线性规划问题的基本解

运筹学基本概念➢线性规划问题的基与解LP： max(min)z=CX （1-1）s.t AX=b （1-2）X>=0 （1-3）设A施m*n矩阵，且A的秩为m，则有●可行解：满足上述约束条件（1-2）、（1-3）的向量X称为可行解。

●最优解：满足式（1-1）的可行解称为最优解●基：A中任何一组m个线性无关的列向量构成的子矩阵B，称为该问题的一个基，即B为A的m*m非奇异子矩阵。

●基向量：基B中的一列即为B的一个基向量。

基B中公寓m个基向量●非基向量：矩阵A中基B之外的一列即为B的一个非基向量。

A中共有n-m个非基向量。

●基变量：与基B的基向量相应的变量恒伟B的基变量，基变量共有m个。

●非基变量：与基B非基向量相应的变量称为B的非基变量，非基变量共有n-m个。

●基本解：对于基B，令所有非基变量为零，求得满足式（1-2）的解，称为B对应的基本解。

●基本可行解：满足式（1-3）的基本解称为基本可行解，其对应的基称为可行基。

●基本最优解：满足式（1-1）的基本可行解称为基本最优解，其对应的基称为最优基。

●退化的基本解：若基本解中有基变量为零这，则称之为退化的基本解。

类似地，有退化的基本可行解和退化的基本最优解。

➢几何意义上的几个基本概念●凸集：设S是n维空间的一个点集，若任意两点X（1）、X(2) ∈S的所连线段上的一切点αX（1）+（1-α）X(2)，（0<=α<=1），则称S为凸集。

●凸组合：设X（1）、X(2)……X（K）,为n维空间中的k个点。

则X=μ1X（1）+μ2X(2)+ μkX（K）（0<=μi<=1，i=1,2……k,且μ1+……μk=1）称为X（1）、X(2)……X（K）的凸组合。

●极点：S是凸集，X∈S，若X不能用S中相异的两点X（1）、X(2)线性表示为：X=αX（1）+（1-α）X(2)，α∈（0,1），则称X为S的极点或定点。

即极点不能成为任何线段的内点。

线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。

线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。

本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。

一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。

它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。

单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。

2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。

3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。

首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。

通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。

4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。

单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。

但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。

二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。

与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。

内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。

首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。

每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。

内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。

此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。

三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。

线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。

它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。

线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。

本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。

一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。

它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。

通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。

在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。

这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。

例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。

这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。

二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。

决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。

2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。

3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。

例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。

4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。

它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。

线性规划问题的两种求解⽅式线性规划问题的两种求解⽅式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应⽤⼴泛、⽅法较成熟的⼀个重要分⽀，它是辅助⼈们进⾏科学管理的⼀种数学⽅法。

线性规划所研究的是：在⼀定条件下，合理安排⼈⼒物⼒等资源，使经济效果达到最好。

⼀般地，求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为线性规划问题。

解决线性规划问题常⽤的⽅法是图解法和单纯性法，⽽图解法简单⽅便，但只适⽤于⼆维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适⽤于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及⼤量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量⼤，复杂繁琐。

在这个计算机⾼速发展的阶段，利⽤Excel建⽴电⼦表格模型，并利⽤它提供的“规划求解”⼯具，能轻松快捷地求解线性模型的解。

⽆论利⽤哪种⽅法进⾏求解线性规划问题，⾸先都需要对线性规划问题建⽴数学模型，确定⽬标函数和相应的约束条件，进⽽进⾏求解。

从实际问题中建⽴数学模型⼀般有以下三个步骤；1、根据所求⽬标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求⽬标的函数关系确定⽬标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满⾜的约束条件。

以下是分别利⽤单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种⽅法对例题进⾏求解的过程。

例题：某⼯⼚在计划期内要安排⽣产I、II两种产品，已知⽣产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，⼯⼚中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。

每⽣产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的⽣产数量的哪种组合能使总利润最⼤？这是⼀个典型的产品组合问题，现将问题中的有关数据列表1-1如下：表1-1I II 限量设备 1 2 8台时原材料A 4 0 16单位原材料B 0 4 12单位所获利润 2 3⾸先对例题建⽴数学模型。

问题的决策变量有两个：产品I的⽣产数量和产品II的⽣产数量；⽬标是总利润最⼤；需满⾜的条件是：(1)两种产品使⽤设备的台时<= 台时限量值(2) ⽣产两种产品使⽤原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的⽣产数量均>=0。

试题 11一、填空题1. 经济计量模型主要有以下几方面的用途：结构分析、_____________、政策评价、__________。

2. 计量经济研究的一般步骤为：建立理论模型，________________，________________，模型的应用。

3. 异方差的解决方法主要有：_____________________，_________________________。

4. 比较两个包含解释变量个数不同的模型的拟合优度时，可采用______________、_________________或_________________________。

5. 模型的显著性检验，最常用的检验方法是________________________。

二、判断题1. 线性规划问题的基本解对应可行域的顶点。

（ ）2. 若21,X X 是某线性规划问题的可行解，则1122121X X X λλλλ=++=（）也必是该问题的可行解。

（ ）3. 数学模型11max (1,2,,).0(1,2,,)nj jj nij j i j jf c x a x b i m s t x j n ===⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∏∑为线性规划模型。

（ ） 4. 数学模型22112min ,..(1,2,,;1,2,,)m ni i j j i j i i ijf a x b y s t x y c i m j m ===++≤==∑∑为线性规划模型。

（ ）5. 表达形式i i i x b a y ε++=ˆˆˆ是正确的。

（ ）6. 表达形式i i i x b a y ε++=ˆˆ是正确的。

（ ）7. 表达形式i i i e x b a y ++=ˆˆ是正确的。

（ ）8. 表达形式ii i e x b a y ++=ˆˆˆ是正确的。

（ ） 9. 在存在异方差情况下，普通最小二乘法（OLS ）估计量是有偏的和无效的。

（ ）10. 如果存在异方差，通常使用的t 检验和F 检验是无效的。

线性规划问题的基本解对应可行域的顶点试题 15一、填空题1. 模型的显著性检验，最常用的检验方法是________________________。

2. 滞后效应速度分析的常用指标有_____________________，____________________。

3. 使用阿尔蒙估计法须事先确定:__________________，_______________________。

4. 考耶克模型可以描述的两个最著名的理论假设是:__________________________和_______________________。

5. 联立方程中的变量分为:_________________和__________________。

二、判断题1. 线性规划问题的基本解对应可行域的顶点。

( )XXX,，，,,,,,()12. 若X,X是某线性规划问题的可行解，则也必是该问题11221212的可行解。

( )nmaxfcx,,jjj,1n3. 数学模型为线性规划模型。

( ) ,axbim,,(1,2,,)ijji,,st.j,1,,xjn,,0(1,2,,)j,mn224. 数学模型为线性规划模型。

( )min,faxby,，,,iijjij11,,2stxycimjm..(1,2,,;1,2,,)，,,,iiijˆˆˆ5. 表达形式是正确的。

( ) y,a，bx，,iiiˆˆ6. 表达形式是正确的。

( ) y,a，bx，,iiiˆˆ7. 表达形式是正确的。

( ) y,a，bx，eiiiˆˆˆ8. 表达形式是正确的。

( ) y,a，bx，eiii9. 在存在异方差情况下，普通最小二乘法(OLS)估计量是有偏的和无效的。

( ) 10. 如果存在异方差，通常使用的t检验和F检验是无效的。

( )三、问答题1. 异方差的后果。

2. D.W检验的优缺点。

3. Malthus模型预测的优缺点。

线性规划问题的解线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种重要方法，其应用领域十分广泛。

线性规划的目标是在给定的线性约束条件下，寻找使目标函数最大或最小的变量取值。

本文将介绍线性规划问题的解以及如何求解线性规划问题。

一、线性规划问题的解的基本概念1. 可行解：满足线性约束条件的变量取值被称为可行解。

可行解集合构成了解空间。

2. 最优解：在可行解集合中，使目标函数取得最大或最小值的可行解被称为最优解。

二、线性规划问题的求解方法线性规划问题的求解方法通常有两种：图形法和单纯形法。

1. 图形法：适用于二维或三维线性规划问题，即变量的个数较少，可以通过绘制图形来确定最优解。

图形法的基本思路是绘制等式约束和不等式约束的直线或平面，并通过观察它们的交点或交线来确定可行解和最优解。

2. 单纯形法：适用于多维线性规划问题，即变量的个数较多。

单纯形法通过迭代计算，逐步逼近最优解。

其基本思路是从一个初始可行解开始，通过调整变量的取值来提高目标函数的值，直到找到最优解或确定问题无解。

三、线性规划问题的示例下面以一个简单的线性规划问题为例。

假设有两种产品A和B，它们的生产需要使用以下资源：钢材、机器时数和人工时数。

每单位产品A需要2吨钢材、4机器时数和6人工时数；每单位产品B需要3吨钢材、5机器时数和4人工时数。

公司目前有100吨钢材、120机器时数和150人工时数可用。

已知产品A的利润为1000元/单位，产品B的利润为2000元/单位。

问如何安排生产，使得利润最大化？1. 建立数学模型：令x为产品A的产量，y为产品B的产量。

则目标函数为最大化利润：1000x+2000y。

约束条件为：2x+3y≤100（钢材约束），4x+5y≤120（机器时数约束），6x+4y≤150（人工时数约束），x≥0，y≥0。

2. 通过图形法找到可行解和最优解：先绘制钢材约束的直线2x+3y=100，机器时数约束的直线4x+5y=120，人工时数约束的直线6x+4y=150。