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数学建模之灰色预测模型

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仅供个人学习参考 一、灰色预测模型

简介（P372）

特点：模型使用的不是原始数据列，而是生成的数据列。

优点：不需要很多数据，一般只用4个数据就能解决历史数据少，序列的完整性和可靠性低的问题。

缺点：只适用于中短期的预测和指数增长的预测。

1、GM(1,1)预测模型

GM(1,1)表示模型为一阶微分方程，且只含有一个变量的灰色模型。

1.1模型的应用

①销售额预测

②交通事故次数的预测

③某地区火灾发生次数的预测

④灾变与异常值预测，如对旱灾，洪灾，地震等自然灾害的时间与程度进行预报。（百度文库）

⑤基于GM(1,1)模型的广州市人口预测与分析（下载的文档）

⑥网络舆情危机预警（下载的文档）

1.2步骤

①级比检验与判断

由原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())xxxxn计算得序列的级比为

若序列的级比()k∈2212(,)nnee，则可用(0)x作令人满意的GM(1,1)建模。

光滑比为

若序列满足

则序列为准光滑序列。

否则，选取常数c对序列(0)x做如下平移变换

序列(0)y的级比

②对原始数据(0)x作一次累加得

建立模型:

(1)(1),dxaxbdt（1）

③构造数据矩阵B及数据向量Y

其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,.zkxkxkkn）

④由

求得估计值ˆa=ˆb=

⑤由微分方程（1）得生成序列预测值为

则模型还原值为

⑥精度检验和预测

残差

仅供个人学习参考 相对误差

相对误差精度等级表

级比偏差

若()k<0.2则可认为达到一般要求；若()k<0.1，则可认为达到较高要求。

利用matlab求出模型的各种检验指标值的结果如表

经过验证，给出相应预测预报。

2、新陈代谢模型

灰色新陈代谢模型是一个不断考虑新信息的预测模型，它考虑了随着时间推移相继进入系统的扰动因素带来的影响，在不断补充新信息的同时，及时去掉旧信息，使整个系统一直处于更新和发展的过程中，更符合现实世界的变化。

与GM(1,1)模型相比，既能充分发挥传统GM(1,1)模型仅利用少量数据,就能获得较高预测精度的优点,又能反映出数据的变化趋势,从而使预测结果的精度获得更进一步的提高。局限性在于该模型适合预测具有较强指数规律的序列,只能描述单调变化的过程。

2.1模型的应用

①深圳货运量预测；（下载文档）

②天津市城市人均住宅建筑面积及非农业户籍人口总数预测（下载文档）；

③网络舆情危机预警（下载文档）。

2.2步骤

①建立新陈代谢数据序列

原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())xxxxn，用最新信息(0)(1)xn替换最初数据(0)(1)x，即得到新陈代谢数据序列(0)(0)(0)(0)((2),,(),(1))yxxnxn。

②后续步骤同GM(1,1)模型。

③用②计算出的最新结果再次替换最初信息(0)(2)x得到新序列重复步骤②，以此类推，将计算结果制表并分析。

3、波形预测

波形预测,是对一段时间内行为特征数据波形的预测。当原始数据频频摆动且摆动幅度较大时，可以考虑根据原始数据的波形预测未来的行为数据发展变化,以便进行决策。从本质上来看,波形预测是对一个变化不规则的行为数据列的整体发展进的预测。

3.1模型的应用

①区域降水量预测（下载文档）

②运量需求不平衡航线下客流量预测（下载文档）

③网络舆情危机预警（下载文档）

3.2步骤

①求出序列折线

由原始数据列((1),(2),,())xxxxn得出序列X的k段折线图形为

序列X的折线为

②选取等高线

令maxmin11(),()maxminknknxkxk则有

仅供个人学习参考 如果kx的i段折线上有等高点，则坐标为()(,)(1)()xiixixi。

③等高点的计算

解方程kx=γ得到折线kx与γ的交点(0)()xi=(,())(1,2,)iixxxi，即γ等高点。

④(0)()xi构成等高时刻序列，求出各等高时刻序列的GM(1,1)预测。

⑤得出波形预测

画出波形图，并分析。

4、Verhulst模型

Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即S型过程。常用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。（例如B题艾滋病疗法的评价及治疗预测）

4.1步骤

①模型的建立

对原始数据(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())xxxxn作一次累加得

令(1)(1)(1)()0.5()0.5(1),2,3,,,zkxkxkkn得(1)x的均值生成序列为

则得到灰色Verhulst模型为

灰色Verhulst模型的白化方程为

(1)(1)(1)2()dxaxbxdt（2）

②参数求解

构造数据矩阵B及数据向量Y

由

求得估计值ˆa=ˆb=

③解微分方程（2）得灰色Verhulst模型的时间序列响应为

通过累减还原得

④精度检验和预测

同GM(1,1)模型。

例题：

某地区年平均降雨量数据如表1。规定=320，并认为(0)()xi为旱灾。预测下一次发生的时间。

表1某地区年平均降雨量数据

解：

模型的建立：

①列出原始数据列(0)(0)(0)(0)((1),(2),,())xxxxn，确定在(0)320xs的条件下的下限灾变数列0x与其相对应的时刻数列(0)t。

计算光滑比

判断序列(0)t是否满足满足

仅供个人学习参考 ②对数列(0)t做1次累加，得(1)t。

③建立GM(1，1)模型。

(1)(1),dtatbdt（1）

④构造数据矩阵B及数据向量Y

其中：(1)(1)(1()0.5()0.5(1),2,3,,5.zktktkk）

⑤由

求得估计值ˆa，ˆb。

⑥由微分方程（1）得生成序列预测值为

则模型还原值为

预测到第6个和第7个数据。

模型的求解

（1）根据题得：原始数据列(0)x(390.6,412,320,559.2,380.8,542.4,553,310,

561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5)

因为当(0)320xs时的(0)()xi为异常值，可得下限灾变数列为

0x(320,310,300,313.8,318.5)

与其相对应的时刻数列为：(0)t=(3,8,10,14,17)

利用matlab计算得出序列光滑。

（2）对数列(0)t做1次累加，得(1)t(3,11,21,35,52)

（3）由步骤③，④，⑤并利用matlab解得ˆa=-0.2536ˆb=6.2585

（4）由步骤⑥，预测得到第6个和第7个数据为

由于22.034与17相差5.034这表明下一次旱灾将发生在五年以后。

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数学建模之预测模型

数学建模之预测模型

第六章 预测模型（Forecast Models）

本讲主要内容

1. 预测和预测模型

2. 时间序列预测模型

3. 灰色预测模型

4. 数学建模案例：SARS疫情对某些经济指标影响问题

6.1预测和预测模型

6.1.1 什么是预测

预测作为一种探索未来的活动早在古代已经出现，但作为一门科学的预测学，是在科学

技术高度发达的当今才产生的。“预测”是来自古希腊的术语。我国也有两句古语：“凡事预

则立，不预则废”， “人无远虑，必有近忧” 。预测的目的在于认识自然和社会发展规律，

以及在不同历史条件下各种规律的相互作用，揭示事物发展的方向和趋势，分析事物发展的

途径和条件，使人们尽早地预知未来的状况和将要发生的事情，并能动地控制其发展，使其

为人类和社会进步服务。因而预测是决策的重要的前期工作。决策是指导未来的，未来既是

决策的依据，又是决策的对象，研究未来和预测未来是实现决策科学化的重要前提。预测和

决策是过程的两个方面，预测为决策提供依据，而预测的目的是为决策服务，所以不能把预

测模型和决策模型截然分开，有时也把预测模型称为决策模型。

20世纪以来，预测技术所以得以长足进步，一方面，与社会需求有很大关系，另一方

面通过社会实践和长期历史验证，表明事物的发展是可以预测的。而且借助可靠的数据和科

学的方法，以及预测技术人员的努力，预测结果的可靠性和准确性可以达到很高的程度，这

也是预测技术迅速发展的另一个重要原因。

6.1.2 预测的方法和内容

为保证预测结果的精确度，预测之前的主要工作是数据的准备，数据是预测工作的前提

和重要依据，预测不能是臆造和空想，任何事物的发展都有一定的规律，认真研究预测对象

并充分考察预测对象所处的环境，以系统分析的方法对过去和现在的数据进行总结，从中找

出规律，便可科学地推断未来。

1.数据的收集和整理 按时态分，数据可分为历史数据和现实数据；按预测对象分，可

分为内部数据和外部数据；就收集的手段分，可分为第一手数据和第二手数据。第一手数据，

数学建模城市空气质量评估及预测

数学建模城市空气质量评估及预测

欧阳数创编

欧阳数创编 城市空气质量评估及预测

时间：2021.03.02 创作：欧阳数

摘要: 本文对我国十个城市的空气质量进行了深入的研究，利用统计学等相关原理，结合我国现行的“创模”和“城考”体系中的环境空气质量指标，就城市空气污染程度，空气质量的预测和影响因素等问题建立出相应的数学模型。

利用层次分析法和Perron-Frobenions等相关原理建立数学模型对中国十大城市的空气污染严重程度给出分析并排名。运用GM（1,1）灰色预测模型，结合相关数据运用excel软件进行数据统计，对成都市2010年11月份的空气质量状况进行预测。使用优势分析原理分析空气中可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮等因素对空气质量的影响程度。

关键词：空气质量，层次分析，判断矩阵，相对权重，排名，灰色预测，优势分析，可吸入颗粒，二氧化硫，二氧化氮

一、问题的提出

1.1背景介绍

随着中国经济的进一步发展，环境问题已是制约我国发展的关键因素之一，而环境问题最突出的就是空气污染。欧阳数创编

欧阳数创编 “十一五”“创模”考核指标“空气污染指数”要求：API指数≤100的天数超过全年天数85%。“城考”依据API指数≤100的天数占全年天数的比例来确定空气质量得分。“API指数≤100的天数”，通常又被称为空气质量达到二级以上的天数。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国空气质量做出分析和预测是一个重要问题，同时通过对影响空气质量因素的分析，以正确做好环境保护措施也极为重要。

本文主要针对以下几个问题进行相关分析：

（1）利用已知的数据，建立数学模型通过分析给出十个城市空气污染严重程度的科学排名。

（2）建立模型对成都市11月的空气质量状况进行预测。

（3）收集必要的数据，建立模型分析影响城市空气污染程度的主要因素是什么。

二、基本假设

1）表格中已有的数据具有权威性，值得相信，具有使用价值。

2） 空气质量相同等级的污染程度相同。

数学建模之中国人口增长的预测和人口结构的简析

数学建模之中国人口增长的预测和人口结构的简析

中国人口增长的预测和人口结构的简析

摘要

本文根据过去数十年的人口数据，通过建立不同的数学模型，对中国人口的增长进行了短期和中长期的预测。

模型一：从中国统计年鉴—2008，查找得到2000-2007年的人口数据，然后用灰色模型进行人口的短期（2008-2017）预测。这里，我们采用两种算法进行人口总数的预测。一种是用灰色模型分别对城镇人口和乡村人口进行人口预测，然后求加和得到总的人口数；另一种是用灰色模型对实际的总人口数进行预测，预测未来10年的总人口数。通过比较相对误差率知道第二种方法预测得到的数据误差较小，故采用第二种方法预测的未来10年的人口数为：

时间 2008 2009 2010 2011 2012

人数（万） 132996.6 133770.2 134548.4 135331 136118.2

时间 2013 2014 2015 2016 2017

人数（万） 136910 137706.4 138507.4 139313.1 140123.4

模型二：对于中长期的预测我们采用Leslie模型进行预测。我们利用题中所提供的人口数据的比例，将人分为6种类型，在考虑年龄结构的基础上，对各类人中的女性人数分别进行预测，然后根据男女的性别比例，求出男性的人口数，再将预测得到的各类人数进行汇总加和，最终得到总的人口数。由于我们是根据年龄结构进行的预测，所以可以对人口进行简单的分析，得到老龄化变化趋势，乡镇市的人口所占比例的变化等。

关键词： 人口预测；灰色模型；分类计算；Leslie模型

一、 模型假设

模型一的假设：

1、 不考虑国际迁移，认为国家内部迁移不改变人口总量；

2、 不考虑自然灾害、疾病等因素对人口数量的影响；

3、 文中短期预测到2017年

4、 大面积自然灾害、疾病的发生以及人们的生育观念等因素会对当年的生育率和人口数量产生影响，认为这些因素在预测误差允许的范围内．

中国人口增长模型(灰色预测模型)

中国人口增长模型(灰色预测模型)

中国人口增长模型之邯郸勺丸创作

论文摘要：人口问题涉及人口质量和人口结构等因素，是一个复杂的系统工程，稳定的人口发展直接关系到我国社会、经济的可持续发展。如何从数量上准确的预测人口数量以及各种人口指标，对我国制定与社会经济发展协调的健康人口发展计划有着决定性的意义。近年来我国的人口发展出现了许多新的特点，这些都影响着我国人口的增长。鉴此，本文依据灰色预测方法和年龄移算理论，基于人口普查统计数据，从人口系统发展机理上展开讨论。

首先根据灰色预测理论，建立了一级的灰色预测模型，再将近几年我国的人口数量带入模型，便得到未来较短时间内我国的人口数量。所得结果为我国总人口将于2006年、2007，2008，2009，2010年分别达到13.1495，13.2212，13.2909，13.3587，13.4246亿人。

然后分析人口发展方程中按年龄死亡率及生育模式等参数函数的内在变更规律，及其对总人口的影响，建立了莱斯利主模型，并在此基础上针对各参数函数的分歧特点，建立了生育模型和死亡模型等子模型。在将所得子模型和主模型结合，依据当前人口结构现状对我国的人口做了长期的预测。所得结果是我国总人口将于2010年、2020年、2030年分别达到13.51058，14.38295，14.78661亿人与国家发展战略陈述数据一致。 最后对所建模型的优缺点进行了客观的评价。

一、问题的提出

1.1 问题：

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究陈述》还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和弥补新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。