以由331,,ααα线性表出。此时写出具体的表达式。
六、（10分）设3阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值，
()T
0,1,11=α，()T 1,1,22=α，()T 3,2,13−−=α都是A 的属于特征值6的特征向量。
（1）求A 的另一个特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵A 。 七、（12分）已知R 3
中两组基T
)
0,0,1(1=εT )0,1,0(2=ε，T )1,0,0(3=ε；及()T 0,0,11=α，
()T 0,1,12=α，T )1,1,1(3=α。
（1） 求由基321,,εεε到基331,,ααα的过渡矩阵A ；
（2） 设由基331,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为⎟
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=100001111B ，求321,,βββ；
（3） 已知向量ξ在基321,,βββ的坐标为()T
3,2,1，求ξ在基331,,ααα的坐标。
八、设T uu E A −=，E 为n 阶单位阵，u 为n 维非零向量，T u 为u 的转置，
证明: （1）A A =2
的充要条件是1=u u T ；
（2）当1=u u T
时，A 是不可逆的。
试题二参考答案
一、填空
1、 – 1/8 2 、(1,0,0)T
3、 –( A-7E)/31
4、0
5、22<<−t
6、192
7、4
8、⎟
⎟⎠
⎞
⎜
⎜⎝⎛1201k 二 解：提示，第i 列加至第i+1列，i=1,…,n,则D=
1
21000
021+−−n a a L M M M M L L =(-1)n
(n+1)∏=n
i i a 1. 三 解：增广矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡−−→⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡−−−110 404 000010101332 44 121131121λλ (1) 当λ=4时，R(B)=3,R(A)=2,所以无解。
(2) 当4≠λ时，R(B)=R(A)=3<4,方程组有无穷解。
令03=x , 得一特解T
),0,1,(41440−−−=λλη；易得方程组的基础解系 T
)0,1,0,1(=η。 所以方程组的通解为0ηη+=k x 。
四 解：(1)⎟
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛==321321*********),,(x x x x x x Ax x f T
.
(2) 由03
2
23
00
02
=−−−−−=
−λλλλA E ，得5,2,1321===λλλ。
当11=λ 时，得对应的特征向量T
)110(1−=α； 当22=λ时，得对应的特征向量T )00
1(2=α；
当53=λ时，得对应的特征向量T
)110(3=α；
