6.3.1 平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算(精讲)(解析版)

平面向量的加减与数乘平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何学、物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将讨论平面向量的加减与数乘运算，以及它们的性质和应用。

一、平面向量的表示平面向量可以用有序的数对表示，如向量AB可以表示为(AB)，其中A和B是向量的起点和终点。

另外，向量也可用坐标表示，如向量AB的坐标表示为(AB) = (x2 - x1, y2 - y1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别是A和B的坐标。

二、平面向量的加法设有两个平面向量AB和CD，它们的起点分别为A和C，终点分别为B和D。

向量AB和CD的和为向量AD，即(AB) + (CD) = (AD)。

将向量AB平移到向量CD的起点，然后从起点画一条向量，这条向量就是向量AD。

三、平面向量的减法与向量的加法不同，向量的减法是通过减去一个向量得到另一个向量。

设有两个平面向量AB和CD，它们的起点分别为A和C，终点分别为B和D。

向量AB和CD的差为向量AC，即(AB) - (CD) = (AC)。

将向量CD平移到向量AB的起点，然后从起点画一条向量，这条向量就是向量AC。

四、平面向量的数乘平面向量的数乘是将向量的长度与一个实数相乘，从而改变向量的长度和方向。

设有一个平面向量AB和实数k，向量AB的数乘为k(AB)，即k乘以向量的长度。

当k>0时，数乘向量的方向与原向量相同；当k<0时，数乘向量的方向与原向量相反。

五、平面向量运算的性质1. 加法的交换律：对于任意的平面向量AB和CD，有(AB) + (CD) = (CD) + (AB)。

2. 减法的性质：对于任意的平面向量AB和CD，有(AB) - (CD) = (AB) + (-CD)，其中-CD是向量CD的相反向量。

3. 结合律：对于任意的平面向量AB、CD和EF，有(AB) + ((CD) + (EF)) = ((AB) + (CD)) + (EF)。

4. 数乘和加法的分配律：对于任意的实数k和平面向量AB、CD，有k((AB) + (CD)) = k(AB) + k(CD)。

高中数学“平面向量加减运算与坐标表示”知识点全解析一、引言平面向量的加减运算与坐标表示是向量运算的基础，对于理解向量的本质和性质，以及解决向量相关问题具有重要意义。

本文将详细解析“平面向量加减运算与坐标表示”相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。

二、平面向量的加减运算1.向量加法：向量的加法遵循平行四边形法则或三角形法则。

设有两个向量a和b，则它们的和a + b可以表示为第三个向量，这个向量从a的起点指向b的终点，或者通过平移使a和b的起点重合，然后以a和b为邻边作平行四边形，则a + b是与a、b共起点的平行四边形的对角线。

1.向量减法：向量的减法可以看作是加上一个反向的向量。

设有两个向量a和b，则它们的差a - b可以表示为第三个向量，这个向量从b的终点指向a的终点，或者通过平移使a和b的起点重合，然后以b为起点、a为终点的向量即为a - b。

三、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以将向量的起点放在坐标原点，用向量的终点坐标来表示这个向量。

设向量a的终点坐标为(x, y)，则我们可以将向量a表示为坐标形式(x, y)。

这种表示方法称为向量的坐标表示法。

四、平面向量加减运算的坐标表示1.向量加法的坐标表示：设有两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则它们的和a + b可以表示为坐标形式(x1 + x2, y1 + y2)。

即向量的加法在坐标表示下就是对应坐标分量的加法。

1.向量减法的坐标表示：同样地，设有两个向量a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则它们的差a - b可以表示为坐标形式(x1 - x2, y1 - y2)。

即向量的减法在坐标表示下就是对应坐标分量的减法。

五、应用举例1.力的合成与分解：在物理学中，力是矢量，可以用向量来表示。

通过向量的加减运算可以方便地求解多个力的合成或分解问题。

例如求解两个力的合力时可以将这两个力表示为向量然后利用向量的加法运算求得合力的大小和方向。

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一 向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底， 故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+， 所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二 向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+， 所以1344AD AB AC =+， 故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =， 所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+， 解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+， 故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==， 【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==， 由OC OA OB OD DC λμ=+=+， 可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==， 因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=， 即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=． 故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=， 解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =.【题组三 线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩， 所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量 【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭， 故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--， 又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四 数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系， 则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确； 对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且 【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <， 当//a b 时，1040x +=，解得52x =-， 又因,a b 不共线，所以52x ≠-， 所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角． 【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)． 【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向． 由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五 向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=， 所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=， 所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+， 所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立， 即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立， 因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立， 令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <， 因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值． 【答案】(1)3π；(2)32． 【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=， 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯， 又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=， 即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， ，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α． 【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==， 选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ， 所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②： 因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=， 因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥， 所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。

平面向量的基本定理及坐标表示一、知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.小结：1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(3)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )解析 (1)共线向量不可以作为基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同. (4)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A.e 1＝(0，0)，e 2＝(1，－2) B.e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，7) C.e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B. 答案 B3.设P 是线段P 1P 2上的一点，若P 1(1，3)，P 2(4，0)且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( ) A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)解析 由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3). 设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)， ∴x ＝2，y ＝2，则点P (2，2). 答案 A4.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)D.(1，4)解析 根据题意得AB→＝(3，1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，故选A. 答案 A5.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 解析 ∵a ∥b ，∴2λ＋6＝0，解得λ＝－3. 答案 －36.(2019·苏州月考)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎨⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5. 答案 (1，5)考点一 平面向量基本定理及其应用【例1】 (1)(2019·衡水中学调研)一直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB ，AD 分别交于点E ，F ，且交其对角线AC 于点M ，若AB →＝2AE →，AD →＝3AF →，AM →＝λAB →－μAC→(λ，μ∈R )，则52μ－λ＝( ) A.－12B.1C.32D.－3解析 (1)AM→＝λAB →－μAC →＝λAB →－μ(AB →＋AD →) ＝(λ－μ)AB→－μAD →＝2(λ－μ)AE →－3μAF →.因为E ，M ，F 三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1， 即2λ－5μ＝1，∴52μ－λ＝－12.(2)(2019·北京海淀区调研)在△ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD→＝13AB→＋12AC →.延长AD 交BC 于E ，若AE →＝λAB →＋μAC →，则λ－μ的值是________.解析：(2)设AE →＝xAD →，∵AD →＝13AB →＋12AC →， ∴AE→＝x 3AB →＋x 2AC →. 由于E ，B ，C 三点共线，∴x 3＋x 2＝1，x ＝65.根据平面向量基本定理，得λ＝x 3，μ＝x2.因此λ－μ＝x 3－x 2＝－x 6＝－15.答案 (1)A (2)－15【训练1】 (1)(2019·济南质检)在△ABC 中，AN→＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP→＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( ) A.－4B.－1C.1D.4解析 (1)根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB→)＝AB →＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →. 又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1.(2)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC→＝23OA →＋13OB →，则|AC→||AB →|＝________. 解析：(2)因为OC→＝23OA →＋13OB →，所以OC →－OA →＝－13OA →＋13OB →＝13(OB →－OA →)，所以AC →＝13AB →，所以|AC →||AB →|＝13.考点二 平面向量的坐标运算【例2】 (1)设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB→＋AC →等于( )A.－2AD →B.2AD →C.－3AD →D.3AD →(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4解析 (1)由题意得AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD→.(2)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)， ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，则⎩⎨⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4. 答案 (1)C (2)D【训练2】 (1)已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________.解析 (1)由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2). 则⎩⎨⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝7. 所以向量OB→的坐标是(4，7).(2)(2019·天津和平区一模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若CA →＝λCE →＋μDB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( )A.65B.85C.2D.83解析：(2)建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C (2，0)，A (0，2)，B (1，2)，E (0，1)， ∴CA→＝(－2，2)，CE →＝(－2，1)，DB →＝(1，2)， ∵CA→＝λCE →＋μDB →，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)， ∴⎩⎨⎧－2λ＋μ＝－2，λ＋2μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，则λ＋μ＝85.答案 (1)(4，7) (2)B考点三 平面向量共线的坐标表示 角度1 利用向量共线求向量或点的坐标【例3－1】 已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC→＝OC →－OA →＝(－2，6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)， 所以点P 的坐标为(3，3).法二 设点P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x4＝y4，即x ＝y .又AP→＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3). 答案 (3，3)角度2 利用向量共线求参数【例3－2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则mn ＝________. 解析 (1)由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12. (2)由2－1≠32，所以a 与b 不共线， 又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0. 那么当m a ＋n b 与a －3b 共线时， 有m 1＝n －3，即得m n ＝－13.答案 (1)12 (2)－13【训练3】 (1)(2019·北师大附中检测)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点，若AB→∥a ，则点B 的坐标为________.(2)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( ) A.－3B.－2C.2D.3解析 (1)由题意设B (x ，2x )，则AB→＝(x －3，2x )，∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6).(2)由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1. 2m ＋1＋2n ≥22m ＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3. 答案 (1)(－3，－6) (2)A三、课后练习1.如图，在△ABC 中，AD→＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.89B.49C.83D.43解析 AP→＝AB →＋BP →＝AB →＋13BD →＝AB →＋13(AD →－AB →)＝23AB →＋13×23AC →＝23AB →＋29AC →.因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29，则λ＋μ＝23＋29＝89. 答案 A2.给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A.1B. 2C. 3D.2解析 因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB ︵上，所以|OC→|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2，∴x 2＋y 2＝1，则2xy ≤x 2＋y 2＝1. 又(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ≤2， 故x ＋y 的最大值为 2. 答案 B3.已知|OA→|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC→＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 的值为________.解析 ∵OA→·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA→＝(1，0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n ). ∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn ＝3. 答案 34.在△ABC 中，点D 满足BD→＝DC →，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC→，则t ＝(λ－1)2＋μ2的最小值是________. 解析 因为BD→＝DC →，所以AD →＝12AB →＋12AC →.又AE→＝λAB →＋μAC →，点E 在线段AD 上移动，所以AE→∥AD →，则12λ＝12μ，即λ＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤λ≤12. 所以t ＝(λ－1)2＋λ2＝2λ2－2λ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋12.当λ＝12时，t 的最小值是12. 答案 125.直角△ABC 中，AB ＝AC ＝2，D 为AB 边上的点，且AD DB ＝2，则CD →·CA →＝________；若CD→＝xCA →＋yCB →，则xy ＝________. 解析 以A 为原点，分别以AB→，AC →的方向为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，C (0，2)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0，则CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2，CA →＝(0，－2)，CB→＝(2，－2)，则CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2·(0，－2)＝43×0＋(－2)×(－2)＝4.由CD→＝x CA →＋y CB →＝x (0，－2)＋y (2，－2)＝(2y ，－2x －2y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－2得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝43，－2x －2y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝23，则xy ＝29.答案 4 29。

平面向量的运算平面向量的加法减法及数量积的性质平面向量的运算：平面向量的加法、减法及数量积的性质平面向量是数学中的重要概念，它具有方向和大小两个基本属性。

在平面向量的运算中，主要包括加法、减法以及数量积。

本文将详细介绍平面向量的这三种运算及其性质。

一、平面向量的加法与减法平面向量的加法和减法是两种基本的运算操作。

下面先介绍平面向量的加法。

1. 平面向量的加法设有两个平面向量a→=(a1,a2)和a→=(a1,a2)，它们的加法定义如下：a→+a→=(a1+a1,a2+a2)即将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

例如：a→=(2,3),a→=(1,4)a→+a→=(2+1,3+4)=(3,7)2. 平面向量的减法平面向量的减法可以转化为加法运算。

设有两个平面向量a→=(a1,a2)和a→=(a1,a2)，它们的减法定义如下：a→−a→=a→+(−a→)即将向量a→取负号，再与向量a→进行加法运算。

例如：a→=(2,3),a→=(1,4)a→−a→=a→+(−a→)=(2,3)+(−1,−4)=(2−1,3−4)=(1,−1)二、平面向量的数量积及性质平面向量的数量积是两个向量之间的乘法运算，它也被称为点积或内积。

平面向量的数量积具有以下性质。

1. 定义设有两个平面向量a→=(a1,a2)和a→=(a1,a2)，它们之间的数量积定义如下：a→·a→=a1a1+a2a2即将两个向量对应分量的乘积相加。

例如：a→=(2,3),a→=(1,4)a→·a→=2×1+3×4=2+12=142. 性质平面向量的数量积具有以下性质：（1）交换律a→·a→=a→·a→即两个向量的数量积不受顺序的影响。

（2）分配律a→·(a→+a→)=a→·a→+a→·a→即将一个向量与两个向量的和的数量积等于该向量与这两个向量的数量积之和。

平面向量的基本定理及坐标运算知识讲解一、平面向量的基本定理1.平面向量基本定理：如果1e u r和2e u u r是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a r ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =r1122a e a e +u r u u r ．2.基底：我们把不共线向量1e u r ，2e u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e u r u u r ．1122a e a e +u r u u r 叫做向量a r关于基底{}12,e e u r u u r 的分解式．注：①定理中1e u r ，2e u u r是两个不共线向量；②a r是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的；③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．3.平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =u u u u r u r ，22OE e =u u u u r u u r ，OA a =u u u r r ．由于1e u r 与2e u u r不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ， 过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ， 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =u u u u r u r ，22ON a e =u u u r u u r ，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+r u u u r u u u u r u u u r u r u u r证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+u u u r u r u u r ，则112212a e a e xe ye +=+u r u u r u r u u r ，E 2E 1e 2e 1O ANM即1122()()0x a e y a e -+-=u r u u r r ，由于1e u r 与2e u u r不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--u u r u r ， 由平行向量基本定理，得1e u r 与2e u u r平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．4‘证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法：已知A 、B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点，则对直线l 上任意一点P ，存在实数t ，使OP u u u r关于基底{},OA OB u u u r u u u r 的分解式为(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ……①，并且满足①式的点P一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，则由平行向量定理知，存在实数t ，使AP t AB =u u u r u u u r()t OB OA =-u u u r u u u r ，∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB =+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设点P 满足等式(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r ，则AP t AB =u u u r u u u r，即P 在l 上．其中①式可称为直线l 的向量参数方程式5.向量AB u u u r的中点的向量表达式：点M 是AB 的中点，则1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ．可推广到OAB ∆中，若M 为边AB 中点，则有1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r存在．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：1.向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e u r ，2e u u r 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA u u u r所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=u u u r u r u u r，即点A 的位置向量OA u u u r的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA u u u r的坐标．3.设12(,)a a a =r ，12(,)b b b =r，则①1122(,)a b a b a b +=++r r ；②1122(,)a b a b a b -=--r r ；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==r注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．4.坐标含义：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．5.用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =r ，12(,)b b b =r，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b r不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．典型例题一．选择题（共11小题）1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=（ ）A ．34AB →﹣14AC → B ．14AB →﹣34AC → C ．34AB →+14AC →D ．14AB →+34AC →【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， EB →=AB →﹣AE →=AB →﹣12AD →=AB →﹣12×12（AB →+AC →）=34AB →﹣14AC →， 故选：A ．2．（2018•城关区校级模拟）在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →=3DC →，AD →=xAB →+yAC →，则（ ）A ．x =13，y =23B ．x =14，y =34C ．x =23，y =13D ．x =34，y =14【解答】解：在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD →=3DC →，AD →=xAB →+yAC →，AD →=AB →+BD →=AB →+34BC →=AB →+34(BA →+AC →)=14AB →+34AC →，所以x=14，y=34．故选：B ．3．（2018•资阳模拟）平行四边形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →=λAM →+μBD →，则λ+μ=（ ）A ．94B ．2C ．158 D ．53【解答】解：∵AC →=AB →+AD →，AM →=AB →+BM →=AB →+12AD →BD →=AD →−AB →．∴AC →=λAM →+μBD →=λ(AB →+12AD →)+μ(AD →−AB →)，∴{λ−μ=1λ2+μ=1⇒{λ=43μ=13则λ+μ=53．故选：D ．4．（2018•黄浦区一模）已知向量a →=(−3，4)，则下列能使a →=λe 1→+μe 2→(λ、μ∈R)成立的一组向量e 1→，e 2→是（ ）A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(−1，2) B ．e 1→=(−1，3)，e 2→=(2，−6)C ．e 1→=(−1，2)，e 2→=(3，−1)D ．e 1→=(−12，1)，e 2→=(1，−2)【解答】解：作为基底不共线即可， e 1→=(0，0)，e 2→=(−1，2)共线， e 1→=(−1，3)，e 2→=(2，−6)共线， e 1→=(−1，2)，e 2→=(3，−1)不共线，e 1→=(−12，1)，e 2→=(1，−2)共线， 故选：C ．5．（2018•吉林三模）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．e 1→=(0，0)，e 2→=(1，−2)B ．e 1→=(2，−3)，e 2→=(12，−34)C ．e 1→=(3，5)，e 2→=(6，10)D ．e 1→=(−1，2)，e 2→=(5，7)【解答】解：选项A ，可得0×（﹣2）﹣0×1=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项B ，可得2×（﹣34）﹣（﹣3）×12=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项C ，可得3×10﹣5×6=0，故e 1→∥e 2→，不可作基底，故错误；选项D ，可得﹣1×7﹣2×5≠0，故e 1→，e 2→不平行，故可作基底，故正确． 故选：D ．6．（2018春•薛城区校级期末）如图，已知AB →=a →，AC →=b →，BD →=3DC →，用a →、b →表示AD →，则AD →等于（ ）A ．a →+34b →B ．34a →+14b →C ．14a →+14b →D ．14a →+34b →【解答】解：AD →=AB →+BD →=a →+34BC → =a →+34(AC →−AB →)=a →+34(b →−a →) =14a →+34b →； 故选：D ．7．（2018春•尧都区校级期末）如图所示，在△ABC 中，BD=2CD ，若AB →=a →，AC →=b →，则AD →=（ ）A ．23a →+13b →B ．23a →−13b →C ．13a →+23b →D ．23a →−23b →【解答】解：AD →=AC →+CD →=AC →+13CB →=AC →+13（AB →﹣AC →）=13AB →+23AC →=13a →+23b →，故选：C ．8．（2018•三明二模）已知平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →，则|a →+b →|=（ ）A ．√5B ．2√5C ．3√5D ．4√5【解答】解：平面向量a →=（1，2），b →=（﹣2，m ），且a →∥b →， 可得m=﹣4，|a →+b →|=|（﹣1，﹣2）|=√5． 故选：A ．9．（2018•梅河口市校级二模）若向量AB →=(1，2)，BC →=(−4，2)，则|AC →|=（ ） A ．2√5 B ．5C ．20D ．25【解答】解：向量AB →=(1，2)，BC →=(−4，2)，AC →=（﹣3，4） 则|AC →|=√(−3)2+42=5． 故选：B ．10．（2018•咸阳二模）设向量a →和b →满足：|a →+b →|=2√3，|a →−b →|=2，则a →⋅b →=（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．3【解答】解：∵|a →+b →|=2√3，|a →−b →|=2；∴a →2+2a →⋅b →+b →2=12，a →2−2a →⋅b →+b →2=4，两式相减得：4a →⋅b →=8； ∴a →⋅b →=2． 故选：C ．11．（2018•东莞市模拟）已知AB →=(3，6)，点B 的坐标为（2，3），则点A 的坐标为（ ） A ．（﹣1，﹣3）B ．（﹣3，﹣1）C ．（1，3）D ．（5，9）【解答】解：AB →=(3，6)，点B 的坐标为（2，3）， 设A （x ，y ），∴（2﹣x ，3﹣y ）=（3，6）， 即2﹣x=3，3﹣y=6， 解得x=﹣1，y=﹣3， ∴A （﹣1，﹣3）， 故选：A ．二．解答题（共9小题）12．在△ABC 中，E 为线段AC 的中点，试问在线段AC 上是否存在一点D ．使得BD →=13BC →+23BE →，若存在，说明D 点位置：若不存在，说明理由．【解答】解：∵E 是AC 的中点，∴BE →=12（BA →+BC →），则BD →=13BC →+23BE →=13BC →+23•12（BA →+BC →） =23BC →+13BA →；又∵AD →=BD →﹣BA →=23BC →+13BA →﹣BA →=23BC →﹣23BA → =23（BC →﹣BA →） =23AC →， ∴A ，C ，D 三点共线，且D 是线段AC 的三等分点（靠近C 的那个）．13．已知△ABC 中，对于任意实数t ，CP →=t （CA→|CA →|+CB→|CB →|），证明：点P 始终在∠ACB 的平分线上．【解答】证明：CA→|CA →|，CB→|CB|→都是单位向量，即长度为1，并且CA→|CA →|与CA →同向，CB→|CB →|与CB →同向，如图，在AC 上取|CD |=1，CB 上取|CE |=1，作平行四边形CDFE ； 则该平行四边形为菱形，∴对角线CF 为∠ACB 的平分线，且CF →=CA →|CA →|+CB→|CB →|，t(CA→|CA →|+CB→|CB →|)与CF →共线；∴点P 始终在∠ACB 的平分线上．14．已知：平行四边形ABCD ，对角线AC ，BD 交于点O ，点E 为线段OB 中点，完成下列各题（用于填空的向量为图中已有有向线段所表示向量）． （1）当以{AB →，AD →}为基底时，设AB →=a →，AD →=b →，用a →，b →表示OD →=12(b →−a →) ；用a →，b →表示AE →= 34a →+14b → ；（2）设点MN 分别为边DC ，BC 中点． ①当以{AB →，AD →}为基底时，设AB →=c →，AD →=d →，用c →，d →表示AN →，则AN →= c →+12d →．②当以{AM →，AN →}为基底时，设AM →=m →，AN →=n →，用m →，n →表示：AB →= 43n →−23m → ，AC →= 23n →+23m → ，OE = 12n →+12m →．【解答】解：（1）OD →=12BD →=12(AD →−AB →)=12(b →−a →)；AE →=12(AO →+AB →)，AO →=12(AB →+AD →)，∴AE →=34a →+14b →； （2）①依题意AN →=AB →+BN →=c →+12d →；②2AM →=AD →+AC →=2AD →+AB →，2AN →=AB →+AC →=AD →+2AB →；⇒AB →=43AN →−23AM →=43n →−23m →，AD →=43AM →−23AN →=43m →−23n →，AC →=AB →+AD →=23m →+23n →；OE →=14DB →=14(AB →−AD →)=12n →−12m →．15．过△ABC 的重心G 任作一条直线分别交AB ，AC 于点D 、E ，设AB →=a →，AC →=b →． （1）用a →，b →表示向量AG →；（2）若AD →=x AB →，AE →=y AC →，且xy ≠0，求1x +1y的值．【解答】解：（1）G 为△ABC 的重心；∴AG →=23AM →=13(AB →+AC →)=13(a →+b →)；（2）根据条件，AB →=1x AD →，AC →=1y AE →； ∴AG →=13(AB →+AC →) =13(1x AD →+1y AE →) =13x AD →+13y AE →； 又D ，G ，E 三点共线； ∴13x +13y =1； ∴1x +1y =3．16．如图，△ABC 中，点E 、F 、G 分别在边BC 、AC 、AB 上，且AG GB =BE EC =CF FA =12，设AB →=a →，BC →=b →．（1）用a →、b →表示向量AF →； （2）证明：AE →+BF →+CG →=0．【解答】解：（1）∵AG GB =BE EC =CF FA =12，∴AF →=23AC →=23（AB →+BC →）=23a →+23b →．（2）AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →=a →+13b →，BF →=BC →+CF →=BC →+13CA →=BC →﹣13（AB →+BC →）=﹣13AB →+23BC →=﹣13a →+23b →，CG →=CB →+BG →=﹣BC →﹣23AB →=﹣23a →﹣b →．∴AE →+BF →+CG →=a →+13b →﹣13a →+23b →﹣23a →﹣b →=0→．17．若AD 与BE 分别为△ABC 的边，BC 与AC 上的中线AD 交BE 于点O ，AD →=a →，BE →=b →，试用a →，b →表示OC →．【解答】解：如图，B ，D ，C 三点共线，所以向量BC →∥BD →，∴存在实数λ，使BC →=λBD →；∴OC →−OB →=λ(OD →−OB →)；∴OC →=(1−λ)OB →+λOD →=λ3AD →+2(λ−1)3BE →=λ3a →+2(λ−1)3b →；同理，A ，E ，C 三点共线，所以存在实数μ，使OC →=2(μ−1)3a →+μ3b →；∴{λ3=2(μ−1)32(λ−1)3=μ3，解得λ=μ=2； ∴OC →=23a →+23b →．18．已知A （1，﹣2），B （2，1），C （3，2），D （﹣2，3）． （1）求AD →+2BD →﹣3BC →；（2）设CM →=3CA →，CN →=﹣2BC →，求MN →及M 、N 点的坐标．【解答】解：（1）∵A （1，﹣2），B （2，1），C （3，2），D （﹣2，3）， ∴AD →=（﹣3，5），BD →=（﹣4，2），BC →=（1，1），∴AD →+2BD →﹣3BC →=（﹣3，5）+2（﹣4，2）﹣3（1，1）=（﹣10，6）， （2）设M 、N 点的坐标为（x ，y ），（m ，n ），∴CM →=（x ﹣3，y ﹣2），CN →=（m ﹣3，n ﹣2），CA →=（﹣2，﹣4）， ∵CM →=3CA →，CN →=﹣2BC →，∴{x −3=−6y −2=−12，或{m −3=−1n −2=−1，解得{x =−3y =−10，或{m =2n =1，∴M 、N 点的坐标为（﹣3，﹣10），（2，1）， ∴MN →=（5，11）．19．已知向量a →=（1，﹣3），b →=（3，0），求下列向量的坐标：（1）a →+b →；（2）12a →﹣3b →．【解答】解：（1）∵向量a →=（1，﹣3），b →=（3，0）， ∴a →+b →=（4，﹣3）．（2）12a →﹣3b →=（12，﹣32）﹣（9，0）=（﹣172，﹣32）．20．已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5），OP →=t 1OA →+t 2AB →． （1）证明：当t 1=1时，不论t 2为何实数，A 、B 、P 三点共线；（2）试求当t 1、t 2满足什么条件时，O 、A 、B 、P 能组成一个平行四边形． 【解答】证明：（1）由题意知，t 1=1，代入OP →=t 1OA →+t 2AB →得， OP →=OA →+t 2AB →，则OP →﹣OA →=t 2AB →，即AP →=t 2AB →，所以当t 1=1时，不论t 2为何实数，A 、B 、P 三点共线； （2）设P 的坐标是（x ，y ），由O （0，0），A （1，2），B （4，5）得，OA →=（1，2），AB →=（3，3），因为OP→=t1OA→+t2AB→，所以（x，y）=t1（1，2）+t2（3，3），解得x=t1+3t2，y=2t1+3t2，若四边形OABP能成为平行四边形，如图所得，OA→=PB→，即（1，2）=（4﹣t1﹣3t2，5﹣2t1﹣3t2），所以{1=4−t1−3t22=5−2t1−3t2，得{t1+3t2=32t1+3t2=3，解得{t1=0t2=1，所以当t1=0、t2=1时，O、A、B、P能组成一个平行四边形．平面向量的基本定理及坐标运算一、选择题（共12小题；共60分）1. 若向量 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(−1,1)，c ⃗=(4,2)，则 c ⃗= ( )A. 3a ⃗+b⃗⃗ B. 3a ⃗−b⃗⃗ C. −a ⃗+3b⃗⃗ D. a ⃗+3b⃗⃗ 2. 若向量 BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,7)，则 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( )A. (−2,−4)B. (3,4)C. (6,10)D.(−6,−10)3. 若向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( )A. (4,6)B. (−4,−6)C. (−2,−2)D. (2,2)4. 若向量 a ⃗=(x +1,2) 和向量 b ⃗⃗=(1,−1) 平行，则 ∣a ⃗+b⃗⃗∣=( )A. √10B.√102C. √2D.√225. 平行四边形 ABCD 的对称中心为 O ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,7)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,3)，则 CO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A. (−12,5)B. (−12,−5)C. (12,−5)D. (12,5)6. 若向量 a ⃗=(1,2),b ⃗⃗=(−3,4)，则 (a ⃗⋅b ⃗⃗)(a ⃗+b⃗⃗) 等于 ( )A. 20B. (−10,30)C. 54D.(−8,24)7. 已知向量 a ⃗=(1,1)，b ⃗⃗=(2,x )，若 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，则实数 x 的值是 ( )A. −2B. 0C. 1D. 28. 已知点 A (0,1)，B (3,2)，向量 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−4,−3)，则向量 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= ( ) A. (−7,−4)B. (7,4)C. (−1,4)D. (1,4)9. 设向量 a ⃗=(1,−2)，向量 b ⃗⃗=(−3,4)，向量 c ⃗=(3,2)，则 (a ⃗+2b ⃗⃗)⋅c ⃗= ( )A. (−15,12)B. 0C. −3D. −1110. 已知向量 a ⃗=(5,2)，b ⃗⃗=(−4,−3)，c ⃗=(x,y )，若 3a ⃗−2b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗，则 c ⃗= ( )A. (−23,−12)B. (23,12)C. (7,0)D. (−7,0)11. 已知 M (3,−2) ， N (−5,−1) 且 MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则点 P 的坐标为 ( ) A. (−8,1)B. (1,32)C. (−1,−32)D. (8,−1)12. 已知向量 a ⃗=(4,2)，向量 b ⃗⃗=(x,3)，且 a ⃗∥b ⃗⃗，则实数 x 等于 ( ) A. 9 B. 6 C. 5 D. 3二、填空题（共5小题；共25分）13. 若三点 A (2,2)，B (a,0)，C (0,6)（ab ≠0）共线，则 1a +1b 的值等于 ． 14. 设平面向量 a ⃗=(3,5)，b ⃗⃗=(−2,1)，则 a ⃗−2b ⃗⃗= ． 15. 已知向量 a ⃗=(−2,1)，b ⃗⃗=(1,0)，则 ∣2a ⃗+b⃗⃗∣= ．16. 已知向量 a ⃗=(1,3)，b ⃗⃗=(−2,1)，c ⃗=(3,2)．若向量 c ⃗ 与向量 ka ⃗+b⃗⃗ 共线，则实数 k = ．17. 已知向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(−2,3)，c ⃗=(x,1)，若 c ⃗ 与 a ⃗+b⃗⃗ 平行，则 x = ．三、解答题（共5小题；共65分） 18. 在 △ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (−4,7)，求 ∠A 的平分线所在直线的方程．19. 已知 A (−2,4)，B (3,−1)，C (−3,−4)，且 CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求点 M ，N 的坐标及向量 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标．20. 已知向量 a ⃗=(2,0)，b⃗⃗=(1,4)． （1）求 2a ⃗+3b ⃗⃗，a ⃗−2b ⃗⃗； （2）若向量 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+2b ⃗⃗ 平行，求 k 的值．21. 已知 a ⃗=(cosα,sinα)，b⃗⃗=(cosβ,sinβ)，0<β<α<π． （1）若 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣=√2，求证：a ⃗⊥b ⃗⃗； （2）设 c ⃗=(0,1)，若 a ⃗+b ⃗⃗=c ⃗，求 α,β 的值．22. （1）已知向量 a ⃗=(1,2)，b ⃗⃗=(x,1)，u ⃗⃗=a ⃗+2b ⃗⃗，v ⃗=2a ⃗−b ⃗⃗，且 u ⃗⃗∥v ⃗，求 x 的值．（2）在直角三角形 ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,k )，求实数 k 的值．答案第一部分 1. B【解析】点拨：设 c =xa +yb ，则 (4,2)=x (1,1)+y (−1,1)．所以 4=x −y ，2=x +y ．所以 x =3， y =−1．故 c =3a −b ． 2. A 【解析】BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,−4)． 3. A 【解析】AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(4,6)． 4. C【解析】依题意得，−(x +1)−2×1=0，得 x =−3，又 a ⃗+b ⃗⃗=(−2,2)+(1,−1)=(−1,1)， 所以 ∣a ⃗+b ⃗⃗∣=√2． 5. B【解析】AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,7)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,10)，则 CO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12,−5)． 6. B【解析】a ⃗⋅b ⃗⃗=−3+8=5，a ⃗+b ⃗⃗=(−2,6)， 所以 (a ⃗⋅b ⃗⃗)(a ⃗+b ⃗⃗)=5×(−2,6)=(−10,30)． 7. D【解析】解法一：因为 a ⃗=(1,1)，b⃗⃗=(2,x )， 所以 a ⃗+b ⃗⃗=(3,x +1)，4b ⃗⃗−2a ⃗=(6,4x −2)，由于 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，得 6(x +1)−3(4x −2)=0，解得 x =2． 解法二：因为 a ⃗+b ⃗⃗ 与 4b ⃗⃗−2a ⃗ 平行，则存在常数 λ，使 a ⃗+b ⃗⃗=λ(4b ⃗⃗−2a ⃗)，即 (2λ+1)a ⃗=(4λ−1)b ⃗⃗， 根据向量共线的条件知，向量 a ⃗ 与 b ⃗⃗ 共线，故 x =2． 8. A9. C【解析】因为 a ⃗=(1,−2)，b⃗⃗=(−3,4)， 所以 a ⃗+2b ⃗⃗=(1,−2)+2(−3,4)=(−5,6)． 因为 c ⃗=(3,2)，所以 (a ⃗+2b ⃗⃗)⋅c ⃗=(−5,6)⋅(3,2)=−5×3+6×2=−3． 10. A11. C 【解析】设 P (x,y )，由 (x −3,y +2)=12⋅(−8,1)，所以 x =−1 ， y =−32． 12. B 第二部分 13. 1214. (7,3) 15. √13 16. −1 17. x =−15【解析】a ⃗+b ⃗⃗=(−1,5)，又 c ⃗∥(a ⃗+b⃗⃗)，则 x =−15． 第三部分18. AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−8,6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为：AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∣=(35,45)+(−45,35)=(−15,75)=−15(1,−7)， 所以 ∠A 的平分线所在直线的斜率为 −7， 因为 ∠A 的平分线过点 A ．所以所求直线方程为 y −1=−7(x −4)． 整理得：7x +y −29=0．19. ∵A (−2,4)，B (3,−1)，C (−3,−4)， ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,8)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(6,3)， ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3(1,8)=(3,24)，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2(6,3)=(12,6)． 设 M (x,y )，则 CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x +3,y +4)， ∴{x +3=3,y +4=24, 得 {x =0,y =20,∴ 点 M 坐标为 M (0,20)． 同理可得 N (9,2)，∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(9−0,2−20)=(9,−18)． 20. （1） ∵a ⃗=(2,0)，b⃗⃗=(1,4)， ∴2a ⃗+3b ⃗⃗=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12)， a ⃗−2b⃗⃗=(2,0)−2(1,4)=(2,0)−(2,8)=(0,−8)． （2） 依题意得 ka ⃗+b ⃗⃗=(2k,0)+(1,4)=(2k +1,4)， a ⃗+2b⃗⃗=(2,0)+(2,8)=(4,8)． ∵ 向量 ka ⃗+b ⃗⃗ 与 a ⃗+2b ⃗⃗ 平行， ∴8(2k +1)−4×4=0，解得 k =12． 21. （1） 由题意得 ∣∣a ⃗−b ⃗⃗∣∣2=2，即(a ⃗−b ⃗⃗)2=a ⃗2−2a ⃗⋅b⃗⃗+b ⃗⃗2=2. 又因为 a ⃗2=b ⃗⃗2=∣a ⃗∣2=∣∣b ⃗⃗∣∣2=1，所以2−2a ⃗⋅b⃗⃗=2, 即 a ⃗⋅b ⃗⃗=0，故 a ⃗⊥b⃗⃗． （2） 因为 a ⃗+b⃗⃗=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1)，所以 {cosα+cosβ=0,sinα+sinβ=1,由此得cosα=cos (π−β),由 0<β<π，得0<π−β<π.又 0<α<π，故 α=π−β．代入 sinα+sinβ=1，得sinα=sinβ=12,而 α>β，所以α=5π,β=π.22. （1） u ⃗⃗=(2x +1,4)，v ⃗=(2−x,3)．因为 u ⃗⃗∥v ⃗，所以 3(2x +1)−4(2−x )=0，解得 x =12．（2） 若 ∠A =90∘，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即 2+3k =0，所以 k =−23． 若 ∠B =90∘，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，而 BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,k −3)，所以 2×(−1)+3(k −3)=0，所以 k =113．若 ∠C =90∘，则 AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以 1×(−1)+(k −3)k =0，即 k 2−3k −1=0，所以 k =3±√132． 因此，k =−23 或 113或 3±√132．。