垂直平分线的定理

角平分线与垂直平分线知识点

一、角平分线

1. 角平分线可以得到两个相等的角。（角平分线的定义）

∵AD是∠CAB的角平分线

∴∠CAD=∠BAD=21∠CAB

2. 角平分线上的点到角两边的距离相等。（角平分线的性质）

∵AD是∠CAB的角平分线，DC⊥AC ，DB⊥AB

∴DC=DB

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。（角平分线的判定）

∵DC⊥AC ，DB⊥AB，DC=DB

∴点D在∠CAB的角平分线上。

二、角平分线图模（对称性）

1、角平分线作垂线

角平分线+垂直一边：“图中有角平分线，可向两边作垂线，作完垂线全等必出现”

若PA⊥OM于点A，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。利用角平分线的性质定理，可以得到∆OAP≌∆OBP（AAS）。 2、角平分线+垂线：“角分垂必延长”垂直角分线，等腰全等现。

若AP⊥OP于点P，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，三线合一，∆OAP≌∆OBP（ASA）。

3、角平分线+斜线：“截等长构造全等”

若点A是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA（SAS）。

4、角平分线+平行线：“角平分线+平行线，等腰三角形必出现”

若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，利用平行的内错角相等及等角对等边

可以得到△POQ是等腰三角形。

5、角平分线+对角互补：“截长补短构造全等”

6、夹角模型

双内角角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+12∠A． 内角和外交角平分线模型：BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=12∠A．

双外角角平分线模型：BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：

∠D=90°-12∠B．

在∠AOB中，画角平分线：

线段垂直平分线的判定定理

线段垂直平分线判定定理是平面几何学一个重要的定理。它指出，如果给定的任意一条线段，它的任意一点P可以被称为该线段的垂直平分点，即PP'等于半条线段PQ的长度，则从点P出发的垂线做线段PQ的垂直平分线，这条垂直平分线一定也过线段PQ的中点。

线段垂直平分线判定定理的证明：假设给定的线段PQ的中点是M，设点P到P'的距离为半线段PQ的长度n，且垂足为R，令OA平行于PQ，使得 OA=PM。由此可知，MR=ON，而OQ=OP+PN=2n。

结合OA=PM，M为PQ的中点，MR=ON，得MR=MQ=QO的一半，即MR=OQ的一半，所以MR=OB，故BR=RM，于是BR=OM，因此OM=BR。又由OM=BR，MR=RM，可得OM=BM，即O为PQ的中点M的对称中心。因此点R为线段PQ的垂直平分点，而由点R出发的垂线为PQ的垂直平分线，这条垂直平分线一定也过PQ的中点M，证毕。

线段垂直平分线判定定理的存在为几何图形的研究和推理提供了可靠的依据，给几何图形的仿射、对称、对称中心等直接性质的研究提供了有力的理论支撑，同时也为许多类似的几何学问题的解决提供了有益的参考，加强了几何学的连贯性，具有显著的教育意义。

三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质

三角形是几何学中最基本的平面图形之一，有许多有趣的性质和定理与之相关。本文将讨论关于三角形中线角平分线和垂直平分线的性质。

一、中线角平分线的性质

中线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。而三角形的中线角平分线则是从三角形的一个顶点到对边的中点后继续延伸至对边上某一点的线段，它具有以下性质：

1. 中线角平分线将三角形的对边平分成两个相等的线段。这意味着通过中线角平分线将三角形划分为两个面积相等的小三角形。

2. 三角形三个中线角平分线的交点称为三角形的重心，重心位于三角形的内部，且到三角形的三个顶点距离相等。

3. 三角形的重心到三个顶点的距离之和等于重心到三边的距离之和。这个性质在解决实际问题中有广泛的应用，例如确定三个城市的最佳集中点。

4. 三角形的重心将中线分成2:1的比例。也就是说，从顶点到中线交点的距离是从中线交点到对边中点的距离的两倍。

二、垂直平分线的性质

垂直平分线是从三角形某一边上的点垂直地到达对边的线段，具有以下性质： 1. 垂直平分线将三角形的一条边平分成两个相等的线段。这表明通过垂直平分线可以将三角形划分为两个面积相等的小三角形。

2. 三角形三个垂直平分线的交点称为三角形的外心，外心即位于三角形的外部，且到三角形的三个顶点距离相等。

3. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，且等于外心到三边的距离。

4. 三角形的外心和三个顶点共线，且外心和三个顶点的连线垂直于各边。

总结：

三角形的中线角平分线与垂直平分线是三角形内部特殊线段的几何性质，在解决几何问题和推导其他定理时起到重要作用。中线角平分线将三角形对边平分，三个中线角平分线的交点为三角形的重心，重心有着特殊的位置和性质；而垂直平分线将三角形的一边平分，三个垂直平分线的交点为三角形的外心，外心也有着特殊的位置和性质。研究三角形的中线角平分线与垂直平分线的性质，有助于加深我们对于三角形几何形状的理解，以及解决与三角形相关的数学问题。

线段垂直平分线的逆定理

线段垂直平分线的逆定理是一个有趣的几何定理，可以用来证明某些有关线段的性质。它也被称为三角形垂直平分线定理，因为它可以用来证明三角形内角和对应的外角之间的关系。

定理：如果一条线段AB与CD垂直平分，则∠ACD=∠BDC。

证明：

设线段AB的中点为M，线段CD的中点为N。

1. 由垂直平分线定理可知，AM⊥CD，BN⊥CD。

2. 因此，线段MN是CD的中垂线，所以MN⊥CD。

3. 又因为AM⊥CD，MN⊥CD，故M和N都在同一个CD的平面上，于是，∠AMN=∠BNM。

4. 由边平行定理得，∠ACD=∠AMN=∠BNM=∠BDC，即证明了∠ACD=∠BDC。

结论：如果一条线段AB与CD垂直平分，则∠ACD=∠BDC。

线段垂直平分线的逆定理是几何学中重要的定理，它可以用来证明三角形内角和外角的关系。例如：如果一个三角形的内角A、B和C的大小分别为α、β和γ，如果AO与BC垂直平分，那么α+γ=2β。它还可以用来证明其他任意多边形的角之和等于（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。

这也是一个有趣的定理，可以用来解决许多几何问题，是几何学中不可或缺的一部分。