第5讲竞赛123班教师版

第五讲经典应用题综合教学目标诸如鸡兔同笼、平均数问题、年龄问题、植树问题、牛吃草问题等内容，在五年级以前都已经讲授过，这些经典的算术问题虽然比较常见，但各类考试越来越注重学生的对数量关系的把握和灵活解决问题的能力，而不是生搬硬套某种经典的算术方法，本讲推出的主要是历次考试中碰到的数量关系，带有很强的个例特征。

正所谓“见多”才能“识广”，我们希望同学们掌握此类问题的分析方法。

1.回顾应用题的基础分析方法；2.精讲历次考试中碰到的经典数量关系。

专题回顾【例1】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完?【分析】设1人淘1分钟淘出的水量是“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析3人40分钟3×40=120：原有水+40分钟的进水6人16分钟6×16=96：原有水+16分钟的进水从上易发现：40-16=24分钟的进水量=120-96=24，即：1分钟的进水量=1；那么原有水量：120-40×1=80；5人中有1人分钟可以把水淘完来淘每分钟的进水量1 ，剩下4人需要80÷4=20（分钟）将把水淘完，即5人淘水20分钟。

【例2】现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，马、羊吃需要60天吃完，牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?【分析】我们注意到：牛、马45天吃了原有+45天新长的草①马、羊60天吃了原有+60天新长的草②牛、羊90天吃了原有+90天新长的草③由①可得到牛、马90天吃了2原有+90天新长的草④由③结合条件“牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度”马90天吃了原有+90天新长的草⑤。

由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．所以，由②知马60天吃完原有的草，由③知牛90天吃完原有的草．现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.所需时间为111369060⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭天.即牛、羊、马一起吃，需36天。

【例3】 某同学把他最喜爱的书顺序次编号为1，2，3，L L ，所有编号之和是100的倍数且小于1000，则他编号的最大的数是_______。

【分析】设最大编号为n ，则121000n +++<L ，即()12000n n +<。

因为编号之和是100的倍数，所以()1n n +有因数55⨯和222⨯⨯。

因为12491000+++>L ，即49502000⨯>，所以含有55⨯的最大数只能是25，因此另一个数应含有因数222⨯⨯。

所以n 或1n +中必有一个数是25，如果25n =，那么1n +不是8的倍数，所以125n +=，所以他编号的最大数是24。

【例4】 一小、二小两校春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满。

现在知道，若两校都租用14座位的旅游车，则两校共需租用这种车72辆；若两校都租用19座的旅游车，则二小要比一小多租用这种车7辆。

问两校参加这次春游的人数各是多少？【分析】14×（72-2）+1+1=982<两校总人数<14×72=1008，因为是10的整数倍，所以总人数为1000人，或990人。

二小比一小多租用7辆（19座），6×19+1=115<二小比一小多的人数<8×19-1=151，可能的情况有：120、130、140、150；如果总人数为1000人，两校人数之差如为120，则一小有（1000-120）÷2=440，二小有560人；如为130，则一小有（1000-130）÷2=435，二小有565人，不符；如为140，则一小有（1000-140）÷2=430，二小有570人；如为150，则一小有（1000-150）÷2=425，二小有575人，不符；检验得到一小430人，二小570人。

如果总人数为990人，同样的检验两校人数之差为120、130、140、150，的人数情况都没有符合条件的答案。

所以这次春游人数一小是430人，二小是570人。

估算分析经典精讲【例5】 甲乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒。

如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后。

甲的糖就是乙的糖粒数的3倍。

那么甲乙两个小朋友共有多少粒。

【分析】总体和部分，比较分析。

甲给乙一定数量糖后，甲占总数的23，乙给甲一定数量后，甲占总数的34。

则前后变化34－23＝112。

糖的总数能被12整除。

由于每袋糖不超过20粒，则有12，24，36三种可能。

又由于前后变化为两倍的“同样数量的糖”，则只能是24。

【拓展】在一次考试中，甲乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的13，乙答错了7道题，甲乙都答错的题目占全部试题的15，则甲、乙两人都答对的题目最少多少道？ 【解答】容斥原理。

甲答错，乙答对的题占全部试题的13－15＝215。

那么甲乙都答对的题目有1315的全部试题减去7道乙答错的题目。

可见全部试题越少，甲、乙都答对的题目就越少。

则至少有15道全部试题，则15×1315－7＝6道。

【例6】 8只盒子，每只盒内放有同一种笔。

8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支。

在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，钢笔支数是铅笔支数的13，只有1只盒里放的是水彩笔。

这盒水彩笔共有多少支？【分析】（1）余数分析。

设定钢笔的支数是1份，则圆珠笔的支数是2份，铅笔支数是3份，这三种笔总数是6份。

那么笔的总数扣去水彩笔的数量要被6整除。

把总数加起来则17＋23＋33＋36＋38＋42＋49＋51＝289。

除以6的余数是1。

而所有盒中的笔数，只有49除以6的余数是1。

可见这盒水彩笔有49支。

【例7】 小明爷爷的年龄是一个二位数，将此二位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们的年龄的差是小明年龄的4倍，求小明的年龄。

【分析】设爷爷的年龄是10a b +,其中a 、b 都是数字，则爸爸的年龄是10b a +,年龄差是()()()10109b a b a a b +-+=-。

这差是4的倍数，所以()a b -是的倍数，但9a ≤,而根据常识，小明爸爸的年龄不可能是十几岁，因此，2b ≥,7a b -≤,从而必有4a b -=。

小明的年龄是()949a b ⨯-÷=(岁)。

数量关系整体与部分【拓展】甲乙两班同学人数相等，各有一些同学参加了课外数学小组的活动，甲班参加的人数恰好是乙班未参加人数的13，乙班参加的人数恰好是甲班未参加人数的14。

问：甲班未参加人数是乙班未参加人数的几分之几？【解答】假设甲班参加的为x ，则乙班未参加的为3x 。

同时设乙班参加的为y ，则甲班未参加的为4y 。

则有43x y x y +=+。

可见23x y =。

则甲班未参加的是乙班未参加的4839y x =。

【例8】 爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁。

当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁。

现在三个人的年龄各是多少岁？【分析】（法一）（1）操作分析法，妹妹9岁时，如果再增加25岁，妹妹便是34岁。

此时，哥哥也增加25岁。

爸爸要保持是哥哥的三倍，则爸爸要再加上50岁。

（2）后一种情况设妹妹是x 岁，则妹妹到34岁，爸爸是343468x x +-=-，哥哥是223434x x x +-=+，则有（1）的分析，有()3435068x x +⨯=+-。

可以得到416x ⨯=。

则4x =岁。

则哥哥是8岁，爸爸是34岁。

（3）64483463---=岁。

则妹妹是4610+=岁；哥哥是8614+=岁，爸爸是34640+=岁。

（法二）年龄问题中不改变的数量是年龄差，所以我们可以以年龄差为未知数。

设爸爸和哥哥的年龄差为x ，哥哥和妹妹的年龄差为y ，那么爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，哥哥年龄为()312x x ÷-=，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，妹妹的年龄为y 岁，根据题目给出的条件有以下等量关系。

9234x y y y x ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，这一条二元一次方程的解为264x y =⎧⎨=⎩。

如果，现在妹妹的年龄为z ，那么有442664z z z +++++=，解得10z =，哥哥和爸爸的年龄分别是14岁和40岁。

【例9】 A 、B 、C 、D 、E 在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91的整数，如果A 、B 、C 的平均分为95分，B 、C 、D 的平均分为94分，A 是第一名，E 是第三名得96分，那么D 的得分是多少？【分析】如果B 是第二名（或并列第一名），那么，A 和B 得分都比第三名E 的96分多，至少各得97分。

这样C 最多得95-2×（97-95）=91（分），矛盾。

所以B 不可能是第二名。

同理，C 不可能是第二名。

只有D 是第二名。

从A 、B 、C 的平均分是95，B 、C 、D 的平均分是94，得知A 比D 多1×3=3（分）。

又知A 、D 的得分都大于96，只有A 得100分，D 得97分。

【例10】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水4吨以下，每吨1.80元；当超过4吨时，超过部分每吨3.00元。

某月甲乙两户共交水费26.40元，用水量之比为5:3，问：甲乙两户各应交逻辑判断水费多少元？【分析】（1）2640不能被180整除，可见必有用户超过4吨。

（2）如果都超过4吨，则先扣除8×1.80＝14.40元，有26.40－14.40＝12元。

可见超过的水量为1234÷=吨。

总用水量便是8＋4＝12吨。

而甲乙的用水比5:3，5份和3份合起来是8份，对应12吨，则甲用了1257.58⨯=吨，乙用了123 4.58⨯=吨。

符合要求。

（3）如果有乙没有到4吨，甲超过了4吨。

分析一个极端的情况再去作比较：乙用了4吨，甲用了520844333⨯==+吨。

此时需交水费88 1.8322.43⨯+⨯=元。

如果和这种情况比较，乙用了不到4吨，则水费只能是更少，矛盾。

综上，甲应该交4 1.8 3.537.210.517.7⨯+⨯=+=元。

乙应该交26.417.78.7-=元。

【例11】食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到10种不同重量（单位：千克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58，59。