新人教版九年级数学上册：《直接开平方》学案

人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.1《直接开平方法》是初中数学的重要内容，主要介绍了实数的开平方运算。

这一节内容是在学生学习了实数、有理数、无理数等基础知识后进行的，是学习更高级数学知识的基础。

教材通过简单的实例引入直接开平方法，让学生了解并掌握开平方运算的法则，为后续的学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数的概念和性质有一定的了解。

但是，学生在学习过程中可能对于抽象的开平方运算存在一定的困难，需要通过具体的实例和练习来加深理解。

三. 教学目标1.让学生了解直接开平方法的概念和意义。

2.让学生掌握直接开平方法的运算规则。

3.培养学生运用直接开平方法解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：直接开平方法的概念和运算规则。

2.难点：对于复杂数的开平方运算的理解和应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题引导学生思考和探索。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来形象地展示开平方运算的过程。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中共同解决问题。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.相关教学PPT。

3.练习题和学习资料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出直接开平方法的概念，例如：“一块土地的面积是4平方米，它的长和宽各是多少？”让学生思考并尝试解答。

2.呈现（15分钟）讲解直接开平方法的概念和运算规则，通过PPT展示相关的动画和图形，让学生直观地理解开平方运算的过程。

3.操练（15分钟）让学生进行一些简单的练习题，巩固直接开平方法的应用。

教师可以设置一些问题，引导学生运用直接开平方法解决问题。

4.巩固（10分钟）让学生进行一些复杂的练习题，加深对直接开平方法的理解。

教师可以给予学生一定的提示和指导，帮助他们解决问题。

5.拓展（10分钟）引导学生思考和探索直接开平方法在实际问题中的应用，例如：“一个立方体的体积是64立方米，求它的棱长。

21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。

21．2.1 配方法 第1课时 直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x ＋m )2＝n 的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程：(1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32. (2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝－2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用(2014·山东济宁中考)若一元二次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m－4，则b a ＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±b a，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴ba＝2，∴ba＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________．解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm，根据题意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因为边长为正，所以x＝－15不合题意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．三、板书设计教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

第二十一章《一元二次方程》第3课时 21.2.1 直接开平方法【学习目标】：1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题。

2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程。

【学习过程】：一、知识回顾：1、一元二次方程的概念：2、一元二次方程的一般形式：3、判断下面哪些方程是一元二次方程（1）22347x x x -+=-；（ ） （224=-；（ ） （3）23510x x +-=； （ ） （4）21320x x-+=；（ ）（53=； （ ） 4、把方程（1-x)(2-x)=3-x 2化为一般形式是：___________, 其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.5、方程(m-2)x |m| +3mx-4=0是关于x 的一元二次方程，则 （ ）A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m≠ ±26、关于x 的方程(a 2-4)x 2+(a+2)x-1=0(1)当a 取什么值时,它是一元一次方程?(2)当a 取什么值时,它是一元二次方程? 二、合作探究1.什么叫做平方根?如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根.2.平方根有哪些性质？(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数的；(2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根.3、如何解方程：（1）x 2=4，（2）x 2-2=0呢?三、典例精析例1、解下列方程（1）x 2-1.21=0 （2）4x 2-1=0例2、解下列方程：（1）x ＋1）2= 2； ⑵ （x －1）2－4 =0； ⑶ 12（3－2x ）2－3 = 0。

例3、解方程(2x －1)2=(x －2)2四、达标测试1、下列解方程的过程中，正确的是（ ）A.x 2=-2,解方程，得 ； C.4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, 1271,44x x ==； B.(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4； D.(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x 1= 1;x 2=-4。

课题：用直接开平方法解一元二次方程【学习目标】1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程；2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法；3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．【学习重点】运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．【学习难点】通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．【导学流程】一、情景导入感受新知情景：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长．问题1：本题的等量关系是什么？问题2：设正方形的棱长为x dm，请列出方程并化简．问题3：根据平方根的意义解方程x2＝25.由此导入并板书课题直接开平方法．二、自学互研生成新知【自主探究】阅读教材P5，完成以下问题：(1)问题1中可列出的方程是：10×6x2＝1500．(2)整理方程，得x2＝25．(3)根据平方根的意义，得x＝±5．即x1＝__5，x2＝－5．(4)通过验证可知：__5和－5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5dm.【合作探究】①当p＞0时，方程x2＝p有两个不等的实数根x1x2当p＝0时，方程x2＝p有两个相等的实数根x1＝x2＝0．当p＜0时，方程x2＝p无实数根．②探究方程(x＋3)2＝5的根：因为(x＋3)2＝5，所以x＋3是__5的平方根，所以x＋3等于5或－ 5.即x＋3或x＋3解x＋3得x1x＋3得x2于是，方程(x＋3)2＝5的根为x1x2解方程(x＋3)2＝5的过程实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得原方程的解．③当p ≥0时，方程(mx ＋n)2＝p 的解是x 1＝m x 2m 当p ＜0时，方程(mx ＋n)2＝p 无实数根．师生活动：①明了学情：看学生能否顺利解决所给问题，注意书写格式方面存在的问题．②差异指导：注意帮助学困生复习平方根等知识，紧扣平方根讨论p 的符号与方程的解的个数的关系． ③生生互助：同桌之间批改，相互讨论改正错误．三、典例剖析 运用新知【合作探究】范例：解下列方程：(1)(2x －1)2＝5；解：x 1＝5＋12，x 2＝－5＋12. (2)3(x ＋1)2＝13； 解：x 1＝－23，x 2＝－43. 仿例：解下列方程：(1)2(x －1)2＝8；解：x 1＝3，x 2＝－1.(2)4(3x －1)2－9(3x ＋1)2＝0；解：x 1＝－53，x 2＝－115.【归纳】上面的方程都能化成x 2＝p 或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的形式，那么可由“降次”得到x ＝±p 或mx ＋n ＝±p(p ≥0)求解．师生活动：以师生对话的形式讨论(mx ＋n)2＝p 的解的个数问题．四、课堂小结 回顾新知本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x 2＝p(p ≥0)，那么x ＝±p 转化为应用直接开方法解形如(mx ＋n)2＝p(p ≥0)，那么mx ＋n ＝±p ，达到降次转化之目的．若p ＜0则方程无解．五、检测反馈 落实新知六、课后作业 巩固新知(见学生用书)。

第二十一章一元二次方程21.2.1配方法第一课时直接开平方学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如2x=p或()2+=p (p≥0)的方程.(重点）x n复习导入：1.如果2x=a,则x叫做a的平方根.2.如果2x=a(a ≥0),则x=3.如果2x=64 ,则x= 8±.4.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课：★直接开平方问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程21061500x ⨯=由此可得：225x =，开平方，得：5x =± 即1x =5，2x =－5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm ． 试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. （1）24x = 解:根据平方根的意义，得1x =2, 2x =-2. （2）20x = 解:根据平方根的意义，得1x =2x =0.（3）210x += 解:根据平方根的意义，得2x =-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.探究归纳：一般的，对于可化为方程 2x = p(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根1x p =-，2x p = ，(2)当p=0 时，方程有两个相等的实数根12x x ==0(3)当p<0 时,因为任何实数x ，都有2x ≥0 ，所以方程无实数根.归纳：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 典例精析：例1：利用直接开平方法解下列方程:()216x = ()229000x -=探究交流：对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5在解方程225x =时，可以得到5x =±，由此可以想到（x+3）2=5，可以得到：3x +=13x =，23x = 解题归纳：上面的解法中 ，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.例2 解下列方程： ⑴ （x ＋1）2= 2解析：第1小题中只要将（x ＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.解：⑴x+1是2的平方根，⑴x+1=即11x =-21x =- （2）()2140x --=解析：第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解. 解：移项，得（x -1）2=4.⑴x -1是4的平方根，⑴x -1=±2. 即x 1=3，x 2=-1.（3）()2123230x --=解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可. 解：(3)移项，得()212323x -= 两边同时除以12，得：()21324x -= ⑴3-2x 是14的平方根，⑴3-2x=±14.即3-2x=14,3-2x=-141257,44x x ==例3 解下列方程：2(1)445x x -+= 2(2)9614x x ++=探讨交流：1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？答：如果一个一元二次方程具有x 2=p 或（x ＋n ）2= p （p ≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.当堂练习：1.下列解方程的过程中，正确的是（D ）2.填空:(1)方程x2=0.25的根是x1=0.5,x2=-0.5 .(2)方程2x2=18的根是x1＝3,x2＝-3 .(3)方程(2x-1)2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .3. 解下列方程：(1)x2-81＝0；(2)2x2＝50；(3)(x＋1)2=4 .挑战自我：解方程: ()()22225x x -=+ 解： ()225x x -=±+225225x x x x ∴-=+-=--或即方程的两根为：127,1x x =-=-课堂小结：。

新人教版九年级数学上册《21.2.1.1直接开平方法》学案 学习目标1.了解形如())0(2≥=+k k h x 的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法2.会用直接开平方法解一元二次方程学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程学习难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系教学过程一、预习内容1.什么是一元二次方程？将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项（1）245x x -= （1）235x = （3）()()()22122-+=+-y y y y 2.如果a x =2那么x 叫做a 的______,记作________;如果42=x ,那么记作________; 3的平方根是 ；0的平方根是 ；-4的平方根 .二、学习内容 问题如何解方程：x 2＝4根据平方根的定义，由x 2＝4可知，x 就是4的平方根，因此x 的值为2和－2 即:根据平方根的定义，得 x 2＝4x ＝±2即此一元二次方程的解为： x 1=2，x 2 =－2 这种解一元二次方程的方法叫做____________。

例1 :解下列方程：（1）x 2＝2 （2）4x 2－1＝0注：形如方程02=-k x （k___）可变形为x 2＝k (k____)的形式，即方程左边是关于x 的一次式的平方，右边是一个_____数，可用直接开平方法解此方程。

方程的两根分别用21,x x 表示。

三、试着写出下列方程的根：（1）3x 2-1=5 （2）4x 2=25 (3)3x 2-9=0 (4)8x 2-16=0四、例2 解下列方程：⑴ （x ＋1）2= 2 ⑵ 2（x －1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－x ）2－3 = 0注：解形如())0(2≥=+k k h x 的方程时，可把()h x +看成整体，然后直开平方程。

自学检测：(1)81(x-2)2=16 ； (2)(2x+1)2=25； （3）4（x-1）2-9=0（4）4x 2+16x+16=9 (5)2（x-3）2=72 (6)4（x-3）2-72=9四、练习1.用直接开平方法解方程（x ＋h ）2=k ，方程必须满足的条件是（ ）A ．k≥oB ．h≥oC ．hk ＞oD ．k ＜o2.方程（1-x ）2=2的根是（ ）A.-1、3 B.1、-3 C.1-2、1+2 D.2-1、2+13.解下例方程 (1)4x 2=9 (2)3(2x+1)2=12 （3）45－x 2＝0； （4）12y 2－25＝0；（5）16x 2－25＝0. （6） 4x 2－1＝0 (7)x 2+4x+4=1。