一个分式不等式猜想的修正及证明

一个代数不等式的几何证法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。

步骤/方法比较法比较法是证明不等式的最基本方法，具体有作差比较和作商比较两种。

基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。

当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)基准1未知a+b0，澄清：a3+b3a2b+ab2分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。

∵(a3+b3)?(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)证明： =(a-b)2(a+b)又∵(a-b)20(a-b)2(a+b)0即a3+b3a2b+ab2例2 设a、br+，且ab，求证：aabbabba分析：由澄清的不等式所述，a、b具备轮休对称性，因此可以在设a0的前提下用做商比较法，作商后同1比较大小，从而达至证明目的，步骤就是：10作商20商形整理30推论为与1的大小证明：由a、b的对称性，不妨解a0则aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b∵a?b?0，ab?1，a-b?0(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba练习1 已知a、br+，nn，求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)基本不等式法利用基本不等式及其变式证明不等式就是常用的方法，常用的基本不等式及变形存有：(1)若a、br，则a2+b22ab(当且仅当a=b时，取等号)(2)若a、br+，则a+b 2ab (当且仅当a=b时，挑等号)(3)若a、b同号，则 ba+ab2(当且仅当a=b时，取等号)基准3 若a、br， |a|1，|b|1则a1-b2+b1-a21分析：通过观察可直接套用： xyx2+y22证明：∵a1-b2b1-a2a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1b1-a2+a1-b21，当且仅当a1+b2=1时，等号成立练2：若 a?b?0，证明a+1(a-b)b3综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。

2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（北师大版）专题09 分式的规律探究问题【典型例题】1．观察下面的变形规律：111122=-⨯；1112323=-⨯；1113434=-⨯解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想()1n n 1=+________； （2）证明你猜想的结论；（3）求和：111112233420132014++++⨯⨯⨯⨯． 【答案】（1）11n n 1-+；（2）证明见解析；（3）20132014 【分析】（1）归纳总结得到一般性规律，即可得到结果； （2）利用分式的加减法则计算即可得到结果；（3）原式利用拆项方法变形，抵消即可得到结果．【详解】（1）()111n n 1n n 1=-++； 故答案为：11n n 1-+； （2）证明：11n n 1-+ ()()n 1n n n 1n n 1+=-++ ()n 1n n n 1+-=+ ()1n n 1=+； （3）原式＝111111112233420132014-+-+-++-＝112014- 20132014=． 【点睛】本题考查分式的加减运算，掌握分式加减法法则以及通分、约分的方法为解题关键．【专题训练】一、选择题1．有下列等式：第1个等式：31144=-； 第2个等式，3117214=-；第3个等式：31110330=-； 第4个等式：31113452=-；… 请你按照上面的规律解答下列问题：（1）第5个等式是_________________________；（2）写出你猜想的第n 个等式：_______________________；（用含n 的等式表示），并证明其正确性．【答案】(1)31116580=- ；(2)猜想：()3113131n n n n =-++，理由见解析 【分析】（1）根据已知式子可得下一个：31116580=-； （2）根据观察可得第n 个等式：()3113131n n n n =-++；根据分式运算法则，从等式的右边进行通分合并，由右边=左边可证得；【详解】（1）31116580=-； （2）猜想：()3113131n n n n=-++； 证明：等式右边()()()3113313131n n n n n n n n+=-=+++331n =+=等式左边 故猜想成立.【点睛】 考核知识点：分式加减.观察规律，列出式子，运用分式加减法整理是关键.2．观察下列等式： 第一个等式：111122+-= 第二个等式：111134122+-= 第三个等式：111156303+-= 第四个等式：111178564+-= 按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第五个等式____________；（2）写出你猜想的第n 个等式____________（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）1111910905+-=；（2）11112122(21)n n n n n +-=--，证明见解析． 【分析】（1）观察式子，即可写出第五个等式；（2）将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母比第二个分母小1，第三个分母是前两个分母的乘积，等式的右边分母是序数．【详解】解：（1）1111910905+-=； 故答案为：1111910905+-=； （2）11112122(21)n n n n n+-=--． 证明：1112122(21)n n n n +--- 22112(21)2(21)2(21)n n n n n n n n -=+---- 22112(21)n n n n +--=-2(21)2(21)n n n -=- 1n=． 故答案为：11112122(21)n n n n n+-=--． 【点睛】 本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中各数字的变化找出变化规律是解题的关键．3．观察以下等式：第1个等式：101011212++⨯=； 第2个等式：111112323++⨯= 第3个等式：121213434++⨯= 第4个等式：131314545++⨯= 第5个等式：141415656++⨯= ……按照以上规律，解决下列问题（1）写出第8个等式：____________．（2）写出你猜想的第n 个等式：____________(用含有n 的等式表示），并证明这个等式．【答案】（1）171718989++⨯=；（2）1111111n n n n n n --++⋅=++，证明见解析 【分析】（1）根据前5个等式的规律写出第8个等式；（2）第n 个等式是1111111n n n n n n --++⋅=++，利用分式的运算证明等式成立． 【详解】解：（1）根据前面的规律，第8个等式是：171718989++⨯=； （2）第n 个等式是1111111n n n n n n --++⋅=++， 111111n n n n n n --++⋅++()()()()111111n n n n n n n n n n -+-=+++++ ()2111n n n n n n ++-+-=+ 22n n n n+=+ 1=，∴等式成立．【点睛】本题考查找规律和分式的运算，解题的关键是总结题目中的规律，掌握分式的运算方法．4．观察以下等式:第1个等式:11111122-+=⨯， 第2个等式:11212233-+=⨯， 第3个等式:11313344-+=⨯， 第4个等式:11414455-+=⨯， ……按照以上规律,解决下列问题：（1）写出第5个等式： ；（2）写出你猜想的第n (n 为正整数)个等式： (用含n 的等式表示)，并证明.【答案】（1）115-+=15566⨯；（2）111(1)1n n n n n -+=++，见解析. 【解析】【分析】（1）根据以上所总线的规律即可写出第6个等式；（2）同理，律即可猜想出第n 个等式．证明方法：计算出左边的结果看是否等于1，即是否左、右相等．【详解】解：（1）115-+=15566⨯（2）第n 个等式为：111(1)1n n n n n -+=++ 2(1)+=+n n n n (1)1(1)+===+右边n n n n ∴等式成立【点睛】解答此题意的关键是根据前几个算式找出各分数的分子、分母与等式序数之间的关系找出规律，然后根据规律写出第n 个等式，再证明猜想是否正确．5．观察以下等式：第1个等式：11212+⨯=1， 第2个等式：1113232+=⨯， 第3个等式：1114343+=⨯， 第4个等式：1115454+=⨯， 第5个等式：1116565+=⨯， ……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式： ．(2)写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的式子表示)，并证明其正确性．【答案】（1）1117676+=⨯；（2）1111(1)n n n n +=++，证明见解析 【分析】（1）根据前5个等式的规律写出第6个等式即可；（2）第n 个等式是1111(1)n n n n+=++，利用分式的运算证明等式成立． 【详解】解：(1)第6个等式为：111 7676 +=⨯．故答案为：111 7676 +=⨯，(2) 第n个等式：1111(1)n n n n+=++，故答案为：1111(1)n n n n+=++，证明：111111(1)(1)(1)(1)n nn n n n n n n n n n++=+==+++++，∴左边=右边，∴等式成立．【点睛】本题考查找规律和分式的运算，解题的关键是总结题目中的规律，掌握分式的运算方法．6．观察下列等式，探究其中的规律：①11+12﹣1＝12，②13+14﹣12＝112，③15+16﹣13＝130，④17+18﹣14＝156，…．（1）按以上规律写出第⑧个等式：_______；（2）猜想并写出第n个等式：_________；（3）请证明猜想的正确性．【答案】（1）115+116−18＝1240；（2）121n-+12n−1n＝12(21)n n-；（3）证明见解析．【分析】（1）仔细观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个分母为连续的自然数，据此进一步整理即可得出答案；（2）根据（1）中的规律直接进行归纳总结即可；（3）利用分式的运算法则进行计算验证即可.【详解】（1）观察四个等式，可以发现第一个数的分母为连续的奇数，第二个数的分母为连续的偶数，第三个分母为连续的自然数，∴第⑧个等式为：115+116−18＝1240，故答案为：115+116−18＝1240；（2）根据（1）中规律总结归纳可得：121n-+12n−1n＝12(21)n n-，故答案为：121n-+12n−1n＝12(21)n n-；（3）证明：对等式左边进行运算可得：121n-+12n−1n=2212(21)2(21)n n nn n+----＝12(21)n n-，∴等式右边＝12(21)n n-，∴左边＝右边，∴121n-+12n−1n＝12(21)n n-成立．【点睛】本题主要考查了分式运算中数字的变化规律，根据题意正确找出相应的规律是解题关键.7．观察下列各式及证明过程：=========（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．【答案】（1==，证明见解析；（2）=，证明见解析 【分析】（1）直接仿照题干写出两个等式即可；（2）利用规律写出不等式并验证即可．【详解】（1=====（2= 证明：===【点睛】本题主要考查规律，读懂题干并找到规律是关键．8．观察下列各式：111122-=-+⨯；1112323-=-+⨯； 1113434-=-+⨯； (1)你发现的规律是 (用含n 的式子表示)；(2)用规律计算：111111111(1)()()()()223342018201920192020-⨯+-⨯+-⨯+⋯+-⨯+-⨯． 【答案】(1) ()11111n n n n -=-+++（n 为正整数）；(2) 2019.2020- 【分析】 (1) 由观察部分可知：左边分母是两个连续正整数的积，分子是1的两个分数相乘的积的相反数等于以这两个正整数为分母，分子为1的两个分数的和，且绝对值大的分数为负数，从而可得答案；(2)利用(1)推导的规律直接拆分，再进行计算即可得到答案．【详解】解：(1)由题意得：()11111n n n n -=-+++（n 为正整数）． 故答案为：()11111n n n n -=-+++（n 为正整数）． (2)111111111(1)()()()()223342018201920192020-⨯+-⨯+-⨯+⋯+-⨯+-⨯ 1111111111223342018201920192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112020=-+ 2019.2020=- 【点睛】本题考查分数（式）的运算中数字的变化规律，找出数字之间的变化规律，运用规律是解答本题的关键． 9．观察下列各组式子：①2611513133⨯-+==⨯；②1262111353515⨯-+==⨯；③1263117 (575735)⨯-+==⨯ （1）请根据上面的规律写出第 4个式子；（2）请写出第n 个式子，并证明你发现的规律．【答案】（1）1264123797963⨯-+==⨯；（2）()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+，证明见解析． 【分析】（1）仿造①②③中的规律直接写出第4个式子即可；（2）仔细观察①②③④四个式子总结出规律()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+，然后进一步将等式左边直接进行变形计算得出等式右边，由此证明结论即可.【详解】（1）1264123797963⨯-+==⨯ （2）()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+证明： 等式左边122121n n =+-+， ()()()()()2212121?2121?21n n n n n n -+=+-+-+ ()()()2122121?21n n n n ++-=-+()()6121?21n n n ⨯-=-+ ∴等式右边为()()612121n n n ⨯--⨯+，与等式左边计算出的结果相等， ∴()()126121212121n n n n n ⨯-+=-+-⨯+成立. 【点睛】本题主要考查了分式运算的规律探讨问题，根据题意正确总结归纳出相应的规律是解题关键.10．观察下列各组式子： ①1611723133⨯++==⨯；②2162113353515⨯++==⨯；③2163119575735⨯++==⨯（1）请根据上面的规律写出第5个式子；（2）请写出第n 个式子（用含n 的等式表示），并证明．【答案】（1）216513191191199⨯++==⨯；（2）21612121(21)(21)n n n n n ++=-+-+，证明见解析 【分析】（1）依据前三个式子的规律，第四个应为：2164257963179⨯++==⨯，第五个应为：216513191191199⨯++==⨯； （2）这些式子的规律是：等式左边是两个分数的和，分母为相邻两个奇数，前一个分式的分子为2，后一个分式的分子为1，等式的右边的分母是这两个分数分母的积，分子是等式的序号数的6倍与1的和，根据这个规律即可写出第n 个式子．【详解】（1）第5个等式：216513191191199⨯++==⨯（2）21612121(21)(21)n n n n n ++=-+-+ ∴212121n n +-+ 2(21)21(21)(21)(21)(21)n n n n n n +-=+-+-+ 2(21)(21)(21)(21)n n n n ++-=-+ 61(21)(21)n n n +=-+ ∴等式成立【点睛】本题是一个带规律的探索题，考查了学生的观察归纳能力、分式的加法运算能力，关键是根据前三个式子找到规律．11．观察下列等式： ①11122=+，②111236=+，③1113412=+，④1114520=+， （1）按此规律完成第⑤个等式：(___________)=(_______)+(________)； （2）写出你猜想的第n 个等式(用含n 的式子表示)，并证明其正确性．【答案】（1）15，16，130；（2）1111(1)n n n n =+++，证明见解析 【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为1，第二个式子的左边分母为2，…第五个式子的左边分母为5；右边第一个分数的分母为2，3，4，…第五个则为6，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；（2）由（1）的规律发现第n 个式子为1111(1)n n n n =+++，利用分式的加减证明即可． 【详解】（1）11122=+ 111236=+ 1113412=+1114520=+1115630∴=+ 故答案为：15，16，130； （2）由规律可得：第n 个等式(用含n 的式子表示)为：1111(1)n n n n =+++， 右边111(1)(1)(1)n n n n n n n n n+=+==+++， ∴左边=右边，即1111(1)n n n n =+++． 【点睛】此题考查数字的变化规律，关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律，并应用发现的规律解决问题．12．观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，…… （1）写出第四个等式是 ；（2）探索这些等式中的规律，直接写出第n 个等式（用含n 的等式表示）；（3）试说明你的结论的正确性.【答案】（1）（1）444455⨯=-；（2）11n n n n n n ⨯=-++；（3）见解析 【解析】【分析】（1）（2）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个因数减去第二个因数；由此规律解决问题；（3）把左边运用整式乘法计算，右边进行通分即可证明.【详解】 解：（1）观察题中等式可知，第四个等式是：444455⨯=-； （2）观察题中等式猜想第n 个等式为：11n n n n n n ⨯=-++；（3）∴左边＝211n n n n n ⨯=++，右边＝2(1)1111n n n n n n n n n n +-=-=++++， ∴左边＝右边，即11n n n n n n ⨯=-++． 【点睛】此题考查数字类变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．该规律实质上是运用了分式的加减运算法则．13．探索发现： 112⨯＝1－12 123⨯＝12－13 134⨯＝13－14根据你发现的规律，回答下列问题：（1）156⨯＝__________；1(1)n n ⨯+＝__________； （2）利用发现的规律计算：112⨯＋123⨯＋134⨯＋···＋1(1)n n ⨯+ （3）利用以上规律解方程：1(2)x x +＋1(2)(4)x x ++＋···＋1(48)(50)x x ++＝150x + 【答案】（1）1156-，111n n -+；（2）1n n +；（3）x =25. 【分析】（1）利用分式的运算和题中的运算规律求解即可； （2）利用前面的运算规律得到原式=11111111223341n n -+-+-++-+，然后合并后通分即可； （3）利用运算规律方程化为11111111()2224485050x x x x x x x -+-++-=++++++ ， 合并后解分式方程即可．【详解】（1）1115656=-⨯，111(1)1n n n n=-⨯++；（2）原式=111111111122334111nn n n n-+-+-++-=-=+++；（3）原方程可化为11111111() 2224485050 x x x x x x x-+-++-=++++++，即1111 ()25050 x x x-=++，解得x=25,经检验x=25是原方程的解.【点睛】本题考查了分式的运算和解分式方程：熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．理解分式的计算规律：111(1)1n n n n=-⨯++是解答本题的关键．14．数式规律；观察以下等式：第1个等式：121(1)2311⨯+=-；第2个等式：521(1)2533⨯+=-；第3个等式：921(1)2755⨯+=-；第4个等式：1321(1)2977⨯+=-；第5个等式：1721(1)2 1199⨯+=-；…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）2121(1)2131111⨯+=-；（2）4321(1)2212121nn n n-⋅+=-+--，证明见解析．【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可；（2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可．【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：212112131111⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭； （2）432112212121n n n n -⎛⎫⨯+=- ⎪+--⎝⎭， 证明：∴左边=432432143112212121212121n n n n n n n n n n --+-⎛⎫⨯+=⨯==- ⎪+-+---⎝⎭=右边， ∴等式成立．【点睛】 本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． 15．观察下列式子，并探索它们的规律：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552().11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++ （1）根据以上式子填空： ①3531x x +=++ ． ②ax b a x c +=++ ． （2）当x 取哪些正整数时，分式4321x x +-的值为整数？ 【答案】（1）①21x +；②b ac x c -+ ；（2）1或3 【分析】（1）观察可发现，原式子将分式化为“整式+分式”的形式，分别利用得出的规律化简即可；（2）利用所得规律化简原分式，再探究当x 取什么值时，4321x x +-的值为整数．即可得到答案． 【详解】解：（1）①3533+23322+3+11111x x x x x x x x +++===+++++． 故答案为21x +． ②+++ax b ax b ax b a x c x ac ac ac c x c ac b ac x c cx +++---===++++++故答案为b ac x c-+． （2）4342234255=22121212121x x x x x x x x +-++-=+=+----- 当x 为正整数，且21x -为5的约数时，4321x x +-的值为整数， 即21=1x -或21=5x -时，4321x x +-的值为整数． ∴1=1x ，2=3x ．即当x 为1或3时，4321x x +-的值为整数． 【点睛】本题考查规律型：分式的变化规律，分式的加减运算法则的逆用，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答．。

证明不等式的基本方法现实世界中的量，相等是相对的、局部的，而不等的绝对的、普遍的。

不等式的本质是研究“数量关系”中的“不等关系”。

对于两个量，我们常要比较它们之间的大小，或者证明一个量大于另一个，这就是不等式的证明。

不等式的证明因题而异，灵活多变，常常要用到一些基本的不等式，如柯西不等式、平均值不等式等等，其中还需要用一些技巧性高的代数变形。

在这一部分我们主要来学习一些证明不等式的基本方法。

不等式是数学竞赛的热点之一。

由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。

而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。

但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

【知识概要】证明不等式的常用方法有：⒈比较法：依据实数的运算性质及大小顺序之间的关系，通过两个实数的差或商的符号（范围）确定两个数的大小关系的方法。

基本解题步骤是：作差（商）—变形—判号（范围）—定论。

证题时常用到配方、因式分解、换元、乘方、恒等式、重要不等式、优化假设、放缩等变形技巧。

⒉分析综合法：所谓“综合”指由“因”导“果”，从已知条件出发，依据不等式的性质、函数的性质、重要不等式等逐步推进，证得所要证的不等式。

所谓“分析”指的是执“果”索“因”，从欲证不等式出发，层层推求使之成立的充分条件，直至已知事实为止。

一般先用分析法分析证题思路，再用综合法书写证明过程。

⒊重要不等式法：主要有均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。

⒋换元法：适当引入新变量，通过代换简化原有结构，实现某种变通，给证明的成功带来新的转机。

具体地讲，就是化超越式为代数式，化无理式为有理式，化分式为整式，化高次式为低次式等等。

不等式证明的常用方法不等式是高中数学的重要内容，它几乎涉及整个高中数学的各个部分，因此，通过不等式这条纽带，可把中学数学的各部分内容有机地联系起来．而不等式的证明是高中数学的一个难点，加之题型广泛、方法灵活、涉及面广，常受各类考试命题者的青睐，亦成为历届高考中的热点问题．本节通过一些实例，归纳一下不等式证明的常用方法和技巧． 一、比较法证明不等式的比较法分为作差比较与作商比较两类，基本思想是把难于比较的式子变成其差再与0比较，或其商再与 l 比较．当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法．【例1】若,0,0>>b a 证明：2121212212)()(b a ab b a +≥+证法一 （作差比较） 左边－右边)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+=0))((2≥-+=abb a b a∴原不等式成立证法二 （作商比较）右边左边ba ab b a ++=33)()()())((b a ab b ab a b a ++-+=abb ab a )(+-=12=-≥ababab∴原不等式成立．点评 用比较法证明不等式，一般要经历作差（或作商）、变形、判断三个步骤．变形的主要手段是通分、因式分解或配方；此外，在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二．用作差比较法变形的结果都应是因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号． 【例2】已知函数)(1)(2R x x x f ∈+=，证明：|||)()(|b a b f a f -≤- 证法一（作商比较）若||||b a =时，|||)()(|0b a b f a f -≤-=，当且仅当b a =时取等号． 若||||b a ≠时，∵0|)()(|>-b f a f ，0||>-b a∴=-+-+=--|||11||||)()(|22b a b a b a b f a f =-+-+b a b a 2211<+++--)11)((2222b a b a b a ≤++22b a ba 1即|||)()(|b a b f a f -≤-综上两种情况，得|||)()(|b a b f a f -≤-当且仅当b a =时取等号．证法二（作差比较）)2(])1)(1(22[|||11|2222222222b ab a b a b a b a b a +--++-++=--+-+0])()1()1[(2])1)(1()1[(22222≤-++-+=++-+=b a ab ab b a ab 当且仅当b a =时取等号．点评 作商比较通常在两正数之间进行．本题若直接作差，则表达式复杂很难变形．由于不等式两边均非负，所以先平方去掉绝对值符号后再作差．不论是作差比较还是作商比较，“变形整理”都是关键． 二、基本不等式法 常用的基本不等式① 若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取等号）；② 若+∈R b a ,，则ab ba 22≥+（当且仅当b a =时取等号）； ③ 若b a ,同号，则2≥+baa b （当且仅当b a =时取等号）；④ 若R b a ∈,，则≥+222b a 2)2(b a +（当且仅当b a =时取等号）； ⑤ 若+∈R c b a ,,，则abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑥ 若+∈R c b a ,,，则33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取等号）；⑦ 均值不等式nn n a a a na a a ⋅⋅≥+++ 2121（其中++∈∈N n R a a a n ,,,,21 ）及它的变式n nn n n a a na a a a ⋅⋅≥+++ 2121，na a a a a a nn n n n +++≤⋅⋅ 2121，nn n na a a a a a )(2121+++≤⋅⋅【 例 3 】 （ 2004 年湖南省高考题）设0,0>>b a ，则以下不等式中不恒成立的是（ ）A.4)11)((≥++b a b a B 2332ab b a ≥+ C.b a b a 22222+≥++ D.b a b a -≥-||解：∵4122)11)((=⋅≥++abab b a b a ∴A 恒成立∵b a b a b a 221122222+≥+++=++ ∴C 恒成立 当b a ≤时，b a b a -≥-||，显然D 成立；当b a >时，b a b a -≥-||⇔a b b a ≥+-||⇔⇔≥+-+-a b b b a b a )(2)(0)(2≥-b b a 也恒成立∴D 恒成立。

不等式的证明方法及其推广摘要：在初等代数和高等代数中，不等式的证明都占有举足轻重的位置。

初等代数中介绍了许多具体的而且相当有灵活性和技巧性的证明方法，例如换元法、放缩法等研究方法；而高等代数中，能够利用的方法更加灵活技巧。

我们能够利用典型的柯西不等式的结论来证明类似的不等式；除此还能够利用导数，微分中值定理，泰勒公式，积分中值定理等有关的知识来证明不等式；在正定的情形下，也能够用判别式法；把握了定积分化为重积分的内容之后，关于某类不等式，也能够将定积分化为重积分，再证明所求的不等式。

由此我们能够看到，不等式的求解证明方法并不唯独，然而初等数学里的不等式，都能够用高等数学的知识来解决，解答更为简洁。

因此，高等数学对初等数学的教学和学习具有重要的指导意义。

本文归纳和总结了一些求解证明不等式的方法与技巧，突出了不等式的差不多思想和差不多方法，便于更好地了解各部分的内在联系，从总体上把握证明不等式的思想方法；注重对一些闻名不等式的推广及应用的介绍。

关键词：不等式；证明方法1 引言1．1 研究的背景第一，我们要从整个数学，专门是现代数学在21世纪变得更加重要来认识不等式的重要性。

美国《数学评论》2000年新的分类中，一级分类已达到63个，主题分类已超过5600多个，说明现代数学已形成庞大的科学体系，同时仍在不断向纵深化进展。

它在自然科学、工程技术、国防、国民经济(如金融、治理等)和人文社会科学(如语言学、心理学、历史、文学艺术等)以至我们的日常生活中的应用都在不断深化和进展。

它为我们提供了明白得信息世界的一种强有力的工具，它也是新世纪公民的文化和科学素养的重要组成部分。

而不等式在数学中又处于专门的地位。

美国《数学评论》在为匡继昌的《常用不等式》第2版写的长篇评论中指出:“不等式的重要性，不管如何强调都可不能过分。

”这说明不等式仍旧是十分活跃又富有吸引力的研究领域。

再者不等式的求解和证明一直是高考的热点和难点。

不等式证明典型例题例1 若10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-（0>a 且1≠a ）．分析1 用作差法来证明．需分为1>a 和10<<a 两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明． 解法1 （1）当1>a 时， 因为 11,110>+<-<x x ，所以 )1(log )1(log x x a a +-- )1(log )1(log x x a a +---= 0)1(log 2>--=x a ．（2）当10<<a 时， 因为 11,110>+<-<x x所以 )1(log )1(log x x a a +-- )1(log )1(log x x a a ++-=0)1(log 2>-=x a ．综合（1）（2）知)1(log )1(log x x a a +>-．分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比较法．因为 )1(log )1(log x x a a +-- ax a x lg )1lg(lg )1lg(+--=[])1lg()1lg(lg 1x x a +--=[])1lg()1lg(lg 1x x a +---=0)1lg(lg 12>--=x a， 所以)1(log )1(log x x a a +>-． 例2 设0>>b a ，求证：.ab ba b a b a >证明：b a a b ba ab b a b a b aba b a ---=⋅=)( ∵0>>b a ，∴.0,1>->b a ba ∴1)(>-ba b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>abb a ， ∴.ab ba b a b a >.例3 对于任意实数a 、b ，求证444()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号） 证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22a b =时取等号） 两边同加4444222():2()()a b a b a b ++≥+，即：44222()22a b a b ++≥ （1） 又：∵ 222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 两边同加22222():2()()a b a b a b ++≥+∴222()22a b a b ++≥ ∴ 2224()()22a b a b ++≥ （2） 由（1）和（2）可得444()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）． 例4 已知a 、b 、c R +∈，1a b c ++=，求证1119.a b c++≥ 证明：∵1a b c ++=∴ 111a b c ++a b c a b c a b c a b c++++++=++ (1)(1)(1)b c a c a b a a b b c c =++++++++3()()()b a c a c ba b a c b c=++++++∵2b a a b +≥=，同理：2c a a c+≥，2c bb c +≥。

中学数学证明不等式常见的九种证明方法许071114 数学与应用数学不等式作为工具，被广泛地应用到数学的各个领域。

不等式的证明是高考和数学竞赛中的热门话题。

不等式的形式多种多样，证明手法也是灵活多变，它常常和许多内容相结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。

不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。

解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

下面就结合不等式教学实际谈谈如何让学生通过不等式的证明这个知识点进行横向扩散和纵向扩散。

1、比较法：比较两个式子的大小,求差、求商或过渡比较法都是最基本最常用的方法。

1.1求差法：要证不等式a>b,只需证明a-b>0即可，其步骤为：做差a-b →变形(常用变形方法有:通分，因式分解，配方等)→判断符号。

例1 求证：x2+3＞3x证明：：∵(x2+3)-3x=x2-3x+(32)2-(32)2+3= +≥ >0 ∴x2+3＞3x例2 已知a,b ∈R+，并且a ≠b ，求证 a5+b5＞a3b2+a2b3证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)= a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)∵a,b ∈R+ ∴a+b ＞0, a2+ab+b2＞0又因为a ≠b,所以（a-b ）2＞0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)＞0 即(a5+b5)-(a3b2+a2b3)＞0∴a5+b5＞a3b2+a2b31.2求商法：当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数式可采用作商比较法。

若b>0,欲证a>b,只需证明b a >1;欲证:a<b,只需证明: 1<b a 。

其步骤为：作商→变形→判断结果与1的大小关系。

例 3 已知a>0,b>0,求证:aabb ≥(ab)2ba +.分析：因两边都是乘积的幂指数运算形式，而a>0,b>0,故可作商与1比大小.证明： 2222)()(b a a b b a ba ba b a b a ab b a -=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∙=∙1）若a>b>0,则02,1>->b a b a ,故2ba b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛>1。