中山大学数学分析教案

中山大学数学分析教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念与性质引入极限的概念，讨论极限的存在性与不存在的条件。

探讨极限的性质，如保号性、保不等式性等。

1.3 极限的计算方法介绍常见极限的计算方法，如直接计算、有理化、代数法、三角法等。

1.4 无穷小与无穷大定义无穷小的概念，讨论无穷小的性质与比较。

引入无穷大的概念，讨论无穷大的性质与比较。

第二章：微分学2.1 导数的概念与性质引入导数的定义，讨论导数的性质，如导数的单调性、连续性等。

2.2 导数的计算方法介绍常见函数的导数计算方法，如幂函数、指数函数、对数函数等。

探讨高阶导数的计算方法。

2.3 微分学的基本定理介绍微分学的基本定理，如费马定理、链式法则、乘积法则等。

2.4 微分学的应用探讨微分学在实际问题中的应用，如最优化问题、曲线的切线与法线等。

第三章：积分学3.1 不定积分的基本概念与性质引入不定积分的概念，讨论不定积分的性质，如线性性质、保号性等。

3.2 不定积分的计算方法介绍常见的不定积分计算方法，如基本积分表、换元积分、分部积分等。

3.3 定积分的基本概念与性质引入定积分的概念，讨论定积分的性质，如可积性、保号性等。

3.4 定积分的计算方法介绍常见的定积分计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等。

第四章：级数4.1 级数的基本概念与性质引入级数的概念，讨论级数收敛与发散的条件。

4.2 幂级数的基本概念与性质介绍幂级数的概念，讨论幂级数的收敛半径与收敛区间。

4.3 幂级数的展开与应用探讨幂级数的泰勒展开与麦克劳林展开，讨论级数展开的实际应用。

4.4 傅里叶级数的基本概念与性质引入傅里叶级数的概念，讨论傅里叶级数的收敛条件与应用。

第五章：常微分方程5.1 微分方程的基本概念与性质引入微分方程的概念，讨论微分方程的解的存在性与唯一性。

5.2 常微分方程的解法介绍常见的常微分方程解法，如分离变量法、积分因子法、变量替换法等。

数学系本科生课程设置与简介01101011 数学分析(1) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：112 学分：7简介：“数学分析”是数学专业最重要的一门专业课。

第一学期主要内容是分析基础。

第一章函数、第二章极限、第三章连续函数、第四章实数的连续性、第五章导数与微分、第六章微分基本定理及其应用、第七章不定积分、第八章定积分。

先修课要求：无教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：秋01101021 数学分析(2) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：144 学分：8简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数微分学。

级数是数学分析的重要组成部分，它分为数值级数和函数级数。

数值级数是函数级数的特殊情况，也是函数级数的基础；函数级数是表示非初等函数的一个重要的数学工具，它在自然科学、工程技术和数学本身都有广泛的应用。

多元函数微分学是一元函数微分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。

并且对某些概念和定理作了进一步的发展。

先修课要求：数学分析(1)教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：春01101031 数学分析(3) mathematical analysis课程性质：专业基础课课内学时：40 学分：2简介：本学期将在此基础上继续学习级数和多元函数积分学。

多元函数积分学是一元函数积分学的推广，隐函数、反常积分与含参变量的积分、重积分和曲线积分与曲面积分。

并且对某些概念和定理作了进一步的发展。

先修课要求：数学分析(1) 、数学分析(2)教材及参考书：《数学分析讲义》刘玉琏傅沛仁编高等教育出版社适用专业：数学与应用数学开课学期：秋01101041 数学分析选讲 Selected Topics of Analysis课程性质：专业选修课课内学时：48 学分：2简介：数学分析教材自身科学规律概述、数学分析的思想方法与表达方式浅析、数学分析解题方法概述、关于数学分析中何种类型习题宜于用反证法证明的问题、形式逻辑与辩证逻辑方面易出现的错误及其分析、函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数、中值定理与导数的应用、实数的基本定理、不定积分、定积分、数项级数、函数列与函数项级数、含参量正常积分、黎曼积分概念与性质，重积分的计算、曲线积分、曲面积分、各类积分间的联系、非正常积分、含参量非正常积分。

中山大学数学分析教案第一章：极限与连续1.1 极限的概念引入极限的直观意义讲解极限的定义及性质举例说明极限的存在与不存在情况1.2 极限的计算讲解极限的基本计算方法无穷小与无穷大的概念及比较极限的运算法则1.3 连续函数引入连续函数的定义讲解连续函数的性质及判定条件举例说明连续函数的性质及应用第二章：导数与微分2.1 导数的概念引入导数的定义及直观意义讲解导数的计算方法举例说明导数的应用2.2 导数的计算讲解基本函数的导数公式高阶导数的概念及计算方法隐函数与参数方程函数的导数计算2.3 微分及其应用引入微分的概念及意义讲解微分的计算方法举例说明微分在实际问题中的应用第三章：积分与面积3.1 积分的基本概念引入积分的定义及直观意义讲解积分的性质及计算方法举例说明积分的应用3.2 定积分的计算讲解定积分的计算方法定积分的换元法与分部积分法定积分的应用3.3 面积与体积的计算举例说明定积分在几何图形面积计算中的应用讲解定积分在旋转体体积计算中的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念引入微分方程的定义及意义讲解微分方程的分类及解法4.2 线性微分方程讲解线性微分方程的解法及性质举例说明线性微分方程的应用4.3 非线性微分方程讲解非线性微分方程的解法及性质举例说明非线性微分方程的应用第五章：级数5.1 级数的基本概念引入级数的定义及直观意义讲解级数的性质及收敛性判定5.2 幂级数讲解幂级数的定义及性质幂级数的展开及应用5.3 傅里叶级数讲解傅里叶级数的定义及性质举例说明傅里叶级数在信号处理中的应用第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的基本概念引入多元函数的定义及图形表示讲解多元函数的极限与连续性6.2 多元函数的导数讲解多元函数的导数概念及计算法则举例说明多元函数导数的应用6.3 多元函数的微分引入多元函数的微分概念讲解微分的计算及应用第七章：重积分7.1 重积分的基本概念引入重积分的定义及直观意义讲解重积分的性质及计算方法7.2 一重积分讲解一重积分的计算方法举例说明一重积分在几何与物理中的应用7.3 二重积分讲解二重积分的计算方法举例说明二重积分在几何与物理中的应用第八章：向量分析8.1 向量及其运算引入向量的定义及其几何表示讲解向量的运算规则及性质8.2 空间解析几何讲解空间解析几何的基本概念及方法举例说明空间解析几何的应用8.3 曲线与曲面的方程讲解曲线与曲面的方程及其性质举例说明曲线与曲面的应用第九章：常微分方程9.1 常微分方程的基本概念引入常微分方程的定义及意义讲解常微分方程的分类及解法9.2 一阶微分方程讲解一阶微分方程的解法及性质举例说明一阶微分方程的应用9.3 高阶微分方程讲解高阶微分方程的解法及性质举例说明高阶微分方程的应用第十章：数值分析10.1 数值分析的基本概念引入数值分析的意义及方法讲解数值分析的基本原则及方法10.2 数值计算误差讲解数值计算的误差来源及影响举例说明误差估计及控制的方法10.3 数值方法的应用举例说明数值方法在微积分学中的应用讲解数值方法在其他领域的应用重点和难点解析重点一：极限的概念与性质极限的定义及其直观意义是教学重点，需要学生充分理解。

数学分析（一）电子教案杨小康第一章 实数集与函数本章教学要求:1.加深理解实数的浓密性、绝对值不等式。

2.深切理解一元函数的概念、分段函数的几何特性（尤其是函数有界、无界的分析概念），掌握复合函数、单调函数、奇函数和偶函数；3.理解反函数、周期函数；4.对大体初等函数和初等函数要熟练掌握其运算、几何形状，对以前没有接触过的Dirichlet 函数，符号函数，Gauss 函数等要熟悉。

5.掌握区间与邻域、掌握和应用确界概念、确界原理。

§ 1实数教学目的：熟练掌握实数及主要性质、绝对值概念及其不等式性质。

教学内容：实数的大体性质和绝对值的不等式． 大体要求：1）掌握实数的大体性质：实数的有序性，浓密性，阿基米德性，实数的四则运算。

2）掌握和熟练运用几个重要的绝对值不等式。

一．实数及其性质：有理数：(,0)p q q ⎧≠⎪⎨⎪⎩p 能用互质分数 为整数，表示的数；q有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 例1 设 p 正整数，若p 不是完全平方数，则p 是无理数证明：反证法。

若p 是有理数，则p 可表示成：mnp =，从而整数p 可表示成： 22mn p =⇒ p 是完全平方数，矛盾若规定： 012012..(1)999n n a a a a a a a a =-则有限十进小数都能表示成无穷循环小数。

例如：001.2 记为 999000.2 ；0 记为 000.0 ；8- 记为 999.7- 实数大小的比较概念1 给定两个非负实数n n b b b b y a a a a x 210210.,.==其中 k k b a , 为非负整数，9,0≤≤k k b a 。

如有1） ,2,1,0,==k b a k k 则称 x 与 y 相等，记为 y x =2） 若存在非负整数 l ，使得),,2,1,0(,l k b a k k ==，而11++>l l b a ，则称x 大于 y （或 y 小于 x ），别离记为 y x >（或x y <）。

数学分析专题选讲教案一、引言1.1 课程背景1.2 课程目标1.3 课程内容概述1.4 教学方法与手段二、函数极限与连续性2.1 函数极限的概念2.2 极限的性质与运算2.3 无穷小与无穷大2.4 函数的连续性2.5 连续函数的性质与应用三、导数与微分3.1 导数的概念3.2 导数的计算规则3.3 高阶导数3.4 隐函数与参数方程函数的导数3.5 微分学的基本定理与应用四、不定积分与定积分4.1 不定积分的基本概念与计算方法4.2 定积分的基本概念与计算方法4.3 定积分的性质与应用4.4 变限积分的导数4.5 定积分的推广与应用五、微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 常微分方程的解法5.3 线性微分方程5.4 微分方程的应用5.5 线性微分方程组六、级数6.1 级数的基本概念6.2 幂级数6.3 泰勒级数与麦克劳林级数6.4 级数的收敛性6.5 级数的应用七、多元函数微分学7.1 多元函数的基本概念7.2 多元函数的极限与连续性7.3 多元函数的偏导数7.4 全微分与高阶偏导数7.5 多元函数的极值及其判定八、重积分8.1 二重积分的基本概念与计算8.2 二重积分的性质与应用8.3 三重积分的基本概念与计算8.4 三重积分的性质与应用8.5 重积分的应用案例九、常微分方程组9.1 常微分方程组的概述9.2 常微分方程组的解法9.3 常微分方程组的解的存在性与唯一性9.4 常微分方程组的应用9.5 常微分方程组的数值解法十、泛函分析与线性空间10.1 泛函分析的基本概念10.2 线性空间与线性映射10.3 内积空间与正交关系10.4 希尔伯特空间与巴拿赫空间10.5 泛函分析在数学分析中的应用十一、微分几何11.1 微分几何基本概念11.2 曲线和曲面的切线与法线11.3 曲率、挠率和曲率张量11.4 测地线与测地线方程11.5 微分几何在物理学和工程学中的应用十二、偏微分方程12.1 偏微分方程的定义与分类12.2 偏微分方程的基本解法12.3 偏微分方程的解的存在性与唯一性12.4 偏微分方程的应用案例12.5 偏微分方程的数值解法十三、复变函数13.1 复数与复平面13.2 复变函数的基本概念13.3 复变函数的积分13.4 复变函数的级数13.5 复变函数在复平面上的应用十四、随机变量与概率积分14.1 随机变量及其分布14.2 随机变量的数字特征14.3 概率积分与变换14.4 随机过程的基本概念14.5 随机过程的应用十五、数值分析15.1 数值分析概述15.2 插值法与函数逼近15.3 数值微积分15.4 常微分方程的数值解法15.5 非线性方程与系统的数值解法重点和难点解析一、函数极限与连续性重点：函数极限的性质与运算，无穷小与无穷大的概念，函数的连续性及其性质。

《数学分析》课程教学大纲Mathmatical analysis一、课程基本信息1、课程类别：专业基础课2、课程学时：总学时300，3、学分：184、适用专业：5、大纲执笔者：6、修订时间：2013年4月25日二、课程教学目的三、课程教学的基本要求第一章变量与函数了解：常量与变量，无理数与有理数及其基本性质，三角不等式，双曲函数的概念及其性质。

理解：区间与邻域的定义，函数的几何特性（单调性、有界性、奇偶性，周期性）反函数的定义与性质，初等函数。

掌握：函数的定义，复合函数的定义与性质，基本初等函数的概念及其基本性质。

第二章一元函数的极限与连续了解：数列的变化趋势，函数值趋于无穷大的情形。

理解：无穷大（小）量，有界数列和单调数列的概念，无穷小量的性质与运算，单侧极限的定义，无穷小量和无穷大量的阶；单侧连续与区间连续的概念，函数间断点及其分类，基本初等函数的连续性及其初等函数的连续性。

掌握：数列极限定义、性质和运算；函数极限定义、性质和运算；海涅定理，重要极限；连续函数的定义、性质和运算；一致连续的定义，闭区间上连续函数的性质。

第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明了解：聚点定义与聚点定理，函数极限存在的柯西收敛准则。

理解：子列的定义及其基本性质，确界的定义，覆盖的定义。

掌握：实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则等）。

闭区间上连函数性质的证明。

第四章 导数与微分了解：了解： 速度与切线等实际问题的瞬时变化率。

理解：单侧导数与区间可导的定义，导函数及其几何意义，反函数的导数，微分的运算法则，不可导之例，高阶微分。

掌握：导数的定义，基本初等函数的导数，求导法则（四则运算，复合运算），微分的定义，隐函数与参数方程表示函数的求导法，高阶导数及其莱布尼兹公式。

第五章 微分基本定理及导数的应用了解：利普希茨条件，指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式，平面曲线的曲率及计算，方程的近似解（切线法）。

数学分析教案（华东师大版）第十六章多元函数的极限与连续第一篇：数学分析教案 (华东师大版)第十六章多元函数的极限与连续《数学分析》教案第十六章多元函数的极限与连续教学目的：1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。

教学重点难点：本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函数极限的讨论。

教学时数：16学时§ 1平面点集与多元函数一.平面点集:平面点集的表示:1.常见平面点集:⑴ 全平面和半平面 : , , ，满足的条件}.余集.等.⑵ 矩形域: , }.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分.极坐标表示, 特别是和.型域..⑷ 角域: ⑸ 简单域:型域和2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集：两点的距离.《数学分析》教案（或），..三.点列的极限: 设定义的定义(用邻域语言).例4为点集., ,.例5设的一个聚点.则存在中的点列 , 使四.中的完备性定理:1.Cauchy收敛准则:先证{}为Cauchy列和均为Cauchy列.2.闭集套定理: P116.3.聚点原理: 列紧性, Weierstrass聚点原理.4.有限复盖定理: 五.二元函数:1.二元函数的定义、记法、图象：2.定义域：例6求定义域：ⅰ>;ⅱ>.《数学分析》教案例3证明.(用极坐标变换)P94例2.2.相对极限及方向极限:相对极限和方向极限的定义.3.全面极限与相对极限的关系:Th 1 ,对D的每一个子集E ,只要点是E的聚点 , 就有.推论1 设则极限也不存在.，是的聚点.若极限不存在 , 推论2 设， , 但是的聚点.若存在极限, 则极限不存在.对D内任一点列，但和推论3 极限,数列通常为证明极限收敛.存在，不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关.但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等全面极限存在(以下例5).的两个累次极限.《数学分析》教案2.全面极限与累次极限的关系:⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等.(例9)⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.例如函数在点的情况.⑶ 全面极限存在时, 两个累次极限可以不存在.例如例8中的函数,全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在.⑷ 两个累次极限存在(甚至相等)全面极限存在.(参阅例7).综上 , 全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.Th 2 若全面极限和累次极限(或另一次序)都存在 , 则必相等.(证)P98.推论1 全面极限和两个累次极限三者都存在时, 三者相等.系1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 全面极限不存在.但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在全面极限不存在.§ 3 二元函数的连续性一．二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入.1.连续的定义:《数学分析》教案2.一致连续性.(证)3.介值性与零点定理.(证)第二篇：多元函数的极限与连续数学分析第16章多元函数的极限与连续计划课时：0 时第16章多元函数的极限与连续(1 0 时)§ 1平面点集与多元函数一.平面点集:平面点集的表示: E={(x,y)|(x,y)满足的条件}.余集Ec.1.常见平面点集:⑴全平面和半平面: {(x,y)|x≥0}, {(x,y)|x>0}, {(x,y)|x>a}，{(x,y)|y≥ax+b}等.⑵ 矩形域: [a,b]⨯[c,d], {(x,y)|x|+|y|≤1}.⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆, 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是{(r,θ)|r≤2acosθ}和{(r,θ)|r≤2asinθ}.⑷ 角域: {(r,θ)|α≤θ≤β}.⑸ 简单域: X-型域和Y-型域.2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集{(x,y)|0<|x-x0|<δ , 0<|y-y0|<δ}的区别.3．点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:（1）内点、外点和界点：内点：存在U(A)使U(A)⊂E集合E的全体内点集表示为intE,.外点：存在U(A)使U(A)I E=φ界点：A的任何邻域内既有E的点也有不属于E的点。

数学分析专题选讲教案一、第一章：极限与连续性1.1 极限的概念定义：函数f(x)当x趋近于某一值a时，如果存在一个实数L，使得f(x)趋近于L，称f(x)在x=a处极限为L。

性质：保号性、传递性、三角不等式性质。

1.2 极限的计算极限的基本性质：0.9^n→0（n→∞）、(1+1/n)^n→e（n→∞）。

极限的运算法则：lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)、lim (cf(x)) = c lim f(x)、lim (f(g(x))) = lim f(t) lim g(x)。

1.3 连续性的概念定义：函数f(x)在点x=a处连续，如果满足f(a)=lim f(x)（x→a）且对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε。

1.4 连续性的性质与判定连续函数的基本性质：保号性、可积性、可微性。

连续函数的判定：函数在某一点的极限存在且等于函数在该点的函数值，则函数在该点连续。

二、第二章：导数与微分2.1 导数的定义定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在x=a 处的瞬时变化率。

导数的几何意义：函数图像在点x=a处的切线斜率。

2.2 导数的计算基本求导法则：常数倍法则、幂函数求导、指数函数求导、对数函数求导、三角函数求导。

高阶导数：f''(x)、f'''(x)等。

2.3 微分的概念与计算概念：微分表示函数在某一点的切线与x轴之间的距离，记为df(x)/dx|_{x=a}。

微分的计算：dx表示自变量的增量，微分的结果为切线的斜率乘以dx的值。

三、第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与计算概念：泰勒公式是一种将函数在某一点展开成多项式的公式，用于逼近函数在某一点的值。

泰勒公式：f(x)在某一点a处的泰勒公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2++f^n(a)(x-a)^n+R_n(x)。

中山大学数学分析教案一、引言1.1 课程背景数学分析是数学专业的一门基础课程，主要研究函数、极限、微分、积分等基本概念和性质。

本课程旨在帮助学生掌握数学分析的基本理论、方法和技巧，培养学生的逻辑思维能力和数学素养。

1.2 课程目标（1）理解数学分析的基本概念，如函数、极限、微分、积分等；（2）掌握数学分析的基本理论和方法，如泰勒公式、洛必达法则等；（3）学会运用数学分析解决实际问题，提高数学建模能力；二、教学内容2.1 函数与极限（1）函数的定义与性质；（2）极限的概念与性质；（3）无穷小与无穷大；（4）极限的运算。

2.2 微分学（1）导数的定义与性质；（2）求导法则；（3）高阶导数；（4）微分在实际问题中的应用。

2.3 积分学（1）不定积分的概念与性质；（2）积分法则；（3）定积分的概念与性质；（4）定积分的计算与应用。

2.4 微分方程（1）微分方程的定义与分类；（2）一阶微分方程的解法；（3）高阶微分方程的解法；（4）微分方程在实际问题中的应用。

2.5 泰勒公式与洛必达法则（1）泰勒公式的定义与性质；（2）泰勒公式的应用；（3）洛必达法则的定义与性质；（4）洛必达法则的应用。

三、教学方法3.1 授课方式采用讲授与讨论相结合的方式进行授课。

3.2 教学手段（1）利用多媒体课件进行教学，提高课堂效果；（2）布置适量的课后习题，巩固所学知识；（3）组织课堂讨论，培养学生的思维能力。

四、课程考核4.1 考核方式课程考核分为期末考试和平时成绩两部分，其中期末考试占80%，平时成绩占20%。

4.2 期末考试内容期末考试涵盖本课程全部内容，包括选择题、填空题、解答题等。

4.3 平时成绩评定平时成绩包括课堂表现、课后习题、课堂讨论等。

五、教学进度安排5.1 授课时间本课程共计32课时，每周2课时。

5.2 授课计划（1）第1-4周：函数与极限；（2）第5-8周：微分学；（3）第9-12周：积分学；（4）第13-16周：微分方程；（5）第17-20周：泰勒公式与洛必达法则。