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线性代数高斯消元法 ppt课件

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高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)

高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)

1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的

第3章3-01高斯消元法-列主元法ppt课件

第3章3-01高斯消元法-列主元法ppt课件
.
顺序高斯消去法的计算量
消元中各步需乘除法次数
第i 步
乘法次数
1
(n 1)2
2
(n 2)2
n 1
合计
1
n (n 1)(2 n 1) 6
除法次数
n 1 n 2
1
n (n 1) 2
.
3.1.2 列主元高斯消去法
为什么列选主：数值不稳定
当高斯消去法的主元
a
(k kk
)
0
时 , 尽管“当
A
非奇异时，
0,
a(2) 22
0,
,
a(n) nn
0
消元过程
mik ai(jk1)
a(k) ik
a(k) kk
(k
1,2,
a(k) ij
mik ak(jk)
, n 1) (i, j k 1,k 2,
,n)
bi(k`)
b(k) i
mikbk(k )
.
回代过程
上 三 角 形 方 程 组 A(n)x b(n) 求 解 过 程
列选主元高斯消去法的优越性，不增加求解过程的运算量，而 大大减小误差。
经过 k 1次消元后得到增广矩阵 ( A(k) | b(k) ) ，在此增广
矩阵的第
k
列的元素
a(k kk
)
,
a(k) k 1,k
,
a(k nk
)
中选取
绝对值最大的
一个，记为
a(k) rk
，然后交换
(
A(k )
|
b(k)
)
中的第
k
第3章 线性代数方程组的数值解法
3.1 高斯消去法 3.2 矩阵三角分解法 3.3 平方根法 3.4 向量和矩阵的范数 3.5 迭代法 3.6 迭代法的收敛性 3.7 方程组的形态和误差分析

高斯消元法与矩阵的初等变换.ppt

高斯消元法与矩阵的初等变换.ppt

6
1

2
2020/1/1
线性代数教学课件
18
step 6. 将 矩 阵 化 成 B 型 矩 阵 2 r3
1 2 5 3 6 14
0 0 0 0
1 0
0 0
7 2 1
6 2
7 2

r3

r2
;
6 r3 r1
1 2 5 3 0 2
第二章 矩 阵
第一节 高斯消元法与矩阵的初等变换 第二节 矩阵的运算 第三节 特殊矩阵 第四节 逆矩阵 第五节 分块矩阵 第六节 利用初等变换求逆矩阵
第七节 矩阵的秩
2020/1/1
线性代数教学课件
1
第一节 高斯消元法与矩阵的初等变换
一 消元法解方程
二、矩阵的定义 三 矩阵的初等变换
四 方程组的求解问题 五 利用 Gauss 消员元法求解线性方程
2020/1/1
线性代数教学课件
23
非齐次线性方程组(1)的解的讨论
A (A d) B
(B
1 0 0 c1r1 c1n d1 0 1 0 c2r1 c2n d2



d ) 0 0 1 crr1 crn dr
0 0 0 b3
方程组(3)是方程组(2)同解的梯形方程组。
如果 b 3 方程组(3)无解，从而方程组(2)无
解。当 b 3 时，方程组(3)改写为
Βιβλιοθήκη x1 x2 2 3x3 1 x3
其中变量 x3 可自由选取，
令 x3 k 代入上式，得到
2020/1/1
线性代数教学课件
(5)

3-1 高斯消元法

3-1 高斯消元法

3. 相容、不相容 相容、
方程组有解称为相容； 方程组有解称为相容； 相容 方程组无解称为不相容 方程组无解称为不相容. 不相容
Henan Agricultural University
二、高斯消元法
1. 线性方程组的消元解法与其增广矩阵的行变换是 等价的 2. 研究线性方程组增广矩阵的行变换，得到方程组 研究线性方程组增广矩阵的行变换， 的相容性理论 ＞＞＞
Henan Agricultural University
x1−2x2 +3x3 −x4 =1 例1 求解非齐次线性方程组 3x1 −x2 +5x3 −3x4 = 2 . 2x1 + x2 +2x3−2x4 =3 解 对增广矩阵B施行初等行变换, 得
1 −2 3 −1 1 r2 −3r1 1 −2 3 −1 1 B=3 −1 5 −3 2 ~ 0 5 −4 0 −1 2 1 2 −2 3 r3 −2r1 0 5 −4 0 1
−2 3 −1 1 ~ 0 5 −4 0 −1. 0 0 0 0 2 可见R(A)=2, R(B)=3, 故方程组无解.
r3 −r2 1
Henan Agricultural University
x1 +x2 −3x3 −x4 =1 例2 求解非齐次线性方程组 3x1 −x2 −3x3+4x4 =4 . x1 +5x2 −9x3 −8x4 =0 解 因为
解 (3)当λ=−3时, R(A)=R(B)=2, 方程组有无限多个解. 这时,
−2 1 1 0 1 0 −1 −1 B = 1 −2 1 3 ~0 1 −1 −2 , 1 1 −2 −3 0 0 0 0

线性代数教学课件3

线性代数教学课件3

阶梯形线性方程组(B)与原线性方程组(A)同解.
在线性方程组(B)中, 将第三式的x3= -2代入第二个 方程,得x2= 2; 再将x2= 2, x3= -2代入第一个方程,得x1= 1.
所以原方程组的解为: x1=1, x2=2, x3= -2.
■
由阶梯形方程组逐次求得各未知量的过程,称为回代
过程, 线性方程组的这种解法称为高斯消元法.
a1r a1r 1 a2r a2r 1
a1n d1 a2n d2
于是结得论同:解2方. d程r+组1=0: , 则x1 同aˆ1,解r 1x方r 1 程组有aˆ1n x解n , dˆ1
A 00
arr arr 1
arn dr
从x2 而aˆ2原r 1x方r 1程组Aaˆ2Xn x=n b dˆ2
00
00
x1
1
x2
2
x3
2
■
100 1 010 2 001 2
13
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例2. 解线性方程组
x1 3x2 x3 2x4 x5 4 3x1 x2 2x3 5x4 4x5 1 2x1 4x2 x3 3x4 5x5 5 5x1 5x2 3x3 8x4 9x5 6
解: 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 化成阶梯形 矩阵, 再化成行最简阶梯形矩阵.
为求解线性方程组(1), 必须解决以下一些问题:
(i) 线性方程组(1)是否有解? (ii) 如果线性方程组(1)有解, 那么它有多少个解? (iii) 当线性方程组有解(1)时, 如何求出它的全部解?
4
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定义 m个方程、 n个未知量 的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1

《应用数值分析》课件数值分析5.3线性方程组的数值解法

《应用数值分析》课件数值分析5.3线性方程组的数值解法
Gaussian Elimination:
Step k：设ak(kk) ，0计算因子
mik
a(k) ik
/
a(k kk
)
(i k 1, ..., n)
且计算
a ( k 1) ij
b( k 1) i
a(k) ij
m
ik
a
(k kj
)
b(k ) i
mik bk(k )
(i, j k 1, ..., n)
n
bi (bi
aij * b j ) / aii
j i 1
2024/11/23
线性方程组的直接解法
11
计算量 /* Amount of Computation */
由于计算机中乘除 /* multiplications / divisions */ 运算的时 间远远超过加减 /* additions / subtractions */ 运算的时间，故 估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通 常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级。 (n k) 次
(k)
kk
k ,k1
0
a ( k 1) k 1,k 1
a(1) 1n
a(2) 2n
a(k) kn
a ( k 1) k 1,n
0
a ( k 1) n,k 1
a ( k 1) nn
第 6 章 不动点理论及应用 第 1 页 共 1 页
b(1) 1
b(2) 2
b( k ) k
b( k 1) k 1
b( k 1) n
xn
b(n) n
/
a(n) nn
n
b( i ) i
a
(i ij

数值分析(05)高斯消元法


下三角形方程组的求解顺序是从第一个方程开始，按从上到下
的顺序，依次解出：x1 , x2 , , xn , 其计算公式为：


x1 xi

b1 / a11
i 1
(bi
k 1
aik
xk
)
/
aii
(i 2, 3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
数值分析
数值分析
二、顺序高斯消元法

0
1
2
3
0 1 1 0
a (2) 22

1
0, m32

a (2) 32
/ a22(2)
1 /(1)

1
1

L2
=

1

,L2 L1
Ax

L2 L1b完成第二步消元,得
1 1
1
(3)
A

0
0
2 1 0
3 2 3
6 3 3
ann xn bn
数值分析
数值分析
数值求解方法有以下三条途径
直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算 可求出精确解。
迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。
极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次
模函数的极小化问题，即变分法（经n
次运算，理论上得精确解）要求A
1 3 2 6
n 3, a11 1 0
m21 a21 / a11 2 / 1 2
m31 a31 / a11 1 / 1 1
1

数值计算方法课件：ch1-3线性方程组的Gauss消元法


a11
0,
a(2) 22
0,
,
a(k kk
)
0
时才能应用，但是在消元过程中可能出现
a(k) kk
0 的情况，这时消元就无法进行；即
使
a(k) kk
0
，但很小时，用其作除数，会导致
其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩
散，最后导致计算解不可靠。
4 计算方法 第一章解线性方程组的直接法
例：
0.0001xx11
a(k) ik
(i
k
,
, n)
中绝对值最大者为主元，
2）全选主元：在变换到第k步时，选择
a(k ij
)
(i,
j
k,
, n)
中绝对值最大者为主元
16 计算方法 第一章解线性方程组的直接法
引理1.1
按自然顺序消元过程得到的
a11,
a(2) 22
,
,
a(k kk
)
均不为零的充分必要条件是顺序主子矩阵 A11, A22, Akk 非奇异，并且
录。
7 计算方法 第一章解线性方程组的直接法
例 用主元消去法求解线性方程组
x1 x2 x3 6 12x1 3x2 3x3 15 18x1 3x2 x3 15
计算过程中保留3位小数
8 计算方法 第一章解线性方程组的直接法
列主元消去法
定理1.3 设A非奇异，则存在置换矩阵P，以及单位下 三角阵L和上三角阵U，使 PA=LU 并且这种三角分解可由列主元消去法得到。
det( Akk ) a11a2(22)
a(k) kk
由上述引理，当k=n-1时得到下面的结果
定理1.1 按自然顺序消元过程可以实现的充分必要 条件是A的顺序主子矩阵 A11, , An1,n1 均为非奇异矩阵.

3.1 3.2(图片版)线性方程组的基本概念与高斯消元法


取 x 2 k1 , x 4 k 2 （k1 , k 2 为任意实数），
x1 x 则原方程组的通解是 2 x3 x4 1 k1 k 2 k1 1 2k2 k2
.
注意：
，方程组有解，并且有无穷多解.
《线性代数》
下一页
B 对应的线性方程组为
《线性代数》 下一页
，
x1 x 2 x 4 1 B 对应的方程组为 ，移项得 x 2 x 1 4 3
x1 1 x 2 x 4 ， x 1 2 x 4 3
未知量 x 2 , x 4 可以任意取值，称为自由未知量. 另外两个未知量
x1 , x 3 可由自由未知量 x 2 , x 4 表示，可知该方程组有无穷多解.
行阶梯形矩阵 r32r2 —— r22r3 r14r3 —— r12r2 ——
1 2 0 0 1 0
4 2 1
3 3 2
1 2 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 5 0 1 1 2 0 7 0 1 1 2
x2
行最简形矩阵
《线性代数》 下一页
例1 求解线性方程组
x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1 3 x1 x 2 5 x 3 3 x 4 2 2 x x 2 x 2 x 3 2 3 4 1
r3 r2
2 5
3 4
《线性代数》
下一页
例2 求解线性方程组
2 x1 2 x 2 x 3 1 x1 x 2 x 3 6 x 3x 2x 1 2 3 1
解：对该方程组的增广矩阵实施初等行变换，将其化成行最简形矩阵. 6 1 1 1 0 2 3 5 0 0 1 3

线性代数 高斯(Gauss)消元法ppt课件


线
2x1 8x2 6x3 6 ③
性
方 程 组
② 2① ③ ①
x1 x2 2 x3 1 3x2 3x3 0 3x2 x3 2
① ② ③
“回代”求解得：
x1 2, x2 1, x3 1.
①② ③ 0.5
③①
2
x1 x1
x2 2x3 1 ① x2 x3 2 ②
线 性
解
(2) 可知方程组有无穷多解， 即对任意的 x2，有
方 程 组
x1 x2
2x2 x2，
7，
x3 2 .
其中 x2 为自由未知量。
即
x1 2 7 x2 k 1 0 ,
( k 任意)
x3 0 2
注意体会求解“结果”的写法及表达方式。
10
§4.2 高斯(Gauss)消元法
x1 4x2 3x3 3 ③
x1 x2 3x2
2x3 3x3
1 0
2x3 2
继续“消元”得：
x1
x2
2 1
x3 1
3
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 启示 四 章
线 性 方 程 组
事实上，从上述对线性方程组的求解过程中可知： 真正参与运算的是线性方程组的系数项和常数项， 而未知量并不需要参与运算。
2
x1 x1
x2 2x3 1 x2 x3 2
x1 4 x2 3 x3 3
① ② ③
② 2① ③ ①
x1 x2 2 x3 1 3x2 3x3 0 3x2 x3 2
① ② ③
2 1 1 2 1 1 2 1 2 8 6 6 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2
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x1 4x2 3x3 3
① ② ③
② 2① ③ ①
x1
x2 3x2
3x2
2x3 3x3
x3
1 0 2
① ② ③
2 1 1 2 1 1 2 1 2 8 6 6 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2
解
(2) 可知方程组有无穷多解， 即对任意的 x2，有
方
x1 2 x2 7，
程 组
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2
x2，
x 3 2 .
其中 x2 为自由未知量。
x1 2 7 即 x2 k1 0 , ( k 任意)
x3 0 2
注意体会求解“结果”的写法及表达方式。
10
§4.2 高斯(Gauss)消元法
线
P114 定义
对线性方程组进行等价(或同解)变形：
性 4.2 方
(1) 交换两个方程；
程
(2) 将某个方程 k 倍 (k0)；
组
(3) 将一个方程的 k 倍加到另一个方程上。
称之为线性方程组的初等变换 .
2
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 引例 求解线性方程组
四 章
2xx11
x2 x3 2 ① x2 2x3 1 ②
线
2x1 8x2 6x3 6 ③
性
方 程 组
② 2①
③ ①
x1
x2 3x2
3x2
2x3 3x3
x3
1 0 2
① ② ③
“回代”求解得：
x1 2, x2 1, x3 1.
① ② ③ 0.5
③ ①
2xx11
x2 2x3 1 ① x2 x3 2 ②
x1 4x2 3x3 3 ③
启示 在用消元法求解的过程中，很自然地出现了线性方程组 解的三种可能情况: 无解；惟一解；无穷多解。
11
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论 补
四 章
对于给定的线性方程组 A X = b，
利用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵：
线
性
c11 c12 c1r c1n d1
b)221
1 1 8
1 2 6
621,
则对方程组的变换完全可以化为对矩阵 A~的变换。
4
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 四 章
引例(续1)
2xx11
x2 x3 2 ① x2 2x3 1 ②
2x1 8x2 6x3 6 ③
线
性 方 程 组
① ② ③ 0.5
2xx11
x2 2x3 1 x2 x3 2
7
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第
2x1 2x2 3x3 1
四 章
例
求解线性方程组
x1
x2
2
x1 2x2 x3 2
线
性
方 程
解
A ~(Ab)
2 1
23 1 0
1 初等行变换
2
1 0
0 1
0 0
1 3
组
1 2 1 2
0 0 1 3
x1 1，
故方程组有惟一解
x
2
3，
6
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 二、高斯(Gauss)消元法
四 章 1. 高斯消元法
线
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形,
性 方
(2) 通过回代求出相应的解。
程
组 2. 高斯-若当消元法
(1) 对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形, (2) 再进一步化为行标准形， (3) 直接写出相应的解。
方
0 c22 c2r c2n d2
程 组
A~
(A
b)
0
0
0 0
crr crn dr
0
0
dr
1
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
12
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 三、线性方程组求解结果的一般性讨论
四 章
对于给定的线性方程组 A X = b，
第 四
例
解线性方程组
2xx11
2x2 4x2
3x3 5x3
1， 4，
章
3x1 6x2 8x3 4.
线 性 方 程
解
A ~(Ab)12
2 4
3 5
14 初等行变换
10
3 6 8 4
0
2 0 0
0 1 0
72 1
组
相应地，线性方程组的最后一个方程变为 0 = 1 ,
这是一个矛盾方程，因此原方程组无解。
x 3 3 .
8
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第
x1 2x2 3x3 1，
四 章
例
解线性方程组 2x1 4x2 5x3 4， 3x1 6x2 8x3 5.
线
性 方 程 组
解
(1) A~(Ab)12
2 4
3 5
1初等行变换 4
1 0
3 6 8 5
0
2 0 0
0 1 0
7 2 0
相应地，线性方程组变为
x1 2x2 7, x3 2.
进一步，线性方程组变为
x1 2x2 7, x3 2.
9
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第
x1 2x2 3x3 1，
四 章
例
解线性方程组 2x1 4x2 5x3 4， 3x1 6x2 8x3 5.
线 性
5
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 四 章
引例(续2)
x1 x2 3x2
2x3 3x3
1 0
① ②
3x2 x3 2 ③
线
性 方 程 组
③ ①
x1 x2 3x2
2x3 3x3
1 0
2x3 2
① ② ③
x1
x2
2 1
x3 1
1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2 1 1 2 1 0 3 3 0 0 0 2 2 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 1
x1
x2 3x2
2x3 3x3
1 0
2x3 2
继续“消元”得：
x1
x2
2 1
x3 1
3
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 启示 四 章
线 性 方 程 组
事实上，从上述对线性方程组的求解过程中可知： 真正参与运算的是线性方程组的系数项和常数项， 而未知量并不需要参与运算。
令
A ~(A
相应地，线性方程组变为
线
性 方 程 组
c11
x1
cc1211x 2 c022 x 2
c12 c22
c1r xcr1r c1cn1xnn d 1 c 2 r xcr2r c 2cn2xnn d 2
d1 d2
A~ (A
b)
0 0
0 0
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 四
§4.2 高斯(Gauss)消元法
章
一、线性方程组的初等变换
线
性 二、高斯(Gauss)消元法
方 程
三、线性方程组求解结果的一般性讨论
组
1
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 一、线性方程组的初等变换
四 章 定义 在线性方程组的求解过程中, 可使用如下三种变换手段