高中数学 第七节函数y=Asin(ωx+φ)图像教案 北师大版必修4

函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象说课稿一、说教材1.本节课主要内容是会用五点法来画函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，主要是运用图像研究函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的平移伸缩规律，同时能理解数形结合的数学思想方法，具有一定的审美意识。

2.地位作用：本节课是高中数学必修4第一章第8节第二课时的内容，它是在学生学过了正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质之后的一节，具有更强的综合作用，尤其是让学生能更好的理解平移规律，对后面研究其性质起着很重要的作用，因此它起着承上启下的作用。

同时，也是培养了学生观察能力和理解数形结合的重要数学思想方法。

3.教学目标知识与技能（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y ＝Asin(ωx ＋φ)，掌握A 、φ、ωx ＋φ的涵义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y ＝sinx 进行振幅和周期的变换；（4）会利用平移、伸缩变换方法，作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；（5）能利用相位变换画出函数的图像。

过程与方法通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。

情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

4. 教学重、难点重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像二．说教学方法教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。

尊敬的各位评委各位老师：大家好，我是高中数学组号考生，今天我说课的题目是《函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质》。

下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说教学过程等几个方面来展开我的说课。

首先来说说教材。

本课是北师大版高中数学必修四第一章第8节第1课时，三角函数是中学数学的重要内容之一，它既是解决生产实际问题的工具，又是学习高等数学及其它学科的基础．本节课是在学习了任意角的三角函数，正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y＝Asin(ωx+φ)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映。

分析完了教材，再来说说学情。

高二年级的学生，学生在前面章节已经学习了任意角的三角函数，正、余弦函数的图象和性质，已经具有用数学知识解决这类实际问题的能力。

但由于我们的学生认识问题还不够深入，其思维能力和判断分析能力尚在培养形成之中。

鉴于此种情况，教师要充分利用他们的兴趣引导学生进入特定的教学意境，如何学好函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质，就是摆在师生面前的一个亟待解决的问题。

因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个生长点。

基于以上教材地位、学情特点以及新课标的要求，我确定了以下三维教学目标：1、通过“五点作图法”正确找出函数y ＝sin x 到y ＝sin(ωx+φ) 的图象变换规律，能用五点作图法和图象变换法画出函数y ＝Asin(ωx+φ)的简图，这是本课教学的重点。

2、通过引导学生对函数y ＝sin x 到 y ＝sin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想，能够认识图象变换与函数解析式变换的内在联系，也是本课教学的难点。

3、通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐。

Asin（ωx+φ）的图像学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（Asin（ωx+φ）的图像学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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函数y=Asin （ωx+φ）的图像知识梳理1。

四种变换画图方法（1)振幅变换：对于函数y=Asinx(A ＞0,A≠1）的图像可以看作是把y=sinx 的图像上所有点的纵坐标伸长（当A ＞1时），或缩短（当0＜A ＜1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的.（2）周期变换:对于函数y=sinωx(ω＞0,ω≠1)的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时）,或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到的。

（3）相位变换：对于函数y=sin （x+φ)(φ≠0）的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上所有的点向左(当φ＞0时），或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位得到的.（4）上下平移变换：对于函数y=sinx+b 的图像，可以看作是把y=sinx 的图像上所有点向上（当b ＞0时)，或向下（当b ＜0时）平行移动｜b|个单位得到的.2。

函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0）的图像（1)概念:在正弦型函数y=Asin （ωx+φ)中，A 叫振幅,T=ωπ2叫周期，ωx+φ叫相位,φ叫初相.(2)图像画法:五点法和变换法。

描点法步骤:①列表（ωx+φ通常取0，2π，π， 23π，2π这五个值）;②描点；③连线。

变换法：常用的变换步骤：①（相位变换）先把y=sinx 的图像上所有的点向左（当φ＞0时），或向右（当φ＜0时）平行移动|φ｜个单位，得函数y=sin(x+φ）的图像;②（周期变换)再把函数y=sin （x+φ）的图像上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时），或伸长（当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍（纵坐标不变），得函数的图像； ③（振幅变换）再把函数y=sin （ωx+φ）的图像上所有点的纵坐标伸长（当A ＞1时），或缩短(当0＜A ＜1时）到原来的A 倍(横坐标不变），得函数y=Asin （ωx+φ）的图像;④(上下平移变换）再把函数y=Asin （ωx+φ）的图像上所有点向上（当b ＞0时），或向下(当b ＜0时）平行移动|b|个单位，得函数y=Asin(ωx+φ）+b 的图像。

《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》教案（第二课时—函数的图像变换）课题：《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》教材：人教版／普通高中课程标准试验教科书（必修4）第一章第五节【教学目标】：《新课标》认为：衡量一个人的学习能力、生存能力的高低，不在于他掌握了多少知识，而在于他探索、研究、创造能力的高低。

因此，在数学教育中，培养学生的探究、创新能力和实践操作能力以及合作交流等意识，成为教育的重要价值取向。

在新课标让学生经历“学数学、做数学、用数学”的理念指导下，本节课的教学目标分设为认知目标、能力目标和情感目标．让学生在实际情境中感受数学思想的同时获得数学方法．根据本节课内容和学生的实际，我确定如下教学目标．在新课标让学生经历“学数学、做数学、用数学”的理念指导下，本节课的教学目标分设为知识目标、能力目标和情感目标．让学生在实际情境和自主独立电脑操作中感受数学思想的同时获得数学方法．（1）知识目标①理解三个参数A 、ω、φ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响；②揭示函数)sin(ϕω+=x A y 的图象与正弦曲线的变换关系。

（2）能力目标①增强学生的作图能力；②通过探究变换过程，使学生了解由简单到复杂，由特殊到一般的认知规律； ③在难点突破环节，培养学生全面分析、抽象、概括的能力。

培养学生的知识、方法迁移能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（3）情感目标使学生通过多媒体信息技术进行对课堂数学问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；小组交流中，增强学生的合作意识；通过问题过程 ，培养学生的意志，情感，树立科学的人生观、价值观．【教学重点】：由正弦曲线变换得到函数)sin(ϕω+=x A y 的图象。

【教学难点】：理解三个参数A 、ω、φ对函数)sin(ϕω+=x A y 图象的影响。

【教学方法与手段】：采用开放式探究、 启发式引导、互动式讨论以及讲练结合的教学方法，运用多媒体网络教学平台，人手一机，利用flash 、几何画板等软件构建学生自主探究的教学环境，增强课堂教学的生动性与直观性【教学过程】：一、 情景引入 导入课题数学来源于生活，应用于生活；数学跟其它学科紧密联系。

2014高中数学 第七节函数y ＝Asin(ωx ＋φ)图像教案 北师大版必修4一、 教学目标：1、 知识与技能（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y ＝Asin(ωx ＋φ)，掌握A 、φ、ωx ＋φ的含义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y ＝sinx 进行振幅和周期的变换；（4）会利用平移、伸缩变换方法，作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；（5）能利用相位变换画出函数的图像。

2、 过程与方法通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、 情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

二、教学重、难点重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像 三、学法与教学用具在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪五个关键点；首先请同学们回忆，然后通过物理学中的几个情境引入课题；主要让学生动手实践，两节课尽可能多地让他们画图，教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适当的时候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升更高一层。

教学用具:投影机、三角板第一课时 y ＝sinx 和y ＝Asinx 的图像， y ＝sinx 和 y ＝sin （x ＋φ）的图像 一、教学思路【创设情境，揭示课题】在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数。

2019-2020年高中数学函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质教案北师大版必修4一、 教学目标：1、 知识与技能（1）进一步理解表达式y ＝Asin(ωx ＋φ)，掌握A 、φ、ωx ＋φ的含义；（2）熟练掌握由的图象得到函数)()sin(R x k x A y ∈+ϕ+ω=的图象的方法；（3）会由函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像讨论其性质；（4）能解决一些综合性的问题。

2、 过程与方法通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。

3、 情感态度与价值观通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。

二、教学重、难点重点:函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质。

难点: 各种性质的应用。

三、学法与教学用具在前面，我们讨论了正弦、余弦、正切函数的性质，如：定义域、值域、最值、周期性、单调性和奇偶性，那么，对于函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质会是什么样的呢？今天我们这一节课就研究这个问题。

教学用具:投影机、三角板四、教学思路【创设情境，揭示课题】函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也是高考的热点，因为，函数y ＝Asin(ωx ＋φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关。

【探究新知】复习提问：（1）如何由的图象得到函数的图象？（2）如何用五点法作的图象？（3）对函数图象的影响作用函数[)0,0(,),0),sin(>ω>+∞∈ϕ+ω=A x x A y 其中的物理意义：函数表示一个振动量时：A ：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”T ：往复振动一次所需的时间，称为“周期”f ：单位时间内往返振动的次数，称为“频率”：称为相位：x = 0时的相位，称为“初相” 例一．函数)2||,0,0(),sin(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A y 的最小值是-2，其图象最 高点与最低点横坐标差是3π，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。

函数的图像〔一〕教学设计参赛教师: 赵建军单位: 西安市长安区第一中学函数的图像〔一〕教学设计西安市长安区第一中学赵建军一．教材分析及重难点把握〔一〕教材分析1．地位与作用：本节内容选自普通高中课程标准实验教科书数学4〔必修〕〔北师大版〕．本节通过图像变换，揭示参数A、ω、变化时对函数图像的形状和位置的影响，讨论函数=Ain〔ω〕的图像与正弦曲线的关系，以及A、ω、的物理意义，并通过图像的变换过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图像变换的一个延伸，也是三角函数性质的一个直观表达．这节是本章的一个难点，也是高考考查的重点2．如何由正弦函数=in的图像来得到函数=Ain〔ω〕的图像呢？通过引导学生对函数=in到=Ain〔ω〕的图像变换规律的探索，让学生体会由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图像变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的根本思想方法；通过对参数A、ω、的分类讨论，让学生深刻认识图像变换与函数解析式变换的内在联系．3．三角函数是根本初等函数，它是描述周期现象的重要教学模型。

在数学和其他领域中具有重要的作用，而三角函数图像的研究是三角函数中的重点内容之一，学生通过观察函数图像将会更好掌握三角函数及其有关性质．4．教学内容及课时安排：函数=Ain〔ω〕的图像〔约2课时〕第一课时：利用图像变换法作函数=Ain〔ω〕的图像的方法；第二课时：使学生根据实际问题或给定的函数图像反求=Ain〔ω〕中的各个字母参数，从而得到=Ain〔ω〕的解析式，进一步培养学生数形结合的能力，加强对=Ain〔ω〕图像的认识．本节课重点针对第一课时的教学内容来展开．〔二〕目标分析根据课程标准与教学内容并结合学生实际，确定本节课的教学目标为：1．通过学生自主探究，理解A、ω、对函数=Ain〔ω〕的图像的影响．2．通过探究图像变换，熟练掌握“五点法〞画函数=Ain〔ω〕的简图，并会用图像变换法画出函数=Ain〔ω〕的简图．3．通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合的思想．培养学生的独立意识和独立思考能力．培养合作意识，培养学生理解动与静的辨证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生抓主要矛盾解决问题的思想．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．〔三〕重难点分析重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母A、ω、变化时对函数图像的形状和位置的影响，掌握函数=Ain〔ω〕的简图的作法．难点：相位变换,周期变换先后顺序调整后对平移量的影响二．教法学法〔一〕学情分析从知识上来讲，在高一年级第一学期的函数教学中学生已经根本掌握了一般函数图像的平移变换、对称变换等比拟简单的函数图像变换的方法，但对于伸缩变换还是初次明确提出，并加以研究．所以平移变换与伸缩变换综合研究成为本节课的难点．从认知心理上来讲，学生对于运用函数图像这一形象手段研究问题比拟感兴趣．〔二〕教法分析教学过程是教师和学生共同参与的过程，要在课堂教学过程中，加强知识发生过程的教学，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，培养学生的思维品质．根据以上教学原那么和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学方法：1比照教学法：通过学生观察=A inω的图像与=in图像之间的区别，理解、ω、A对函数图像的影响．2发现教学法:通过动态的图像演示,引导、启发学生发现问题、联想类比、猜测验证、从而解决问题．形象直观的演示有利于提高学生的学习兴趣，减轻学习抽象概念的难度，符合学生的认知特点．3引导探究法：从、ω、A对函数图像的单独影响到综合影响，是一个整合的过程，也恰恰是能力提高的过程．通过“积零为整〞的引导，使学生完成、ω、A整合过程的探究学习．〔三〕学法分析教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：〔1〕比照学习法〔2〕探究学习法〔3〕协作学习法〔4〕观察法〔5〕反思学习法〔6〕练习稳固法〔四〕多媒体教学本节课涉及函数图像多，手工绘图复杂，为了增加绘图的形象性、准确性，发现与 =Ain〔ω〕的图像之间的关系，提高课堂效率，采用几何画板和ＰＰＴ制作多媒体课件辅助教学．三教学过程〔一〕创设情境观察交流电电流随时间的变化图像，它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数A、ω、对函数=Ain〔ω〕的图像的影响？设计意图：先行组织者策略――通过生活实例引入学习内容，激发学生的学习兴趣；通过类比正弦、余弦曲线，寻找新知识的“固着点〞．同时提出解决问题的方法，让学生体会化难为易，化复杂为简单的化归转化的思想方法．（二）探究新知探究活动一：探究对函数图像的影响：小组讨论交流，完成以下问题．个单位，就得到的图像．个单位，就得到的图像．个单位，就得到的图像．设计意图:考虑到学生已有“左加右减,上加下减〞等函数图像平移的初步知识，把问题交给学生小组讨论完成，培养学生合作交流的能力和抽象概括能力．教师采用几何画板演示动态图像，主要作用是验证结论，解决问题．探究活动二：探究A对函数图像的影响：作出函数和的简图，并说明它们与函数的关系．设计意图：学生通过动手，探究，思考，形成自己对问题的认识．并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将问题的解决过程自然的贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的层次．探究活动三：探究对函数图像的影响：观察动画演示,思考问题:1．A、B两点坐标之间有什么关系？2．函数与的图像之间有什么关系？呢？3．你能否概括一下对函数图像的影响？设计意图：采用设疑，演示，引导，启发学生逐步发现规律，概括结论．并通过对问题的思考提高理解能力，强化自我意识，促进由学会到会学转化，形成良好的思维品质．探究活动四：探究的图像与的图像之间的关系：如何由的图像得到的图像？设计意图：从、ω、A对函数图像的单独影响到综合影响，是一个整合的过程，也恰恰是能力提高的过程．通过“积零为整〞的引导，使学生完成、ω、A整合过程的探究学习，从而完善学生的知识结构．〔三〕反应练习1函数的图像可以看作是把函数的图像做以下平移而得到A向左平移 B向右平移 C向左平移 D向右平移2把函数的图像向右平移个单位,就得到函数的图像A B C D设计意图：及时稳固是学习和开展的需要，只有及时稳固，才能迁移应用．这样更能突出重点、突破难点，使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高．四课堂小结1在这节课中,你有什么收获2你最感兴趣的是什么3你想继续探究些什么设计意图：1．由学生自己回忆总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函数图像及三角函数解析式的新的认识，使本节的总结成为学生凝练提高的平台．2．为了使学生真正掌握图像变换的规律，教师有意识的引导学生总结概括出以下结论：〔1〕由=in到=Ainω的图像变换过程可以分成“先平移后伸缩〞与“先伸缩后平移〞两种不同的变换方法．〔2〕思想方法：数形结合化归转化分类讨论归纳概括四板书设计五评价与反思现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构根底上的，因此我在教学设计过程中着重在学生已有知识结构和新概念间寻找学生思维的“最近开展区〞，引导学生通过观察、类比、探究掌握新概念．在教学过程中，我坚持精讲精练的原那么，向四十五分钟要质量，减轻学生负担，使他们听有所思,练有所获，使知识传授与培养能力融为一体．并且设法走出了“概念一带而过，演习铺天盖地〞的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程〞的新天地．鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导，剖析纠正，使课堂学习成为再发现，再创造的过程．。

函数y=Asin(ωx+φ)的图像整体设计教学分析本节通过图像变换,揭示参数φ、ω、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图像与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图像的变化过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是研究函数图像变换的一个延伸,也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点,也是高考考查的重点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图像呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像变换规律的探索,让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后,将影响图像变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论,让学生深刻认识图像变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,倡导学生自主探究,在教师的引导下,通过图像变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图像变换规律,这也是本节课的重点所在.由于本节是本章的一个难点,为了便于学生的理解和接受,在探究y=sinx与y=Asin(ωx+φ)的关系上,对A、ω、φ对函数及其图像的影响顺序作了适当调整.三维目标1.通过学生自主探究,理解φ对y=sin(x+φ)的图像的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响.2.通过探究图像变换,会用图像变换法画出y=Asin(ωx+φ)图像的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识,培养学生理解动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观.重点难点教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图像的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图像的简图的作法.教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程.课时安排3课时教学过程第1课时导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,交流电中电流y 与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图像上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图像.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图像. 思路2.(直接导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图像上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响.推进新课新知探究提出问题①观察交流电电流随时间变化的图像,它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响？②分别在y=sinx 和y=sin(x+3π)的图像上各恰当地选取一个纵坐标相同的点,同时移动这两点并观察其横坐标的变化,你能否从中发现,φ对图像有怎样的影响？对φ任取不同的值,作出y=sin(x+φ)的图像,看看与y ＝sinx 的图像是否有类似的关系？③请你概括一下如何从正弦曲线出发,经过图像变换得到y=sin(x+φ)的图像.④你能用上述研究问题的方法,讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响吗？为了作图的方便,先不妨固定为φ=3π,从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+3π). ⑤类似地,你能讨论一下参数A 对y=sin(2x+3π)的图像的影响吗？为了研究方便,不妨令ω=2,φ=3π.此时,可以对A 任取不同的值,利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图像,观察它们与y=sin(2x+3π)的图像之间的关系. ⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？活动:问题①,教师先引导学生阅读课本开头一段,教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+3π)图像上点的坐标和y=sinx 的图像上点的坐标的关系,获得φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生观察变化过程中的不变量,得出它们的横坐标总是相差3π的结论,并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响,然后再整合.图1问题②,由学生作出φ取不同值时,函数y=sin(x+φ)的图像,并探究它与y=sinx 的图像的关系,看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图像影响的经验.为了研究的方便,不妨先取φ=3π,利用计算机作出在同一直角坐标系内的图像,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A 、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,观察它们横坐标的关系.可以发现,对于同一个y 值,y=sin(x+3π)的图像上的点的横坐标总是等于y=sinx 的图像上对应点的横坐标减去3π.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A 、B 两点动起来(保持纵坐标相等),在变化过程中观察A 、B 的坐标、x B -x A 、|AB|的变化情况,这说明y=sin(x+3π)的图像,可以看作是把正弦曲线y=sinx 上所有的点向左平移3π个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx 的图像向左平移3π使之与y=sin(x+3π)的图像重合的过程,以加深学生对该图像变换的直观理解.再取φ=-4π,用同样的方法可以得到y=sinx 的图像向右平移4π后与y=sin(x-4π)的图像重合. 如果再变换φ的值,类似的情况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题③,引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图像的影响,并概括出一般结论:y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图像,可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.如图2.图2问题④,教师指导学生独立或小组合作进行探究,教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论,具体过程是:(1)以y=sin(x+3π)为参照,把y=sin(2x+3π)的图像与y=sin(x+3π)的图像作比较,取点A 、B 观察.发现规律:图3如图3,对于同一个y 值,y=sin(2x+3π)的图像上点的横坐标总是等于y=sin(x+3π)的图像上对应点横坐标的21倍.教学中应当非常认真地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=21,让学生自己比较y=sin(21x+3π)的图像与y=sin(x+3π)图像.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图像、讨论等活动,得出结论:把y=sin(x+3π)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(21x+3π)的图像. 当取ω为其他值时,观察相应的函数图像与y=sin(x+3π)的图像的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图像的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图像与y=sin(x+φ)的图像之间的关系,得出结论:函数y=sin(ωx+φ)的图像可以看作是把y=sin(x+φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)而得到.如图4.图4问题⑤,教师点拨学生,探索A 对图像的影响的过程,与探索ω、φ对图像的影响完全一致,鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+3π)的图像和y=sin(2x+3π)的图像之间的关系.如图5,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A 、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,观察它们纵坐标的关系.可以发现,对于同一个x 值,函数y=3sin(2x+3π)的图像上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+3π)的图像上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+3π)的图像,可以看作是把y=sin(2x+3π)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过实验可以看到,A 取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:图5函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是\[-A,A\],最大值是A,最小值是-A.如图6.图6由此我们得到了参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像变化的影响情况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y ＝sinx 的图像;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图像；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的ω1倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图像.⑥教师引导学生类比得出,其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最后平移.但学生很容易在第三步出错,可在图像变换时,对比变换,以引起学生注意,并体会一些细节.由此我们完成了参数φ、ω、A 对函数图像影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想.讨论结果:①把从函数y=sinx 的图像到函数y=Asin(ωx+φ)的图像的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A 对函数图像的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察. ②略.③图像左右平移,φ影响的是图像与x 轴交点的位置关系.④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图像的形状.⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A 影响了图像的形状.⑥可以先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.y=sinx 的图像)()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A <<> 得y=Asinx 的图像横)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><< 得y=Asin(ωx)的图像个单位平移或向右向左ωϕϕϕ)0()0(<>得y=Asin(ωx+φ)的图像.规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx 的图像个单位长度平移或向右向左ϕϕϕ)0()0(<>得y=sin(x+φ)的图像)(1)1()10(纵坐标不变到原来的或缩短横坐标伸长ωωω><<得y=sin(ωx+φ)的图像)()10()1(横坐标不变倍为原来的或缩短纵坐标伸长A A A <<>得y=Asin(ωx+φ)的图像. 先伸缩后平移的步骤程序(见上).应用示例例1 画出函数y=2sin(31x-6π)的简图. 活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.(1)可引导学生从图像变换的角度来探究,这里的φ＝-6π,ω＝31,A ＝2,鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(31x-6π)的图像的过程:只需把y ＝sinx 的曲线上所有点向右平行移动6π个单位长度,得到y=sin(x-6π)的图像;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y=sin(31x-6π)的图像;再把所得图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(31x-6π)的图像,如图7所示.图7(2)学生完成以上变换后,为了进一步掌握图像的变换规律,教师可引导学生作换个顺序的图像变换,要让学生自己独立完成,仔细体会变化的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数y=2sin(31x-6π)简图的方法,教师再进一步地启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(31x-6π)的简图,并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.解:方法一:画出函数y=2sin(31x-6π)简图的方法为 y=sinx )6sin(6ππ-=−−−−→−x y 个单位右移)631sin(3π-=−−−→−x y 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变 )631sin(22π-=−−−→−x y 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变 方法二:画出函数y=2sin(31x-6π)简图的又一方法为y=sinx 倍纵坐标伸长到原来的横坐标不变3−−−→−y=2sin −−−−→−个单位右移231πx y=)631sin(2π-x )2(31sin 2π-=x 方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图像)令X=1x-π,则x=3(X+π).列表:描点画图,如图8所示.图8点评:学生独立完成以上探究后,对整个的图像变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换,左右平移变换只对“单个”x 而言,这点是个难点,学生极易出错.对于“五点法”作图,要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换,设X=ωx+φ,再用方程思想由X 取0, 12π,π,23π,2π来确定对应的x 值. 变式训练 1.(2007山东威海一模统考,12)要得到函数y=sin(2x+3π)的图像,只需将函数y=sinx 的图像( )A.向左平移3π个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 B.向右平移3π个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C.向左平移3π个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍,纵坐标不变 D.向右平移3π个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的21倍,纵坐标不变 答案:C 2.(2007山东菏泽一模统考,7)要得到函数y=2sin(3x-5π)的图像,只需将函数y ＝2sin3x 的图像( ) A.向左平移5π个单位 B.向右平移5π个单位 C.向左平移15π个单位 D.向右平移15π个单位 答案:D2.将y=sinx 的图像怎样变换得到函数y=2sin(2x+4π)+1的图像? 活动:可以用两种图像变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x 而言的.由y=sin2x 的图像向左平移8π个单位长度得到的函数图像的解析式是y=sin2(x+8π)而不是y=sin(2x+8π),把y=sin(x+4π)的图像的横坐标缩小到原来的21,得到的函数图像的解析式是y=sin(2x+4π),而不是y=sin2(x+4π). 解:方法一:①把y=sinx 的图像沿x 轴向左平移4π个单位长度,得y=sin(x+4π)的图像；②将所得图像的横坐标缩小到原来的21,得y=sin(2x+4π)的图像；③将所得图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sin(2x+4π)的图像；④最后把所得图像沿y 轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+4π)+1的图像. 方法二:①把y=sinx 的图像的纵坐标伸长到原来的2倍,得y=2sinx 的图像；②将所得图像的横坐标缩小到原来的21,得y=2sin2x 的图像；③将所得图像沿x 轴向左平移8π个单位长度,得y=2sin2(x+8π)的图像；④最后把图像沿y 轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+4π)+1的图像. 点评:三角函数图像变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法,关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响.变式训练1.将y=sin2x 的图像怎样变换得到函数y=cos(2x-4π)的图像? 解:y=sin2x=cos(2π-2x)=cos(2x-2π). 在y=cos(2x-2π)中以x-a 代x,有y=cos ［2(x-a)-2π］=cos(2x-2a-2π).根据题意,有2x-2a-2π=2x-4π,得a=-8π. 所以将y=sin2x 的图像向左平移8π个单位长度可得到函数y=cos(2x-4π)的图像. 2.如何由函数y=3sin(2x+3π)的图像得到函数y=sinx 的图像？ 解法一:y=3sin(2x+3π)−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的31y=sin(2x+3π)−−−−−−→−倍纵坐标缩短到原来的2y=sin(x+3π)−−−→−3π向右平移y=sinx.解法二:y=3sin(2x+3π)=3sin2(x+6π)−−−→−6π向右平移y=3sin2x −−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的31y=sin2x −−−−−−→−倍纵坐标伸长到原来的2y=sinx.3.(2007山东高考,4)要得到函数y=sinx 的图像,只需将函数y=cos(x-3π)的图像( ) A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位 答案:A知能训练课本本节练习1 1、2、3.课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,以及对三角函数图像及三角函数解析式的新的认识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+3π)的图像,并分别观察参数φ、ω、A 对函数图像变化的影响,同时通过具体函数的图像的变化,领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想.从函数到图像、从图像到函数地理解图像变换.作业1.用图像变换的方法在同一坐标系内由y=sinx 的图像画出函数y=-21sin(-2x)的图像. 2.要得到函数y=cos(2x-4π)的图像,只需将函数y=sin2x 的图像通过怎样的变换得到? 3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx 的关系.解答:1.∵y=-21sin(-2x)=21sin2x,作图过程: y=sinx .2sin 212sin 2121x y x y =−−−−−−→−=−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标变为原来的纵坐标不变倍横坐标变为原来的 2.∵y=cos(2x -4π)=sin[2π+(2x-4π)]=sin(2x+4π)=sin2(x+8π), ∴将曲线y=sin2x 向左平移8π个单位长度即可. 3.∵y=cos2x+1,∴将余弦曲线y=cosx 上各点的横坐标缩短到原来的21,再将所得曲线向上平移1个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1.设计感想1.本节图像较多,学生活动量大,关键是理清字母φ、ω、A 对函数及图像变化的影响.因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具,从整体上探究参数φ、ω、A 对函y=Asin(ωx+φ)图像整体变化的影响.这符合新课标精神,符合教育课改新理念.现代教育求学生去主动学习,合作探究,教师仅是学生主动学习的激发者和引导者.2.对于函数y=sinx 的图像与函数y=Asin(ωx+φ)的图像间的变换,由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别,直接会对图像平移量产生影响,这点也是学习三角函数图像变换的难点所在,设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.3.学习过程是一个认知过程,学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构,外部的变量就不能发挥它们的作用,但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.第2课时导入新课思路1.(直接导入)上一节课中,我们分别探索了参数φ、ω、A 对函数y=Asin(ωx+φ)的图像的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0,φ≠0)的图像变换及其物理背景.由此展开新课.思路2.(复习导入)请同学们分别用图像变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(21x-3π)的简图,学生动手画图,教师适时地点拨、纠正,并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.推进新课新知探究提出问题①在上节课的学习中,用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图像时,列表中最关键的步骤是什么？②(1)把函数y ＝sin2x 的图像向_________平移__________个单位长度得到函数y ＝sin(2x －3π)的图像；(2)把函数y ＝sin3x 的图像向_________平移__________个单位长度得到函数y ＝sin(3x ＋6π)的图像；(3)如何由函数y ＝sinx 的图像通过变换得到函数y ＝sin(2x+3π)的图像？③将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移2π个单位长度,所得到的曲线是y=21sinx 的图像,试求函数y=f(x)的解析式. 对这个问题的求解现给出以下三种解法,请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示各自解法)甲生:所给问题即是将y=21sinx 的图像先向右平移2π个单位长度,得到y=21sin(x-2π)的图像,再将所得的图像上所有点的横坐标缩短到原来的21,得到y=21sin(2x-2π),即y=-21cos2x 的图像,∴f(x)=-21cos2x. 乙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(2ωx+φ)的图像,再将所得的图像向左平移2π个单位长度,得到y=Asin(2ωx+2π+φ)=21sinx,∴A=21,2ω=1,2π+φ=0,即A=21,ω=2,φ=-2π.∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x.丙生:设f(x)=Asin(ωx+φ),将它的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=Asin(2ωx+φ)的图像,再将所得的图像向左平移个单位长度,得到y=Asin[2ω(x+2π)+φ]=Asin(21)42(=++ϕωπωx sinx,∴A=21,2ω=1,4ωπ+φ=0.解得A=21,ω=2,φ=-2π,∴f(x)=21sin(2x-2π)=-21cos2x.活动:问题①,复习巩固已学三种基本变换,同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A 、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图像变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”,既复习了旧知识,又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障.问题②,让学生通过实例综合以上两种变换,再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因,以此培养训练学生变换的逆向思维能力,训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.问题③,反例更能澄清概念的内涵及外延.甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”,即将以上变换倒过来,由y=21sinx 变换到y=f(x),解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法,即设y=Asin(ωx+φ),然后按题设中的变换得到两次变换后图像的函数解析式,这种思路清晰,但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误,就是将y=Asin(2ωx+φ)的图像向左平移个单位长度时,把y=Asin(2ωx+φ)函数中的自变量x 变成x+2π,应该变换成y=Asin[2ω(x+2π)+φ],而不是变换成y=Asin(2ωx+2π+φ),虽然结果一样,但这是巧合,丙同学的解答是正确的.三角函数图像的“逆变换”一定要注意其顺序,比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错,故在对这种方法不是很熟练的情况下,用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x 而言的,比如乙同学的变换就出现了这种错误.讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体,令其分别为0,2π,π,23π,2π. ②(1)右,6π；(2)左,18π；(3)先y ＝sinx 的图像左移3π,再把所有点的横坐标压缩到原来的21倍(纵坐标不变). ③略.提出问题①回忆物理中简谐运动的相关内容,并阅读本章开头的简谐运动的图像,你能说出简谐运动的函数关系吗？②回忆物理中简谐运动的相关内容,回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A 、ω、φ有何关系.活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究,建立与物理知识的联系,了解常数A 、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系,得出本章开头提到的“简谐运动的图像”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞),其中A ＞0,ω＞0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A 就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=ωπ2,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f=T l =πω2给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位; x=0时的相位φ称为初相.讨论结果:①y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞),其中A ＞0,ω＞0. ②略. 应用示例例1 图1是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?(2)从O 点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次往复运动?如从A 点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式.图1活动:本例是根据简谐运动的图像求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识,并提醒学生注意本课开始时探讨的知识,思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A 在图像上是怎样反映的,要解决这个问题,关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A 等参数在图像上是如何得到反映的.让学生明确解题思路,是由形到数地解决问题,学会数形结合地处理问题.完成解题后,教师引导学生进行反思学习过程,概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图像的思想方法,找两名学生阐述思想方法,教师作点评、补充.解:(1)从图像上可以看到,这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为45. (2)如果从O 点算起,到曲线上的D 点,表示完成了一次往复运动;如果从A 点算起,则到曲线上的E 点,表示完成了一次往复运动.(3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ),x ∈［0,+∞), 那么A=2;由ωπ2=0.8,得ω=25π;由图像知初相φ=0. 于是所求函数表达式是y=2sin25πx,x ∈［0,+∞). 点评:本例的实质是由函数图像求函数解析式,要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法,应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练函数y=6sin(41x-6π)的振幅是__________,周期是__________,频率是__________,初相是__________,图像最高点的坐标是__________. 解:6 8π π81 -6π (8k π+38π,6)(k ∈Z ) 例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A ＞0,ω＞0)在其一个周期内的图像上有一个最高点(12π,3)和一个最低点(127π,-5),求这个函数的解析式. 活动:让学生自主探究题目中给出的条件,本例中给出的实际上是一个图像,它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A ＞0,ω＞0),这是学生未遇到过的.教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图像的关系,它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)的图像向上(B ＞0)或向下(B ＜0)平移|B|个单位.由图像可知,取最大值与最小值时相应的x 的值之差的绝对值只是半个周期.这里φ的确定学生会感到困难,因为题目中毕竟没有直接给出图像,不像例1那样能明显地看出来,应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|＜π,如不注明,就取离y 轴最近的一个即可.解:由已知条件,知y max =3,y min =-5,则A=21(y max -y min )=4,B=21(y max +y min )=-1,2T =127π-12π=2π. ∴T=π,得ω=2.故有y=4sin(2x+φ)-1. 由于点(12π,3)在函数的图像上, 故有3=4sin(2×12π+φ)-1,即sin(6π+φ)=1.一般要求|φ|＜12π,故取6π+φ=2π.∴φ=3π.故所求函数的解析式为y=4sin(2x+3π)-1.点拨:这是数形结合的又一典型应用,应让学生明了,题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图,结合图像可直接求得A 、ω,进而求得初相φ,但要注意初相φ的确定.求初相也是这节课的一个难点. 变式训练例1 已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0)一个周期的图像如图2所示,求函数的解析式.。