初中数学动点求极值

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浅谈求物理极值的数学方法

作者：赵玉祥

来源：《理科考试研究·高中》2015年第07期

本文从一道抛体的极值问题入手，对物理极值的数学应用做一点有益的总结，例题如下：

如图1所示，从A点以某一初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，不考虑空气阻力，问小球至少以多大的速度才能使小球恰好越过墙壁.

三角函数类型

解一当小球到达B点时，其位移矢量与水平面夹角为a且 .如图2所示，将抛体运动视为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动的叠加，由正弦定理得

12gt2sin（θ-a）=v0tsin（π2+a）=h2+s2sin（π2-θ）

解得

v0=gh2+s2cos2a2cosθsin（θ-a）=gscosαsin（2θ-a）-sina

2θ-a=π2即θ=π4+a2时取最小

v0=gscosα1-sinα=g（h+h2+s2）

说明本解也可以AB连线为x轴建立斜坐标，将重力加速度分解，再利用三角函数，由于限于篇幅，具体求解过程读者自行验证.

二次函数类型

解二小球在A点以最小的初速度到达B点，由于斜面倾角确定，与在A点以初速度斜抛要使射程极大的物理过程等价，如图3所示，由位移矢量图形可得：

s2[WB]=（v0t）2-（12gt2+h）2

[DW]=-14g2t4+（v20-gh）t2-h2

当t2=-b2a时，s2=4ac-b24a有极值， s2=v20（v20-2gh）g2

当s确定，v0最小，取实解得 v0=g（h+h2+s2）

矢量图解类型 龙源期刊网

解三小球要以最小的速度抛出恰能击中斜面的最高点与以某一确定的初速度斜抛到斜面上要使射程最大的问题本质相同.设小球的初速度为v0，小球到达B点时的速度为vt，由能量守恒得vt=v20-2gh

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初中数学动点问题案例

作者：李小兵

来源：《新课程·中学》2013年第07期

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一、教材分析

1.教材教学的背景

初中的教材中并没有对动点问题进行独立的章节介绍，更多的是要依靠学生根据自身已有的知识及对知识的灵活应用的基础上，对相关问题进行思考解决。

2.教材中的地位与作用

动点问题所涉及的知识是相当广泛的，对于不同的知识点都可以衍生出不同类型的动点问题。它对学生的知识水平也是有相对较高的要求，同时对学生的思维有着较高的要求，它体现了学生综合应用知识能力的水平。

3.学情分析

学生在数学相关知识的方面有了一定的积累，也具备了初步的分析问题和解决问题的能力。尽管他们的思维较为活跃，但常常因为综合能力与经验不足，常常出现“无从入手，思维混乱”的情况。

4.教学重难点

教学重点：（1）有条理地寻找符合要求的点。（2）分析动点问题中的线段的数量关系。

教学难点：让学生学会有条理地进行推理，将已有知识应用于实际问题中。

二、目标分析 龙源期刊网

1.探索动点问题中，如何有条理地寻找出符合要求的点，并能合理地进行解释；掌握解决动点问题的窍门，找出解决问题的突破口，分析条件信息，从而解决此类问题。

2.通过对符合要求的点的寻找，让学生在“动”中找“静”，对运动的点进行探索，培养学生观察、比较、分析、综合、抽象、推理等逻辑思维能力和逆向思维的能力。

三、教学过程分析

1.创设情境，提出问题

师：动点问题是会动的点，这个说法可以，但点是到处跑的吗？举个例子，我们在天空中看到了一架飞机从远方飞了过来，数秒钟后，你能不能再从天空中把它找出来？为什么？

动点最值问题的常用解法

动点最值问题是数学中一个很有趣的问题，它往往涉及到最大值或最小值的求解，难度并不小。针对这种问题，数学家们提出了各种不同的解法，本文将介绍其中一些常用的方法。

一、拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是一种利用约束条件求函数的最值的方法。其基本思路是利用不等式的等式条件，将约束条件和目标函数融合，建立拉格朗日函数，最后对其求导，解出最优解。

这种方法的优点是精度高，适用条件广。但是，由于需要解方程组，所以计算量比较大。

举个例子，要求函数 $f(x,y)$ 在方程 $g(x,y) = 0$ 的限制下的最大值，我们可以建立拉格朗日函数：

$$

L(x,y,\lambda) = f(x,y)+\lambda g(x,y)

$$

其中 $\lambda$ 为拉格朗日乘数。对拉格朗日函数分别对$x,y,\lambda$求偏导数，并使它们等于0，得到以下方程组：

$$

\begin{cases}

\nabla f(x,y) + \lambda \nabla g(x,y) = 0\\

g(x,y) = 0

\end{cases} $$

解出这个方程组，就可以得到函数 $f(x,y)$ 在 $g(x,y)=0$ 限制下的最优解了。

二、图像解法

图像解法是一种简单直观的方法，适合于几何意义比较明显的问题。它的基本思路是将问题转化为图像，然后利用图像来求解最值问题。

例如，要求函数 $f(x,y)$ 在直线 $y=kx$ 上的最大值，我们可以将其转化为函数 $g(x) = f(x,kx)$ 的最大值问题。接下来，我们可以利用图像解法，通过观察函数

$g(x)$ 在 $[a,b]$ 区间的图像，来确定它的最大值点。显然，最大值点的横坐标为

$x_0$，纵坐标为 $f(x_0,kx_0)$，即可得到函数 $f(x,y)$ 在 $y=kx$ 上的最大值。

三、证明解法

证明解法也是一种常用的方法，它的基本思路是通过分析问题的性质，得到问题的最值解，并给出相应的证明过程。

4. （2014•山东枣庄，第25题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．

（1）求∠OBC的度数；

（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；

（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．

8．（2014山东济南，第28题，9分）（本小题满分9分）如图1，抛物线2163xy平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积阴影S；

（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设tOM，试探求：

①为何值时MAN为等腰三角形；

②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

10.(2014年贵州黔东南24．（14分）)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

A Ｂ

Ｃ

Ｄ ｘ y

O

第28题图1

P

A B

C M N

x y

O

第28题图2

15.（2014•娄底27．（10分））如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：