2017年四川省乐山市高二上学期期末数学试卷与解析答案

四川省乐山市普仁中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 对于实数a和b，定义运算“*”：设，且关于x的方程为恰有三个互不相等的实数根x1、x2、x3，则x1·x2·x3的取值范围是A．(,0) B．(,0) C．(0, ) D．(0, )参考答案：A2. 为双曲线C：的左焦点，双曲线C上的点与关于轴对称，A．9 B．16 C． 18 D．27参考答案：C3. 椭圆的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是（）A．20 B．12 C．10 D．6参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的标准方程，求出a的值，由△ABF2的周长是（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a 求出结果．【解答】解：椭圆，∴a=5，b=3．△ABF2的周长是（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=20，故选A．4. 如果平面外一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是A．平行B．相交C．平行或相交D．不可能垂直参考答案：C5. 执行如图所示的程序框图，如果输入的N是4,那么输出的p是（）A．6 B．10 C．24 D．120参考答案：C6. 若是假命题，则A．是真命题，是假命题 B．均为假命题C．至少有一个是假命题 D．至少有一个是真命题参考答案：D7. 等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24 B．0 C．12 D．24参考答案：A【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．【解答】解：由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，故选A．8. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围（）A. B. C. D.参考答案：A9. “x＞3”是“x2＞9”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既充分又必要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】充要条件．【分析】结合不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：解不等式x2＞9得x＞3或x＜﹣3，则x＞3?x2＞9，而x2＞9推不出x＞3．故“x＞3”是“x2＞9”的充分不必要条件．故选A．10. 已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n使得=4a1，则的最小值为( )A．B．C．D．不存在参考答案：A【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【专题】计算题；压轴题．【分析】把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出m，n之间的关系，用基本不等式得到最小值．【解答】解：∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得=4a1，∴a m a n=16a12，∴q m+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=故选A【点评】本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设奇函数上是单调函数，且若函数对所有的都成立，当时，则的取值范围是参考答案：或或12. 已知函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m的图象相交于点A，B两点，若动点P满足|+|=2，则P的轨迹方程是．参考答案：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4【考点】轨迹方程．【分析】联立直线方程和双曲线方程，求得A，B的坐标，写出向量的坐标，求出两向量的坐标和，由向量的模等于2化简整理得到P的轨迹方程．【解答】解：联立函数f（x）=与g（x）═mx+1﹣m得x=1±．当x=1﹣时，y=1﹣m，当x=1+时，y=1+m，设动点P（x，y），则=（1﹣﹣x，1﹣m﹣y），=（1+﹣x，1+m﹣y），则+=（2﹣2x，2﹣2y），由|+|=2，得（2﹣2x）2+（2﹣2y）2=4，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，∴P的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，故答案为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．13. 已知函数若方程恰有三个不同的实数解..，则的取值范围是__________.参考答案：【分析】通过作出函数图像，将三个实数解问题转化为三个交点问题，可得m的取值范围，于是再解出c的取值范围可得最后结果.【详解】作出函数图像，由图可知，恰有三个不同的实数解，于是，而，，解得，故，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数图像的运用，分段函数的交点问题，意在考查学生的转化能力，图像识别能力，对学生的数形结合思想要求较高.14. 函数的极小值点为_____________.参考答案：略15.参考答案：60°16. 已知二面角为120，且则CD的长为 -------------参考答案：2a略17. 观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形．参考答案：考点：归纳推理．专题：规律型．分析：由题意可得，f（1）=2+1，f（2）=3+2+1，f（3）=4+3+2+1，f（4）=5+4+3+2+1，f（5）=6+5+4+3+2+1，从而可得f（n），结合等差数列的求和公式可得．解答：解：由题意可得，f（1）=2+1f（2）=3+2+1f（3）=4+3+2+1f（4）=5+4+3+2+1f（5）=6+5+4+3+2+1…f（n）=（n+1）+n+（n﹣1）+…+1=．故答案为：．点评：本题主要考查了等差数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是要根据前几个图形的规律归纳出f（n）的代数式，考查了归纳推理的能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．如图，直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为（ ）ABC AC 360A ．圆锥B ．圆柱C ．圆台D ．球【答案】A【分析】由圆锥的定义即可求解【详解】由圆锥的定义可得直角三角形绕直角边旋转，所得的旋转体为圆锥ABC AC 360故选：A2．已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为（ ） 1x =A ． B ．C ．D ．24x y =-24x y =24y x =24y x =-【答案】D【分析】根据抛物线准线求抛物线标准方程即可解决. 【详解】由题知，抛物线的准线方程为， 1x =所以抛物线开口向左，，即， 12p=2p =设拋物线的标准方程为， 22y px =-所以拋物线的标准方程为， 24y x =-故选：D3．已知是椭圆上一点，为椭圆的两个焦点，则的周长为（ ）P 22143x y +=12,F F 12PF F △A ．4 B ．5C ．6D ．8【答案】C【分析】根据椭圆的方程可求出的值，然后由已知结合图象可得的周长为,,a b c 12PF F △，即可得出答案.1212PF PF F F ++【详解】由已知可得，，. 2a =b =1c =由椭圆的定义可得，， 1224PF PF a +==又.1222F F c ==如图，的周长为. 12PF F △12126PF PF F F ++=故选：C.4．下列说法错误的是（ ）A ．若直线直线，直线直线，则 1l //m 2l //m 12l l //B ．若直线平面，直线平面，则 1l //α2l //α12l l //C ．若直线平面，直线平面，则 1l ⊥α2l ⊥α12l l //D ．若直线，则、与平面所成的角相等 12l l //1l 2l α【答案】B【分析】根据平行线的传递性，即可判断A 项；根据面面平行的性质定理，即可判断B 项；根据线面垂直的性质定理，可判断C 项；作平面的垂线，根据等角定理即可判断D 项. 【详解】对于A 项，根据平行线的传递性，可知A 项正确； 对于B 项，设，，，且.//βα1l α⊂2l α⊂12l l P = 根据面面平行的判定定理可知，直线平面，直线平面，但与不平行，故B 项错1l //α2l //α1l 2l 误；对于C 项，根据线面垂直的性质定理，可知C 项正确； 对于D 项，若直线平面，直线平面，此时、与平面所成的角均为；1l //α2l //α1l 2l α0如图，若，.1l A α=I 2l B β=I 分别在直线、上任取异于、的、，1l 2l A B M N 过点作于，过点作于，显然有. M MC α⊥C N ND α⊥D //MC ND 因为，，根据等角定理以及图象，可知， 12l l ////MC ND AMC BND ∠=∠即，所以， 9090MAC NBD -∠=-∠o o MAC NBD ∠=∠综上，可得D 项正确. 故选：B.5．已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）22121x y k k -=-+k A ． B ．C ．D ．或2k >1k <-12k -<<1k <-2k >【答案】D【分析】根据方程表示双曲线可得出关于实数的不等式，解之即可.22121x y k k -=-+k 【详解】因为方程表示双曲线，则，即，22121x y k k -=-+()()210k k --+<⎡⎤⎣⎦()()210k k -+>解得或. 1k <-2k >故选：D.6．如图，四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为（ ）P ABCD -A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由三视图知原几何体是正四棱锥，底面为边长是2的正方形，高为2，从而可求该四棱锥的侧面积.【详解】由三视图知原几何体是正四棱锥，如图，是棱锥的高，, P ABCD -PO 2PO =是的中点，则是斜高，, M BC PM 112OM AB ==所以PM ===所以该四棱锥的侧面积为1422S =⨯⨯=故选:C.7．已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，则满足为直角三22:1259x y C +=12,,F F P C 12PF F △角形的点有（ ） P A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个【答案】D【分析】根据椭圆的对称性及的值，分类讨论，即可求解. 12cos F BF ∠【详解】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有个； 1F P 2当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有个； 2F P 2设椭圆的上顶点为，C B由椭圆，可得，，可得、，，22:1259x y C +=225a =29b =5a =3b =4c ==则，，125BF BF ==1228F F c ==所以，故，22212558cos 0255F BF +-∠=<⨯⨯12π,π2F BF ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭所以存在个点满足以为直角顶点的， 4P 12PF F △故满足本题条件的点共有个. P 8故选：D.8．如图，在正方体中，棱长为为的中点，则直线与直线所成角的1111ABCD A B C D -2,E BC AE 1BC 余弦值为（ ）ABC ．D12【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求得，由求解. 1,AE BC 111cos ,AE BC AE BC AE BC ⋅=⋅【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：则，()()()()12,0,2,1,2,2,2,2,2,0,2,0A E B C 所以， ()()11,2,0,2,0,2AE BC=-=--则 111cos ,AE BC AE BC AE BC ⋅==⋅所以直线与直线 AE 1BC 故选：A9．已知扡物线的焦点为，准线为，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点2:6C y x =F l F l A 为，且，则（ ） B 0FA FB +=AB =A ．3 B ．6C ．8D ．12【答案】D【分析】根据已知可得点是的中点，由已知可求得横坐标为.然后根据抛物线方程即可求F AB B 92出的坐标，即可根据距离公式得出答案.,A B【详解】由已知可得，，，设，.3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭3:2l x =-23,2A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭()11,B x y 由已知可得，点是的中点，所以有，所以. F AB 1123320x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩12192x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩又在抛物线上，所以有，所以B 211627y x ==1y =±当时，，此时；1y =2y =-12AB ==当，此时.1y =-2y =12AB ==故选：D.10．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥-P ABC PA ⊥ABC PA =4AB AC ==90CAB ∠= 外接球的表面积为（ ）-P ABC A ． B ．C ．D ．32π48π64π128π【答案】C【分析】三棱锥补成长方体，计算出长方体的体对角线长，-P ABC ABDC PEFG -ABDC PEFG-即为三棱锥的外接球直径长，再利用球体表面积公式可求得结果.-P ABC 【详解】在三棱锥中，平面，，， -P ABC PA ⊥ABC PA =4AB AC ==90CAB ∠= 将三棱锥补成长方体，如下图所示，-P ABC ABDC PEFG -所以，三棱锥的外接球直径即为长方体的体对角线长， -P ABC ABDC PEFG -设三棱锥的外接球直径为，则，则， -P ABC 2R 28R ==4R =因此，三棱锥外接球的表面积为. -P ABC 24π64πS R ==故选：C.11．已知是双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线左､右两支分12F F ､2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 别交于两点.若为的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）A B ､115,F B F A P =AB 120F P PF ⋅=A ．B ．C ．D ． y x =y x =y x =y x =【答案】B【分析】由题干条件得到，设出，利用双曲线定义表达出其他边长，得到方22AF BF =1AF x =程，求出，，利用勾股定理求出的关系，从而求出渐近线x a =13PF a =,a b 方程.【详解】因为P 为AB 的中点，且即，所以△为等腰三角形， 120,F F P P ⋅= 12F P P F ⊥2F AB 即，22AF BF =因为，115F B F A =设，则， 1AF x =4,2AB x BP AP x ===由双曲线定义可知：， 212AF AF a -=所以，则， 22AF a x =+22BF a x =+又， 122B F B F a -=所以， ()522x a x a -+=解得：，x a =则， 13,2F P a BP AP a ===223AF BF a ==，在三角形中，由勾股定理得：，12F PF 2221221F P F P F F +=即，即，解得. ())22234a c +=222144()a a b =+b a =所以双曲线的渐近线方程为. y x =故选：B12．在长方体中，若分别为的中点，过点1111ABCD A B C D -12,4,AB AD AA E F ===､111BB A D ､作长方体的一截面，则该截面的周长为（ ）A E F ､､1111ABCD ABCD -A ．B ．C ．D ．+【答案】D【分析】根据题意，做出截面，然后分别计算各边长即可得到结果.AFPE 【详解】连接，过点做交于点，连接，即可得到截面， AF E //EP AF 11B C P ,FP AE AFPE 因为为中点，，所以， E 1BB //EP AF 11112B P A F ==因为，则， 12,4AB AD AA ===AF ==12EP AF ==AE ==FP =所以截面的周长为AFPE =故选:D二、填空题 13．椭圆的长轴长为__________. 2212516x y +=【答案】10【分析】根据椭圆长轴长的定义可求.【详解】由椭圆标准方程可知：，所以长轴长为10. 5a =故答案为：1014．设点，，为动点（不在轴上），已知直线与直线的斜率之积为定值()2,0A -()2,0B P x AP BP，则点的轨迹方程为__________. 14P 【答案】()22104x y y -=≠【分析】设，根据已知，整理即可得出点的轨迹方程. (),P x y 14AP BP k k ⋅=P 【详解】由已知可设点，显然. (),P x y ()0y ≠2x ≠±则，，2AP y k x =+2BP yk x =-由已知可得，， 14AP BP k k ⋅=1224y y x x ⋅=+-整理可得，，即.2244x y -=2214x y -=()0y ≠故答案为：.2214x y -=()0y ≠15．如图，在直三棱柱中，所有棱长均为，、分别是、的中点，则点111ABC A B C -2E F AB 1CC A 到平面的距离为______.1A EF【分析】计算出三棱锥的体积，并计算出的面积，利用等体积法可求得点到平1F AA E -1AA E △A 面的距离.1A EF 【详解】连接，如下图所示：CE因为为等边三角形，为的中点，，则，ABC A E AB CE AB ⊥平面，平面，，1AA ⊥ ABC CE ⊂ABC 1CE AA ∴⊥，、平面，平面，且， 1AA B A A ⋂= 1AA AB ⊂11AA B B CE ∴⊥11AA B B 2sin 60CE == 因为，平面，平面，平面，11//CC AA 1CC ⊄11AA B B 1AA ⊂11AA B B 1//CC ∴11AA B B，所以点到平面的距离等于1F CC ∈ F 11AA B B CE =，则， 11112AA E S AE AA =⋅=△1113F AA E AA E V S CF -=⋅=△由勾股定理可得 1A E ==1A F ==平面，平面，，，CF ⊥ ABC CE ⊂ABC CE CF ∴⊥2EF ∴==取线段的中点，连接，则，且， EF M 1A M 1A M EF ⊥12A M ==所以，， 11122A EF S EF A M =⋅=△设点到平面的距离为，则，解得A 1A EF h 1111233A A EF A EF V S h h -=⋅=⨯⨯=△h =16．比利时数学家丹德林发现：在圆锥内放两个大小不同且不相切的球，使得它们分别与圆锥的侧面、底面相切，用与两球都相切的平面截圆锥的侧面得到的截面曲线是椭圆.这个结论在圆柱中也适用，如图所示，在一个高为，底面半径为的圆柱体内放两个球，球与圆柱底面及侧面均相切.163若一个平面与两个球均相切，则此平面截圆柱边缘所得的图形为一个椭圆，该椭圆的离心率为______.【答案】## 450.8【分析】作出圆柱的轴截面，根据已知给出的条件以及直角三角形的性质求出的值，而椭圆的短a 轴长即为圆柱的底面的直径，进而可以求出的值，从而可以求解. c 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，如图所示：2a 2b 2c作出圆柱的轴截面，切点为、，延长与圆柱面相交于、，A 1A 1AA C 1C 过点在平面内作，O AOB OD DC ⊥在直角三角形中，，，所以， ABO 3AB =162352BO -⨯==3sin 5AB AOB BO ∠==因为，所以，，90AOB COD OCD COD ∠+∠=∠+∠= AOB OCD ∠=∠所以，，所以， 33sin sin 5OD AOB OCD OC OC ∠=∠===5a OC ==由平面与圆柱所截可知椭圆的短轴即为圆柱底面直径的长，即，则，26b =3b =则，所以，椭圆的离心率为， 4c ==45c e a ==故答案为：. 45三、解答题17．如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面111ABC A B C -D AC 1//AB 1BC D【答案】证明见解析【分析】连接交于，连接，则由平行四边形的性质和三角形中位线定理可得1B C 1BC O OD ，然后利用线面平行的判定定理可证得结论1//OD AB 【详解】证明：如图，连接交于，连接，1B C 1BC O OD∵四边形是平行四边形．∴点为的中点．11BCC B O 1B C ∵为的中点，∴为的中位线，∴．D AC OD 1AB C V 1//OD AB ∵平面，平面，∴平面．OD ⊂1BC D 1AB ⊄1BC D 1//AB 1BCD18．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且. 2:2(0)C y px p =>F 1,2P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭C 52PF =(1)求抛物线的方程；C (2)过点的直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.()4,2Q l ,A B Q AB l 【答案】(1)28y x =(2)260x y --=【分析】（1）利用抛物线的定义及焦半径公式即可求解；（2）利用点差法及中点坐标公式，结合直线的斜率公式及直线的点斜式方程即可求解.【详解】（1）由定义知，解得. 15222p PF =+=4p =所以抛物线的方程为.C 28y x =（2）设，，()11,A x y ()22,B x y 显然点在抛物线C 内，且是线段的中点，()4,2Q AB 所以,124y y +=因为两点在抛物线上，,A B C 所以，由，得， 21122288y x y x ⎧=⎨=⎩①②-②①()()()2121218y y y y x x -+=-所以， 2121128824AB y y k x x y y -====-+故所求直线的方程为，即.l ()224y x -=-260x y --=19．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点，P ABCD -ABCD AC BD O 底面，点是的中点.60,DAB PO ∠=⊥ ABCD E PC(1)求证：；BD AP ⊥(2)若三棱锥的体积为1，求的长.P BDE -OP 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将线线垂直转化为平面，根据线面垂直判定定理可证；BD ⊥PAC （2）根据体积转化，然后由体积公式可得.2P BCD P BDE V V --=【详解】（1）为菱形，ABCD .BD AC ∴⊥平面平面，PO ⊥ ,ABCD BD ⊂ABCD .PO BD ∴⊥，平面,平面PO AC O ⋂= PO ⊂PAC AC ⊂PAC 平面.BD ∴⊥PAC 平面，.AP ⊂ PAC BD AP ∴⊥（2）点是的中点，，.E PC B PDE B CDE V V --∴=22P BCD P BDE V V --∴==， 13P BCD BCD V S PO -=⋅⋅A又 122sin 602BCD S =⨯⨯︒=△123PO ∴=.OP ∴=20．已知双曲线的左焦点为，过点作倾斜角为的直线交双曲线于2221(0)6x y a a -=>()13,0F -1F 150 两点.,A B (1)求的值； a (2)求.AB 【答案】(1)a =【分析】(1)根据题意和的关系即可求解；,,a b c (2)结合（1）中的结论，将直线方程与双曲线方程联立求出交点坐标，利用两点间距离公式即可求解.【详解】（1），，解得()13,0F - 269a ∴+=a =，0a >a ∴=（2）设直线方程为，)3y x =+联立方程，整理得.221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩256270x x --=解得：..1293,5x x ==-(93,,,5A B ⎛-- ⎝AB ∴==21．如图，在五面体中，平面平面，四边形为直角梯形，其中ABCDEF AED ⊥ABCD ABCD ，，，，.AB CD ∥90DAB ∠= 2AD AE =DE =EF CD =(1)求证：；EF CD ∥(2)求证：平面.CF ⊥AEFB 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证明，再由线面平行的性质定理证明即可；（2）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）∵，平面，平面，AB CD ∥AB ⊂ABFE CD ⊄ABFE ∴平面.CD ∥ABFE 又∵平面，CD ⊂EFCD 且平面平面，EFCD ABFE EF =∴.CD EF ∥（2）∵，，EF CD =EF CD ∥∴为平行四边形，EFCD ∴，CF DE ∥在中，，.AED △2AD AE =DE =∴，即.222AD AE DE =+AE DE ⊥∵平面平面，平面平面，AED ⊥ABCD AED ABCD AD =且，所以，90DAB ∠= AB AD ⊥又平面，AB ⊂ABCD ∴平面，从而.AB ⊥AED AB DE ⊥又∵，AB AE A = ∴平面，DE ⊥AEFB ∵，CF DE ∥∴平面. CF ⊥AEFB 22．已知椭圆的左、右焦点分别为，、，点是椭圆短轴的一个顶2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F P C点.若是周长为6的等边三角形.12PF F △(1)求椭圆的方程；C (2)作斜率为的直线，与椭圆交于A ，B 两点，点为的中点.若、的斜率分别为12-l Q AB 1Q F 2QF 1k 、，证明：为定值. 2k 1212k k k k ⋅+【答案】(1) 22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）由题可知， ，可求椭圆的方程；22c =24a =C （2）设直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理得点坐标，表示出、，化简l Q 1k 2k 得到定值. 1212k k k k ⋅+【详解】（1）由题可知，解得，由椭圆定义知，解得，.22c =1c =24a =2a =2223b a c =-=故椭圆的方程为. C 22143x y +=（2）由（1）知，设直线，，. ()21,0F 1:2l y x t =-+()11,A x y ()22,B x y 由消去，得， 2212143y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2230x tx t -+-=则，.∴. 12x x t +=2123x x t =-3,24t t Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵，，()11,0F -()21,0F ∴，. 13342412t t k t t ==++23342412tt k t t ==--∴，∴，为定值. 121124244333t t k k t t +-+=+=121234k k k k ⋅=+【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．。

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四川省高二上学期期末数学试卷及解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知圆C：(x﹣2)2+(y+1)2=4，则圆C的圆心和半径分别为( )A.(2，1)，4B.(2，﹣1)，2C.(﹣2，1)，2D.(﹣2，﹣1)，2【考点】圆的标准方程.【分析】利用圆的标准方程，直接写出圆心与半径即可.【解答】解：圆C：(x﹣2)2+(y+1)2=4，则圆C的圆心和半径分别为：(2，﹣1)，2.故选：B.2.当m∈N*，命题“若m>0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是( )A.若方程x2+x﹣m=0有实根，则m>0B.若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0C.若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m>0D.若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可.【解答】解：由逆否命题的定义可知：当m∈N*，命题“若m>0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是：若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0.故选：D.3.已知命题p：∀x>0，x3>0，那么￢p是( )A.∀x>0，x3≤0B.C.∀x<0，x3≤0D.【考点】命题的否定.【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x>0，x3>0，那么￢p是 .故选：D.4.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8πB.4πC.2πD.π【考点】由三视图求面积、体积.【分析】首先将几何体还原，然后求体积.【解答】解：由已知得到几何体是底面直径为2，高为2的圆柱，所以其体积为π×12×2=2π;故选C.5.已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A. =0.4x+2.3B. =2x﹣2.4C. =﹣2x+9.5D. =﹣0.3x+4.4【考点】线性回归方程.【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D;样本平均数 =3， =3.5，代入A符合，B不符合，故选：A.6.在区间[0，3]上随机地取一个实数x，则事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为( )A. B. C. D.【考点】几何概型.【分析】首先求出事件“1≤2x﹣1≤3”发生对应的区间长度，利用几何概型公式解答.【解答】解：在区间[0，3]上随机地取一个实数x，则事件“1≤2x﹣1≤3”发生，即1≤x≤2，区间长度为1，由几何概型公式得到事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为 ;故选：B.7.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a，b分别为6，4，则输出a的值为( )A.0B.2C.4D.6【考点】程序框图.【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论.【解答】解：由a=6，b=4，a>b，则a变为6﹣4=2，由a由a=b=2，则输出的a=2.故选：B.8.在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图.记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是( )A. 甲< 乙，甲比乙成绩稳定B. 甲> 乙，甲比乙成绩稳定C. 甲< 乙，乙比甲成绩稳定D. 甲> 乙，乙比甲成绩稳定【考点】众数、中位数、平均数.【分析】由茎叶图知分别求出两组数据的平均数和方差，由此能求出结果.【解答】解：由茎叶图知：= (76+77+88+90+94)=85，= [(76﹣85)2+(77﹣85)2+(88﹣85)2+(90﹣85)2+(94﹣85)2]=52，= (75+86+88+88+93)=86，= [(75﹣86)2+(86﹣86)2+(88﹣86)2+(88﹣86)2+(93﹣86)2]=35.6，∴ 甲< 乙，乙比甲成绩稳定.故选：C.9.设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是( )A.当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件B.当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C.当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件D.当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件【考点】平面的基本性质及推论.【分析】当n⊥α时，“n⊥β”⇔“α∥β”;当m⊂α时，“m⊥β”⇒“α⊥β”，但是“α⊥β”推不出“m⊥β”;当m⊂α时，“n∥α”⇒“m∥n或m与n异面”，“m∥n”⇒“n∥α或n⊂α”;当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，但“m⊥n”推不出“n⊥α”.【解答】解：当n⊥α时，“n⊥β”⇔“α∥β”，故A正确;当m⊂α时，“m⊥β”⇒“α⊥β”，但是“α⊥β”推不出“m⊥β”，故B正确;当m⊂α时，“n∥α”⇒“m∥n或m与n异面”，“m∥n”⇒“n∥α或n⊂α”，故C不正确;当m⊂α时，“n⊥α”⇒“m⊥n”，但“m⊥n”推不出“n⊥α”，故D正确.故选C10.如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.【考点】异面直线及其所成的角.【分析】连结ND，取ND的中点E，连结ME，推导出异面直线AN，CM所成角就是∠EMC，通解三角形，能求出结果.【解答】解：连结ND，取ND的中点E，连结ME，则ME∥AN，∴∠EMC是异面直线AN，CM所成的角，∵AN=2 ，∴ME= =EN，MC=2 ，又∵EN⊥NC，∴EC= = ，∴cos∠EMC= = = ，∴异面直线AN，CM所成的角的余弦值为 .故选：A.11.已知命题p：函数f(x)=x2﹣2mx+4在[2，+∞)上单调递增;命题q：关于x的不等式mx2+2(m﹣2)x+1>0对任意x∈R恒成立.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为( )A.(1，4)B.[﹣2，4]C.(﹣∞，1]∪(2，4)D.(﹣∞，1)∪(2，4)【考点】复合命题的真假.【分析】根据二次函数的单调性，以及一元二次不等式的解的情况和判别式△的关系即可求出命题p，q为真命题时m的取值范围.根据p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p真q假或p假q真，求出这两种情况下m的范围求并集即可.【解答】解：若命题p为真，∵函数f(x)的对称轴为x=m，∴m≤2;若命题q为真，当m=0时原不等式为﹣4x+1>0，该不等式的解集不为R，即这种情况不存在;当m≠0时，则有，解得1又∵P∨q为真，P∧q为假，∴P与q一真一假;若P真q假，则，解得m≤1;若P假q真，则，解得2综上所述，m的取值范围是m≤1或2故选：C.12.如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下结论：①直线A1B与B1C所成的角为60°;②若M是线段AC1上的动点，则直线CM与平面BC1D所成角的正弦值的取值范围是 ;③若P，Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体B1D1PQ 的体积恒为 .其中，正确结论的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个【考点】命题的真假判断与应用.【分析】①先证明A1B与A1D所成角为60°，又B1C∥A1D，可得直线A1B与B1C所成的角为60°，判断①正确;②由平面BDC1⊥平面ACC1，结合线面角的定义分别求出直线CM与平面BDC1所成角的正弦值最大值与最小值判断②正确;③在PQ变化过程中，四面体PQB1D1的顶点D1到底面B1PQ 的距离不变，底面积不变，则体积不变，求出体积判断③正确.【解答】解：①在△A1BD中，每条边都是，即为等边三角形，∴A1B与A1D所成角为60°，又B1C∥A1D，∴直线A1B与B1C所成的角为60°，正确;②如图，由正方体可得平面BDC1⊥平面ACC1，当M点位于AC1上，且使CM⊥平面BDC1时，直线CM与平面BDC1所成角的正弦值最大为1，当M与C1重合时，连接CM交平面BDC1所得斜线最长，直线CM与平面BDC1所成角的正弦值最小等于，∴直线CM与平面BDC1所成角的正弦值的取值范围是[ ，1]，正确;③连接B1P，B1Q，设D1到平面B1AC的距离为h，则h= ，B1到直线AC的距离为，则四面体PQB1D1的体积V= ，正确.∴正确的命题是①②③.故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.根据如图所示的算法语句，当输入的x为50时，输出的y的值为35 .【考点】伪代码.【分析】算法的功能是求y= 的值，当输入x=50时，计算输出y 的值.【解答】解：由算法语句知：算法的功能是求y= 的值，当输入x=50时，输出y=30+0.5×10=35.故答案为：35.14.某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为25 .【考点】分层抽样方法.【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数.【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为 = ，则应抽取的男生人数是500× =25人，故答案为：25.15.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.【分析】根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可.【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种;所以所求的概率是P= ，故答案为： .16.若直线y=x+b与曲线y=3﹣有两个公共点，则b的取值范围是1﹣2【考点】直线与圆的位置关系.【分析】曲线方程变形后，表示圆心为(2，3)，半径为2的下半圆，如图所示，根据直线y=x+b与圆有2个公共点，【解答】解：曲线方程变形为(x﹣2)2+(y﹣3)2=4，表示圆心A为(2，3)，半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示，当直线y=x+b过B(4，3)时，将B坐标代入直线方程得：3=4+b，即b=﹣1;当直线y=x+b与半圆相切时，圆心A到直线的距离d=r，即=2，即b﹣1=2 (不合题意舍去)或b﹣1=﹣2 ，解得：b=1﹣2 ，则直线与曲线有两个公共点时b的范围为1﹣2故答案为：1﹣2三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题p：x2﹣8x﹣20≤0，命题q：[x﹣(1+m)]•[x﹣(1﹣m)]≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由p：x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10.由于p是q的充分不必要条件，可得[﹣2，10]⊊[1﹣m，1+m].即可得出.【解答】解：由p：x2﹣8x﹣20≤0，得﹣2≤x≤10，∵p是q的充分不必要条件，∴[﹣2，10]⊊[1﹣m，1+m].则，或，解得m≥9.故实数m的取值范围为[9，+∞).18.已知圆C过点A(1，4)，B(3，2)，且圆心在x轴上，求圆C的方程.【考点】圆的标准方程.【分析】法一：设圆C：(x﹣a)2+y2=r2，利用待定系数法能求出圆C的方程.法二：设圆C：x2+y2+Dx+F=0，利用待定系数法能求出圆C的方程.法三：由已知圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，AB的中点为(2，3)，由此能求出圆心C的坐标和半径，从而能求出圆C的方程.【解答】解法一：设圆C：(x﹣a)2+y2=r2，则解得所以圆C的方程为(x+1)2+y2=20.解法二：设圆C：x2+y2+Dx+F=0，则解得所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣19=0.解法三：因为圆C过两点A(1，4)，B(3，2)，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为，所以kl=1，又AB的中点为(2，3)，故AB的垂直平分线l的方程为y﹣3=x﹣2，即y=x+1.又圆心C在x轴上，所以圆心C的坐标为(﹣1，0)，所以半径，所以圆C的方程为(x+1)2+y2=20.19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.求证：(Ⅰ) EF∥平面A1BC1;(Ⅱ) 平面AEF⊥平面BCC1B1.【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.【分析】(Ⅰ)由三角形中位线定理得EF∥BC1，由此能证明EF∥平面A1BC1.(Ⅱ)由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得AE⊥BB1，由正三角形性质得AE⊥BC，由此能证明平面AEF⊥平面BCC1B1.【解答】证明：(Ⅰ)因为E，F分别是BC，CC1的中点，所以EF∥BC1.又因为BC1⊂平面A1BC1，EF⊄平面A1BC1，所以EF∥平面A1BC1.(Ⅱ)因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥平面ABC.又AE⊂平面ABC，所以AE⊥BB1.又因为△ABC为正三角形，E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BB1∩BC=B，所以AE⊥平面BCC1B1.又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面BCC1B1.20.某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了20名学生的成绩进行分析，如图是这20名学生竞赛成绩(单位：分)的频率分布直方图，其分组为[100，110)，[110，120)，…，[130，140)，[140，150].(Ⅰ) 求图中a的值及成绩分别落在[100，110)与[110，120)中的学生人数;(Ⅱ) 学校决定从成绩在[100，120)的学生中任选2名进行座谈，求此2人的成绩都在[110，120)中的概率.【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图.【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图知组距为10，由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，求出a，由此能求出成绩分别落在[100，110)与[110，120)中的学生人数.(Ⅱ)记成绩落在[100，110)中的2人为A1，A2，成绩落在[110，120)中的3人为B1，B2，B3，由此利用列举法能求出此2人的成绩都在[110，120)中的概率.【解答】解：(Ⅰ)根据频率分布直方图知组距为10，由(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1，解得 ;所以成绩落在[100，110)中的人数为2×0.005×10×20=2;成绩落在[110，120)中的人数为3×0.005×10×20=3.(Ⅱ)记成绩落在[100，110)中的2人为A1，A2，成绩落在[110，120)中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[100，120)的学生中任选2人的基本事件共有10个：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，其中2人的成绩都在[110，120)中的基本事件有3个：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，所以所求概率为 .21.如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD= ，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE 沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE.(Ⅰ) 证明：CD⊥平面A1OC;(Ⅱ) 若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角(锐角)的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)根据线面垂直的判定定理即可证明：CD⊥平面A1OC;(Ⅱ)若平面A1BE⊥平面BCDE，建立空间坐标系，利用向量法即可求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值.【解答】证明：(Ⅰ)在图1中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD= ，∴BE⊥AC，即在图2中，BE⊥OA1，BE⊥OC，则BE⊥平面A1OC;∵CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC.解：(Ⅱ)若平面A1BE⊥平面BCDE，由(Ⅰ)知BE⊥OA1，BE⊥OC，∴∠A1OC为二面角A1﹣BE﹣C的平面角，∴∠A1OC= ，如图，建立空间坐标系，∵A1B=A1E=BC=ED=1.BC∥ED∴B( ，0，0)，E(﹣，0，0)，A1(0，0， )，C(0，，0)，=(﹣，，0)， =(0，，﹣ )， = =(﹣，0，0)，设平面A1BC的法向量为=(x，y，z)，平面A1CD的法向量为=(a，b，c)，则，得，令x=1，则y=1，z=1，即 =(1，1，1)，由，得，取b=1，得 =(0，1，1)，则cos< ， >= = = ，∴平面A1BC与平面A1CD夹角(锐角)的余弦值为 .22.已知圆C：x2﹣(1+a)x+y2﹣ay+a=0(a∈R).(Ⅰ) 若a=1，求直线y=x被圆C所截得的弦长;(Ⅱ) 若a>1，如图，圆C与x轴相交于两点M，N(点M在点N 的左侧).过点M的动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点.问：是否存在实数a，使得对任意的直线l均有∠ANM=∠BNM?若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由.【考点】圆方程的综合应用.【分析】(Ⅰ)当a=1时，求出圆心C(1，)，半径r= ，求出圆心C到直线y=x的距离，由此利用勾股定理能求出直线y=x被圆C所截得的弦长.(Ⅱ)先求出所以M(1，0)，N(a，0)，假设存在实数a，当直线AB 与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x﹣1)，代入x2+y2=4，利用韦达定理，根据NA、NB的斜率之和等于零求得a的值.经过检验，当直线AB与x轴垂直时，这个a值仍然满足∠ANM=∠BNM，从而得出结论.【解答】解：(Ⅰ) 当a=1时，圆C：x2﹣2x+y2﹣y+1=0，圆心C(1， )，半径r= = ，圆心C(1， )到直线y=x的距离d= = ，∴直线y=x被圆C所截得的弦长为：2 = .(Ⅱ)令y=0，得x2﹣(1+a)x+a=0，即(x﹣1)(x﹣a)=0，解得x=1，或x=a，∴M(1，0)，N(a，0).假设存在实数a，当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k(x﹣1)，代入x2+y2=4得，(1+k2)x2﹣2k2x+k2﹣4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，从而，x1x2= .∵NA、NB的斜率之和为 + = ，而(x1﹣1)(x2﹣a)+(x2﹣1)(x1﹣a)=2x1x2﹣(a+1)(x2+x1)+2a= +2a= ，∵∠ANM=∠BNM，所以，NA、NB的斜率互为相反数，=0，即=0，得a=4.当直线AB与x轴垂直时，仍然满足∠ANM=∠BNM，即NA、NB 的斜率互为相反数.综上，存在a=4，使得∠ANM=∠BNM.。

2017-2018学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀x∈R，|x|+2＞0，则￢p为（）A．∃x0∈R，|x|+2＞0B．∃x0∈R，|x|+2≤0C．∃x0∈R，|x|+2＜0D．∀x∈R，|x|+2≤02．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．3．（5分）已知椭圆的左焦点为，则k＝（）A．2B．3C．4D．94．（5分）一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O'A'B'C'，如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC的面积为（）A．1B．C．2D．5．（5分）“m＞1且m≠2”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若抛物线x2＝2py的焦点与椭圆的上焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）A．y＝﹣1B．y＝1C．y＝﹣2D．y＝27．（5分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m8．（5分）已知椭圆的两个焦点是F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|﹣|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是（）A．B．C．D．9．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，则BC1与平面AA1C1C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）在三棱椎P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）A．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为B．BD⊥平面P AC且三棱椎D﹣ABC的体积为C．AD⊥平面PBC且三棱椎D﹣ABC的体积为D．BD⊥平面P AC且三棱椎D﹣ABC的体积为12．（5分）椭圆的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线P A1斜率的取值范围是[1，2]，那么直线P A2斜率的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．（5分）抛物线y＝x2的焦点坐标是．14．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱P A⊥底面ABCD，P A＝2，E为AB的中点，则四面体P﹣BCE的体积为．15．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝．16．（5分）如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD：BC：AB＝2：3：4，E、F 分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC，②BD⊥FC③平面DBF⊥平面BFC，④平面DCF⊥平面BFC．在翻折过程中，可能成立的结论是．（填写结论序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、BC的中点．（1）求异面直线A1D与EF所成的角的大小；（2）求证：EF⊥BD1．18．（12分）已知双曲线的方程是4x2﹣9y2＝36．（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝16，求∠F1PF2的大小．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，E为PD 的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设AP＝1，，三棱锥P﹣ABD的体积，求A到平面PBC的距离．20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝﹣x的一个交点的横坐标为4．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F的直线l2与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，若|AF|＝3，求△AOB 的面积．21．（12分）已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且＝λ（0＜λ＜1）．（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？22．（12分）如图，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且•＝﹣1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数λ，使得•+λ•为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢P：∃x0∈R，|x|+2≤0，故选：B．2．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选：D．3．【解答】解：椭圆的左焦点为，可得：16﹣k2＝7，则k＝9．故选：B．4．【解答】解：把直观图O'A'B'C'还原为原图形，如图所示，则OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝2，∴原平面四边形OABC的面积为1×2＝2．故选：D．5．【解答】解：根据题意，当m＝3时，满足“m＞1且m≠2”，此时2﹣m＝﹣1＜0且m﹣1＝2＞0，方程没有意义，不能表示双曲线，则“m＞1且m≠2”不是“方程表示双曲线”的充分条件，反之“方程表示双曲线”，必有（2﹣m）（m﹣1）＞0，解可得1＜m＜2，则有m＞1且m≠2成立，“m＞1且m≠2”是“方程表示双曲线”的必要条件；故“m＞1且m≠2”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件；故选：B．6．【解答】解：椭圆的上焦点（0，2），所以抛物线x2＝2py的焦点（0，2），可得＝2，所以该抛物线的准线方程为：y＝﹣＝﹣2．即y＝﹣2．故选：C．7．【解答】解：对于A，∵l⊥β，且l⊂α，根据线面垂直的判定定理，得α⊥β，∴A正确；对于B，当α⊥β，l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能垂直，∴B错误；对于C，当l∥β，且l⊂α时，α与β可能平行，也可能相交，∴C错误；对于D，当α∥β，且l⊂α，m⊂β时，l与m可能平行，也可能异面，∴D错误．故选：A．8．【解答】解：∵椭圆，焦点在x轴上，则a＝2，由椭圆定义：|PF1|+|PF2|＝4，|F1F2|＝2c＝2，∵|PF1|﹣|PF2|＝2，可得|PF1|＝3，|PF2|＝1，由12+（2）2＝9，∴△PF2F1是直角三角形，△PF1F2的面积|PF2|×|F1F2|＝×1×2＝．故选：D．9．【解答】解：以C1为原点，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，设正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均为2，则B（0，2，2），C1（0，0，0），A（，1，2），C（0，0，2），＝（0，﹣2，﹣2），＝（），＝（0，0，2），设平面AA1C1C的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣，0），设BC1与平面AA1C1C所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴BC1与平面AA1C1C所成角的余弦值为：＝．故选：C．10．【解答】解：x＝2a时，代入双曲线方程可得y＝±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴＝∴e＝＝2+．故选：B．11．【解答】解：∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AD，又由三视图可得在△P AC中，P A＝AC＝4，D为PC的中点，∴AD⊥PC，∴AD⊥平面PBC．又BC＝4，∠ADC＝90°，BC⊥平面P AC．故．故选：C．12．【解答】解：由椭圆的方程可得a2＝2，b2＝2．由椭圆的性质可知：＝﹣＝﹣．∴．∵∈[1，2]，∴∈．故选：C．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．【解答】解：抛物线方程化为标准方程为：x2＝﹣4y∴2p＝4，∴＝1∵抛物线开口向下∴抛物线y＝x2的焦点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）14．【解答】解：∵侧棱P A⊥底面ABCD，∴P A是四面体P﹣BCE的高，∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝2，∠EBC＝120°，∵E为AB的中点，∴BE＝1，∴三角形BCE的面积S＝，∴四面体P﹣BCE的体积为，故答案为：．15．【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2，直线AF的方程为y＝﹣（x﹣2），所以点A（﹣2，4）、P（4，4），从而|PF|＝4+2＝6．故答案为：6．16．【解答】解：①：因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；②：设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD：BC：AB＝2：3：4可使条件满足，所以②正确；③：当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确．④：因为点D的射影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】（1）解：连结A1C1，由题可知A1C1∥EF，则A1D与EF所成的角即为∠C1A1D，连结C1D，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∴A1C1＝A1D＝CD1，∴△A1C1D为等边三角形，∴∠CA1D＝60°，即直线A1D与EF所成的角为60°．（2）证明：连结BD，易知EF⊥BD，又D1D⊥面ABCD，即D1D⊥EF，∴EF⊥面D1DB，则EF⊥BD1，∴EF⊥BD1．18．【解答】解：（1）解：由4x2﹣9y2＝36得，所以a＝3，b＝2，，所以焦点坐标，，离心率，渐近线方程为．（2）解：由双曲线的定义可知||PF1|﹣|PF2||＝6，∴＝＝，则∠F1PF2＝60°．19．【解答】（1）证明：设BD与AC的交点为O，连接EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又E为PD的中点，所以EO∥PB．又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．（2）解：．由，可得AB＝2．作AH⊥PB交PB于H．由题设知AB⊥BC，P A⊥BC，且P A∩AB＝4，所以BC⊥平面P AB，又AH⊂平面P AB，所以BC⊥AH，又PB∩BC＝B，做AH⊥平面PBC．∵PB⊂平面PBC，∴AH⊥PB，在Rt△P AB中，由勾股定理可得，所以，所以A到平面PBC的距离为．20．【解答】（1）解：易知直线与抛物线的交点坐标为（4，﹣4），∴（﹣4）2＝2p×4，∴2p＝4，∴抛物线方程为y2＝4x．（2）解：由（1）知，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为l：x＝﹣1，则x A+1＝3，则A的横坐标为2．代入y2＝4x中，得y2＝8，不妨令，则直线l2的方程为，联立，消去y得2x2﹣5x+2＝0，可得，故S△AOB＝S△AOF+S△BOF＝＝21．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC．（3分）又∵，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．（9分）∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴，（11分）∴，由AB2＝AE•AC得，∴，（13分）故当时，平面BEF⊥平面ACD．（14分）22．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，可得C（0，﹣b），D（0，b），又∵P（0，1），且•＝﹣1，∴，解得a＝2，b＝，∴椭圆E的方程为：+＝1；（Ⅱ）结论：存在常数λ＝1，使得•+λ•为定值﹣3．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，∵△＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，从而•+λ•＝x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]＝（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝＝﹣﹣λ﹣2．∴当λ＝1时，﹣﹣λ﹣2＝﹣3，此时•+λ•＝﹣3为定值；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时•+λ•＝+＝﹣2﹣1＝﹣3；故存在常数λ＝1，使得•+λ•为定值﹣3．。

四川省乐山市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）设i是虚数单位，复数的虚部为（）A . -iB . -1C . iD . 13. （2分） (2019高二上·南宁期中) 命题“ ，”的否定是（）A . ，B . ，C . ，D . ，4. （2分） (2019高一上·北京月考) 下列结论正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，，则5. （2分）已知等比数列的公比为正数，且，则公比（）A .B .C .D . 26. （2分）下列各式正确的是（）A . （cosx）′=sinxB . （ax）′=axlnaC .D .7. （2分） (2019高一下·南充月考) 已知点A（2，1），B（4，3），则向量的坐标为（）A .B .C .8. （2分）语句甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0 ，且a为常数)；语句乙：P点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件9. （2分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A . 12万元B . 16万元C . 17万元D . 18万元10. （2分） (2019高二上·扶余期中) 点是抛物线上一点，则到的焦点的距离为（）A .B .C .11. （2分）已知－7，a1 ， a2 ，－1四个实数成等差数列，－4，b1 ， b2 ， b3 ，－1五个实数成等比数列，则= （）A . 1B . －1C . 2D . ±112. （2分）抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线上，且，弦AB中点M在准线上的射影为，则的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·新沂模拟) 若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位)，则z＝________.14. （1分） (2019高三上·郑州期中) 设数列{an}是等差数列，a1+a2+a3＝﹣24，a19＝26，则此数列{an}前20项和等于________．15. （1分） (2018高三上·镇江期中) 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A＝45°，C＝75°，a＝1，则b＝________．16. （1分） (2017高三上·辽宁期中) 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）求证：1，， 3不可能是一个等差数列中的三项．18. （10分） (2016高二上·宝安期中) 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB ﹣bcosA= c．（1）求的值；（2）若A=60°，求的值．19. （5分）已知函数f（x）= x3+cx在x=1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的极值．20. （5分） (2020高三上·海淀期末) 如图，在三棱锥中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分别为、的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.21. （10分）(2014·大纲卷理) 等差数列{an}的前n项和为Sn ．已知a1=10，a2为整数，且Sn≤S4 ．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn．22. （10分） (2017高二上·四川期中) 已知圆：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）点是曲线与轴正半轴的交点，直线交于、两点，直线，的斜率分别是，，若，求：① 的值；② 面积的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

四川省乐山市数学高二上学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·丽江模拟) 曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·武汉期末) 设函数，则=（）A . -6B . -3C . 3D . 63. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 下列四个结论中正确的个数是（）①“x2+x﹣2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件②命题：“∀x∈R，s inx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx0＞1”．③“若x= ，则tanx=1，”的逆命题为真命题；④若f（x）是R上的奇函数，则f（log32）+f（log23）=0．A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）如图所示四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是（）A . ①②B . ①③C . ①④D . ②④5. （2分）(2017·齐河模拟) 下列说法正确的是（）A . 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+x+1＞0”B . 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的否命题是：“若x2﹣3x+2=0，则x≠1或x≠2”C . 直线l1：2ax+y+1=0，l2：x+2ay+2=0，l1∥l2的充要条件是D . 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题是真命题6. （2分）如图，在正三棱锥中，分别是的中点，，且，则正三棱锥的体积是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·赣州期中) 下列命题正确的是（）A . 单位向量都相等B . 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C . | + |=| ﹣ |，则• =0D . 若与是单位向量，则• =18. （2分）在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB=AF∶FD=1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（）A . BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B . EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C . HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D . EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形9. （2分） (2018高二下·中山期末) 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y2=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（）A .B . p2C . 2p2D . 4p210. （2分） (2017高二下·桃江期末) 曲线在x=1处的切线的倾斜角为（）A .B .C .D .11. （2分）已知两点O（0，0），A（﹣2，0），以线段OA为直径的圆的方程是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·中山月考) 函数满足：，．则时，（）A . 有极大值，无极小值B . 有极小值，无极大值C . 既有极大值，又有极小值D . 既无极大值，也无极小值二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2019高三上·和平月考) 已知函数 .若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为 ________， ________.14. （1分）(2013·大纲卷理) 已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于________．15. （1分） (2015高一下·南阳开学考) 如图所示，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．16. （1分） (2018高二上·鞍山期中) 过双曲线x2- =1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x-4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2-|PN|2的最小值为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知三角形△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，8）．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程．18. （10分）(2018·江苏) 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为 .（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线与椭圆C交于A、B两点.若的面积为，求直线的方程.19. （5分） (2018高三上·杭州月考) 已知函数其中(Ⅰ)若，且当时，总成立，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若，存在两个极值点，求证：20. （5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是线段AB中点．证明：D1E⊥CE21. （5分） (2018高二上·潮州期末) 如图，在直角坐标中，设椭圆的左右两个焦点分别为，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为 .（1）求椭圆的方程；22. （15分）(2018·门头沟模拟) 在四棱锥中，, 为正三角形，且。

高二（上）数学期末试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．42．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣63．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．2564．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．16．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，均为单选题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】首先求出p，准线方程，然后根据，直接求出结果．【解答】解：设M（x，y）则2P=4，P=2，准线方程为x==﹣1，解得x=2．选B．2．已知向量，，若与平行，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣6【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：=（﹣3，3+2m），∵与平行，∴3+2m+9=0，解得m=﹣6．故选：D．3．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256【考点】等比数列的性质．【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，所以a1•a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得：a10=4，则a8•a10•a12=（a8•a12）•a10=a103=43=64．故选C4．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A．x=±B．y=C．x=D．y=【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵椭圆和双曲线有公共焦点∴3m2﹣5n2=2m2+3n2，整理得m2=8n2，∴=2双曲线的渐近线方程为y=±=±x故选D5．已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，直角三角形的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】直线与平面垂直的性质；简单空间图形的三视图．【分析】画出满足条件的四棱锥的直观图，可令棱锥PA⊥矩形ABCD，进而可得可得△PAB 和△PAD都是直角三角形，再由由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，又得到了两个直角三角形△PCB 和△PCD，由此可得直角三角形的个数．【解答】解：满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，画出满足条件的直观图如图四棱锥P﹣ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB 和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD．这样CB垂直于平面PAB内的两条相交直线PA、AB，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线PA、AD，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PCB 和△PCD都是直角三角形．故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PCD共4个．故选A．6．为了得到函数y=3cos2x的图象，只需将函数的图象上每一个点（）A．横坐标向左平动个单位长度B．横坐标向右平移个单位长度C．横坐标向左平移个单位长度D．横坐标向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数=3cos2（x+）的图象上每一个点横坐标向右平移个单位长度，可得函数y=3cos2x的图象，故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．8．抛掷一枚均匀的硬币4次，出现正面次数多余反面次数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出出现正面次数多余反面次数的概率．【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币4次，相当于进行4次独立重复试验，∴出现正面次数多余反面次数的概率：p==．故选：D．9．已知l是双曲线的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．12 B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P的坐标，利用PF1⊥PF2，建立方程，求出P的坐标，则△PF1F2的面积可求．【解答】解：由题意，设P（y，y），∵PF1⊥PF2，∴（﹣y，﹣y）•（y，﹣y）=0，∴2y2﹣6+y2=0，∴|y|=，∴△PF1F2的面积为=2．故选D．10．已知直线y=﹣2x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣4y=0上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】将直线y=﹣2x+1与直线x﹣4y=0联立，求得中点坐标，由A，B在椭圆上，两式相减可知=﹣×=﹣，则=2，求得a2=2b2，椭圆的离心率e===．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知：，解得：，则线段AB的中点（，），则x1+x2=，y1+y2=，由A，B在椭圆上，+=1， +=1，两式相减，得+=0，=﹣×=﹣，∴=2，即a2=2b2，椭圆的离心率e===，故选D．11．已知直线l过点（﹣1，0），l与圆C：（x﹣1）2+y2=3相交于A，B两点，则弦长的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】先找出使弦长|AB|=2时的情况，再求直线与圆相切时的情形，根据几何概型的概率公式求解即可【解答】解：圆心C是（1，0）半径是，可知（﹣1，0）在圆外要使得弦长|AB|≥2，设过圆心垂直于AB的直线垂足为D，由半径是，可得出圆心到AB的距离是1，此时直线的斜率为，倾斜角为30°，当直线与圆相切时，过（﹣1，0）的直线与x轴成60°，斜率为，所以使得弦长的概率为：P==，故选：C．12．设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，已知点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|=2|BF1|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的性质求出A，B的坐标，代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．【解答】解：由题意椭圆，a=1，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），则∵|AF1|=2|F1B|，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=2（x+c，y）∴B（﹣2c，﹣b2），代入椭圆方程可得：4c2+b2=1，∵1=b2+c2，∴b2=，∴x2+=1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知椭圆+=1的长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于4．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．【解答】解：∵椭圆+=1的长轴在x轴上，焦距为4，∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4故答案为：4．14．函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），f（1）=3，则f（2）=﹣3．【考点】函数的值．【分析】推导出f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），由f（1）=3，得f（2）=f（﹣1）=﹣f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x），x∈R，满足如下性质：f（x）+f（﹣x）=0，f（+x）=f（﹣x），∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x）∵f（1）=3，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案为：﹣3．15．函数给出下列说法，其中正确命题的序号为①②④．（1）命题“若α=，则cosα=”的逆否命题；（2）命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；（3）“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；（4）命题p：“，使”，命题q：“在△ABC中，若使sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（¬p）∧q为真命题．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1），原命题为真，逆否命题为真命题；（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，；（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件；（4），判断命题p、命题q的真假即可【解答】解：对于（1），∵cos=，∴原命题为真，故逆否命题为真命题；对于（2），命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，为真命题；对于（3），“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数若y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故为假命题；对于（4），x∈（0，）时，sinx+cosx=，故命题p为假命题；在△ABC中，若sinA＞sinB⇒2RsinA＞2RsinB⇒a＞b⇒A＞B，故命题q为真命题那么命题（¬p）∧q为真命题，正确．故答案为：①②④16．抛物线C：y2=4x的交点为F，准线为l，p为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l交C于点M，线段MF为抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，求出P的坐标，可得cos∠MNQ=，即可得到．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，∵PF的斜率为，∴可得P（4，4）．∴M（﹣1，4），∴cos∠MFO=∴cos∠MNQ=∴=故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知数列{a n}是公差为正数的等差数列，其前n项和为S n，a1=1，且3a2，S3，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设出等差数列的公差，由3a2，S3，a5成等比数列列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）求出等差数列的前n项和，代入，利用裂项相消法求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d（d＞0），则a2=1+d，S3=3+3d，a5=1+4d，∵3a2，S3，a5成等比数列，∴，即（3+3d）2=（3+3d）•（1+4d），解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）得：，∴=，∴=．18．如图是某市有关部门根据对某地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000．请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000，1500）（1）求样本中月收入在[2500，3500）的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500，2000）的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出各段的频率，然后再求[2500，3500）的人数；（2）根据抽样方法，选取抽样的人数，（3）根据求中位数的方法即可．【解答】解：（1）∵月收入在[1000，1500]的频率为0.0008×500=0.4，且有4000人，∴样本的容量n=，月收入在[1500，2000）的频率为0.0004×500=0.2，月收入在[2000，2500）的频率为0.0003×500=0.15，月收入在[3500，4000）的频率为0.0001×500=0.05，∴月收入在[2500，3500）的频率为；1﹣（0.4+0.2+0.15+0.05）=0.2，∴样本中月收入在[2500，3500）的人数为：0.2×10000=2000．（2）∵月收入在[1500，2000）的人数为：0.2×10000=2000，∴再从10000人用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[1500，2000）的这段应抽取（人）．（3）由（1）知月收入在[1000，2000）的频率为：0.4+0.2=0.6＞0.5，∴样本数据的中位数为：=1500+250=1750（元）．19．如图，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB= AB．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC1平行平面A1CD内的直线DF，利用直线与平面平行的判定定理证明BC1∥平面A1CD（Ⅱ）证明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，设AB=2，则AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，过D作DF⊥A1C于F，∠DFE为二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF==，EF==，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=．20．已知向量，，其中ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调减区间；（2）在△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为其面积，若f（）=1，b=1，S△ABC=，求a的值．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．=，求得c=4，再利用余弦定理求（2）由f（）=1，求得A=，根据S△ABC得a=的值．【解答】解：（1）函数=cos2ωx+sinωxcosωx﹣=cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx+），其最小正周期为=π，∴ω=1，f（x）=sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）在△ABC中，∵f（）=sin（A+）=1，=bc•sinA=•1•c•=，∴A=，又b=1，S△ABC∴c=4，∴a===．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C 的两个焦点，|F1F2|=2，P是椭圆C上的一个动点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若点P在第一象限，且•≤，求点P的横坐标的取值范围；（Ⅲ）是否存在过定点N（0，2）的直线l交椭圆C交于不同的两点A，B，使∠AOB=90°（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆经过点M（1，），|F1F2|=2，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设P（x，y），则=（3x2﹣8），由此能求出点P的横坐标的取值范围．（Ⅲ）设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点M（1，），F1，F2是椭圆C的两个焦点，|F1F2|=2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）∵c=，F1（﹣，0），F2（），设P（x，y），则=（﹣）•（）=x2+y2﹣3，∵，∴=x2+y2﹣3==（3x2﹣8），解得﹣，∵点P在第一象限，∴x＞0，∴0＜x＜，∴点P的横坐标的取值范围是（0，]．（Ⅲ）当直线l的斜率不存在时，直线l即为y轴，A、B、O三点共线，不符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由△=（16k）2﹣48（1+4k2）＞0，解得，，，∵∠AOB=90°，∴=0，∵=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）==0，解得k2=4，满足k2＞，解得k=2或k=﹣2，∴直线l的斜率k的值为﹣2或2．22．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）连结QF，运用垂直平分线定理可得，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．【解答】解：（1）连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，c=1，∴，所以点Q的轨迹Γ的方程为；（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故k TS+k TR=0即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在T（4，0），使得当k变化时，总有∠OTS=∠OTR．2017年2月24日。

2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜02．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln26．若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f（x）的单调递增区间为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，0）∪（2，+∞）C．（2，+∞）D．（0，+∞）7．如图是函数f（x）=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x1+x2=（）A．B．C．D．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1 D ．a ≥110．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或1611．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A ．[0，） B ．[0，）∪[，π） C ．[，π） D ．[0，）∪（，]12．设函数，对任意x 1，x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是（ ）A ．[1，+∞）B ．（1，+∞）C ．D ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于 ．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= ．15．若三角形的内切圆半径为r ，三边的长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S=r （a+b+c ），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则此四面体的体积V= ．16．定义在（0，+∞）的函数f （x ）满足9f （x ）＜xf'（x ）＜10f （x ）且f （x ）＞0，则的取值范围是 ．三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a ＜1，求证： +≥9．18．已知函数f （x ）=x 3﹣3ax 2+2bx 在x=1处的极小值为﹣1． （ I ）试求a ，b 的值，并求出f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）=a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值； （2）若OA ⊥OB ，求m 的值．21．是否存在常数a ，b ，c 使等式1•（n 2﹣1）+2•（n 2﹣22）+…+n•（n 2﹣n 2）=n 2（an 2﹣b ）+c 对一切n ∈N *都成立？ 并证明的结论．22．已知常数a ＞0，函数f （x ）=ln （1+ax ）﹣．（Ⅰ）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣x+2≥0 B．∀x∈R，x2﹣x+2≥0C．∃x∈R，x2﹣x+2＜0 D．∀x∈R，x2﹣x+2＜0【考点】命题的否定．【分析】利用含量词的命题的否定形式是：将“∀“改为“∃”结论否定，写出命题的否定．【解答】解：利用含量词的命题的否定形式得到：命题：“∀x∈R，x2﹣x+2≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣x+2＜0”故选C2．复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），可得复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的象限．【解答】解：复数z=2﹣3i对应的点的坐标为（2，﹣3），故复数z=2﹣3i对应的点z在复平面的第四象限，故选 D．3．双曲线x2﹣4y2=1的焦距为（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将所给的双曲线方程化成标准方程，根据双曲线中的a，b，c的关系求解c，焦距2c即可．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=1，化成标准方程为：∵a2+b2=c2∴c2==解得：c=所以得焦距2c=故选：C．4．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c不都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法．【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．5． dx等于（）A．﹣2ln2 B．2ln2 C．﹣ln2 D．ln2【考点】定积分．【分析】根据题意，直接找出被积函数的原函数，直接计算在区间（2，4）上的定积分即可．【解答】解：∵（lnx ）′=∴=lnx|24=ln4﹣ln2=ln2故选D6．若f （x ）=x 2﹣2x ﹣4lnx ，则f （x ）的单调递增区间为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣1，0）∪（2，+∞） C ．（2，+∞） D ．（0，+∞） 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】确定函数的定义域，求出导函数，令导数大于0，即可得到f （x ）的单调递增区间．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞）求导函数可得：f′（x ）=2x ﹣2﹣，令f′（x ）＞0，可得2x ﹣2﹣＞0，∴x 2﹣x ﹣2＞0，∴x ＜﹣1或x ＞2 ∵x ＞0，∴x ＞2∴f （x ）的单调递增区间为（2，+∞） 故选C ．7．如图是函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的大致图象，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】导数的运算．【分析】解：由图象知f （﹣1）=f （0）=f （2）=0，解出 b 、c 、d 的值，由x 1和x 2是f′（x ）=0的根，使用根与系数的关系得到x 1+x 2=．【解答】解：∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ，由图象知，﹣1+b ﹣c+d=0，0+0+0+d=0， 8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=﹣1，c=﹣2∴f′（x ）=3x 2+2bx+c=3x 2﹣2x ﹣2． 由题意有x 1和x 2是函数f （x ）的极值，故有x 1和x 2是f′（x ）=0的根，∴x 1+x 2=， 故选：A ．8．命题甲：双曲线C 的渐近线方程是：y=±；命题乙：双曲线C 的方程是：，那么甲是乙的（ ）A ．分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线C 的方程是：，渐近线方程是：y=±，双曲线C 的方程是：=﹣1，渐近线方程是：y=±，根据充分必要条件的定义可判断．【解答】解：∵双曲线C 的方程是：，∴渐近线方程是：y=±，∵双曲线C 的方程是： =﹣1，∴渐近线方程是：y=±，∴根据充分必要条件的定义可判断：甲是乙的必要，不充分条件， 故选：B9．已知函数f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3在[1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a ＞﹣4 B ．a ≥﹣4 C ．a ＞1D ．a ≥1【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出导函数f'（x ）=3x 2﹣4x+a ，在区间内大于或等于零，根据二次函数的性质可知，导函数在区间内递增，故只需f'（1）≥0即可．【解答】解：f （x ）=x 3﹣2x 2+ax+3， ∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a ， ∵在[1，2]上单调递增，∴f'（x ）=3x 2﹣4x+a 在区间内大于或等于零，∵二次函数的对称轴x=， ∴函数在区间内递增， ∴f'（1）≥0， ∴﹣1+a ≥0， ∴a ≥1， 故选D ．10．设F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，点M 在椭圆上，若△MF 1F 2是直角三角形，则△MF 1F 2的面积等于（ ）A ．B ．C ．16D ．或16【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【分析】令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ，由椭圆的定义可得 m+n=2a ①，Rt △F 1MF 2中，由勾股定理可得n 2﹣m 2=36②，由①②可得m 、n 的值，利用△F 1PF 2的面积求得结果． 【解答】解：由椭圆的方程可得 a=5，b=4，c=3，令|F 1M|=m 、|MF 2|=n ， 由椭圆的定义可得 m+n=2a=10 ①，Rt △MF 1F 2 中， 由勾股定理可得n 2﹣m 2=36 ②，由①②可得m=，n=，∴△MF 1F 2 的面积是•6•=故选A ．11．若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A．[0，）B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．[0，）∪（，]【考点】导数的几何意义；直线的倾斜角．【分析】先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围．【解答】解：∵函数的导数y′=3x2﹣6x+3﹣=3（x﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，故选 B．12．设函数，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当x＞0时，f（x）=e2x+，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则≤，可求k的范围．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e2x+≥2 =2e，∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e，∵g（x）=，∴g′（x）=，当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减，∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e，则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e ，∵恒成立且k ＞0，∴≤，∴k ≥1， 故选：A ．二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分.13．i 是虚数单位，则等于．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：，则=．故答案为：．14．过抛物线y 2=8x 焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点M 的横坐标为4，则|AB|= 12 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12，则丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨，即可求得|AB|． 【解答】解：抛物线y 2=8x 的焦点为F （2，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （4，y 0），过A ，B ，M 做准线的垂直，垂足分别为A 1，B 1及M 1， 由中点坐标公式可知：x 1+x 2=2×4=8，∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=x 1++x 2+=x 1+x 2+p=8+4=12 ∴丨AA 1丨+丨BB 1丨=12由抛物线的性质可知：丨AA 1丨+丨BB 1丨=丨AF 丨+丨BF 丨=丨AB 丨， ∴丨AB 丨=12， 故答案为：12．15．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V= R（S1+S2+S3+S4）．【考点】类比推理；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为： R（S1+S2+S3+S4）．16．定义在（0，+∞）的函数f（x）满足9f（x）＜xf'（x）＜10f（x）且f（x）＞0，则的取值范围是（29，210）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件分别构造函数g（x）=和h（x）=，分别求函数的导数，研究函数的单调性进行求解即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）==，∵9f（x）＜xf'（x），∴g′（x）=＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函数，则g（2）＞g（1），即＞，则＞29，同理设h（x）=，∴h′（x）==，∵xf'（x）＜10f（x），∴h′（x）=＜0，即h（x）在（0，+∞）上是减函数，则h（2）＜h（1），即＜，则＜210，综上29＜＜210，故答案为：（29，210）三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知0＜a＜1，求证： +≥9．【考点】不等式的证明．【分析】0＜a＜1⇒1﹣a＞0，利用分析法，要证明≥9，只需证明（3a﹣1）2≥0，该式成立，从而使结论得证．【解答】证明：由于0＜a＜1，∴1﹣a＞0．要证明≥9，只需证明1﹣a+4a≥9a﹣9a2，即9a2﹣6a+1≥0．只需证明（3a﹣1）2≥0，∵（3a﹣1）2≥0，显然成立，∴原不等式成立．18．已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处的极小值为﹣1．（ I）试求a，b的值，并求出f（x）的单调区间；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据极值的定义得出a，b的值，利用导函数得出函数的单调区间；（Ⅱ）利用导函数得出函数的极值，根据极值求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6ax+2b∵在x=1处的极值为﹣1，∴，∴f′（x）=3x2﹣2x﹣1当f′（x）≥0时，或x≥1，∴增区间为当f′（x）≤0时，，∴减区间为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，f（x）取极大值为，当x=1时，f（x）取极大值为﹣1∴当时，关于x的方程f（x）=a有三个不同的实根．19．已知双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，它们的离心率之和为2．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P 是双曲线与椭圆的一个交点，求cos ∠F 1PF 2． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）由于椭圆焦点为F （0，±4），离心率为e=，可得双曲线的离心率为2，结合双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，求出a ，b ，c ．最后写出双曲线的标准方程；（2）求出|PF 1|=7，|PF 2|=3，|F 1F 2|=8，利用余弦定理，即可求cos ∠F 1PF 2．【解答】解：（1）椭圆=1的焦点为（0，±4），离心率为e=．∵双曲线与椭圆的离心率之和为2， ∴双曲线的离心率为2，∴=2∵双曲线与椭圆=1有公共焦点F 1，F 2，∴c=4，∴a=2，b=，∴双曲线的方程是；（2）由题意，|PF 1|+|PF 2|=10，|PF 1|﹣|PF 2|=4 ∴|PF 1|=7，|PF 2|=3， ∵|F 1F 2|=8，∴cos ∠F 1PF 2==﹣．20．已知直线l ：y=x+m 与抛物线y 2=8x 交于A 、B 两点， （1）若|AB|=10，求m 的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）（1）x2+（2m﹣8）x+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，﹣﹣﹣﹣∵m＜2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣x 1x2+（x1+m）（x2+m）=0，2x1x2+m（x1+x2）+m2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2m2+m（8﹣2m）+m2=0，m2+8m=0，m=0orm=﹣8，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣经检验m=﹣8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．是否存在常数a，b，c使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c 对一切n∈N*都成立？并证明的结论．【考点】数学归纳法．【分析】可假设存在常数a，b使等式1•（n2﹣1）+2•（n2﹣22）+…+n•（n2﹣n2）=n2（an2﹣b）+c对于任意的n∈N+总成立，令n=1与n=2，n=3列方程解得a，b，c再用数学归纳法证明．【解答】解：n=1时，a﹣b+c=0，n=2时，16a﹣4b+c=3，n=3时，81a﹣9b+c=18解得c=0，证明（1）当n=1是左边=0，右边=0 左边=右边，等式成立．（2）假设n=k时（k≥1，k∈N*）等式成立，即，则当n=k+1时1•[（k+1）2﹣1]+2•[（k+1）2﹣22]+…+k•[（k+1）2﹣k2]+（k+1）[（k+1）2﹣（k+1）2]，=1•（k2﹣1）+2•（k2﹣22）+…+k•（k2﹣k2）+（1+2+…+k）（2k+1），=，===所以当n=k+1时等式也成立．综上（1）（2）对于k≥1，k∈N*所有正整数都成立．22．已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+ax）﹣．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（1+ax）﹣．∴f′（x ）==，∵（1+ax ）（x+2）2＞0，∴当1﹣a ≤0时，即a ≥1时，f′（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ≤1时，由f′（x ）=0得x=±，则函数f （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f′（x ）≥0，此时f （x ）不存在极值点．因此要使f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，则必有0＜a ＜1，又f （x ）的极值点值可能是x 1=，x 2=﹣，且由f （x ）的定义域可知x ＞﹣且x ≠﹣2，∴﹣＞﹣且﹣≠﹣2，解得a ≠，则x 1，x 2分别为函数f （x ）的极小值点和极大值点，∴f （x 1）+f （x 2）=ln[1+ax 1]﹣+ln （1+ax 2）﹣=ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]﹣=ln （2a ﹣1）2﹣=ln （2a ﹣1）2+﹣2．令2a ﹣1=x ，由0＜a ＜1且a ≠得，当0＜a ＜时，﹣1＜x ＜0；当＜a ＜1时，0＜x ＜1．令g （x ）=lnx 2+﹣2．（i ）当﹣1＜x ＜0时，g （x ）=2ln （﹣x ）+﹣2，∴g′（x ）=﹣=＜0，故g （x ）在（﹣1，0）上单调递减，g （x ）＜g （﹣1）=﹣4＜0，∴当0＜a ＜时，f （x 1）+f （x 2）＜0；（ii）当0＜x＜1．g（x）=2lnx+﹣2，g′（x）=﹣=＜0，故g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴当＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（，1）．。

四川省乐山市高二上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列说法正确的是（）A . 空间三个点确定一个平面B . 两个平面一定将空间分成四部分C . 梯形一定是平面图形D . 两个平面有不在同一条直线上的三个交点2. （2分）从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A . 3个都是正品B . 至少有1个是次品C . 3个都是次品D . 至少有1个是正品3. （2分） (2016高三上·韶关期中) 阅读如图所示的程序框图，若输入a的值为，则输出的k值是（）A . 9B . 10C . 11D . 124. （2分）同时掷2枚硬币，那么互为对立事件的是（）A . 恰好有1枚正面和恰有2枚正面B . 至少有1每正面和恰好有1枚正面C . 至少有2枚正面和恰有1枚正面D . 最多有1枚正面和恰有2枚正面5. （2分） (2020高二下·广东月考) 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有4个白球，2个红球．从袋中不放回地逐个取球，取完红球就停止，记停止时取得的球的数量为随机变量，则（）A .B .C .D .6. （2分）在四棱锥V﹣ABCD中，B1 ， D1分别为侧棱VB、VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱锥V ﹣ABCD的体积之比为（）A . 1：6B . 1：5C . 1：4D . 1：37. （2分）从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A . 至少有一个红球与都是红球B . 至少有一个红球与都是白球C . 至少有一个红球与至少有一个白球D . 恰有一个红球与恰有二个红球8. （2分）已知水平放置的，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是（）A .B .C .D .9. （2分） (2017高二下·河北期末) 若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（）A .B .C .D .10. （2分）一个几何体的三视图如右图所示，该几何体外接球的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二上·宁波期中) 从空间一点作条射线，使得任意两条射线构成的角均为钝角，最多为（）A . 3B . 4C . 5D . 612. （2分）在一次千米的汽车拉力赛中，名参赛选手的成绩全部介于分钟到分钟之间，将比赛成绩分为五组：第一组，第二组，…，第五组，其频率分布直方图如图所示，若成绩在之间的选手可获奖，则这名选手中获奖的人数为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共7分)13. （1分）下列五个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是________ （写出所有符合要求的图形序号）请证明你所选序号其中的一个．14. （4分）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=________时l1∥l2；当m=________时l1⊥l2；当m________时l1与l2相交；当m=________时l1与l2重合．15. （1分）已知⊙C：（x﹣1）2+y2=1，直线l：kx﹣y+k=0交⊙C于M、N两点，且• =﹣，则k=________．16. （1分）(2018·中山模拟) 若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组如下的随机数:7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________．三、解答题 (共6题；共80分)17. （10分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据x3456y 2.534 4.5（ = ， = ﹣）（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 = x+ ；（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？18. （15分） (2017高一下·淮安期末) 某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组为[40，50），[50，60），…，[90，100]．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）从评分在[40，60）的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在[40，50）上的概率；（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．19. （15分） (2016高二下·衡阳期中) 2013年第三季度，国家电网决定对城镇居民用电计费标准作出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电区间在（0，170]，第二类在（170，260]，第三类在（260，+∞）（单位：千瓦时）．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图，如图所示．（1）求该小区居民用电量的中位数与平均数；（2）本月份该小区没有第三类的用电户出现，为鼓励居民节约用电，供电部门决定：对第一类每户奖励20元钱，第二类每户奖励5元钱，求每户居民获得奖励的平均值；（3）利用分层抽样的方法从该小区内选出5位居民代表，若从该5户居民代表中任选两户居民，求这两户居民用电资费属于不同类型的概率．20. （10分） (2017高一上·长春期末) 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；（2）点N在CE上，EC=2，FD=3，当CN为何值时，MN∥平面BEF．21. （20分）某校高二年级的600名学生参加一次科普知识竞赛，然后随机抽取50名学生的成绩进行统计分析．分组频数频率[50，60）5[60，70）10[70，80）15[80，90）15[90，100）5合计50（1）完成频率分布表；（2）根据上述数据画出频率分布直方图；（3）估计这次竞赛成绩在80分以上的学生人数是多少？（4）估计这次竞赛中成绩的众数，中位数，平均数分别是多少？22. （10分） (2019高二上·洛阳期中) 在中，分别为角的对边，且.（1）求角；（2）若的内切圆面积为，求面积的最小值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共7分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共80分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、21-4、22-1、22-2、。