2015年陕西省宝鸡市高考数学三模试卷(理科)-答案

2015年陕西省宝鸡市高考数学三模试卷（理科）

答案和解析

【答案】

1.A 2.B 3.A 4.D 5.A 6.A 7.B 8.C 9.A 10.A 11.C 12.B

13.

14.a

15.

16.（0，+∞）

17.（共13分）

解：（Ⅰ）∵=cos（0+φ）

∴φ的值是．…（2分）

∵=cos（πx0+）

∴2π-=πx0+，可得x0的值是．…（5分）

（Ⅱ）由题意可得：．…（7分）

所以 =…（8分）

==．…（10分）

因为 ，

所以 ．

所以 当，即时，g（x）取得最大值；

当，即时，g（x）取得最小值．…（13分）

18.（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD

∴PD⊥AC

又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D

∴AC⊥平面PBD，∵DE⊂平面PBD

∴AC⊥DE…（6分）

（II）解：分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，则

由（I）知：平面PBD的法向量为，

令平面PAB的法向量为，则根据得∴

因为二面角A-PB-D的余弦值为，则，即，∴…（9分）

∴

设EC与平面PAB所成的角为θ，

∵，

∴…（12分）

19.解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，

∴c=1，=，

∴a=，

∴b==1-----------------（3分）

∴椭圆的方程为．-----------------（4分）

（Ⅱ）设点P（m，0）（-≤m≤），则直线l的方程为y=x-m，-----------------（2分）

代入椭圆方程，消去y，得3x2-4mx+2m2-2=0-----------------（4分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，----------------（6分）

∴|PA|2+|PB|2=（x1-m）2+y12+（x2-m）2+y22=2[（x1+x2）2-2x1x2-2m（x1+x2）+2m2]

=2[（）2--2m×+2m2]=-m2+-----------------（8分）

∵-≤m≤，即0≤m2≤2

∴当m=0时，（|PA|2+|PB|2）max=，|PA|2+|PB|2的最大值为．---------------（10分）

20.（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，

所以p++q=1．…（2分）

又因为， 所以q=． …（3分）

（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事

件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，…（4分）

则，且A，B独立．

由上表可知，，P（B）=p．

所以…（5分）

==．…（6分）

因为，

所以．…（7分）

又因为，q≥0，

所以．

所以．…（8分）

（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），

所以随机变量X的分布列为：

X 4 0 -2

P

…（9分）

则．…10 分

假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），

所以随机变量Y的分布列为：

Y 2 0 -1

P

…（11分）

则．…（12分）

因为EX＞EY，

所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（13分）

21.解：（1）由题意h（x）=x-lnx-2（x＞1），则h'（x）=1-

所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增 因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，

所以h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，

所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）

（2）因为f（x）=x+xlnx，

可知k＜对任意x＞1恒成立，即k＜对任意x＞1恒成立

令g（x）=，求导g'（x）=

由（1）知，h（x）=x-lnx-2，h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）

当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0

当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0

所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．

因之，[g（x）]min=g（x0）=，

从而k＜[g（x）]min=x0∈（3，4），故整数的最大值为3；

（3）证明：由（2）可知，xlnx＞2x-3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N*），则有：

2ln2＞2×2-3，3ln3＞2×3-3，…，klnk＞2k-3，

将上式各式子相加得：

2ln2+3ln3+…+klnk＞2（2+3+4+…+k）-3（k-1）=k2-2k+1=（k-1）2，

即，可得，，从而有：

=

=．

22.证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF

又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，

且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；

（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，

∵∠BAD=∠FAB，

∴△BAD∽△FAB，

∴=，

∴AB2=AD•AF，

∵AB=AC，

∴AB•AC=AD•AF，

∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，

根据割线定理DF•AF=FC•FB， ∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．

23.解：（1）消去参数θ，得曲线C的标准方程：（x-1）2+y2=1．

由得：ρcosθ-ρsinθ=0，

即直线l的直角坐标方程为：x-y=0．

（2）圆心（1，0）到直线l的距离为，

则圆上的点M到直线的最大距离

为（其中r为曲线C的半径），．设M点的坐标为（x，y），

则过M且与直线l垂直的直线l'方程为：x+y-1=0，

则联立方程，

解得，或，

经检验舍去．

故当点M为时，△ABM面积的最大值为（S△ABM）max=．

24.解：（i）由2a+b=9得9-b=2a，即|9-b|=2|a|．

所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．

所以a的取值范围-1＜a＜1．

（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，

所以，当且仅当a=b=3时，等号成立．

故z的最大值为27．…（7分）

【解析】

1. 解：==i-1．

故选：A．

利用复数的运算法则即可得出．

本题考查了复数的运算法则，属于基础题．

2. 解：平面向量=（1，2），=（-2，y）且，则， 可得-2+2y=0，解得y=1，

||==．

故选：B．

通过向量垂直数量积为0求出y，然后求解向量的模．

本题考查向量的数量积的应用，向量垂直体积的应用，考查计算能力．

3. 解：由a＜b＜0能推出ab＞b2，是充分条件，

由ab＞b2，推不出a＜b＜0，不是必要条件，

故选：A．

根据充分必要条件的定义进行判断即可．

本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．

4. 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，

其底面棱长为2，

高h=2，

故侧面的侧高为=，

故该四棱锥侧面积S=4××2×=4，

故选：D

由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出侧面的高后，计算各个侧面的面积，相加可得答案．

本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．

5. 解：由于f（x）=x2+cosx，

∴f′（x）=x-sinx，

∴f′（-x）=-f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，

又当x=时，f′（）=-sin=-1＜0，排除C，只有A适合，

故选：A．

由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x-sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=-sin=-1＜0，排除C，只有A适合．

本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．

6. 解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*i时，

程序在运行过程中各变量的值如下表示：

i S 是否继续循环

循环前1 0/

第一圈 2 5是

第二圈 3 6是

第三圈 4 9是 第四圈 5 10否

故输出的i值为：5，符合题意．

故选：A．

题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．

本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果，属于基础题．

7. 解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=5；

第一个因式取2，第二个因式取（-1）5，可得2×（-1）5=-2∴（x2+2）（-1）5的展开式的常数项是5+（-2）=3故选B．

（x2+2）（-1）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取（-1）5，故可得结论．

本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．

8. 解：分2步进行分析：

①、先将5名学生分成3组，每组至少一人，有2，2，1或3，1，1两种情况；

若分成2，2，1的三组，有=15种分组方法，

若分成3，1，1的三组，有=10种分组方法，

则将5名学生分成3组，每组至少一人，有15+10=25种分组方法，

②、将分好的3组对应3个地段，有A33=6种情况，

故共有25×6=150种不同的分配方案．

故选：C

根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，每组至少一人，分析可得有2，2，1或3，1，1两种情况；分别求出每种情况的分组方法数目，再由分类计数原理可得全部的分组方法数目，②、将分好的3组对应3个地段，有A33=6种情况，进而由分步计数原理计算可得答案．

本题考查分步、分类计数原理的运用，分析本题要先分组，再对应三个地段进行全排列，解题时注意排列、组合公式的灵活运用．

9. 解：把函数y=cos（-2x）=cos（2x-）的图象向右平移，得到函数f（x）=cos[2（x-）-]=cos（2x-）=sin2x 的图象，

由于f（x）是周期为π的奇函数，

故选：A．

由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，得出结论．

本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，属于基础题．