2017届高三数学辅导精讲精练12推荐

四、导数的综合应用考纲要求会利用导数解决某些实际问题.导数的综合应用是高考的重点考查内容，利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的命题热点． 命题规律导数的综合应用涉及的知识点多,综合性强，要么直接求极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性,函数的零点，不等式及实际问题形成知识的交汇问题．选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值,一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用,一般难度较大，属于中、高档题．预测2017年的高考,不但会出现考查求导法则、导数的几何意义等问题的小题，还会考查导数的综合应用大题．已知各项均为正数的数列{}na 满足22112n n n n aa a a ++=+,且24324,a a a +=+其中*n ∈N .(1）求数列{}na 的通项公式；（2)令1,nnnca =+记数列{}n c 的前n 项积为,n T 其中*n ∈N ，试比较n T 与9的大小，并加以证明.【答案】(1）*2,n nan =∈N .(2）9n T <，证明见解析。

【解析】(1）由22112n n n n aa a a ++=+得111()(2)0,0,2n n n n n n n aa a a a a a ++++-=>∴=，即12n na a +=， ∴数列{}na 是以2为公比的等比数列。

由24324aa a +=+得12a =,故数列{}n a 的通项公式为*2,n n a n =∈N 。

（2）9nT<,证明如下：构造函数()ln(1)f x x x =+-，则1()111xf x x x '=-=-++,当0x >时，()0f x '<,故()f x 在(0,)+∞上递减，所以()(0)0f x f <=，故ln(1)x x +<， 所以ln ln(1)ln(1)22nn n n n n nca =+=+<. 1212212ln ln ln ln 222n n n n n nT c c c T c c c =∴=+++<+++………, 设212,222n n n S =+++…则231112122222n nn n nS +-=++++…， 相减得2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n S +++-+=++++-=-=--…, 故222,ln 2,2n n n n S T +=-<<∴ 2e 9n T <<∴.【考点定位】数列、导数的综合运用.已知函数()1ln1x f x x+=-．（1）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程; （2）求证：当()01x ∈，时,()32()3x f x x >+；（3)设实数k 使得3()()3x f x k x >+对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．【技巧点拨】通过构造函数，利用导数证明不等关系是解决本题的巧妙之处、关键所在。

201712
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴 趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 求满足如下条件的最小整数N ：N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂. 那么该款软件的激活码是(440 ) 解析：数列可分为
第1组1个数：1，其和为121-
第2组2个数：01
2,2，其和为221-
第3组3个数：0122,2,2，其和为321- …
第n 组n 个数：01212,2,2,,2n -⋅⋅⋅，其和为21n
- 于是，前n 组共()12
n n +个数，其和为122n n +--， 设第n+1组有k 个数，其和为21k -，()12n n N k +=
+ 由()11002
n n +>得n>13，从而221k n +=-，2316k n =+>， 所以k 最小取5，这时n=32-3=29，N 最小为
293054402N ⨯=+=。

专题六综合提升训练(六)(用时40分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·广东实验中学测试)若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝()A．1 B.1 4C．2 D.1 2解析：选B.因为抛物线方程为x2＝1a y，所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，14a，则有14a＝1，a＝14，所以选B.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为()A.x25－y220＝1 B.x225－y220＝1C.x220－y25＝1 D.x220－y225＝1解析：选A.因为圆x2＋y2－10x＝0的圆心为(5,0)，所以c＝5，又双曲线的离心率等于5，所以a＝5，b＝25，故选A.3．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为9π，则p＝()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B.∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆的面积为9π，∴圆的半径为3，又圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝p2，∴p2＋p4＝3，解得p＝4.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝23，右焦点F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个根分别为x 1，x 2，则点P (x 1，x 2)在( ) A ．圆x 2＋y 2＝2上 B ．圆x 2＋y 2＝2内 C ．圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情况都有可能解析：选B.由题意知e ＝23，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba x 1x 2＝－ca，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a2＋2c a＝a 2－c 2a 2＋43＝73－c 2a 2＝179＜2，∴点P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内． 5．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线y ＝－bxa 对称，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B.52 C ．2D. 2解析：选A.由题意，过F 2(c,0)且垂直于y ＝－bx a 的直线方程为y ＝ab (x －c )，它与y＝－bx a 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，－ab c ，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c －c ，－2ab c ，∵点P 在双曲线上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c －c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2ab c 2b 2＝1，整理得c 2＝5a 2，∴c 2a 2＝5，∴e ＝c a＝5，选A. 6．(2016·山东聊城实验中学三诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C.由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·b sin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.7．(2016·山东德州一模)已知抛物线y 2＝8x 与双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．5x ±3y ＝0 B ．3x ±5y ＝0 C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选A.抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，设M (m ，n )，则由抛物线的定义可得|MF |＝m ＋2＝5，解得m ＝3，由n 2＝24，可得n ＝±2 6.将M (3，±26)代入双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，可得9a 2－24＝1(a ＞0)，解得a ＝35，故双曲线的渐近线方程为y ＝±53x ，即5x ±3y ＝0.故选A.8．(2016·重庆巴蜀中学月考)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为( ) A ．9,7 B ．8,7 C ．9,8D ．17,8解析：选B.由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8，故选B.9．(2016·河北唐山摸底)已知双曲线P ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，与x 轴平行的直线交P 于B ，C 两点，记∠BAC ＝θ，若P 的离心率为2，则( ) A ．θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B ．θ＝π2 C ．θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，πD ．θ＝3π4解析：选 B.∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，∴b 2＝c 2－a 2＝a 2，∴双曲线方程可变形为x 2－y 2＝a 2.设B (x 0，y 0)，由对称性可知C (－x 0，y 0)，∵点B (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 20－y 20＝a 2.∵A (a,0)，∴AB →＝(x 0－a ，y 0)，AC →＝(－x 0－a ，y 0)，∴AB →·AC →＝(x 0－a )·(－x 0－a )＋y 20＝a 2－x 20＋y 20＝0， ∴AB →⊥AC →，即θ＝π2.故B 正确．10．(2016·甘肃张掖二模)点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率为( ) A. 2 B. 5 C. 3D. 6解析：选B.取双曲线的其中一条渐近线：y ＝b a x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝bax ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pa 2b 2，y ＝2pab ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pa 2b 2，2pa b ，∵点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，∴p 2＋2pa 2b 2＝p ，∴a 2b 2＝14，∴双曲线C 2的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，故选B.11．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，且P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的倾斜角为120°，则|PF |＝( ) A ．2 B. 3 C ．4D.3＋1解析：选C.设A (xA ，yA )，P (xP ，yP )，易知xA ＝－1，依题意，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.因为直线AF 的倾斜角为120°，所以tan 120°＝yA－1－1，所以yA ＝2 3.因为P A ⊥l ，所以yP ＝yA ＝23，代入抛物线方程y 2＝4x 中，得x P ＝3，所以|PF |＝|P A |＝3－(－1)＝4.故选C.12．已知双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，F 为其右焦点，A 1，A 2分别是实轴的左、右端点，设P 为双曲线上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P ，A 2P 与直线x ＝a 分别交于M ，N 两点，若FM →·FN →＝0，则a 的值为( ) A.169B.95C.259D.165解析：选B.∵双曲线x 29－y 216＝1，右焦点F (5,0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，设P (x ，y )，M (a ，m )，N (a ，n )， ∵P ，A 1，M 三点共线，∴m a ＋3＝yx ＋3，m ＝y (a ＋3)x ＋3， ∵P ，A 2，N 三点共线，∴n a －3＝yx －3，∴n ＝y (a －3)x －3. ∵x 29－y 216＝1，∴x 2－99＝y 216，∴y 2x 2－9＝169.又FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －5，y (a ＋3)x ＋3，FN →＝⎝⎛⎭⎪⎫a －5，y (a －3)x －3，∴FM →·FN →＝(a －5)2＋y 2(a 2－9)x 2－9＝(a －5)2＋16(a 2－9)9，∵FM →·FN →＝0，∴(a －5)2＋16(a 2－9)9＝0，∴25a 2－90a ＋81＝0，∴a ＝95.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝414．已知椭圆x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝2，则∠F 1PF 2的正弦值为________．解析：在椭圆x 29＋y 22＝1中，a 2＝9，b 2＝2，c 2＝a 2－b 2＝7，所以a ＝3，c ＝7.因为|PF 1|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6－2＝4，所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝22＋42－(27)22×2×4＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°，sin ∠F 1PF 2＝sin 120°＝32.答案：3 215．已知过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点的直线m的斜率为ab，若原点到直线m的距离等于右焦点到该双曲线的一条渐近线的距离的2倍，则ab＝________.解析：设双曲线的右焦点为(c,0)，得直线m的方程为y＝ab(x－c)，即ax－by－ac＝0，原点到直线m的距离d1＝|－ac|a2＋b2＝a.右焦点到双曲线的一条渐近线y＝ba x的距离d2＝bca2＋b2＝b.因为d1＝2d2，所以a＝2b，ab＝2.答案：216．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，若△F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.解析：由双曲线的定义有|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，两式相加得|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a，又|AF1|＝|AB|，所以|BF1|＝4a，|AF1|＝22a，|AF2|＝22a－2a.在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝(22a)2＋(22a－2a)2，解得e2＝c2a2＝5－2 2. 答案：5－2 2。

专题25 选修部分1.【2017课标1，文22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）． （1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l【答案】（1）(3,0)，2124(,)2525-；（2）8a =或16a =-．试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 从而C 与的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-． （2）直线的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到的距离为d =．当4a ≥-时，d=8a =； 当4a <-时，d=16a =-． 综上，8a =或16a =-． 【考点】参数方程【名师点睛】本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表达椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．2【2017课标1，文23】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． （1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含–1，1]，求的取值范围．【答案】（1）{|1x x -<≤；（2）[1,1]-．试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x --<≤． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以的取值范围为[1,1]-． 【考点】不等式选讲【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥(或c ≤)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞ (此处设a b <)三个部分，在每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解．@3.【2017课标II ，文22】 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

高考大题专攻练 10.解析几何(B组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,点G在椭圆C上,且·=0,△GF1F2的面积为2.(1)求椭圆C的方程.(2)直线l:y=k(x-1)(k<0)与椭圆相交于Α,Β两点,点Ρ(3,0),记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当最大时,求直线l的方程.【解析】(1)因为e==,所以a=c=b,点G在椭圆C上,且·=0,△GF1F2的面积为2,所以+=2a,·=2,+=4c2=2a2,解之a2=4,b2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)l:y=k(x-1)(k<0)与C:+=1联立解得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,所以x1+x2=,x1x2=,===k×=k×=k×=,=≤,当且仅当k=-时,取得最值.此时l:y=-.2.设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程.(2)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.【解析】(1)由e=得=,即a=2c,所以b= c.由右焦点到直线+=1的距离为d=,得:=,解得a=2,b=.所以椭圆C的方程为+=1.(2)当两条射线分别在x轴与y轴上时,不妨令A(0,),B(2,0),此时点O到直线AB的距离为d=,|AB|=;当两条射线的斜率都存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆+=1联立消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,x1+x2=-,x1x2=.因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,所以x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,所以(k2+1)-+m2=0,整理得7m2=12(k2+1),所以O到直线AB的距离d===,为定值,因为OA⊥OB,所以OA2+OB2=AB2≥2OA·OB,当且仅当OA=OB时取“=”.由d·AB=OA·OB得d·AB=OA·OB≤, 所以AB≥2d=,又<,所以弦AB的长度的最小值是.。

专题4.3 解三角形【三年高考】1. 【2021高考新课标3理数】在ABC △中，π4B ，BC 边上高等于13BC ,那么cos A 〔 〕〔A 〕31010 〔B 〕1010〔C 〕 〔D 〕 【答案】C2.【2021高考新课标2理数】ABC ∆内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，假设，，1a =，那么b = ． 【答案】2113【解析】因为，且,A C 为三角形内角，所以，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为， 所以.3．【2021高考上海理数】ABC ∆三边长分别为3,5,7，那么该三角形外接圆半径等于_________. 73【解析】由3,5,7a b c ===，∴，∴，∴4．【2021年高考北京理数】在∆ABC 中，2222+=a c b ac . 〔1〕求B ∠ 大小；〔22cos cos A C + 最大值.5．【2021高考新课标1卷】 ABC ∆内角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ,2cos (cos cos ).C a B+b A c = 〔I 〕求C ； 〔II 〕假设7,c ABC =∆33,求ABC 周长． 【解析】〔I 〕由及正弦定理得,()2cosC sin cos sin cos sinC A B+B A =,即()2cosCsin sinC A+B =．故2sinCcosC sinC =．可得,所以．〔II 〕由,．又,所以6ab =．由及余弦定理得,222cosC 7a b ab +-=． 故2213a b +=,从而()225a b +=．所以C ∆AB 周长为57．6. 【2021 高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，，D 为边C B 上点，D ∆AB 与CD ∆A 面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，那么D DF E⋅= ． 【答案】1615-【解析】由题意得：1sin sin 24125255A A AB AC A AB AC =⋅⋅=+⇒⋅=112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=16cos()(151255DE DF A π⋅⋅-==-7.【2021 高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75方向上，仰角为30，那么此山高度CD = m.【答案】61008.【2021 高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 〔Ⅰ〕求()f x 单调区间；〔Ⅱ〕在锐角ABC ∆中，角,,A B C 对边分别为,,a b c ,假设,求ABC ∆面积最大值.【解析】〔I 〕由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数()f x 单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ ； 单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦〔II 〕由 得 ，由题意知A 为锐角，所以 ，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+- ，可得：22132bc b c bc =+≥ ，即：23,bc ≤+ 当且仅当b c =时等号成立.因此 ，所以ABC ∆面积最大值为9.【2021 高考四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 四个内角. 〔1〕证明：〔2〕假设180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====求tantan tan tan 2222A B C D+++值.A BCD222cos AB AD AB AD A +-⋅222cos BC CD BC CD A =++⋅，那么2222222265343cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是223210sin 1cos 1()7A A =-=-=.连结AC ，同理可得2222222263541cos 2()2(6354)19AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，于是221610sin 1cos 1()19B B =-=-=tan tan tan tan 2222A B C D +++. 10. 【2021全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 面积是12，AB=1，2，那么AC=( ) 5【答案】B11.【2021天津高考理第12题】在ABC 中，内角,,A B C 所对边分别是,,a b c ．，2sin 3sin B C ，那么cos A 值为_______． 【答案】14-． 【解析】因为32sin 3sin ,23,,2B C b c bc 代入得2a c ，由余弦定理得2221cos 24b c a Abc． 12.【2021高考浙江理第18题】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c .,3a b c ≠=22cos -cos 3cos 3cos .A B A A B B =〔I 〕求角C 大小；〔II 〕假设，求ABC ∆面积.【三年高考命题回忆】纵观前三年各地高考试题, 解三角形问题，是每年高考必考知识点之一，题型一般是选择和填空形式，大题往往结合三角恒等变换，也有单独解三角形,主要考察正弦定理或余弦定理运用，以及在三角形中运用三角公式进展三角变换能力和利用三角形面积求边长等,考察利用三角公式进展恒等变形技能，以及根本运算能力，特别突出算理方法考察．【2021年高考复习建议与高考命题预测】由前三年高考命题形式可以看出 , 高考对解三角形考察，以正弦定理、余弦定理综合运用为主，从近几年高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考热点，主要涉及三角形边角转化、三角形形状判断、三角形内三角函数求值以及三角恒等式证明问题，立体几何体空间角以及解析几何中有关角等问题.今后高考命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用.题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度解答题, 主要考察学生分析问题、解决问题能力和处理交汇性问题能力．故在2021年复习备考中，注意掌握利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间关系或各角之间关系，并结合三角形内角和为180°，诱导公式，同角三角函数根本关系，两角和与差正弦、余弦、正切公式进展化简求值．预测2021年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理综合应用为主要考点，重点考察计算能力以及应用数学知识分析和解决问题能力．【2021年高考考点定位】高考对解三角形考察有两种主要形式：一是直接考察正弦定理、余弦定理；二是以正弦定理、余弦定理为工具考察涉及三角形边角转化、三角形形状判断、三角形内三角函数求值以及三角恒等式证明问题.从涉及知识上讲，常与诱导公式，同角三角函数根本关系，两角和与差正弦、余弦、正切公式,向量等知识相联系，小题目综合化是这局部内容一种趋势.【考点1】利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长 【备考知识梳理】1．直角三角形中各元素间关系：如图，在ABC 中，90C =︒，,,AB c AC b BC a ===. 〔1〕三边之间关系：222a b c +=.〔勾股定理〕 〔2〕锐角之间关系：90A B +=︒； 〔3〕边角之间关系：〔锐角三角函数定义〕 ，，.46810a b c CBA2．斜三角形中各元素间关系：如图，在ABC 中，,,A B C 为其内角，,,a b c 分别表示,,A B C 对边. 〔1〕三角形内角和：A B C π++=.〔2〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角正弦比相等2sin sin sin a b cR A B C===.〔R 为外接圆半径〕 变形：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =;sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===; ::sin :sin :sin a b c A B C =；2sin sin sin sin a b c aR A B C A++==++.〔3〕余弦定理：三角形任何一边平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角余弦积两倍2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-.推论：;;.变形：2222cos bc A b c a =+-;2222cos ac B a c b =+-;2222cos ab C a b c =+-.【规律方法技巧】解斜三角形常规思维方法是：〔1〕两角和一边〔如,,A B c 〕，由A B C π++=求C ，由正弦定理求,a b ；〔2〕两边和夹角〔如,,a b C 〕，应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对角，然后利用A B C π++=，求另一角；〔3〕两边和其中一边对角〔如,,a b A 〕，应用正弦定理求B ，由A B C π++=求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；A 为锐角 A 为钝角或直角 图形关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜b a ≥ba ＞b a ≤b解 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解也可设出第三边,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.〔4〕三边,,a b c ，应余弦定理求,A B ，再由A B C π++=，求角C .(5)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中运用．(6)在含有三角形内角三角函数和边混合关系式中要注意变换方向选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形试题中方程思想是主要数学思想方法，要注意从方程角度出发分析问题．(7)如何恰中选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理量与未知量关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间关系等结论，对于相关问题是十分有益.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是两角和一角对边，求其他边角；二是两边和一边对应角，求其他边角，由于此时三角形不能确定，应对它进展分类讨论.利用正弦定理解题一般适应特点〔1〕如果所给等式两边有齐次边形式或齐次角正弦形式，可以利用正弦定理进展边角互换，这是高考中常见形式；〔2〕根据所给条件构造〔1〕形式，便于利用正弦定理进展边角互换，表达是转化思想灵活应用.余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切联系，常解决一下两类问题：一是两边和它们夹角，求其他边角；二是三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定，所以其解也是唯一. 余弦定理重要应用(8)三角形余弦定理作为解决三角形问题利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见几种变形形式，介绍如下.①联系完全平方式巧过渡:由222()2b c b c bc +=+-那么22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+. ②联系重要不等式求范围：由222b c bc +≥，那么2222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A bc bc A bc A =+-≥-=-当且仅当b c =等号成立.③联系数量积定义式妙转化：在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====. (9)在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而到达求值、证明或判断目．解题时要注意隐含条件． 【考点针对训练】1. 【2021年山西三校高三联考】在ABC ∆ 中，2,B A ACB =∠ 平分线CD 把三角形分成面积比为4:3两局部，那么cos A = . 【答案】232. 【2021年湖北省八校高三第二次联考】如图，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，1AB =，7AC =，23ABC π∠=，3ACD π∠=. 〔Ⅰ〕求sin BAC ∠； 〔Ⅱ〕求DC 长.【解析】〔Ⅰ〕在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅，即260BC BC +-=，解得：2BC =，或3BC =-〔舍〕， 由正弦定理得：sin 21sin .sin sin 7BC AC BC B BAC BAC B AC =⇒∠==∠【考点2】利用正余弦定理求三角形面积 【备考知识梳理】ACDB(第17题图)三角形面积公式：〔1〕111222a b c S ah bh ch ===〔,,a b c h h h 分别表示,,a b c 上高〕； 〔2〕111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===； 〔3〕()()()222sin sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin a B C b A C c A B S B C A C A B ===+++； 〔4〕22sin sin sin S R A B C =；〔R 为外接圆半径〕〔5〕S =Rabc 4； 〔6〕S =△＝))()((c s b s a s s ---；；〔7〕S rS =.〔r 为内切圆半径,〕【规律方法技巧】利用来求ABC 面积是在两边及夹角前提下来求，事实上，两边及夹角中某个(或两个)量需要通过解三角形求出，这就需要先利用正、余弦定理解三角形．求解此类三角形根本量技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析等式中边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等工具进展三角形中边角互化，假设要把“边〞化为“角〞，常利用“2sin a R A =，，2sin b R B =，2sin c R C =;〞，假设要把“角〞化为“边〞，常利用sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===，;;等；然后利用三角形内角和定理、大边对大角等知识求出三角形根本量．解三角形中，应特别注意问题中隐含条件，正弦定理和余弦定理，三角形面积公式，三角形中边角关系，内角和定理等．例如利用边值判断隐含条件b a ≤或b c ≤，极其隐蔽．另外常见错误还有：(1)在化简三角函数式子时要注意恒等变形不要轻易约分(消去某一个式子)等，(2)在利用正弦定理解三角形两边和其中一边对角求另一边对角，进而求出其他边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进展分类讨论．【考点针对训练】1. 【2021届邯郸市一中高三第十研】如图，在Rt ABC ∆中，090A ∠=，,D E 分别是,AC BC 上一点，满足030ADB CDE ∠=∠=，4BE CE =．假设CD =BDE ∆面积为________．【答案】435 2. 【2021届河北省石家庄市高三二模】在ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、所对边，且满足C b a cos 3=.〔Ⅰ〕求值；〔Ⅱ〕假设3tan ,3==A a ，求ABC ∆面积.【解析】〔I 〕由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===可得： 2sin =32sin cos R A R B C ⨯, A B C π++=sin sin()=3sin cos A B C B C ∴=+，即sin cos cos sin =3sin cos B C B C B C +cos sin =2sin cos B C B C ∴ ,故．【考点3】利用正余弦定理判断三角形形状【备考知识梳理】解斜三角形主要依据是：设ABC 三边为,,a b c ，对应三个角为,,A B C .〔1〕角与角关系：A B C π++=；〔2〕边与边关系：a b c +>，b c a +>，c a b +>，,,a b c b c a c a b -<-<-<；〔3〕边与角关系：正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C===.〔R 为外接圆半径〕； 余弦定理 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-.它们变形形式有：2sin a R A =，，.5．三角形中三角变换三角形中三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身特点.〔1〕角变换因为在ABC 中，A B C π++=，所以sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；tan()tan A B C +=-.2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； 〔2〕三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半.〔3〕在ABC 中，熟记并会证明：,,A B C 成等差数列充分必要条件是60B =︒；ABC 是正三角形充分必要条件是,,A B C 成等差数列且,,a b c 成等比数列.【规律方法技巧】依据条件中边角关系判断三角形形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边相应关系，从而判断三角形形状；2．利用正、余弦定理把条件转化为内角三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角关系，从而判断出三角形形状，此时要注意应用A B C π++=这个结论．如何利用余弦定理判定三角形形状由于cos A 与222b c a +-同号，故当2220b c a +->时，角A 为锐角；当2220b c a +-=时，三角形为直角三角形；当2220b c a +-<时，三角形为钝角三角形．三角形中常见结论(1) A B C π++=.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在ABC 中，sin sin A B >是A B >充要条件【考点针对训练】1. 【2021届福建省泉州市高三5月质检】,,a b c 分别是ABC ∆ 中角,,A B C 对边sin 4sin 4sin ac A C c A +=.〔1〕求a 值；〔2〕圆O 为ABC ∆外接圆〔O 在ABC ∆内部〕, ABC ∆面积为,判断ABC ∆形状, 并说明理由.【解析】〔1〕由正弦定理可知,sin ,sin 22a c A C R R==, 那么2sin 4sin 4sin 44ac A C c A a c c ac +=⇔+=,()2220,444420c a c c ac a a a ≠∴+=⇔+=⇔-=,可得2a =.2. 【2021年山西榆林高三月考】如图，平面上直线12//l l ，,A B 分别是12,l l 上动点，C 是12,l l 之间一定点，C 到1l 距离1CM =，C 到2l 距离3CN =ABC ∆三内角A ∠、B ∠、C ∠所对边分别为,,a b c ，a b >，且cos cos b B a A =.〔1〕判断ABC ∆形状；〔2〕记()11,ACM f AC BC θθ∠==+，求()f θ最大值.【解析】〔1〕由正弦定理得：，结合cos cos b B a A =，得sin 2sin 2B A =，又a b >，所以A B >，且(),0,A B π∈，所以22A B π+=，∴，所以ABC ∆是直角三角形;〔2〕ACM θ∠=，由〔1〕得，那么()131132,BC ,cos sin cos cos sin 363AC f AC BC πθθθθθθ⎛⎫===+=+=- ⎪⎝⎭， 所以时，()f θ最大值为233.【考点4】正、余弦定理实际应用【备考知识梳理】仰角和俯角在同一铅垂平面内水平视线和目标视线夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．2．方位角从某点指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间水平夹角叫做方位角．如B 点方位角为α(如图(b))．3．方向角正北或正南方向线与目标方向线所成锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．易混点：易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成锐角．【规律方法技巧】三角形应用题解题要点：解斜三角形问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求量，从而得到实际问题解．有些时候也必须注意到三角形特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少．把握解三角形应用题四步：(1)阅读理解题意，弄清问题实际背景，明确与未知，理清量与量之间关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题复原为实际问题，注意实际问题中有关单位问题、近似计算要求等．求距离问题考前须知：(1)选定或确定要求解三角形，即所求量所在三角形，假设其他量那么直接解；假设有未知量，那么把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算定理．求解高度问题应注意：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线夹角；(2)准确理解题意，分清条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关三角形，逐步求解问题答案，注意方程思想运用．解决测量角度问题考前须知：(1)明确方位角含义；(2)分析题意，分清与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决问题后，注意正、余弦定理“联袂〞使用．【考点针对训练】1. 【2021届福建厦门双十中学高三下热身考】为了应对日益严重气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新“弹射型〞气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进展气象观测．如下图，,,A B C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进展弹射实验，观测点,A B两地相距100米，60BAC∠=︒，在A地听到弹射声音时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H处仰角为30．〔Ⅰ〕求A，C两地距离；〔Ⅱ〕求这种仪器垂直弹射高度HC〔声音传播速度为340米/秒〕．2. 【2021届江苏省清江中学高三下学期周练】如图是某设计师设计Y 型饰品平面图，其中支架OA ，OB ，C O 两两成120，C 1O =，C AB =OB+O ，且OA >OB ．现设计师在支架OB 上装点普通珠宝，普通珠宝价值为M ，且M 与OB 长成正比，比例系数为k 〔k 为正常数〕；在C ∆AO 区域〔阴影区域〕内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝价值为N ，且N 与C ∆AO 面积成正比，比例系数为3k ．设x OA =，y OB =．〔1〕求y 关于x 函数解析式，并写出x 取值范围；〔2〕求N-M 最大值及相应x 值．【应试技巧点拨】1. 余弦定理重要应用三角形余弦定理作为解决三角形问题利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见几种变形形式，介绍如下. ①联系完全平方式巧过渡:由222()2b c b c bc +=+-那么22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+.②联系重要不等式求范围：由222b c bc +≥，那么2222cos 22cos 2(1cos )a b c bc A bc bc A bc A =+-≥-=-当且仅当b c =等号成立.③联系数量积定义式妙转化： 在ABC ∆中，由222222cos cos 22a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====. 2.如何恰中选择正弦定理与余弦定理解题利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理量与未知量关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间关系等结论，对于相关问题是十分有益.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是两角和一角对边，求其他边角；二是两边和一边对应角，求其他边角，由于此时三角形不能确定，应对它进展分类讨论.利用正弦定理解题一般适应特点〔1〕如果所给等式两边有齐次边形式或齐次角正弦形式，可以利用正弦定理进展边角互换，这是高考中常见形式；〔2〕根据所给条件构造〔1〕形式，便于利用正弦定理进展边角互换，表达是转化思想灵活应用.3. 三角函数起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角范围缩小了，因此常见三角变换方法和原那么都是适用.4. .解决三角实际问题关键有三点：一是仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题实际背景，理清问题中各个量之间数量关系；二是合理选取参变量，设定变元，寻找它们之间内在联系，选用恰当代数式表示问题中关系；三是建立与求解相应三角函数模型.将文字语言、图形语言、符号语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应数学模型，求解数学模型，得出数学结论.二年模拟1. 【2021届山西省四校高三年级第四次联考】 在ABC ∆中，2,105,4500===BC C A 那么AC = .【答案】1【解析】在ABC ∆中，由A B C π++=，0045,105A C ==，那么030B =，由正弦定理得 00sin sin 3021sin sin 45B AC b a A ⇒==⨯==. 2. 【河北省衡水中学2021届高三七调】在ABC 中，5,,BC G O =分别为ABC 重心和外心，且5OG BC ⋅=，那么ABC 形状是〔 〕A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能【答案】B3. 【2021届湖北省级示范高中联盟高三模拟】22cos ,sin ,,33a OA a b OB a b ππ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，假设OAB ∆是以O 为直角顶点等腰直角三角形，那么OAB ∆面积等于〔 〕A ．1B ．12 C ．2 D ．32 【答案】B【解析】因OAB ∆是等腰三角形,故||||OB OA =,又AOB ∠是直角,故0OA OB ⋅=，即022=-b a ,也即1||||==b a ,所以OAB ∆面积为,应选B.4. 【2021届宁夏石嘴山三中高三下四模】ABC ∆三内角,,A B C 所对边长分别是c b a ,,，假设sin sin 3sin B A a c C a b-+=+，那么角B 大小为〔 〕 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 【答案】D【解析】由sin sin 3sin B A a c C a b-+=+得,即ac c a b 32222++=,故，，故应选D. 5. 【2021届福建厦门双十中学高三下热身考】在ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,.假设A b A a sin cos =，且，那么C A sin sin +最大值是〔 〕A ．2B ．89 C ．1 D ．87 【答案】B6. 【2021届海南省农垦中学高三考前押题】在ABC ∆中， 60=A ，10=BC ，D 是AB 边上一点，2=CD ，BCD ∆面积为1，那么AC 长为〔 〕A.32B.3C.33D.332 【答案】D【解析】因为1=∆BCD S ，可得1sin 21=∠⨯⨯⨯DCB BC CD ，即，所以，在BCD ∆中，由余弦定理5522cos 222=⋅-+=∠BC CD BD BC CD DCB ，解得2=BD ，所以101032cos 222=⋅-+=∠BC BD CD BC BD DBC △ABC 中，由正弦定理可知，可得,应选D.7. 【2021届广西来宾高中高三5月模拟】如图，平面四边形ABCD 中，005,22,3,30,120AB AD CD CBD BCD ===∠=∠=，那么ADC ∆面积S 为_____________．【答案】8. 【2021届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】在ABC ∆中, 角,,A B C 对边分别为,,a b c ,且33b c =.〔1〕假设2B C =,求sin B 值；〔2〕假设3,c ABC =∆面积为32求a . 【解析】〔1〕2B C =,∴由33b c =得，解得，216632sin 1cos 1sin sin 22sin cos 233C C B C C C ∴=-=-=∴====〔2〕3,323,23,c b c b ABC ==∴=∆面积为116sin 32332,sin 22bc A A A =⨯⨯==那么,291212a ∴=+±,解得333a a ==或 9. 【2021届宁夏银川二中高三5月适应性训练】设△ABC 内角A 、B 、C 对边长分别为a 、b 、c ，设S 为△ABC 面积，满足. 〔1〕求B ； 〔2〕假设3b =A x =，(3-1)2y a c =+（），求函数()y f x =解析式和最大值.10. 【2021届安徽六安一中高三下学期第三次模拟】ABC ∆内角C B A ,,对边分别为c b a ,,假设()(),cos ,cos cos ,1,2A C a A c n b m +== 且n m //.〔1〕求角A 值.〔2〕假设ABC ∆面积，试判断ABC ∆形状.【解析】〔1〕由n m //，得0cos cos cos 2=+-A c C a A b ，由正弦定理，得C A A C A B cos sin cos sin cos sin 2+=， 即()B C A A B sin sin cos sin 2=+=，在ABC ∆中，0sin >B ， 所以，又()π,0∈A ，所以.〔2〕由ABC ∆得面积，得bc a =2，由余弦定理，得()bc c b A bc c b a +-=-+=2222cos 2，所以()02=-c b ，所以c b =，此时有c b a ==，所以ABC ∆为等边三角形.11. 【湖南省怀化市中小学课程改革教育质量监测2021 届高三期中】由以下条件解ABC ∆,其中有两解是〔 〕A ．︒=︒==80,45,20c A bB ．︒===60,28,30B c aC ．︒===45,16,14A c aD ．3,42,60a b A ===︒【答案】C【解析】∵︒===45,16,14A c a ，∴sin 16242sin 1sin sin 14a c c A C A C a =⇒===<，∴C 有两个解.12.【2021-2021 学年度上学期省五校协作体高三期中考试】在ABC 中，角,,A B C 所对应边分别为,,a b c ，cos cos b C c B b += ，那么ab=______ .【答案】113.【黄冈中学2021年秋季高三年级11月月考】ABC ∆中内角为,,A B C ，重心为G ，假设2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅=，那么cos B = .【解析】112设,,a b c 为角,,A B C 所对边，由正弦定理得2330aGA bGB cGC ++= ，那么2333()aGA bGB cGC c GA GB +=-=---，即()()23330a c GA b c GB -+-=，又因为,GA GB 不共线，那么23=0a c -, 33=0b c -,即233,a b c ==所以，2221cos 212a cb B ac +-∴==.14.【河南省信阳市2021 届高中毕业班第二次调研检测】在ABC 中，内角,,A B C 对边分别为,,a b c ,假设ABC 面积为S ,且222()S a b c =+-，那么tan C 等于 〔 〕 (A)34(B)43(C) 43-(D)34- 【答案】C15.【2021 届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】在ABC ∆中，角A B C 、、所对边分别为a b c 、、，sin()2cos()06A B C π+++=．〔1〕求A 大小；〔2〕假设6=a ，求b c +取值范围． 【解析】〔1〕由条件结合诱导公式得，从而所以cos 0A ≠，tan 3A =，因为0A π<<，所以．〔2〕由正弦定理得：643sin sin sin 3b c B C π===，所以43sin b B =，43sin c C =，所以243(sin sin )43sin sin()3b c B C B B π⎡⎤+=+=+-⎢⎥⎣⎦333143sin cos 12sin cos 2222B B B B ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为5666B πππ<+<，所以，即612b c <+≤〔当且仅当3B π=时，等号成立〕．拓展试题以及解析1. ,,a b c 为ABC ∆三个角,,A B C 所对边，假设3cos (13cos )b C c B =-，那么sin :sin C A =〔 〕 A ．2︰3 B ．4︰3 C ．3︰1 D ．3︰2 【答案】C【入选理由】此题主要考察了正弦定理、余弦定理等根底知识，意在考察综合应用和计算能力.此题难度适中，出题有一定新意,应选此题.△ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，假设,b c 是方程2560x x -+=两根，且，那么a = 〔 〕A.2B.3 D.7 【答案】C【解析】因为,b c 是方程2560x x -+=两根，故5b c +=，6bc =，由余弦定理，得()222212cos 22cos 25262672a b c bc A b c bc bc A =+-=+--=-⨯-⨯⨯=，∴a =C ．【入选理由】此题主要考察了余弦定理，以及一元二次方程根与系数关系等根底知识，意在考察根本运算能力及推理能力.此题符合高考要求, 难度适中，应选此题.3.△ABC 三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，a A b B A a 2cos sin sin 2=+，那么角A 取值范围是〔 〕A. B. C. D. 【答案】C【解析】在△ABC 中，由正弦定理化简等式得A A B B A A sin 2cos sin sin sin sin 2=+， 即A A A B sin 2)cos (sin sin 22=+，所以A B sin 2sin =，由正弦定理得a b 2=，由余弦定理得2343243442cos 22222222=≥+=-+=-+=ac ac ac c a ac a c a bc a c b A 〔当且仅当223a c =，即a c 3=时取等号，因为A 为△ABC 内角，且x y cos =在),0(π上是减函数，所以，那么角A 取值范围是．应选C. 【入选理由】此题主要考察了正弦定理、余弦定理，以及同角三角函数关系，三角函数单调性等根底知识，意在考察综合分析问题,转化与化归能力,以及函数单调性巧妙结合一起,难度适中，符合高考小题目综合化要求,应选此题.ABC ∆中，角,,A B C 对边分别是,,,a b c 且满足2sin sinA sinC B =⋅，cos 12,ac B a c =+则= .【答案】【入选理由】此题主要考察了正弦定理、余弦定理，以及同角三角函数关系等根底知识，意在考察综合分析问题,转化与化归能力,以及计算能力. 此题是三角恒等变换、三角函数求值和解三角形综合运用，灵活运用正弦定理和余弦定理，结合转化思想和方程思想求解三角形问题.综合性强,应选此题. 5．如图，在四边形ABCD 中，，:2:3AB BC =，7AC =．〔1〕求sin ACB ∠值；〔2〕假设，1CD =，求CD ∆A 面积．【解析】〔1〕由:2:3AB BC =，可设2AB x =，3BC x =．又∵7AC =，，∴由余弦定理，得222(7)(3)(2)232cos3x x x x π=+-，解得1x =，∴2AB =，3BC =，由正弦定理，得32sin 212sin 77AB ABCACB AC⨯∠∠===．【入选理由】此题主要考察正弦定理、余弦定理、三角变换等根底知识，意在考察学生识图能力、空间想象能力、运算求解能力，以及考察转化思想、方程思想．此题考察比拟综合，难度适中，符合高考题型，应选此题. 6.如图，290,,3OCkm AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域〔含边界〕，雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r t tkm =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开场沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点距离OE ； 〔Ⅱ〕假设无人侦察机在C 点处雷达就开场开机，且，那么雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.【解析】(Ⅰ) 在COE △中，90,15,OC CE t OCE θ==∠=，由余弦定理可知：22222cos 2252700cos 8100OE OC CE OC CE t t θθ=+-⋅=-+，那么21512cos 36OE t t θ=-+.【入选理由】此题考察解三角形，利用导数研究函数单调性等根底知识，意在考察根本运算能力、 分类讨论思想、分析问题和解决问题能力． 三角应用题每过几年都会涉及，要么为选择题，要么为解答题，故押此题．7.在锐角三角形ABC ，角,,A B C 对边分别为,,a b c ，且满足222()sin cos cos()b a c A A ac A C --=+. (1)求角A ； (2)假设2a =△ABC 面积最大值.【解析】〔1〕由余弦定理得2222cos a c b ac B +-=，代入式222()sin cos cos()b a c A A ac A C --=+得：2cos sin cos cos(π)cos ac B A A ac B ac B -=-=-， 〔*〕又因为cos 0B ≠，所以化简〔*〕式得：2sin cos 1A A -=-，所以sin 21A =，因为,所以. 〔2〕22222a b c 2bccos A 2b c 2bc=2=+-=+，即，222bc b c 22bc 2=+-≥-，。

专题2 排列与组合【三年高考】1. 【2016高考江苏】（1）求的值；（2）设m，n N*，n≥m，求证：（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）.【答案】（1）0（2）详见解析试题解析：解：（1）（2）当时，结论显然成立，当时又因为所以因此【考点】组合数及其性质【名师点睛】组合数的性质不仅有课本上介绍的、，更有，现在又有，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.2．【2016高考新课标2理数改编】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为．【答案】18【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E处出发到F处最短有条路，再从F处到G处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为条．考点：计数原理、组合.【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为．【答案】72【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中之一，其他位置共有随便排共种可能，所以其中奇数的个数为．考点：排列、组合【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，分步时要注意整个事件的完成步骤．在本题中，个位是特殊位置，第一步应先安排这个位置，第二步再安排其他四个位置．.4.【2016高考新课标3理数改编】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有个．【答案】14【解析】试题分析：由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：0 1 1 1110 1 110 11 010 1 110 11 01 00 11 0100 1 110 11 01 00 11 0考点：计数原理的应用．【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．5．【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有________________个【答案】120【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.6.【2015高考上海，理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：7.【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）【答案】．8.【2014浙江高考理第14题】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.【答案】【解析】不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有，二是有三人各获得一张，共有，因此不同的获奖情况有种9.【2014辽宁高考理第6题】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为_________. 【答案】72【解析】如图，将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”号位置做热坐人，故总数由4=24.10.【2014重庆高考理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是______________.【答案】120【解析】将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，有(种)；第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有(种)；根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.11.【2014高考广东卷理第8题】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为__________.【答案】130【2017年高考命题预测】纵观近几年高考，我们可以发现，排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一，从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查可能出现在理科附加题，属于中档题．内容以考查排列、组合的基础知识为主，考查排列组合的综合应用．题目有一定的难度，有时难度还较大，重点考查分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.排列、组合是高考数学相对独立的内容，也是密切联系实际的一部分.在2017年高考中，应该注重基本概念，基础知识和基本运算的考查.排列组合的试题会以现实生活中的生产问题、经济问题为背景，不会仅是人或数的排列.以排列组合应用题为载体，考查学生的抽象概括能力，分析能力，综合解决问题的能力.将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点，应引起重视.排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；考察形式：单独的考题会出现在理科附加22或23题，属于中等难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2017年高考，排列、组合及排列与组合的综合应用仍是高考的重点，同时应注意排列、组合与概率、分布列等知识的结合，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．复习建议：⑴使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理.怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步骤”必须把各步骤均完成才能完成所给事情.所以准确理解两个原理的关键在于明确：分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关.⑶复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验.⑷按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合问题的基本思想方法，要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义.⑸处理排列组合的综合性问题，一般思想方法是先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.⑹在解决排列组合综合性问题时，必须深刻理解排列与组合的概念，能够熟练确定——问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.常见的解题策略有以下几种：①特殊元素优先安排的策略；②合理分类与准确分步的策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略；④正难则反、等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.【2017年高考考点定位】本节内容高考的重点就是利用计数原理，排列组合，排列数、组合数计算公式与组合数性质, 重点考查学生的抽象概括能力，分析问题，解决问题的能力及分类讨论的数学思想方法.题型既有选择题也有填空题,难度中等偏下,将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点.【考点1】计数原理【备考知识梳理】1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念一般形式：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，……，在第n类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N=++……+种不同的方法.2．分步乘法计数原理(乘法原理)的概念一般形式：完成一件事需要n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.3. 两个原理的区别：（1）“每类”间与“每步”间的关系不同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的.（2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事.4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件. 【规律方法技巧】1. 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理．2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键．(2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点：①根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；②分类时，注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，不能重复；③对于分类问题所含类型较多时也可考虑使用间接法．3.利用分步乘法计数原理解决问题时要注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．4. 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析，使问题形象化、直观化．(4)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．5.在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．5. (1)分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．(2)分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．6. 分类加法计数原理的两个条件：(1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；(2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．分步乘法计数原理的两个条件：(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．(2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．7. 应用两种原理解题：(1)分清要完成的事情是什么？(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；(3)有无特殊条件的限制；(4)检验是否有重漏．8. 涂色问题：涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．【考点针对训练】1.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时：（1）各位数字互不相同的三位数有多少个？（2）可以排出多少个不同的数？（3）恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？【答案】（1）120；（2）216；（3）90．【解析】试题分析：（1）得到一个三位数，分三步进行：先填百位，有6种方法；再填十位，有5种方法；最后填个位，有4种方法，根据分步计数原理可得；（2）分三步进行：先填百位，再填十位，最后填个位，每种都有6种方法，根据分步计数原理可得；（3）从三个位中任选两个位，填上相同的数字，有种方法，剩下的一位数字的填法有5中，根据分步计数原理可求得结果．2.某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？【答案】185种.【解析】试题分析：根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出，有种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可.试题解析：将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类：第一类：只会印刷的4人全被选出，有种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种4；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种.所以共有（种）.【考点2】排列组合综合【备考知识梳理】1. 排列的相关概念及排列数公式(1)排列的定义：从个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用表示．(3)排列数公式：这里并且(4)全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，(叫做n的阶乘).排列数公式写成阶乘的形式为，这里规定.2．组合的相关概念及组合数公式(1)组合的定义：从个不同元素中取出 ()个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用表示．(3)组合数的计算公式：，由于，所以.(4)组合数的性质：①；②；③.3.区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．4.解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．5.要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．【规律方法技巧】1. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2. 解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．3. 有条件的排列问题大致分四种类型．(1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数．(2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列．(3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)．(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．4. 对于有条件的组合问题，可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．5.排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．6. 在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．可从排列与组合的关系出发，用类比的方法去理解分组问题，比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法．【考点针对训练】1.现有6名学生，按下列要求回答问题（列出算式，并计算出结果）：（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数；（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数；（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．．．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）；（Ⅳ）【解析】试题分析：（Ⅰ）6个人全排列共有种不同排法，由于甲站在乙的前面与乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数为；（Ⅱ）甲乙捆绑到一起与剩下3人共4人共有种不同排法，由于丙与乙不相邻，丙只需从甲乙这个整体与剩余3人产生的4个空中任选一个进行排放，根据分步计数原理，共种不同排法；（Ⅲ）6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人有两类，第一类是3个班级各1人，1个班级有3人，这种情况共有，第二类是2个班级2人，2个班级1人，这种情况共有,根据分类计数原理知每个班级至少1人的不同分配方法种数为；（Ⅳ）记A：甲乙相邻共有种不同排法，记B:甲、乙相邻且丙、丁不相邻共有种不同排法，根据条件概率的计算公式试题解析：（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）2. 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本；（2）甲得一本，乙得二本，丙得三本；（3）平均分给甲、乙、丙三人；（4）平均分成三堆.【答案】（1）60；（2）60; (3)90; (4)15【解析】（1）先在6本书中任取一本．作为一本一堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有种取法，故共有分法种．（2）由（1）知．分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为种．（4）把6本不同的书分成三堆，每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方法有种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应种，由（3）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种．所以,则（种）.【两年模拟详解析】1.将甲、乙等名学生分配到三个不的班级，每个班级至少1．用这六个数字，完成下面两个小题．（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）依据能被整除的数，其个位是或，分两类，由加法原理得到结论；（2）对于选不选零，结果会受影响，所以第一类均不为零，的取值，第二类中有一个为，则不同的直线仅有两条，根据分类计数原理得到结果．（2）中有一个取时，有条；都不取时，有（条）；与重复；，与重复．故共有（条）．2．六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙按自左至右顺序排队（可以不相邻）；（5）甲、乙站在两端．【答案】（1）480；（2）240；（3）480；（4）360；（5）48．【解析】试题分析：本题主要考查排列组合等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，甲除去两端的位置外，还有四个位置可供选择，排好后再其余的5人；第二问，用捆绑法把甲乙看成1个人，甲乙进行全排列，5个人进行全排列；第三问，用插空法，先排其余4人，将甲乙插在5个空中；第四问，先排甲乙以外的4人，排好后剩下的2个位置直接放甲和乙；第五问，先排甲乙两端的位置，再排中间4个人．试题解析：（1）方法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有种站法，根据分步计数原理，共有站=480（种）．方法二：由于不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选 2个人站，有种站法，然后中间4人有。

专题10.4 圆锥曲线的综合应用【三年高考】1. 【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A2．【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.3．【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p =>（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --；②求p 的取值范围.4．【2016高考天津理数】设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围. 【解析】（1）：设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.（Ⅱ）设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k .解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B .由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=.因此直线MH 的方程为k k x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M MM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k .所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y . 5．【2016年高考四川理数】已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T . （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.（II ）由已知可设直线l ' 的方程为1(0)2y x m m =+≠，有方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，， 可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =.设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ， .由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，， 可得2234(412)0x mx m ++-=.② 方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得323222m -<<.由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以221112252(2)(1)23323m m m PA x y x =--++-=-- ，同理252223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=----21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 6. 【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 【答案】D7.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .【答案】328.【2015高考新课标2，理20】已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【解析】(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +==-+，299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即239P x k =+．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．于是239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =-，247k =+．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形．9.【2015高考湖南，理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为26.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC u u u r 与BD u u u r同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形（2）如图f ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，（i ）∵AC u u u v 与BD u u u v 同向，且||||BD AC =，∴AC u u u v BD =u u u v，从而31x x -=42x x -，即12x x -=34x x -，于是()2124x x +-12x x =()2344x x +-34x x ③，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y ，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得216640x kx +-=，而1x ，2x 是这个方程的两根，∴124x x k +=，124x x =-④，由221189y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(98)16640k x kx ++-=，而3x ，4x 是这个方程的两根，∴34x x +=-21698k k +，34x x =-26498k+⑤，将④⑤带入③，得22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即()22222169(1)16(1)98k k k ⨯++=+，∴()2298k +=169⨯，解得64k =±，即直线l 的斜率为64±.（ii ）由24x y =得'y =2x ，∴1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x xy y -=-，即4211x x x y -=，令0=y ，得12x x =，即)0,2(1x M ，∴1(,1)2x FM =-u u u u r ，而11(,1)FA x y =-u u u r ，于是FA uu u r ⋅2211111024x x FM y =-+=+>u u u u r ，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠o是钝角.，故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.10.【2014福建，理9】设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.26 【答案】D11.【2014新课标1，理20】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为33，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.12. 【2014湖南，理21】如图7，O 为坐标原点，椭圆1C :22221x y a b +=（a >b >0）的左.右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ：双曲线2C ：2222-1x y a b=的左.右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e .已知12e e =3，且24=3-1F F .（Ⅰ）求1C .2C 的的方程；（Ⅱ）过1F 做1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值(2)由(1)可得()21,0F -,因为直线AB 不垂直于y 轴,所以设直线AB 的方程为1x ny =-,联立直线与椭圆方程可得()222210n y ny +--=,则222A B n y y n +=+,则22mny n =+,因为(),M M M x y 在直线AB 上,所以2222122M n x n n -=-=++,因为AB 为焦点弦,所以根据焦点弦弦长公式可得21222222222M n AB e x n =+=++)224212n n +=+,则直线PQ 的方程为2M My ny x y x x =⇒=-,联立直线PQ 与双曲线可得22202n x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭2284x n ⇒=-,22224n y n =-则24022n n ->⇒-<<,所以,P Q 的坐标为2222228282,,,4444n n n n n n ⎛ ----⎝,则点,P Q 到直线AB 的距离为22212281441n n n nd n +---=+g 22222281441n n n nd n -----=+g 因为点,Q P 在直线AB 的两端所以()222221222222282244411n n n n n n d d n n ++---+==++g ,则四边形APBQ 面积()1212S AB d d =+=22184n n+-25814n =--,因为2440n ≥->,所以当242n n =⇒=±时, 四边形APBQ 面积取得最小值为4. 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中档题或难题，主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系是考查的重点和热点，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式,椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的重点，每年必考，一般是两小一大的布局，试题难度往往是有一道基础题，另一道是提高题，难度中等以上，有时作为把关题．考查方面离心率是重点，其它利用性质求圆锥曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求圆锥曲线中的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等．从近三年的高考试题来看，小题中双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏低，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想，而椭圆、抛物线的性质一般，一道小题，一道解答题，难度中等，有时作为把关题存在，而且三大曲线几乎年年都考，故预测2017求曲线的方程和研究曲线的性质、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等仍是高考的热点，题型大多为解答题，难度为仍中档题或难题，仍主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系仍是考查的重点和热点，考查的知识点仍然较多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，仍是高考中区分度较大的题目，在备考时，熟练掌握求曲线方程的常用方法，掌握直线与圆锥曲线问题的常见题型与解法，加大练习力度，提高运算能力和综合运用知识分析解决问题能力，要特别关注与向量、导数等知识的结合，关注函数思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想在解题中的应用．【2017年高考考点定位】高考对圆锥曲线综合问题的考查有三种主要形式：一是考查求曲线方程；二是考查圆锥曲线间的知识运用；三是直线与圆锥曲线的位置关系，这是高考中考查的重点和难点，主要涉及的题型为中点弦问题、最值与取值范围问题、定点与定值问题、探索性问题，从涉及的知识上讲，常与平面向量、函数与导数、方程、不等式等知识相联系，考查知识点多，运算量大，能力要求高，难度大是这种题型的一大特征.【考点1】求轨迹方程【备考知识梳理】1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做这条曲线的方程；这条曲线叫做这个方程的曲线.2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )．(3)列式——列出动点P 所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．【规律方法技巧】1. 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有：(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程． 2. 求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等【考点针对训练】1. 【2016江省衢州市高三4月教学质量检测】设点(,)P x y 是曲线1(0,0)a x b y a b +=≥≥上任意一点，其坐标(,)x y 2222212122x y x x y x ++++-+2a b +取值范围为（ ）A.(]0,2B.[]1,2C.[)1,+∞D.[)2,+∞【答案】D2. 【2016江西省高安中学高三命题中心押题】在平面直角坐标系xOy 中，,E F 两点的坐标分别为()0,1、()0,1-，动点G 满足:直线EG 与直线FG 的斜率之积为14-． （1）求动点G 的轨迹方程；（2）设,A B 为动点G 的轨迹的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点（点P 不在x 轴上），连[AP 交G 的轨迹于C 点，连PB 并延长交G 的轨迹于D 点，试问直线CD 是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．【解析】（1）已知()()0,1,0,1E F -，设动点G 的坐标(),x y ，所以直线EG 的斜率11y k x-=，直线FG 的斜率21y k x +=（0x ≠），又1214k k ⨯=-，所以1114y y x x -+⨯=-，即()22104x y x +=≠． （2）设00(4,)(0)P y y ≠，又(2,0)A -，则()()12f x f x -≥，故直线AP 的方程为：0(2)6y y x =+，代入椭圆方程并整理得：()242121x a x a x x ---+≤+-。

专题2 矩 阵【三年高考】1．【2021年高考江苏】矩阵 矩阵B 逆矩阵 ，求矩阵AB . 【答案】 【解析】试题分析：先求逆矩阵逆： ，再根据矩阵运算求矩阵AB .试题解析：解：设，那么1110120102a b c d -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B B ， 即1110220122a c b d cd ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故，解得，所以.因此，151121440210102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB .【考点】逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法那么，实质是考察一种运算法那么：1||||,(||0)||||db a b ad bc cd c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A A A A A A A a b e f ae bgaf bh c d g h ce dgcf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.2．【2021 江苏高考，21】R y x ∈,，向量是矩阵属性特征值2-一个特征向量，矩阵A 以及它另一个特征值.【答案】,另一个特征值为1．【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量3．【2021江苏，理21B】[选修4-2：矩阵与变换]矩阵1211,121A Bx-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量，,x y是实数，假设Aa Ba=，求x y+值.【答案】72．【解析】由题意得，解得.∴.4．【2021江苏，理21B】[选修4－2：矩阵与变换](本小题总分值10分)矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B. 【答案】．5．【2021江苏，理21B】[选修4－2：矩阵与变换]矩阵A逆矩阵，求矩阵A特征值．【答案】λ1＝－1，λ2＝4.．【解析】解：因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为，所以，于是矩阵A特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A特征值λ1＝－1，λ2＝4.6．【2021江苏，理21B 】选修4-2：矩阵与变换 矩阵，向量．求向量α，使得2αβ=A 【答案】．【解析】解： =,设，由βα=2A 得,，从而，解得2,1=-=y x ，所以.【2021年高考命题预测】纵观近几年江苏高考试题，对矩阵考察，主要考察矩阵运算，矩阵变换，矩阵特征值与特征向量及二阶逆矩阵．题目难度一般为中、低档，着重考察利用根本概念、根底知识求解矩阵，高考对这局部要求不是太高，会进展矩阵乘法运算，会利用矩阵运算进展平面变换，会判断一个二阶矩阵有否逆矩阵及求得逆矩阵，会求矩阵特征值与特征向量，并用特征值与特征向量进展矩阵乘方运算．备考中应严格控制训练题难度．高考对这局部要求不是太高，高考中在附加题局部.预测2021年矩阵仍是考试重点．复习建议：在复习矩阵知识过程中，注意培养、强化与提高计算能力，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题能力.【2021年高考考点定位】高考对矩阵考察，主要考察矩阵运算，考察矩阵变换，考察矩阵特征值与特征向量及二阶逆矩阵运算． 【考点1】矩阵运算与矩阵变换 【备考知识梳理】 1．乘法规那么(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21乘法法那么： [a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0乘法规那么：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11x 0＋a 12y 0a 21x 0＋a 22y 0. (3)两个二阶矩阵相乘结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法那么如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. (4)两个二阶矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB )C ＝A (BC )． (5)A k A l＝Ak ＋l，(A k )l ＝A kl (其中k ，l ∈N *)．2．常见平面变换 (1)恒等变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001表示恒等变换．(2)反射变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， －1－1 0分别表示关于x 轴、直线y ＝x 和直线y ＝－x 反射变换．(3)伸缩变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点(x ，y )变成点(x ，ky )，在此变换中，点横坐标不变，纵坐标变成原来k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 00 k 表示y 轴方向上伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s001可以用来表示水平伸缩变换．(4)旋转变换：把点A (x ，y )绕着坐标原点逆时针旋转α角变换，对应矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α.(5)切变变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1s 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示是沿x 轴切变变换．沿y 轴切变变换对应矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t1.(6)投影变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000表示是x 轴上投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1表示是y 轴上投影变换． 【规律方法技巧】1．待定系数法在平面变换中应用通过二阶矩阵与平面向量乘法求出变换前与变换后坐标之间变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法应用．2．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，表达了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 3．矩阵乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 4．对于平面图形变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．5．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵乘法可以看出，矩阵乘法对应于变换复合，一一对应平面变换都可以看作这三种初等变换一次或屡次复合． 6．在解决通过矩阵进展平面曲线变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后变量区别清楚，防止混淆．7．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后曲线(或点)求法，类似于平面解析几何中代入法求轨迹，此类问题关键是求对坐标之间变换公式． 8．注意两个易错点：〔1〕二阶矩阵乘法运算律中，易无视AB ≠BA ，AB ＝AC ⇒/ B ＝C ，但满足(AB )C ＝A (BC )．〔2〕易混淆绕原点逆时针旋转90°变换与绕原点顺时针旋转90°变换． 【考点针对训练】 1．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立矩阵M . 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.【解析】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn p q ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.2，直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 值；(2)假设点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 坐标．【答案】〔1〕⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.；〔2〕(1,0)．【考点2】矩阵特征值与特征向量 【备考知识梳理】 1．逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，那么称变换ρ可逆，并且称σ是ρ逆变换．(2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 2，那么称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 逆矩阵．(3)逆矩阵性质性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆，那么A 逆矩阵是唯一．性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，那么AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1.(4)定理：二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0.2．逆矩阵与二元一次方程组 (1)定理：如果关于变量x ，y二元一次方程组(线性方程组)⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f 系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .(2)推论：关于变量x ，y 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零常数，有非零解充分必要条件是系数矩阵行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝0.3．特征值和特征向量设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，那么称λ是矩阵A 一个特征值，ξ是矩阵A 属于特征值λ一个特征向量． 4．特征向量性质设λ1，λ2是二阶矩阵A 两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 分别属于特征值λ1，λ2特征向量，对于任意非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(t 1，t 2为实数)，那么对任意正整数n ，有A nα＝t 1λn1ξ1＋t 2λn2ξ2. 【规律方法技巧】 1．求逆矩阵常见方法 (1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E 2；(2)公式法：|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |，当且仅当|A |≠0；(3)从几何变换角度求解二阶矩阵逆矩阵； (4)利用逆矩阵性质(AB )－1＝B －1A －1. 2．求特征值和特征向量方法(1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ特征向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . (2)求特征向量和特征值步骤：①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值；②解⎩⎪⎨⎪⎧λ－ax －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应向量．3．注意3个易错点：〔1〕并不是每一个二阶矩阵都是可逆：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆充分必要条件是它对应行列式|A |满足|A |＝ad －bc ≠0，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A |－b |A |－c |A | a |A |. 〔2〕不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 有特征值λ充分必要条件是方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解．〔3〕属于矩阵不同特征值特征向量不共线． 【考点针对训练】1．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－13将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′.(1)求直线l ′方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？假设可逆，求出矩阵A 逆矩阵A －1；假设不可逆，请说明理由．【答案】〔1〕l ′方程为4x ＋y －7＝0；〔2〕A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27. 【解析】(1)在直线l 上任取一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 3对应变换作用下变为Q (x ，y )．∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0＋y 0，y ＝－x 0＋3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －y7y 0＝x ＋2y7，又∵点P (x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －1＝0上， ∴3x －y 7＋x ＋2y7－1＝0， 即直线l ′方程为4x ＋y －7＝0.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2 1－13≠0，∴矩阵A 可逆．设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，∴AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝0，－a ＋3c ＝0，－b ＋3d ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝37，b ＝－17，c ＝17，d ＝27，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27. 2．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －32 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤75.(1)求矩阵M 特征值及属于每个特征值一个特征向量； (2)求M 3α.【答案】〔1〕特征值λ1＝1一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，特征值λ2＝2一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.；〔2〕⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.【解析】(1)矩阵M 特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 3－2 λ＋1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.当λ1＝1时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，矩阵M 属于特征值λ1＝1一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，同理可得矩阵M 属于特征值λ2＝2一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(2)设α＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝7，m ＋2n ＝5，解得m ＝1，n ＝2.所以M 3α＝M 3(α1＋2α2)＝M 3α1＋2M 3α2＝λ31α1＋2λ32α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋2×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.【两年模拟详解析】1．【江苏省扬州中学2021 —2021学年第二学期质量检测】矩阵 10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】【解析】由逆矩阵公式得，再利用矩阵运算得2．【江苏省苏中三市〔南通、扬州、泰州〕2021届高三第二次调研测试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵对应变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90得到点B '，求点B '坐标．【答案】()1,4- 【解析】设(),B x y '， 依题意，由，得()1,2A '．那么()()2,2,1,2A B A B x y '''==--． 记旋转矩阵， 那么，即，解得， 所以点B '坐标为()1,4-．3．【南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试】a ，b 是实数，如果矩阵A ＝ 所对应变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．〔1〕求a ，b 值．〔2〕假设矩阵A 逆矩阵为B ，求B 2． 【答案】〔1〕a ＝－1，b ＝5．〔2〕4．【江苏省南京市2021届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】变换T 1是逆时针旋转2π角旋转变换，对应变换矩阵是M 1；变换T 2对应变换矩阵是M 2＝． 〔1〕点P (2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'坐标；〔2〕求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线方程. 【答案】〔1〕P '(-1,2).〔2〕y －x ＝y 2. 【解析】(1)M 1＝，M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P (2,1)在T 1作用下点P '坐标是P '(-1,2). (2)M ＝M 2·M 1＝，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应变换前点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 那么M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是 即所以,所求曲线方程是y －x ＝y 2.5．【南京市2021届高三年级第三次模拟考试】曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝所对应变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1方程． 【答案】x 2＋y 2＝26．【苏锡常镇四市2021届高三教学情况调研〔二〕】变换T 把平面上点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应矩阵M ．【答案】【解析】设，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴ 解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. 即． 7．【江苏省苏北三市2021届高三最后一次模拟】矩阵，向量，计算5A a .【答案】8．【南通市2021届高三下学期第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵对应变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +值.【答案】4a b +=【解析】设(),P x y 是直线20x y +-=上一点，由，得()20x ay x y b +++-=即，由条件得，，解得，所以4a b +=9．【盐城市2021届高三年级第三次模拟考试】矩阵两个特征向量，，假设，求2βM . 【答案】42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设矩阵M 特征向量1α对应特征值为1λ，特征向量2α对应特征值为2λ，那么由可解得：120,2,1m n λλ====，又1211022201βαα⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2222121122104(2)242012M M βααλαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 10．【江苏省淮安市2021 届高三第五次模拟考试】矩阵A ＝，假设矩阵A 属于特征值－1一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值4 一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 逆矩阵A －1． 【答案】，【解析】由矩阵A 属于特征值－1一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦可得， 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝，即a －b ＝－1；由矩阵A 属于特征值4一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 可得32⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即3a +2b ＝12， 解得.即A ＝，所以A 逆矩阵A -1是 11．【江苏省扬州中学2021 届高三4月双周测】矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，假设矩阵A 属于特征值6一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2 ．求矩阵A ，并写出A 逆矩阵． 【答案】A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12－13 12．12．【2021 年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】矩阵，其中,a b 均为实数，假设点(3,1)A -在矩阵M 变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 特征值.【答案】1,4-【解析】由条件可知，所以，那么3,2a b ==．矩阵特征多项式为223()(2)(1)(2)(3)3421f λλλλλλλ--==-----=----， 令()0f λ=,得两个特征值分别为121,4λλ=-=．13．【2021 年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】，求矩阵B ．【答案】【解析】设 那么1 0 1 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ，故4,4,3,3, 4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B 14．【泰州市2021 届高三第三次调研测试】在平面直角坐标系xOy 中，点A 〔0，0〕，B 〔2，0〕，C 〔1，2〕，矩阵，点A ，B ，C 在矩阵M 对应变换作用下得到点分别为A '，B '，C '，求△A B C '''面积．【答案】1【解析】因，，， 即1(00)(01)(2)2A B C '''--，，，，，． 故1212S A B ''=⨯⨯=． 15．【2021 年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】二阶矩阵M 有特征值1λ=-及对应一个特征向量，并且矩阵M 对应变换将点()1,1变换成()0,3-．〔1〕求矩阵M ；〔2〕向量，求5M α值．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔1〕设，那么，故 .，故 .联立以上方程组解得1,1,4,1a b c d ==-=-=，故.〔2〕由〔1〕知那么矩阵M 特征多项式为2211()(1)42341f λλλλλλ-==--=--- 令0)(=λf ，得矩阵M 另一个特征值为3.设矩阵M 另一个特征向量是，那么，解得20x y +=,故 .由12m n =+αe e ，得，得3,1m n == .∴5A α5551212(3)3()M M M =+=+e e e e 55551122112463()3(1)322480λλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⨯-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦e e .拓展试题以及解析1． 矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【入选理由】此题考察矩阵乘法运算，考察二阶逆矩阵求法，意在考察学生逻辑思维能力和运算求解能力.此题首先求出二阶逆矩阵1A -，再计算，像这种题型考察知识根底，目明确，是高考出题方向，应选此题.2．矩阵，假设矩阵A 属于特征值6一个特征向量为，属于特征值1一个特征向量为．求A 逆矩阵．【答案】【解析】由题意得，那么 ， 解得，即，所以.【入选理由】此题考察矩阵特征值与特征向量，此题通过特征值与特征向量概念求得矩阵A ，然后再求得逆矩阵，意在考察最根本运算求解能力，意在考察学生逻辑思维能力.符合江苏高考对选做题要求，应选此题.3．变换1T 是逆时针旋转2π旋转变换，对应变换矩阵是1M ；变换2T 对应用变换矩阵是．求函数2y x =图象依次在1T ，2T 变换作用下所得曲线方程．【答案】2y x y -=【入选理由】此题考察矩阵运算与平面变换之间关系，考察用矩阵运算表示平面变换，意在考察学生分析问题与解决问题能力，考察推理想象能力，考察运算求解能力，此题型考察知识根底，方法简单，是高考出题方向，应选此题.。

高三数学带知识点教辅推荐高三是学生面临着重要的升学考试——高考的一年，在备战高考的过程中，选择一本适合自己的高三数学教辅书是非常重要的。

一本好的高三数学教辅书能够帮助学生系统地复习各个知识点，并提供高质量的练习题，加深学生对数学知识的理解与掌握。

本文将推荐几本适合高三学生使用的数学教辅书，并对每本书的特点进行简单介绍。

1.《高中数学必备精讲理科卷(新课标版)》该书是由北京师范大学出版社编著的，根据最新的教学大纲进行编排，内容覆盖了高中数学的各个模块。

它以知识点讲解为主线，深入浅出地剖析每个知识点的定义、性质和解题方法，并配有大量例题和习题，方便学生理解和掌握，还有重点知识归纳和解题技巧总结等。

适合作为高三学生的复习参考书。

2.《高中数学一轮复习冲刺模拟卷精讲(全国卷III版)》该书由人民教育出版社编写，是专为高三学生冲刺阶段准备的。

书中以模拟卷的形式进行讲解，旨在帮助学生熟悉高考题型和考点，提高解题速度和应试技巧。

每个模拟卷都附有详细的解析和答案，学生能够清楚了解解题思路和解题步骤。

3.《高中数学典型例题精讲(新课标版)》该教辅书由人民邮电出版社编写，主要以典型例题的解析为主线，通过解题的过程来让学生理解和掌握数学知识，并培养学生的解题能力。

该书涵盖了高中数学各个知识点的经典例题，能够帮助学生巩固基本知识，理清解题思路。

4.《高中数学解题方法与技巧精讲(新课标版)》该书由清华大学出版社编写，专门讲解数学解题的方法和技巧。

适合高三学生使用，能够帮助他们更加熟悉数学解题的方法，提高解题效率。

书中列举了大量例题，通过分析解题过程，学生能够了解到不同题型的解题方法和思维方式。

总之，高三数学教辅书对于学生复习备考起到了重要的辅助作用。

学生可以根据自己的学习情况和需求，选择适合自己的数学教辅书来辅助复习。

以上推荐的几本教辅书是市面上比较知名和受欢迎的教材，希望能够对广大高三学生有所帮助。

在学习过程中，除了使用教辅书外，还应结合课堂教学、习题训练和试卷模拟等多种复习方式，以达到更好的效果。