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2016年浙江省嘉兴市高三上学期人教A版数学期末考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 若复数（是虚数单位）是实数，则实数A. B. C. D.2. 若，则“”是“”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3. 已知直线，和平面，则下列命题正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则4. 设数列是等差数列，且，，数列的前项和为，则A. B. C. D.5. ，，的大小关系为A. B.C. D.6. 已知任意两个向量，不共线，若，，，，则下列结论正确的是A. ，，三点共线B. ，，三点共线C. ，，三点共线D. ，，三点共线7. 下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递增的是A. B.C. D.8. 若，则A. B. C. D.9. 如图，中，，，若以，为焦点的双曲线的渐近线经过点，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.10. 已知，，，，，若实数，满足不等式组则目标函数A. 有最大值，无最小值B. 无最大值，有最小值C. 有最大值，有最小值D. 无最大值，无最小值二、填空题（共7小题；共35分）11. 已知集合，，则，．12. 已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则此三棱锥的体积是，表面积是．13. 已知，都是锐角，，，则，．14. 从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，则恰好选到名男生和名女生的概率为，所选人中至少有名女生的概率为．15. 已知椭圆的两焦点为，，，分别是椭圆的左顶点和上顶点，若线段上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为．16. 若对于任意的，都有满足，则实数的取值范围是．17. 如图，已知，分别是正方形的边，的中点，现将正方形沿折成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值是．三、解答题（共5小题；共65分）18. 在中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．19. 已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，，求使成立的正整数的最小值．20. 如图，平面平面，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，，，，．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．21. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点．（1）求点坐标；（2）试问在轴上是否存在一点（不与重合），使?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．（3）若是抛物线上异于，的任意一点，是抛物线的准线，直线，分别交于点，，求证：为定值，并求出该定值．22. 已知函数，．（1）求的最小值；（2）求证：；（3）若，求的最小值．答案第一部分1. A 【解析】因为复数（是虚数单位）是实数，所以，即．2. C 【解析】若，则，当且仅当时“”成立，，故若，则“”是“”的充分必要条件．3. C 【解析】A．若，，则或，因此不正确；B．若，，则或，因此不正确；C．若，，则，正确；D．若，，则，，或与相交，因此不正确．4. B 【解析】由等差数列的性质可得，所以．5. C【解析】因为，所以，所以，，所以．6. B 【解析】因为，，所以，和共线，且有公共点，所以，，三点共线．7. D 【解析】对于 A：，，不是奇函数，故 A 错误；对于B：，是偶函数，故 B 错误；对于C：，是奇函数，在递减，不合题意，故C 错误；对于D：是奇函数，在递增，符合题意，故 D 正确．8. C 【解析】令，其展开式的通项公式为，令，得．9. D 【解析】设，取的中点为，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线，在三角形中，，所以所以，则，可得，，可得双曲线的渐近线的斜率为，不妨设双曲线的方程为，渐近线方程为，可得，可得．10. C【解析】，，，，，可得，在轴上的截距为正，并且．由实数，满足不等式组的可行域如图：可知目标函数，一定存在最大值和最小值．第二部分11. ，【解析】由中不等式变形得：，解得：，即，由中不等式变形得：，解得：，即，所以，则，．12. ，【解析】由已知中三视图，可得几何体的直观图如图所示：底面三角形的面积为：，高，故棱锥的体积，侧面三角形的面积为：，侧面三角形的面积为：，侧面三角形的面积为：，故表面积．13. ，【解析】因为，都是锐角，，，所以，，则．14. ，【解析】从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，基本事件总数，恰好选到名男生和名女生包含的基本事件个数，所以恰好选到名男生和名女生的概率．因为所选人中至少有名女生的对立事件是选到的人都是男生，所以所选人中至少有名女生的概率．15.【解析】依题意，作图如下：因为，，，，所以直线的方程为：，整理得：．设直线上的点，则，所以．因为，所以令，所以由得：，于是．所以，整理可得：．又，，所以．所以．又椭圆的离心率，所以为最小值．当点取时，，．所以椭圆的离心率的取值范围为．16.【解析】因为，所以，即，得，则函数，在上单调递减，所以，故，解得，所以的取值范围是．17.【解析】如图，连接，因为，因为即为异面直线与所成角，设正方形的边长为，则在中，，，，所以．第三部分18. （1）在中，角，，的对边分别为，，，且，化简可得，所以，所以．（2）因为中，，，所以，所以，，所以的面积为．19. （1）设等比数列的首项为，公比为．依题意，有，代入，可得，所以，即解之得或又因为数列单调递增，所以，，所以数列的通项公式为．（2）因为，所以，，两式相减，得．要使，即，即．易知：当时，；当时，．故使成立的正整数的最小值为．20. （1）如图所示，取，的中点，，连接，，，如图，则，因为，，所以，因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）连接，如图，由题意可得，，因为，所以，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以为直线与平面所成角，因为，，所以，即直线与平面所成角的正切值为．21. （1）由抛物线方程知．（2）设，，设直线的方程为，代入得，恒成立，假设存在满足题意，则，所以，所以，所以存在．（3）设，则直线的方程为：，当时，，即点纵坐标为，同理可得点纵坐标为，所以，所以为定值．22. （1）的定义域是，，令，解得：，令，解得：，所以在递减，在递增，所以的最小值是；（2），，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故，由（），故；（3），即．所以，令，，若，则，为增函数，无最大值；若，由，得，由，得，所以在上为增函数，在上为减函数，所以．所以，所以．设．则，由，得；由，得．所以．所以的最小值为．第11页（共11 页）。
2015-2016学年度第一学期嘉兴市高三期末教学质量检测(数学理科) （2016年1月）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2 V =Sh 球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高V =34πR 3台体的体积公式其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，V =31Sh h 表示台体的高 其中S 表示锥体的底面积，h 表示 如果事件A ，B 互斥，那么 锥体的高 P (A +B )=P (A )+P (B )第I 卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=U R ，集合}1)21(|{≤=x x A ，}086|{2≤+-=x x x B ，则图中阴影部分所表示的集合为 A ．}0|{≤x x B ．}42|{≤≤x x C ．{}420|≥≤<x x x 或 D ．}420|{><≤x x x 或 2．设βα,是两个不同的平面，m 是直线，且α⊂m ，则 “β⊥m ”是“βα⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了得到函数)12sin(+=x y 的图象，只需把函数x y 2sin =A ．向左平移1个单位长度B ．向右平移1个单位长度C ．向左平移21个单位长度 D ．向右平移21个单位长度 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．34π B ．35π C ．322π+D ．324π+ 侧视图俯视图正视图（第1题图）5．设{}n a 是等比数列，下列结论中正确的是 A ．若021>+a a ，则032>+a a B ．若031<+a a ，则021<+a a C ．若210a a <<，则3122a a a +< D ．若01<a ，则0))((3212>--a a a a6．已知圆心在原点，半径为R 的圆与ABC ∆的边有公共点，其中)4,2(),8,6(),0,4(C B A ，则R 的取值范围是 A ．]10,558[B ．]10,4[C ．]10,52[D ．]10,556[ 7．设函数⎩⎨⎧≥<+=1,31,12)(x x x x f x ，则满足)(3))((m f m f f =的实数m 的取值范围是A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∞21]0,(Y B ．]1,0[ C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞+21),0[Y D ．),1[∞+ 8．设)4(,,,21≥n A A A n Λ为集合{}n S ,,2,1Λ=的n 个不同子集，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行第j 列的数为：⎪⎩⎪⎨⎧∈∉=j jij A i A i a ,1,0．则下列说法中，错误的是A ．数阵中第一列的数全是0当且仅当φ=1AB ．数阵中第n 列的数全是1当且仅当S A n =C ．数阵中第j 行的数字和表明集合j A 含有几个元素D ．数阵中所有的2n 个数字之和不超过12+-n n非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．双曲线C ：1422=-y x 的离心率是 ▲ ，焦距是 ▲ ．10．已知ABC ∆1,3,1===，则=⋅ ▲ ，又设D 是BC 边中线AM 上一动点，则=⋅BC BD ▲ ．nnn n n na a a a a a a a a ,,,,,,,,,212222111211ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ11．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-140x y x y x 表示的平面区域为M ，点),(y x P 是平面区域内的动点，则y x z -=2的最大值是 ▲ ，若直线l ：)2(+=x k y 上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是 ▲ ． 12．已知函数)2sin(sin 3sin )(2x x x x f ωπωω+⋅+=，)0(>ω的最小正周期是π，则=ω____▲__ _，)(x f 在]2,4[ππ上的最小值是 ▲ ．13．长方体1111D C B A ABCD -中，1,21==AA AB ，若二面角A BD A --1的大小为6π，则1BD 与面BD A 1所成角的正弦值为 ▲ ． 14．已知实数y x ,满足0>>y x 且1=+y x ，则yx y x -++132的最小值是 ▲ ． 15．在平面直角坐标系中，定义点),(11y x P 与),(22y x Q 之间的“直角距离”为2121),(y y x x Q P d -+-=．某市有3个特色小镇，在直角坐标系中的坐标分别为)8,3(),9,6(),3,2(---C B A ，现该市打算建造一个物流中心，如果该中心到3个特色小镇的直角距离相等，则物流中心对应的坐标为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且B A C B A sin sin 3)sin sin (sin 2222=-+.（Ⅰ）求2sin 2BA +的值； （Ⅱ）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.17.（本题满分15分）边长为2的正方形ABCD 所在的平面与CDE ∆所在的平面交于CD ，且⊥AE 平面CDE ，1=AE ．（Ⅰ）求证：平面⊥ABCD 平面ADE ；（Ⅱ）设点F 是棱BC 上一点，若二面角F DE A --的余弦值为1010，试确定点F 在BC 上的位置．ABCDEF18．（本题满分15分）已知等比数列{}n a 中31=a ，其前n 项和n S 满足231-⋅=+n n a p S （p 为非零实数）． （Ⅰ）求p 值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是公差为3的等差数列，11=b ．现将数列{}n a 中的ΛΛn b b b a a a ,,,21抽去，余下项按原有顺序组成一新数列{}n c ，试求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本题满分15分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的一个顶点为)1,0(B ，B 到焦点的距离为2． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设Q P ,是椭圆上异于点B 的任意两点，且BQ BP ⊥，线段PQ 的中垂线l 与x 轴的交点为)0,(0x ，求0x 的取值范围．（第19题图）20．（本题满分15分）已知函数c bx x x f ++-=2)(2，设函数)()(x f x g =在区间]1,1[-上的最大值为M ． （Ⅰ）若2=b ，求M 的值；（Ⅱ）若k M ≥对任意的c b ,恒成立，试求k 的最大值．嘉兴市2015—2016学年第一学期期末检测高三理科数学 参考答案一.选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1~4 DACB ；5~8 CACC ；8．解析：数阵中第一列的数全是0，当且仅当111,,2,1A n A A ∉∉∉Λ，∴A 正确；数阵中第n列的数全是1当且仅当n n n A n A A ∈∈∈,,2,1Λ，∴B 正确；当n A A A ,,,21Λ中一个为S 本身，其余1-n 个子集为S 互不相同的1-n 元子集时，数阵中所有的2n 个数字之和最大，且为1)1(22+-=-+n n n n ，∴D 正确；数阵中第j 行的数字和表明元素j 属于几个子集，∴C 错误．二．填空题（本大题有7小题，共36分，请将答案写在答题卷上）9．25， 52； 10．23-， 23；11．2， ]1,31[；12．1， 1 ； 13．3451； 14．2223+； 15．)0,5(-．15．解析：设物流中心为),(y x D 由条件：⎪⎩⎪⎨⎧+++=-++-++=-+-)2(8396)1(9632ΛΛy x y x y x y x ，易知：98,2<<-<y x ，∴由（2）得：8396+++=-++y x y x ，∴41)3()6(1362=++-+≤++-+=x x x x y ，∴2≤y ，∴由（1）得：y x y x -++=-+-9632， ∴546-=⇒--=+x x x ，∴0)136(21=++-+=x x y ∴)0,5(-D ．三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．解：（Ⅰ）由正弦定理得：ab c b a 3)(2222=-+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） ∴由余弦定理得：432cos 222=-+=ab c b a C ，．．．．．．．．．．．．．．．．．（4 分） ∴872cos 12cos 2sin 22=+==+C C B A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分） （Ⅱ）若2=c ，则由（Ⅰ）知：ab ab ab ab b a =-≥-+=343)(2822，．．（9分） 又47sin =C ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（11分） ∴747821sin 21=⨯⨯≤=∆C ab S ABC ， 即ABC ∆面积的最大值为7．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（14分）17．解：（Ⅰ）∵⊥AE 平面CDE ，∴CD AE ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2 分） 又∵CD AD ⊥，A AD AE =I ，∴⊥CD 面ADE ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分） 又⊂CD 面ABCD ，∴平面⊥ABCD 平面ADE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）（Ⅱ）∵DE CD ⊥，∴如图，建立空间直角坐标系xyz D -则：)0,0,3(),0,2,0(),0,0,0(E C D ， ∴)0,2,0(==，∴)1,2,3(B ，．．．．．．．．．．．．．．（8分） 设)1,0,3(λλ==，]1,0[∈λ 则：),2,3(λλF ．．．．．．．．．．．（10设平面FDE 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=++=⋅03023x DE n z y x DF n λλ，∴取)2,,0(-=λn ，．．．．．．．（12分） 又平面ADE 的法向量为)0,1,0(=m ，∴10104,cos 2=+=><λλn m ，∴32=λ，．．．．．．．．．（14分） 故当点F 满足CB CF 32=时，二面角F DE A --的余弦值为1010．．．（15分）18．解：（Ⅰ）∵231-⋅=+n n a p S ，323211=-==∴pa a S ，∴p a 292=，又∵231-⋅=+n n a p S ，∴)2(,231≥-⋅=-n a p S n n ，相减得：)2(11≥+=+n pp a a n n ，∵{}n a 是等比数列，．．．．．．．．．（3分）∴p p p 231=+，∴21=p ，312==∴a a q 又31=a ，∴n n a 3=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分） 所以n n a p 3,21==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分） （Ⅱ）23)1(1-=-+=n d n b b n ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）抽去的项为ΛΛ,,,,,23741-k a a a a数列{}n c 为ΛΛ,,,,,,,,313986532k k a a a a a a a a - ，．．．．．．．．．．．．．（10分） (1) 当m n 2=时，)()()(3136532m m n a a a a a a T ++++++=-LΘ133133133433---⋅=+=+k k k k k a a ，23332334+++⋅=+k k k a a （),3,2,1Λ=k{}k k a a 313+∴-是以36为首项，27为公比的等比数列，∴)127(1318271)271(3622-=--=nnn T ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分） (2)当12-=m n 时，)()()(133386532--+++++++=m m n a a a a a a a T L ， 331333133331033-----⋅=+=+k k k k k a a Θ，k k k k k a a 323323331033⋅=+=+++， {}233++∴k k a a 是以270为首项，27为公比的等比数列，13182713135271)271(27092121-⋅=--+=∴--n n n T ．．．．．．．．．．．．．．．．．（15分）19．解：（Ⅰ）由条件：2,1==a b ，∴椭圆的标准方程为：1422=+y x ．．．（4分） （Ⅱ）①当直线PQ 斜率0=k 时，线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距为0； ②设PQ ：)0(,≠+=k m kx y ，则：0448)41(4422222=-+++⇒⎩⎨⎧=++=m kmx x k y x mkx y ，．．．．．．．．．．．（6分） 设),(),,(2211y x Q y x P ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22212214144418k m x x k km x x ，∵BQ BP ⊥， ∴0)1)(1(2121=--+=⋅y y x x BQ BP ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分） ∴ 0)1())(1()1(221212=-++-++m x x m k x x k 0)1(418)1(4144)1(22222=-++⋅--+-⋅+m k kmm k k m k∴03252=--m m 53-=⇒m 或1=m （舍去），．．．．．．．．．．．．（10分）∴PQ 为：53-=kx y ， ∴)41(5122221k k x x x M +=+=，)41(532k y M+-=， ∴线段PQ 的中垂线l 为：))41(512(1)41(5322k kx k k y +--=++， ∴在x 轴上截距)41(5920k k x +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）∴209459)41(5920=⨯≤+=kk k k x ， ∴2092090≤≤-x 且00≠x ， 综合①②得：线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围是]209,209[-． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（15分）20．解：（Ⅰ）当2=b 时，c bx x x f ++-=2)(2在区间]1,1[-上是增函数， 则{})1(),1(max g g M -=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）又c g c g +=+-=-3)1(,5)1(，∴⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=1,31,5c c c c M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）（Ⅱ）c b b x x f x g ++--==22)()()(，（1）当1>b 时，)(x f 在区间]1,1[-上是单调函数，则{})1(),1(max g g M -=， 而c b g c b g ++-=+--=-21)1(,21)1(，∴442121)1()1(2>≥++-++--=+-≥b c b c b g g M ， ∴2>M ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）（2）当1≤b 时，)(x g 的对称轴b x =在区间]1,1[-内，则{})(),1(),1(max b g g g M -=，又c b b g +=2)(， ①当01≤≤-b 时，有)()1()1(b f f f ≤-≤，则{}21)1(21)1()(21))1()((21)(),1(max 2≥-=-≥+≥=b f b f g b g b g g M ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．（11分）②当10≤<b 时，有)()1()1(b f f f ≤≤-，则{}21)1(21)1()(21))1()((21)(),1(max 2≥+=--≥-+≥-=b f b f g b g b g g M 综上可知，对任意的c b ,都有21≥M ．．．．．．．．．．．．．．．．．（14分） 而当21,0==c b 时，21)(2+-=x x g 在区间]1,1[-上的最大值21=M ，故k M ≥对任意的c b ,恒成立的k 的最大值为21．．．．．．．．．．（15分）。
浙江省嘉兴市一中2016届高三上学期能力测试数学(理科)试卷姓名______________ 准考证号______________ 本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页。
满分150分, 考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分 (共40分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式： 球的表面积公式24πS R =球的体积公式343πV R =其中R 表示球的半径 柱体的体积公式 V =Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式()1213V h S S =++其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．直线1y =+的倾斜角是A.π6B. π3C. 2π3D.5π62．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的 体积等于A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 33．已知,a b 为异面直线．对空间中任意一点P ，存在过点P 的 直线A. 与,a b 都相交B. 与,a b 都垂直俯视图(第2题图)C. 与a 平行，与b 垂直D. 与,a b 都平行4．为得到函数π2sin(2)4y x =+的图象，只需将函数2cos 2y x =的图象A. 向左平移π4单位B. 向右平移π4单位C. 向左平移π8单位D. 向右平移π8单位5．已知(),(),()f x g x h x 为R 上的函数，其中函数()f x 为奇函数，函数()g x 为偶函数，则A. 函数(())h g x 为偶函数B. 函数(())h f x 为奇函数C. 函数(())g h x 为偶函数D. 函数(())f h x 为奇函数6．命题“0x ∃∈R ，010x +<或2000x x ->”的否定形式是A. 0x ∃∈R ，010x +≥或2000x x -≤B. x ∀∈R ，10x +≥或20x x -≤C. 0x ∃∈R ，010x +≥且2000x x -≤D. x ∀∈R ，x 27．如图，A ，F 分别是双曲线2222C 1 (0)x ya b a b -=：，＞的左顶点、右焦点，过F 的直线l 与C 的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y 轴分别交于P ，Q 两点．若AP ⊥AQ ，则C 的离心率是A B C D8．已知函数()()2()ka x f x a -=∈R ，且(1)(3)f f >，(2)(3)f f >．A. 若1k =，则12a a -<-B. 若1k =，则12a a ->-C. 若2k =，则12a a -<-D. 若2k =，则12a a ->-非选择题部分 (共110分)注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。
嘉兴市2016年高三教学测试（一）理科数学 试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：棱柱的体积公式Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高． 棱锥的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高． 球的表面积公式 24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=， 其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 函数x x x f 2cos 32sin )(+=的最小正周期为 A ．4π B ．2πC ．πD ．π2 2. 设函数⎩⎨⎧≤>-=0204)(2x xx x x f ，则)]1([f f 的值为 A ．6- B ．0 C ．4 D ．53．设变量y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0320103y x y x y x ，则目标函数432++=y x z 的最小值为A ．10B ．11C ．12D ．274．若α是第二象限角，34)3tan(=+απ，则=+)3cos(απA ．53-B ．53C ．54 D ．53± 5．已知4)(33++=x b ax x f ),(R b a ∈，1)]2[lg(log 3=f ，则)]3[lg(log 2f 的值为 A ．1- B ．3C ．7D ．86．如图，B 、D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中1+=t AB ，2+=t AD ，则→→⋅BD AC =A ．1B ．2C ．tD ．t 27．已知双曲线)0,(12222>=-b a by ax ，若焦点F 关于渐近线x a b y =的对称点在另一条渐近线x aby -=上，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．2C ．3D ．3AC（第6题）8．已知三棱锥ABCD 中，CD AB ⊥，且AB 与平面BCD 成60°角.当ACDBCDS S ∆∆的值取到最大值时，二面角B CD A --的大小为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，共36分）9．设全集R U =，集合}31|{≤<=x x A ，}2|{≥=x x B ，则=B A I ▲ ，=B A Y ▲ ，(I A ∨)B R = ▲ ．10．已知命题p ：“若22b a =，则b a =”，则命题p 的否命题为 ▲ ，该否命题是一个 ▲ 命题．（填“真”，“假”）11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为 ▲ ，体积为 ▲ ．12．若函数)(x f 是幂函数，则=)1(f ▲ ，若满足)2(8)4(f f =，则=)31(f ▲ ．13．空间四点D C B A 、、、满足1||=AB ，2||=CD ，F E 、分别是BC AD 、的中点，若AB 与CD 所在直线的所成角为60°，则=||EF ▲ ． 14．已知21F F 、分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的左右焦点，A 是其上顶点，且21F AF ∆是等腰直角三角形，延长2AF 与椭圆C 交于另一点B ，若B AF 1∆的面积为6，则椭圆C 的方程为 ▲ ．15．已知等差数列}{n a 满足09<a ，且||98a a >，数列}{n b 满足)(*21N n a a a b n n n n ∈=++，第11题}{n b 的前n 项和为n S ，当n S 取得最大值时，n 的值为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若060=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若a c b 31=-，求C cos 的值．17．（本题满分15分）如图，平行四边形⊥ABCD 平面CDE ，4===DE DC AD ，060=∠ADC ，DE AD ⊥（Ⅰ）求证：⊥DE 平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角D AE C --的余弦值的大小．18．（本题满分15分）已知函数1)(2++=ax x x f ,（Ⅰ）设)()32()(x f x x g -=，若)(x g y =与x 轴恰有两个不同的交点，试求a 的取值集合； （Ⅱ）求函数|)(|x f y =在]1,0[上的最大值．19．（本题满分15分）过离心率为22的椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点)0,1(F 作直线l 与椭圆C 交A BCDE（第17题）于不同的两点B A 、，设||||FB FA λ=，)0,2(T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若21≤≤λ，求ABT ∆中AB 边上中线长的取值范围．20．（本题满分15分）数列}{n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N n ∈，有)0(21>+=+c ca a a n n n ． （Ⅰ）求321111a ca c ca c ++++的值； （Ⅱ）若20161=c ,是否存在*N n ∈，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由．2015年高三教学测试（一）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C ；2.A ；3.B ；4.A ；5.C;6.A;7.B;8.A.二、填空题（本大题共7小题，共36分）9. ]3,2[,),1(+∞,)2,1(； 10.若22b a ≠，则b a ≠，真； 11. 734++，332； 12.1，271； 13. 23或27； 14.192922=+y x ；15. 6.三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若060=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若a c b 31=-，求C cos 的值. 解：（Ⅰ）∵b a 23=，∴B A sin 2sin 3=又∵︒=60B ，代入得︒=60sin 2sin 3A ，解得33sin =A . ∵3:2:=b a ，∴B A <，即36cos =A ∴6233sin cos cos sin )sin(sin +=+=+=B A B A B A C . …7分（Ⅱ）设t a 2=，t b 3=，则t a b c 3731=-= 则2717)3()2(2)37()3()2(2cos 222222=⨯⨯-+=-+=t t t t t ab c b a C . …7分17.（本题满分15分）如图，平行四边形⊥ABCD 平面CDE ，4===DE DC AD ，060=∠ADC ，DE AD ⊥ （Ⅰ）求证：⊥DE 平面ABCD ；A B（Ⅱ）求二面角D AE C --的余弦值的大小. 证明：（Ⅰ）过A 作AH ⊥DC 交DC 于H . ∵平行四边形⊥ABCD 平面CDE ∴AH ⊥平面CDE 又∵⊂DE 平面CDE ∴AH ⊥DE ①由已知，AD ⊥DE ② A AD AH =I ③由①②③得，DE ⊥平面ABCD ； …7分解：（Ⅱ）过C 作CM ⊥AD 交AD 于M ，过C 作CN ⊥AE 交AE 于N ， 连接MN .由（Ⅰ）得DE ⊥平面ABCD ， 又∵⊂DE 平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ABCD . ∴CM ⊥AE ，又∵CN 垂直AE ，且C CN CM =I .∴AE ⊥平面CMN ，得角CNM 就是所求二面角的一个平面角. 又∵32=CM ，2=MN ，∴所求二面角的余弦值为77. …8分18．（本题满分15分）已知函数1)(2++=ax x x f ,（Ⅰ）设)()32()(x f x x g -=，若)(x g y =与x 轴恰有两个不同的交点，试求a 的取值集合； （Ⅱ）求函数|)(|x f y =在]1,0[上的最大值. 解：（Ⅰ）（1）若0)(=x f 恰有一解，且解不为23， 即042=-a ，解得2±=a（2）若0)(=x f 有两个不同的解，且其中一个解为23， 代入得012349=++a ，613-=a HA BCDEMN综上所述，a 的取值集合为}2,2,613{--. …7分（Ⅱ）（1）若02≤-a，即0≥a ，则a f y +==2)1(max （2）若120<-<a，即02<<-a ，此时042<-=∆a ⎩⎨⎧-<-≥+=+==1112}2,1max{)}1(),0(max{max a a a a f f y（3）若12≥-a，即2-≤a ，此时02)1(≤+=a f ⎩⎨⎧-<---≥=--=-=3231}2,1max{)}1(),0(max{max a a a a f f y ，综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧-<---<≤--≥+=3213112maxa a a a a y …8分19．（本题满分15分）过离心率为22的椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点)0,1(F 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点B A 、，设||||FB FA λ=，)0,2(T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若21≤≤λ，求ABT ∆中AB 边上中线长的取值范围. 解：（Ⅰ）∵22=e ，1=c ，∴1,2==c a 即椭圆C 的方程为：1222=+y x . …7分（Ⅱ）（1）当直线的斜率为0时，显然不成立. （2）设直线1:+=my x l ，设),(11y x A ，),(22y x B 联立01222=-+y x 得012)2(22=-++my y m 得22221+-=+m m y y ，21221+-=m y y ，由||||FB FA λ=，得21y y λ-=∵12211y y y y +=-+-λλ，∴24)(212221221+-=+=+-+-m m y y y y λλ ∴722≤m 又∵AB 边上的中线长为221221)()4(21||21y y x x TB TA ++-+=+→→2224)2(494+++=m m m427)2(2222++-+=m m ]16213,1[∈ …8分20．（本题满分15分）数列}{n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N n ∈，有)0(21>+=+c ca a a n n n . （Ⅰ）求321111a ca c ca c ++++的值； （Ⅱ）若20161=c ，是否存在*N n ∈，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由. 证明：（Ⅰ）∵2111nn n ca a a +=+∴n n n ca c a a +-=+1111，即nn n ca ca a +=-+1111 121111ca ca a +=- 232111ca ca a +=- …… n n n ca c a a +=-+1111 ∴n n ca c ca c ca c a a ++++++=-+111112111Λ ∴121111111++++++++=n n a ca c ca c ca c a Λ得211111321==++++a a ca c ca c（说明：依次求出32,a a 也得满分） （Ⅱ）∵n n n n a a a a >+=+2120161，∴}{n a 单调递增. 得20162121a a a <<<=Λ 由201621n n n aa a +=+⇒20161111+=-+n n n a a a ⇒201612016120161122016212017++++++=-a a a a Λ ∵)2016,,2,1(0Λ=>i a i ∴201620161122017⨯<-a 解得：12017<a此时，1201721<<<<a a a Λ 又∵201612016120161122017212018++++++=-a a a a Λ ∴12016201611122018=⨯+>-a解得：12018>a即数列}{n a 满足：ΛΛ<<<<<<<201920182017211a a a a a . 综上所述，存在1>n a ，且n 的最小值为2018. …8分。
2016年高三教学测试（二）理科数学参考答案（2016.4）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. D ；2. B ；3. A ；4. C ；5. B;6. D;7. C;8. C. 8．解析：因为0>x ，2522<+<+y x x x ，所以2.121110<-<<x ．y y y x +<+<222，所以1>y ，又25<y ，所以251<<y ． 由252<+y x 得2232502π<<-<<y x ，所以)25sin(sin 2y x -<，故A 正确； 由y x +<22得221244.122ππ->->->>>y x ，所以)2sin(sin 2y x ->，故B 正确； 对于C ，取222π=-x ，212ππ+<<y 时，显然不成立，所以C 不正确； 由252<+y x 得2122502ππ<-+<-<<y y x ，所以)1cos()12sin(sin 2y y x -=-+<π，故D 正确．二、填空题（本大题共7小题，共36分） 9.0，89-；10. 0；-2或4；11.411,2ππ；12.38；2；13. 2；14.21； 15.21-. 15．解析：因为||||21||(||||(2AC AD AB -=⋅=⋅ 21)1|(|212--=AC ,因为R R 2||3≤≤，所以1||=时，取到最小值21-．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在△ABC 中，设边c b a ,,所对的角为C B A ,,，且C B A ,,都不是直角，22cos cos )8(b a B ac A bc -=+-．（Ⅰ）若5=+c b ，求c b ,的值；（Ⅱ）若5=a ，求△ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）2222222222)8(b a ac b c a ac bc a c b bc -=-+⋅+-+⋅-222222222222282b a b c a bc a c b a c b -=-++-+⋅--+028222222=-+⋅--+bca cb ac b ， ∵△ABC 不是直角三角形，∴04=-bc故4=bc ，又∵5=+c b ，解得⎩⎨⎧==41c b 或⎩⎨⎧==14c b（Ⅱ）∵5=a ，由余弦定理可得A A bc bc A bc c b cos 88cos 22cos 2522-=-≥-+=，所以83cos ≥A ， 所以855sin ≤A ，所以455sin 21≤=∆A bc S ABC ． 所以△ABC 面积的最大值是455，当83cos =A 时取到． 17．（本题满分15分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，11==CC BC ，点P 是CD 上的一点，PD PC λ=．（Ⅰ）若⊥C A 1平面1PBC ，求λ的值；（Ⅱ）设11=λ，32=λ所对应的点P 为1P ，2P ，二面角211P BC P --的大小为θ，求θcos 的值． 解：法一：（Ⅰ）∵⊥C A 11BC若⊥C A 1PB ，则⊥C A 1平面1PBC ，只要⊥AC PB 即可 在矩形ABCD 中，AB BC BC CP =，解得21=CP ，31=λ； （Ⅱ）过C 作1BC CH ⊥交1BC 于H ，连接H P 1，H P 2，则21HP P ∠就是所求二面角的一个平面角θ ∵11=C P ，232=C P ，22=CH∴23tan 1=∠HC P ，2tan 2=∠HC PABCD P1A 1B 1C 1D （第17题）=∠-∠=)tan(tan 12HC P HC P α82，所求余弦值为3324.法二：（Ⅰ）建立如图空间直角坐标系xyz O -， )0,2,0(),1,0,1(),1,2,0(),0,2,1(11C A C B设)0,12,0(λ+P ，若⊥C A 1平面1PBC ， )1,2,1(1--=→C A ，)1,0,1(1-=→BC ，)0,122,1(λ+--=→BP ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00111BC C A BP C A ，解得31=λ （Ⅱ）)0,2,0(1P ，)0,1,0(2P设平面11P BC 与平面21P BC 的法向量分别是21,n n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→01111BC n BP n ，解得)1,1,1(1-=→n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→001222BC n BP n ，解得)3,2,3(2-=→n ，3324||||cos 2121=⋅⋅=→→→→n n n n θ 18．（本题满分15分）已知∈m R ，函数m x m x x f ++-+-=2)23()(2． （Ⅰ）若210≤<m ，求|)(|x f 在]1,1[-上的最大值)(m g ； （Ⅱ）对任意的]1,0(∈m ，若)(x f 在],0[m 上的最大值为)(m h ，求)(m h 的最大值． 解：（Ⅰ）∵对称轴为1223≥-=mx ∴|})1(||,)1(max{|)(f f m g -=|}4||,23max{|m m --= }4,32max{m m --=ABCD P1A 1B 1C 1D xyzABCD 1P 1A 1B 1C 1D xyz2P又∵022)32()4(>+=---m m m ∴m m g -=4)(.（Ⅱ）函数的对称轴为223mx -=，且函数开口向下 ①0223≤-m ，即23≥m （舍去）， ②m m<-<2230，即143≤<m ，4172)223()(2+-=-=m m m f m h ③m m >-223，即430≤<m ，243)()(2++-==m m m f m h∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<++-≤<+-=4302431434172)(22m m m m m m m h ， 当32=m 时，取得最大值31019．（本题满分15分）已知椭圆1416:221=+y x C ，直线m kx y l +=:1（0>m ）与圆1)1(:222=+-y x C 相切且与椭圆1C 交于B A ,两点.（Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标为34，求m 的值；（Ⅱ）过原点O 作1l 的平行线2l 交椭圆于D C ,两点，设||||CD AB λ=，求λ的最小值．解：（Ⅰ）m kx y l +=:1代入1416:221=+y x C 得0)4(48)41(222=-+++m kmx x k ，0>∆恒成立，设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+222122141)4(4418k m x x k km x x ，所以344142=+-k km ①， 又11||2=++=k m k d ，得m m k 212-=②，联立①②得0224=--m m ，解得2=m ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得22221414164||k m k x x ++-=-，所以22224141641||k m k k AB ++-⋅+=，OxyAB CD（第19题）把kx y l =:2代入1416:221=+y x C 得224116k x +=，所以224181||k k CD +⋅+=， 所以2222241421412416||||k m k m k CD AB +-=++-==λ222)21(41421mm m -+-= 3643)211(1421142122244≥+--=+--=mm m m ， 当42,2-==k m ，λ取最小值36． 20．（本题满分15分）已知点列)2,(nn n x x P 与)0,(n n a A 满足n n x x >+1，11++⊥n n n n P A P P ，且11++=n n n n P A P P ，其中∈n N *,11=x ．（Ⅰ）求1+n x 与n x 的关系式；（Ⅱ）求证：221232224n x x x n n ≤+++<+ .解：（Ⅰ）)22,(111n n n n n n x x x x P P --=+++,)2,(111+++-=n n n n n x a x P A )22,(11n n n n x x x x --++0)2,(11=-⋅++n n n x a x 得nn n n x x a x ⋅=-++2114①， 又=-+-++2121)22()(n n n n x x x x 21214)(+++-n n n x a x ②把①代入②，得)41(4)41()(2212122121nn n n n n n x x x x x x x ⋅+=⋅+-++++， 得21214)(++=-n n n x x x ，所以112++=-n n n x x x ．（Ⅱ）112++=-n n n x x x ，所以2211212n n n n n x x x x x -<-=+++，所以()n x xx ni ii n 21122121>-=-∑=++，所以121+>+n xn ，2212322)2()12(53n n n n x x x n >+=++++>++++ ．（第20题）Oxy1A 1P 2P 3P 2A又2≥n 时，∑∑∑==+=+++<=-=-ni ni i ni i i n i xx x x x 22121211222)(，因为)1(22222412124122i i i i i i i -+=++<+++=+，所以)21(22)1(22(221-+=-+≤-∑=+n i i x x ni n所以2881-+≤+n x n ，所以4888448821-<+-++≤+n n n x n ， 又22=x ，所以22123224)]12(31[4n n x x x n =-+++≤++++ ．。
理科数学 试题卷一选择题（本大题共同10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1． 设全集U=R ，集合[)(,1)(1,),1,A B =-∞-+∞=-+∞，则下列关系正确的是：A ．B A ⊆ B ．U AC B ⊆ C ．()U C A B B = D ．A B =∅２．若a,b 都是实数，则“a-b>0”是“220a b ->”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ３．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s 值为 A ．26 B ．102C ．410D ．6144．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的 等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，n N *∈，则10S 的值为：A ．-110B ．-90C ．90D ．110 5.已知,αβ是锐角，且a ≠45∥,若cos(α-β)=sin(α+β), 则tan β等于 A ．2 B ．1 C ．3 D ．3 6.已知不同的直线l,m,不同的平面,αβ，下命题中：①若α∥β,,l α⊂则l ∥β ②若α∥β，,;l l αβ⊥⊥则 ③若l ∥α，m α⊂，则l ∥m ④,,l m αβαββ⊥⋂=⊥若则 真命题的个数有Ａ．0个 Ｂ．1个Ｃ．2个 Ｄ．3个7.已知不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数k 的值为A ．-1 B.12-C.12D.1 8.已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x x +=和椭圆2231164x y +=的交点，则双曲线的离心率是 A.233 B.2 C.5 D.529.设函数[] x 0()(1) x<0x x f x f x ⎧-≥⎪=⎨+⎪⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.3-=-2，[]1.3=1，则函数11()44y f x x =--不同零点的个数 A. 2 B. 3 C. 4 D. 510.从正方形的8个顶点选取4个点，连接成一个四面体，则关于这个四面体的各个面，下列叙述错误的是A ．有且只有一个面是直角三角形B ．每个面可能都是等边三角形C ．每个面可能都是直角三角形D ．有且只有一个面是等边三角形 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 11．设复数11,z i =-21z i =+(i 是虚数单位)，则2111z z += 。
数学试题卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|20}A x x x =-->，{|||3}B x x =<，则A B =I （ ） A ．{|31}x x -<<- B ．{|23}x x <<C ．{|3123}x x x -<<-<<或D ．{|323}x x x -<<-<<或1 2.已知复数21a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．23.已知,a b R ∈，则“||3a b +≤”是“||||3a b +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 4.对于空间的三条直线,,m n l 和三个平面,,αβγ，则下列命题中为假命题的是（ ） A ．若,m n αα⊥⊥，则//m n B ．若//,m αβα⊥，则m β⊥ C ．若,,l αγβγαβ⊥⊥=I ，则l γ⊥ D ．若//,//m n ββ，则//m n5.若函数()g x 的图象可由函数()sin 232f x x x =+的图象向右平移6π个单位长度变换得到，则()g x 的解析式是（ ）A ．()2sin 2g x x =B ．()2sin(2)6g x x π=+C ．()2sin(2)2g x x π=+D ．2()2sin(2)3g x x π=+6.设点M 是线段AB 的中点，点C 在直线AB 外，||6AB =u u u r ，||||CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，则||CM =u u u u r（ ）A ．12B ．6C ．3D ．327.若函数()2()af x x a R x=+∈在[1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,2] B ．[0,4] C ．(,2]-∞ D ．(,4]-∞8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线220y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若||17PF =，则双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．53 C ．54D ．52第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知316a =，610a =，则公差d = ；n S 为最大值时的n = .10.已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 ；体积为 .11.在6(2)x -的展开式中，含3x 项的二项式系数为 ；系数为 .（均用数字作答）12.已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数ζ，则1ζ=的概率是 ；随机变量ζ的均值是 .13.若,x y 满足4003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则|2|z x y =-的最大值为 .14.由直线3450x y -+=上的一动点P 向圆224240x y x y +-++=引切线，则切线长的最小值为 .15.已知两单位向量12,e e u r u u r 的夹角为60o ，若实数,x y满足12|2|xe ye +=u r u u r 则2x y +的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b ccos sin B b A =. （1）求角B 的大小； （2）若ABC ∆的面积2S =，求ac的值. 17. （本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且12n n S ta =-，其中*n N ∈. （1）求实数t 的值和数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足32log n n b a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n T . 18. （本小题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 的中点，PA PC =，二面角P AC B --的大小为60o .（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （2）求AB 与平面PAC 所成角的正弦值.19. （本小题满分15分） 已知函数21()ln (,)2f x a x x bx a b R =++∈在122,3x x ==处取得极值. （1）求,a b 的值；（2）求()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程. 20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，经过点2F 且倾斜角为45o 的直线l 交椭圆于,A B 两点. （1）若1ABF ∆的周长为16，求直线l 的方程； （2）若24||7AB =，求椭圆C 的方程.2016年高中学科基础测试数学 参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1．C ；2．A ；3．B ； 4．D ；5．A ； 6．C ；7．C ；8．B二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．2-，10或11；10．53+，32； 11．20，160-； 12．53，1； 13．9； 14．22； 15.[]2,2- ．三、解答题（本大题共5小题,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题14分）解：（Ⅰ）A B B A sin sin cos sin 3=⋅，又0sin >A ∴B B cos 3sin =3tan =⇒B 又()π,0∈B 得3π=B ┅7分（Ⅱ）由ac B ac b S 43sin 21432===， ∴ac b =2 又B ac c a b cos 2222-+=得()002222=-⇔=-+c a ac c a ， ∴c a = 得1=ca┅14分∴13-=n n a ┅8分（Ⅱ）由（1）得 1223-=n n a 得 12-=n b n ∴()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=-121121*********n n n n b b n n 得 ⎪⎭⎫⎝⎛+--++-+-=121121513131121n n T n Λ12121121+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n nn ┅15分 18．（本题15分）解：（Ⅰ）⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥AC B BD PB AC PD ACBD 面PBD又⊂AC 面PAC ，所以 面⊥PAC 面PBD 即平面⊥PBD 平面PAC ┅6分 （Ⅱ）方法一：PDB ∠就是B AC P --的平面角，得 ο60=∠PBD作PD BO ⊥于O , 连结AO ，则BO AC ⊥，又D PD AC =⋂ ∴⊥BO 面PAC ，∴BAO ∠就是直线AB 与平面PAC 所成的角 令a AB 2=，a BD 3=，a BD BO 2323==∴43223sin ===∠a aAB BO BAO ┅15分 方法二：BD AC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，令()0,0,1A , 则()0,3,0B ，()0,0,1-C 又PDB ∠为二面角B AC P --的平面角，得︒=∠60PDB 设λ=DP ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλ23,2,0P 设()z y x n ,,=为面PAC 的一法向量，则()0,0,2-=AC ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=λλ23,2,1AP 得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-023202z y x x λλ 取3=y ，得()1,3,0-=n 又()0,3,1-=AB ， 得 43223,cos =⨯>=<AB n 设AB 为平面PAC 所成角为θ, 则43cos sin =><=AB n θ ┅15分 19．（本题15分）解：（Ⅰ）()xa bx xb x x a x f ++=++=2/，令()02/=++=xabx x x f据题意，得 2,3是方程02=++a bx x 两根则有 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=⨯-=+653232a b a b ┅8分 （Ⅱ）()x x x x f 521ln 62-+=， 则 ()295211-=-=f ， 得 )29,1(-P 又由()xx x x f 652+-='，得 ()26511=+-='f从而，得所求切线方程为()1229:-=+x y l ，即01324=--y x ．┅15分20．（本题15分）解：（Ⅰ）由题设得 4164=⇒=a a 又21=a c 得 2=c∴()0,22F ∴2:-=x y l ┅6分 （Ⅱ）由题设得21=a c ，得c b c a 3,2==，则 椭圆C ：2221243c y x =+ 又有 c x y l -=:， 设()11,y x A ，()22,y x B 联立⎩⎨⎧=+-=2221243cy x c x y 消去y ，得 088722=--c cx x 则c x x 7821=+ 22178c x x -=且0>∆ ∴()72472473249642422221221==+=-+=c c c x x x x AB ， 解得1=c ，从而 得所求椭圆C 的方程为 13422=+y x ． ┅15分。
嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数x x f y +=)(是偶函数，且1)2(=f ，则=-)2(f （ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 52.已知:11,:(2)(6)0p m x m q x x -<<+--<，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是（ ） A ．35m <<B. 35m ≤≤ C ．53m m ><或 D. 53m m ≥≤或3.已知m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ） A.若ββαα//,//,//m m 则 B.若,m αβα⊥⊥，则m β⊥ C.若ββαα⊥⊥m m 则,,// D. 若ββαα⊥⊥m m 则,//,4.函数())cos 3(sin sin 21x x x x f +-=的图象向左平移3π个单位得函数()x g 的图象，则函数()x g 的解析式是 ( ) A ． ()⎪⎭⎫⎝⎛-=22sin 2πx x g B ．()x x g 2cos 2= C ．()⎪⎭⎫⎝⎛+=322cos 2πx x g D ．()()2sin 2g x x π=+ 5.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．－2B ．12-C ．12D ．2 6.在ABC ∆所在平面上有三点M N P 、、,满足MA MB MC AB ++=,NA NB NC BC ++=,PA PB PC CA ++=,则MNP ∆的面积与ABC ∆的面积比为（ ）A.12B. 13C. 14D. 157.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于B A ,两点，若AB F 1∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则=2e （ ）A.221+B. 224-C.225-D.223+ 8.设{}(),(()())min (),()(),(()())f x f xg x f x g x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩．若2()f x x px q =++的图象经过两点(,0),(,0)αβ，且存在整数n ，使得1n n αβ<<<+成立，则( )A ．{}1min (),(1)4f n f n +>B ．{}1min (),(1)4f n f n +<C ．{}1min (),(1)4f n f n +=D ．{}1min (),(1)4f n f n +≥二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分. 9.已知全集为R ，集合{}{}221,680xA xB x x x =≥=-+≤，则AB = .R A C B = .()R C A B = .10.已知等差数列{}n a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足46310,39a S S ==+，则数列{}n a 的首项1a =_______ ,通项n a =______.11.某空间几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积V = cm 3，表面积S = cm 2．12.已知函数()()61477x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩;(1)当21=a 时， ()x f 的值域为 , (2)若()x f 是(,)-∞+∞上的减函数,则实数a 的取值范围是 .13.已知平面向量,()αβαβ≠满足||3α=且α与βα-150︒的夹角为，则|(1)|m m αβ+-的取值范围是 .14.已知实数x 、y 、z 满足0x y z ++=，2221x y z ++=，则x 的最大值为 .15.三棱柱111ABC A B C -的底是边长为1的正三角形，高11AA =,在AB 上取一点P ,设11PA C ∆与面111A B C 所成的二面角为α，11PB C ∆与面111A B C 所成的二面角为β，则tan()αβ+的最小值是 .三、解答题(共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（本题满分15分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且1)cos(32cos ++=C B A ． (Ⅰ）求角A 的大小；(Ⅱ)若81cos cos -=C B ，且ABC ∆的面积为32，求a .17．（本题满分15分）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2AB ，F 是CD 的中点．(Ⅰ）求证：平面CBE ⊥平面CDE ； （Ⅱ）求二面角C —BE —F 的余弦值．18. （本题满分15分）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>右焦点的直线30x y +-=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值.19. （本题满分15分）已知函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．（Ⅰ）若当x ∈R 时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求函数()|()|()h x f x g x =+在区间[2,2]-上的最大值．20．（本题满分14分）已知数列{}n a 满足：10a =，21221,,12,,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，2,3,4,.n =（Ⅰ）求567,,a a a 的值； （Ⅱ）设212n n na b -=，试求数列{}n b 的通项公式；（Ⅲ）对于任意的正整数n ，试讨论并证明n a 与1n a +的大小关系.参考答案一、选择题1-8 DBCA BBCB 二、填空题 9.[2,4];[0,2)(4,)+∞；(,0)-∞10.．1;32n -11.62， 2332++12．（1）()0,+∞ （2）121<≤a 13. 3[,+)2∞ 14.6315. 111PP A B ⊥作，则1PP 作是三棱柱的高.过1111PPH AC ⊥作，则1PHP α∠=,设AP=x ，BP=1(01)x x -≤≤，2tan 3xα=，同理2tan 3(1)x β=-238tan()33(1)413x x αβ+=≥---（当12x =时取等号）16. (Ⅰ）由1)cos(32cos ++=C B A 得，02cos 3cos 22=-+A A ，……………2分 即0)2)(cos 1cos 2(=+-A A ，所以，21cos =A 或2cos -=A (舍去) ……………4分 因为A 为三角形内角，所以3π=A .…………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ）知21)cos(cos =+-=C B A ， 则1cos cos sin sin 2B C B C -=-； 由81cos cos -=C B ，得3sin sin 8B C =，………………………9分 由正弦定理，有C cB b A a sin sin sin ==，即3sin 2B a b =，3sin 2C a c =，……………12分由三角形的面积公式，得22833sin sin sin 21a C B a A bc S ===，即32832=a ， 解得4=a .………………………15分17．（1）证明：因为DE ⊥平面ACD ，DE ⊂平面CDE ，所以平面CDE ⊥平面ACD ．在底面ACD 中，AF ⊥CD ，由面面垂直的性质定理知， AF ⊥平面CDE ． 取CE 的中点M ，连接BM 、FM ，由已知可得FM=AB 且FM ∥AB ，则四边形FMBA 为平行四边形，从而BM ∥AF ． 所以BM ⊥平面CDE ．又BM ⊂平面BCE ，则平面CBE ⊥平面CDE ．………………………………7分 法一：（2）过F 作FN ⊥CE 交CE 于N ，过N 作NH ⊥BE ，连接HF ， 则∠NHF 就是二面角C —BE —F 的平面角． 在Rt △FNH 中，NH =3625，FH =45，所以36cos 8NH NHF FH ∠== 故二面角C —BE —F 的余弦值为368…………………………………………15分 法二：以F 为坐标原点，FD 、F A 、FM 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则F (0,0,0)，E (1,0,2) ， B (0,3,1)， C (－1,0,0)，可求得面FBE 的一个法向量为13(2,,1)3n =--， 平面CBE 的一个法向量为2(1,0,1)n =-，则故二面角C —BE —F 的余弦值为368．………………………………15分18.解：（Ⅰ）设将A 、B 代入得到 ，则（1）-（2）得到，由直线AB ：的斜率k=-1， 所以，OP 的斜率为，所以，由得到，所以M 得标准方程为．（Ⅱ）若四边形的对角线，由面积公式ABCD S ⋅=21可知，当CD 最长时四边形面积最大，由直线AB ：的斜率k=-1，设CD 直线方程为m x y +=，与椭圆方程联立得： 0624322=-++m mx x ，362,3422121-=⋅-=+m x x m x x ， 则987224)(12212212m x x x x k CD CD -⋅=⋅-++=，当m=0时CD 最大值为4，联立直线AB ：与椭圆方程得03432=-x x ，同理利用弦长公式3644)(1212212=⋅-++=x x x x k AB AB，36821max max =⋅=AB CD S ACBD ． 19. 解：（1）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 112200(,),(,),(,),A x yB x yP x y 2211222222221(1)1(2)x y a bx y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩20212120x y y b x x a y -=-⋅-30x y +-=20201x b a y -⋅=-0012x y =222a b =222a b c =+226,3a b ==22163x y +=ACBD C D A B ⊥ACBD 30x y +-=22163x y +=30x y +-=22163x y +=因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤.（2）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥①当1,22aa >>即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.②当01,22a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +.③当10,02a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a-上递减，在[1,]2a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④当31,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2a-上递减， 在[,1]2a ，[,2]2a-上递增，且(2)330h a -=+<, (2)30h a =+≥，经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. 当3,322a a <-<-即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 故此时()h x 在[2,2]-上的最大值为(1)0h =.综上所述，当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +； 当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +； 当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0. 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 10a =，21121a a =+=，31222a a =+=，42123a a =+=， ∴ 52325a a =+=；63125a a =+=；73428a a =+=. ………………3分 （Ⅱ）由题设，对于任意的正整数n ，都有：12121111221222n n n n n n n a a b b +--++++===+，∴ 112n n b b +-=.∴ 数列{}n b 是以1211102a b -==为首项，12为公差的等差数列.∴ 12n n b -=. …………………………………………………………7分 （Ⅲ）对于任意的正整数k ，当2n k =或1,3n =时，1n n a a +<； 当41n k =+时，1n n a a +=；当43n k =+时，1n n a a +>. ……………………………………8分证明如下：首先，由12340,1,2,3a a a a ====可知1,3n =时，1n n a a +<； 其次，对于任意的正整数k ，2n k =时，()()122112120n n k k k k a a a a a k a k ++-=-=+-++=-<；…………………9分41n k =+时，14142n n k k a a a a +++-=-()()()()2212212121222222122120k k k k k k k a a k a a k a k a ++=++-+=+-=++-++=所以，1n n a a +=.…………………10分 43n k =+时，14344n n k k a a a a +++-=-()()()()()21222122112221221222121221241k k k k k k k k k a a k a a k k a a k a a ++++++=++-+=++-=++++-+=+-+事实上，我们可以证明：对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）（证明见后），所以，此时，1n n a a +>.综上可知：结论得证.…………………12分对于任意正整数k ，1k k k a a ++≥（*）的证明如下：1）当2k m =（*m ∈N ）时，()()12212212120k k m m m m k a a m a a m a m a m +++-=+-=++-++=>，满足（＊）式。
嘉兴市2016年高三教学测试（一）理科数学 试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：棱柱的体积公式ShV =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高． 棱锥的体积公式ShV 31=，其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=，其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．球的表面积公式24RS π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334RV π=，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数xx x f 2cos 32sin )(+=的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．π22. 设函数⎩⎨⎧≤>-=0204)(2x xx x x f ，则)]1([f f 的值为A ．6-B ．0C ．4D ．53．设变量y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0320103y x y x y x ，则目标函数432++=y x z的最小值为A ．10B ．11C ．12D ．274．若α是第二象限角，34)3tan(=+απ，则=+)3cos(απA ．53- B ．53 C ．54 D ．53±5．已知4)(33++=x bax x f ),(R b a ∈，1)]2[lg(log3=f ，则)]3[lg(log2f 的值为A ．1-B ．3C ．7D ．86．如图，B 、D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中1+=t AB，2+=t AD，则→→⋅BDAC=A ．1B ．2C ．tD ．t 2BACD（第6题）7．已知双曲线)0,(12222>=-b a by ax ，若焦点F 关于渐近线xab y =的对称点在另一条渐近线xab y -=上，则双曲线的离心率为A ．2B ．2C ．3D ．38．已知三棱锥ABCD 中，CDAB ⊥，且AB 与平面BCD 成60°角.当ACDBCD SS ∆∆的值取到最大值时，二面角BCD A--的大小为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，共36分） 9．设全集RU=，集合}31|{≤<=x x A ，}2|{≥=x x B ，则=B AI ▲ ，=B A Y ▲ ，(I A∨)B R= ▲ ．10．已知命题p：“若22ba =，则ba=”，则命题p 的否命题为 ▲ ，该否命题是一个 ▲ 命题．（填“真”，“假”）11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为 ▲ ，体积为 ▲ ．第11题12．若函数)(x f 是幂函数，则=)1(f ▲ ，若满足)2(8)4(f f =，则=)31(f ▲ ．13．空间四点D C B A 、、、满足1||=AB ，2||=CD，F E 、分别是BC AD 、的中点，若AB与CD 所在直线的所成角为60°，则=||EF ▲ ．14．已知21F F 、分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C的左右焦点，A 是其上顶点，且21F AF ∆是等腰直角三角形，延长2AF 与椭圆C 交于另一点B ，若B AF 1∆的面积为6，则椭圆C 的方程为 ▲ ． 15．已知等差数列}{n a 满足09<a ，且||98a a >，数列}{nb 满足)(*21Nn a a a b n n n n∈=++，}{n b 的前n项和为n S ，当n S 取得最大值时，n 的值为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且ba 23=，（Ⅰ）若060=B ，求Csin的值；（Ⅱ）若ac b 31=-，求Ccos 的值．17．（本题满分15分）如图，平行四边形⊥ABCD平面CDE，4===DE DC AD ，060=∠ADC，DEAD ⊥（Ⅰ）求证：⊥DE 平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角DAE C --的余弦值的大小．A BCDE（第17题）已知函数1)(2++=ax xx f ,（Ⅰ）设)()32()(x f x x g -=，若)(x g y =与x 轴恰有两个不同的交点，试求a 的取值集合； （Ⅱ）求函数|)(|x f y =在]1,0[上的最大值．19．（本题满分15分）过离心率为22的椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C的右焦点)0,1(F 作直线l 与椭圆C交于不同的两点B A 、，设||||FB FA λ=，)0,2(T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若21≤≤λ，求ABT ∆中AB 边上中线长的取值范围．数列}{n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*Nn ∈，有)0(21>+=+c caa a nn n ．（Ⅰ）求321111a cac cac ++++的值；（Ⅱ）若20161=c,是否存在*Nn ∈，使得1>na ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由．2015年高三教学测试（一）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C ；2.A ；3.B ；4.A ；5.C;6.A;7.B;8.A.二、填空题（本大题共7小题，共36分） 9.]3,2[,),1(+∞,)2,1(；10.若22ba ≠，则ba≠，真；11. 734++，332； 12.1，271；13.23或27； 14.192922=+y x；15. 6.三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且ba 23=，（Ⅰ）若060=B ，求Csin的值；（Ⅱ）若ac b31=-，求Ccos 的值.解：（Ⅰ）∵b a 23=，∴BA sin 2sin 3=又∵︒=60B ，代入得︒=60sin 2sin3A ，解得33sin=A .∵3:2:=b a ，∴BA <，即36cos=A∴6233sin cos cos sin )sin(sin +=+=+=B A B A B A C . …7分（Ⅱ）设ta2=，tb3=，则ta b c3731=-=则2717)3()2(2)37()3()2(2cos 222222=⨯⨯-+=-+=t t t t t abcbaC . …7分17.（本题满分15分）如图，平行四边形⊥ABCD平面CDE ，4===DE DC AD，60=∠ADC ，DEAD⊥（Ⅰ）求证：⊥DE 平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角D AE C --的余弦值的大小. 证明：（Ⅰ）过A 作AH ⊥DC 交DC 于H . ∵平行四边形⊥ABCD 平面CDE ∴AH ⊥平面CDE 又∵⊂DE 平面CDE ∴AH ⊥DE ①由已知，AD ⊥DE ② A AD AH =I ③由①②③得，DE ⊥平面ABCD ； …7分ABCDEH解：（Ⅱ）过C 作CM ⊥AD 交AD 于M ，过C 作CN ⊥AE 交AE 于N ， 连接MN .由（Ⅰ）得DE ⊥平面ABCD ， 又∵⊂DE平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ABCD . ∴CM ⊥AE ，又∵CN 垂直AE ，且CCN CM=I .∴AE ⊥平面CMN ，得角CNM 就是所求二面角的一个平面角. 又∵32=CM，2=MN，∴所求二面角的余弦值为77. …8分18．（本题满分15分）已知函数1)(2++=ax xx f ,（Ⅰ）设)()32()(x f x x g -=，若)(x g y =与x 轴恰有两个不同的交点，试求a 的取值集合；（Ⅱ）求函数|)(|x f y=在]1,0[上的最大值.解：（Ⅰ）（1）若0)(=x f 恰有一解，且解不为23，即042=-a ，解得2±=a（2）若0)(=x f 有两个不同的解，且其中一个解为23，代入得12349=++a ，613-=a综上所述，a 的取值集合为}2,2,613{--.…7分ABCDEMN（Ⅱ）（1）若02≤-a ，即0≥a，则af y +==2)1(max（2）若12<-<a ，即02<<-a ，此时042<-=∆a⎩⎨⎧-<-≥+=+==1112}2,1max{)}1(),0(max{max a a a a f f y（3）若12≥-a ，即2-≤a，此时2)1(≤+=a f⎩⎨⎧-<---≥=--=-=3231}2,1max{)}1(),0(max{max a a a a f f y ，综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧-<---<≤--≥+=3213112maxa a a a a y …8分19．（本题满分15分）过离心率为22的椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C的右焦点)0,1(F 作直线l 与椭圆C交于不同的两点B A 、，设||||FB FA λ=，)0,2(T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若21≤≤λ，求ABT ∆中AB 边上中线长的取值范围. 解：（Ⅰ）∵22=e，1=c，∴1,2==c a即椭圆C 的方程为：1222=+y x. …7分（Ⅱ）（1）当直线的斜率为0时，显然不成立. （2）设直线1:+=my x l ，设),(11y x A ，),(22y x B联立01222=-+yx 得012)2(22=-++my ym得22221+-=+mm y y ，21221+-=my y ，由||||FB FAλ=，得21y y λ-=∵12211y y y y +=-+-λλ，∴24)(212221221+-=+=+-+-mm y y y y λλ∴722≤m又∵AB 边上的中线长为221221)()4(21||21y y x x TB TA ++-+=+→→2224)2(494+++=m mm427)2(2222++-+=mm]16213,1[∈ …8分20．（本题满分15分）数列}{n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*Nn ∈，有)0(21>+=+c caa a nn n .（Ⅰ）求321111a cac cac ++++的值；（Ⅱ）若20161=c，是否存在*Nn ∈，使得1>na ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由. 证明：（Ⅰ）∵2111nn n caa a +=+∴nn n cac a a +-=+1111，即nn ncac a a +=-+1111121111caca a +=-232111cac a a +=-……nn nca c a a +=-+1111∴nn ca c cac ca c a a ++++++=-+111112111Λ ∴121111111++++++++=n na ca c cac ca c a Λ得211111321==++++a a cacca c（说明：依次求出32,a a 也得满分） （Ⅱ）∵nnn n a a a a >+=+2120161，∴}{n a 单调递增.得20162121a a a <<<=Λ由201621nn n a a a +=+⇒20161111+=-+n n na a a⇒201612016120161122016212017++++++=-a a a a Λ∵)2016,,2,1(0Λ=>i a i ∴201620161122017⨯<-a解得：12017<a此时，1201721<<<<a a a Λ又∵201612016120161122017212018++++++=-a a a a Λ∴12016201611122018=⨯+>-a解得：12018>a即数列}{n a 满足：ΛΛ<<<<<<<201920182017211a a a a a .综上所述，存在1>na ，且n 的最小值为2018. …8分。
