2.3.1直线与平面垂直的判定
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2.3.1直线与平面垂直的判定
知识点
1．直线与平面垂直的有关概念
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，
记作l⊥α．
(2)相关概念：若直线l与平面α垂直，则直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
(3)画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如
图：
(4)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.
其中“任意直线”等同于“所有直线”．
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
3．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我
们说它们所成的角是0°的角．
线面垂直的判定定理的应用
已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
1．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点；
(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
2
直线与平面所成的角
如图，正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中，求直线A
1B和平面A
1B
1CD所成的角．
2．如图，在正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中，
(1)A
1C
1与平面ABCD所成的角为________；
(2)A
1C
1与平面BB
1D
1D所成的角为________．
如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心．
求证：PH⊥平面ABC．
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已知P为△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC＝a，求点P
到平面ABC的距离．
A组训练
1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
2．线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
3．如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是(
)
A．平行 B．垂直相交
C．垂直异面 D．相交但不垂直
4．如图，在长方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中，AB＝BC＝2，AA
1＝1，则AC
1与平面A
1B
1C
1D
1所
成角的正弦值为( )
A.223 B.23
C.2
4 D.1
3
5．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列结论：①PA⊥BC；
②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是( )
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①②③④
4
6．如图，直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，∠ABC＝90°，M为线段BB
1上的一动点，则直线AM
与直线BC的位置关系为________．
7．在正方体ABCD-A
1B
1C
1D
1中，直线AB
1与平面ABCD所成的角等于________．
8．
如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有
________个．
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝
22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
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10．如图所示，三棱锥A-SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线
AS与平面SBC所成的角．
B组训练
1. 如图，三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中
不一定成立的是(
)
A．AB＝BC
B．VC⊥VD
C．AB⊥VC
D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO
2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边
上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是________．
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3．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC
的中点，AD＝CD＝1，DB＝22.
(1)证明PA∥平面BDE；
(2)证明AC⊥平面PBD；
(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．
4. 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均为正方形，侧面是全等的
等腰梯形的四棱台A
1B
1C
1D
1-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等
的矩形的四棱柱ABCD-A
2B
2C
2D
2.
(1)证明：直线B
1D
1⊥平面ACC
2A
2；
(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10，A
1B
1＝20，AA
2＝30，AA
1＝13(单位：
cm)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？
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2.3.1直线与平面垂直的判定参考答案
知识点
1．直线与平面垂直的有关概念
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，
记作l⊥α．
(2)相关概念：若直线l与平面α垂直，则直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
(3)画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．如
图：
(4)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.
其中“任意直线”等同于“所有直线”．
2．直线与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，则该直线与此平面垂直．
(2)图形语言：如图所示．
(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
3．直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我
们说它们所成的角是0°的角．
线面垂直的判定定理的应用
已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
[证明] 如图，在平面α内作两条相交直线m，n.
因为直线a⊥α，根据直线与平面垂直的定义知a⊥m，a⊥n.
又因为b∥a，所以b⊥m，b⊥n.
又因为m⊂α，n⊂α，m，n是两条相交直线，
所以b⊥α.
1．过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．
(1)若PA＝PB＝PC，∠C＝90°，则点O是AB边的________点；
(2)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．
解析：(1)∵PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC．
又∵∠C＝90°，∴O点是AB边的中点．
(2)∵PA＝PB＝PC，
则OA＝OB＝OC，
