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§8-2 含有耦合电感的电路的计算一、一对耦合电感的串联：1、顺接: 电流从同名端流入的串联。
1212i i i u u u ===+121111di diu R i L M dt dt =++ 212222di diu R i L M dt dt=++1212()(2)di diu R R i L L M Ri L dt dt=++++=+顺2、反接:电流异名端流入的串联。
12(2)di di u L L M L dt dt=+-=反 122L L L M =+-反二、一对耦合电感的并联：1、同侧并联：同名端在同一侧时的并联。
R R R =+ 122L L L M =++2j L ω.2.j L ω同1L2RLM+ _+_ u1u 2uu12...1112...2221...122...12122121222U j L I j M I U j L I j M I I I I L L M U j I j L IL L M L L M L L L Mωωωωωω=+=+=+-==+--=+-同同2、异侧并联：同名端不在同一侧时的并联。
212121212122212121212............220............20.......20............0.......22L L M L L L L L ML L L L L M L L L M M L L M L L M L L M L L M L L M-=>+++=++>=+-><--=>=><+-++同异顺反同反异 三、耦合系数k ：反映耦合松紧程度。
kM M ω==四、一对耦合电感的三端联接 1、同名端相接2j L ω.2j L ω异121312123212di di u L M dt dt di diu L M dt dti i i =+=+=+在u 13表达式中消去i 2；在u 23表达式中消去i 1，经整理后，得3121131132122322()()di di di diu L M L M M dt dt dt dtdi di di diu L M L M M dt dt dt dt =+=-+=+=-+ 由此式画出去耦等效电路，如下图。
南京理⼯⼤学电⼯电⼦实验1电⼯电⼦综合实验论⽂班级:学号：姓名：⾮线性电阻电路的应⽤---混沌电路⼀、摘要：蔡式电路是美国贝莱克⼤学的蔡少堂教授设计的能产⽣混沌⾏为的最为简洁的⼀种⾃治电路，该型电路并不唯⼀，在⾮线性系统及混沌研究中，占有极为重要的地位。
该电路结构简单，但却出现双涡卷奇怪引⼦和及其丰富的混沌动⼒学⾏为。
本实验研究⾮线性电阻的特性和混沌电路。
试验中利⽤两个运算放⼤器模拟⾮线性电阻，并⽤列表法测量做出其伏安特性曲线，并利⽤⽰波器观察其伏安特性曲线。
同样利⽤两个运算放⼤器，实现混沌现象，并研究其图像的规律。
⼆、关键词：⾮线性负电阻，混沌电路，三、引⾔：混沌(Chaos)是20世纪物理学的重⼤事件。
混沌研究最先起源于洛伦兹研究天⽓预报时⽤到的三个动⼒学⽅程。
后来的研究表明，⽆论时复杂的系统，如⽓象系统、太阳系，还是简单系统，如滴⽔龙头等，皆因存在着内在随机性⽽出现类似⽆轨，但实际是⾮周期有序运动，即混沌现象。
现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理学、⽣物学、化学、天⽂学、经济学及⼯程技术的众多学科，并对这些学科的发展产⽣了重要影响，混沌包含的物理内容⾮常⼴泛，研究这些内容更需要⽐较深⼊的数学理论，如微分动⼒学⽅程、拓补学、分形⼏何学等。
⽬前混沌的研究重点已转向多维动⼒学系统中的混沌、量⼦及时空混沌、混沌的同步及控制等⽅⾯。
本实验借助⾮线性电阻电路，从实验上对这⼀现象进⾏了探索。
四、正⽂：1.实验材料与设备装置。
⽰波器，可变电阻，定值电阻，直流电源，电流表，TL082CD运算放⼤器，线性电感，电容。
2.实验过程。
（1）实验电路图。
这是由两个线性电容C1、C2，⼀个线性电感L，和⼀个可变性电阻R0，⼀个⾮线性电阻R构成。
电感和C2并联构成振荡电路，线性电阻R0的作⽤是分相，⾮线性电阻R的伏安特性I R=g(u R),是⼀个分段线性负电阻，整体呈现对称但⾮线性的趋势。
由于g 总体是⾮线性函数，所以三元⾮线性⽅程组没有解析解。
单级放大电路的设计与仿真一、实验目的1）掌握放大电路静态工作点的调整与测试方法。
2）掌握放大电路的动态参数的测试方法。
3）观察静态工作点的选择对输出波形及电压放大倍数的影响。
二、实验元件1mV 5KHz 正弦电压源，15mV 5KHz 正弦电压源，12V直流电压源，2N2222A三极管，10uF电容（3个），10KΩ电阻（2个），3.0KΩ电阻，1.5KΩ电阻，5.1KΩ电阻，250KΩ电位器，万用表，示波器等。
三、实验原理三极管工作在放大区时具有电流放大作用，只有给放大电路中的三极管提供合适的静态工作点才能保证三极管工作在放大区。
如果静态工作点不合适，输出波形则会产生非线性失真——饱和失真和截止失真，而不能正常放大。
静态工作点合适时，三极管有电流放大特性，通过适当的外接电路，可实现电压放大。
表征放大电路放大特性的交流参数有电压放大倍数、输入电阻、输出电阻。
由于电路中有电抗元件电容，另外三极管中的PN结有等效电容存在，因此，对于不同频率的输入交流信号，电路的电压放大倍数不同，电压放大倍数与频率的关系定义为频率特性，频率特性包括：幅频特性——即电压放大倍数的幅度与频率的关系；相频特性——即电压放大倍数的相位与频率的关系。
参数选择：为保证电压放大倍数大于50，R4不能太小，选取3.0KΩ的电阻。
R5为负反馈电阻，太大会减小放大倍数，太小又会使电路不稳定，因此选取1.5KΩ的电阻。
R1,R2的大小影响输入电阻的大小，选取10KΩ的电阻。
另外电容选用10uF。
图1 实验原理图四、输出信号的动态分析为了使得到的饱和、截止失真的波形图更加明显，用15mV的交流电压源代替了原先的1mV的电源。
用示波器观察时，只需将一条导线连在9号节点即可。
图2 三极管放大电路动态分析1、饱和失真情况下的输出信号调节电位器的百分比至0%，观察波形。
a)输出信号波形图图3 饱和失真时的输出信号波形图b) 饱和失真情况下电路的静态工作点值测试此时静态工作点值，其值如下：I B=227.374uA，I C=2.576mA, U CE=69.657mV。
南理工电路考研大纲
南京理工大学电路考研大纲包括以下内容：
1. 数学知识：
- 数列、级数
- 极限、连续、导数、微分
- 函数、积分、定积分
- 偏导数、全微分、梯度、方向导数
- 二重积分、多重积分
- 常微分方程
2. 电路基本理论：
- 电压、电流、电阻
- 电路的基本定律（欧姆定律、基尔霍夫定律等） - 电路的等效变换
- 电阻、电容、电感元件的基本特性
- 电路中的能量存储与传递
3. 电路分析方法：
- 网孔方程
- 超节点法
- 恢复分析法
- 交流电路中的复频率法
4. 交流电路分析：
- 正弦函数、复指数函数
- 复振幅与复幅角
- 交流电路中的等效变换
- 有源交流电路分析
- 交流电路的频率响应
5. 计算机辅助电路分析：
- SPICE软件的使用
- 电路模拟与分析方法
- 几种电路的模拟仿真
6. 电路系统理论：
- 线性时不变系统理论
- 传输函数与频率响应
- 电路系统的稳定性分析
以上内容为南京理工大学电路考研大纲的主要内容，具体的大纲细节以南京理工大学官方发布的最新大纲为准。
§5-5 一阶电路的阶跃响应一．单位阶跃函数 1. 定义： 00()10t t t ε<⎧=⎨>⎩S S S 00()()0t u t U t U t ε<⎧=⋅=⎨>⎩2. 作用：① 起开关作用。
② 起起始作用。
2C ()42e V (0)t u t t -+=-≥2C 20(0)()(42e )()V 42e V (0)ttt u t t t ε--<⎧=-=⎨->⎩二．一阶电路的单位阶跃响应：指一阶电路在唯一的单位阶跃激励下所产生的零状态响应。
例：求如图所示电路的单位阶跃响应C ()S t ，R ()S t 。
解：利用三要素法： 1. 求C R (0),(0)S S ++C R (0)0,(0)1V S S ++==2. 求C R (),()S S ∞∞C R 12()V,()V 33S S ∞=∞=3. 求τ：2s τ=S (t C (t ) _S (t )_t2C 1()(1e )()3t S t t V ε-∴=-2R 21()(e )()V 33tS t t ε-=+零状态（输入）响应是线性响应，全响应不是S S ()()u t U t ε=⋅ C S C ()()u t U S t =⋅ R S R ()()u t U S t =⋅0()t t ε-=S ()()(1)3(2)(4)u t t t t t εεεε=+---+-四．一阶电路的延时单位阶跃响应指一阶电路在唯一的延时单位阶跃激励下所引起的零状态响应。
如前例电路在延时单位阶跃函数激励下，02C 001()(1e )()V3t tS t t t t ε---=--由于零状态响应为线性响应，满足齐性原理和叠加定理，所以前例电路在上述分段函数作用下的零状态响应为：1242222C 1111()(1e )()(1e )(1)(3)(1e )(2)(1e )(4)V3333t t t t u t t t t t εεεε-------=-+--+-⨯--+--若该电路中已知：C (0)2V u =，'"C C C ()u t u u =+，"2C2e t u -=，'u 为上述所示。
南京理工大学电工电子实验报告（多功能数字计时器设计）1. 电路功能设计要求介绍2. 电路原理简介3. 单元电路设计3.1 脉冲发生电路3.2 计时电路3.3 译码显示电路3.4 清零电路3.5 校分电路3.6 仿电台报时电路4.总电路图5.电路调试和改进意见6.实验中遇到的问题、出现原因及解决方法7.实验体会8.附录8.1 元件清单8.2 芯片引脚图和功能表9.参考文献1.电路功能设计要求1、设计制作一个0分00秒～9分59秒的多功能计时器,设计要求如下：1）设计一个脉冲发生电路，为计时器提供秒脉冲（1HZ），为报时电路提供驱动蜂鸣器的高低脉冲信号（1KHZ、2KHZ）；12）设计计时电路：完成0分00秒～9分59秒的计时、译码、显示功能；3）设计清零电路：具有开机自动清零功能，并且在任何时候，按动清零开关，可以对计时器进行手动清零。
4）设计校分电路：在任何时候，拨动校分开关，可进行快速校分。
（校分隔秒）5）设计报时电路：使数字计时器从9分53秒开始报时，每隔一秒发一声，共发三声低音，一声高音；即9分53秒、9分55秒、9分57秒发低音（频率1kHz），9分59秒发高音（频率2kHz）；6）系统级联。
将以上电路进行级联完成计时器的所有功能。
7）可以增加数字计时器附加功能：定时、动态显示等。
2. 电路原理简介数字计时器由计时电路、译码显示电路、脉冲发生电路、校分电路、清零电路和报时电路这几部分组成。
其原理框图如下：3. 单元电路设计3.1 脉冲发生电路振荡器是数字钟的核心。
采用石英晶体构成振荡器电路，产生稳定的高频脉冲信号，作为数字钟的时间基准，再经过分频器输出标准秒脉冲（1HZ）。
分频器的功能主要有两个：一是产生标准秒脉冲（1HZ）。
二是提供功能扩展电路所需驱动脉冲信号（1KHZ、2KHZ）。
15 采用晶体的固有频率为32768HZ=2HZ。
2CC4060、74LS74电路图如下所示：2Q5Q4Q143.2 计时电路CC4518（分位、秒个位）、74LS161（秒十位）“0”“1”“o”“0”3.3 译码显示电路译码器 CC4511 显示器共阴LED七段字型数码管 33.4 清零电路3.5 校分电路3.6 仿电台报时电路44.总电路图Q5Q42Q145.电路调试和改进意见先接显示电路，显示电路接完，接入电源，当三个数码管都能正常显示8的时候说明接入正确。
§5-4 一阶电路的完全响应 已知C 0(0)u U =，0t =时合上S ，求0t ≥时的C ()u tC C S C0(0)(0)du RC u U t dt u U+⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩C Cp Ch S ()()()eet t RCRCu t u t u t A K U K --=+=+=+令0t +=，C S 00S (0)1u U K U K U U +=+⋅=⇒=-C S 0S()()e ()tRCu t U U Ut -+∴=+-≥ 稳态响应 暂态响应 完全响应＝稳态响应＋暂态响应 C 0S()e (1e )tt RC RCu t UU--∴=+- 零输入响应 零状态响应完全响应＝零输入响应＋零状态响应[]C C C C ()()(0)()e(0)t RCu t u u u t -+=∞+-∞≥一阶电路的三要素法： 前提：① 一阶电路② 直流激励p h ()()()etf t f t f t A K τ-=+=+令t →∞：()0()f A A f ∞=+⇒=∞()()etf t f K τ-=∞+令0t +=：(0)()1f f K +=∞+⋅ (0)()K f f +=-∞[]()()(0)()e(0)tf t f f f t τ-++=∞+-∞≥ 一阶电路三要素公式(0)f +－初始值C L (0),(0)u i ++—— 由0t -=的等效电路中求，C (t ) U +_CC L R R (0),(0),(0),(0)i u i u ++++ 必须由0t +=的等效电路求。
0t +=时：C －电压源 零状态下：C －短路L －电流源 L －断路()f ∞－稳态值t →∞时，C －断路，L －短路τ－时间常数 ， ,L R C Rττ==， R －由动态元件两端看进去的戴维南等效电阻。
例：已知0t <时已稳定，求0t +>时，L o ,i i解：1. 求o (0),(0)L i i ++0t -=时，39A 2823i ==+o 9(0)A 8i -=-L 923(0)A 834i -∴=-⨯=- 0t +=时，o 3133(0)()A 4248i +=+-=2. 求L o (),()i i ∞∞。
南理工现代电路理论混沌电路设计南京理工大学现代电路理论课程实验混沌电路设计(题名和副题名)(作者姓名)(学号)指导教师姓名孙建红老师学院电子工程与光电技术学院年级2016级专业名称电磁场与微波技术论文提交日期2017.04摘要蔡氏电路是可以表现出标准的混沌理论行为的典型非线性电路。
文章利用Multisim 软件强大的电路仿真功能，在介绍蔡氏混沌电路基本原理和非线性电阻等效电路的基础上，叙述了在Multisim 界面下对混沌电路的构建，通过设置不同的电路参数，运行仿真功能，出现了相应的萨如图形和时域波形，从而得到了丰富的混沌行为。
文章对仿真结果进行了分析，结果发现，用Multisim软件可以展示各种丰富分岔和混沌的现象，对混沌实验研究具有良好的借鉴意义。
关键词：非线性特性、蔡氏电路、混沌现象目录摘要 (2)1绪论 (5)1.1混沌现象的定义 (5)1.2课题意义 (6)1.3本文主要工作 (6)2混沌电路基本原理 (8)2.1蔡氏电路 (10)2.2倍周期 (11)2.3费根勒姆常数 (9)2.4有源非线性电阻 (9)3混沌电路的设计与仿真 (14)3.1实验电路的构建 (14)3.2实验电路仿真 (15)4分析与总结 (24)参考文献 (27)1绪论1.1混沌现象的定义混沌是非线性动力学系统中所特有的一种运动形式，它广泛存在于自然界，诸如生物学、物理、化学、地质学，以及技术科学、社会科学等各种科学领域。
一般而言，混沌现象隶属于确定性系统而难以预测（基于其动力学性态对于初始条件的高度敏感性），有稠密轨道的拓扑特征，以及呈现多种混乱无序却又颇有规则的图像（如具有稠密的周期点）。
混沌主要分为四大类：时间混沌、空间混沌、时空混沌和功能混沌。
混沌不仅是混沌研究者、数学家和物理学家等作为理论研究的对象，而且在自然科学、电子通信以及其他工程应用领域中有着广泛的应用前景。
公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体问题时发现混沌的。
第三章 电阻电路的一般分析
§ 3-1 支路法
一．支路电流法
以支路电流为未知量，根据KCL 、KVL 列关于支路电流的方程，进行求解的过程。
⎩⎨
⎧。
节点：三条支路的交点
电路。
支路：任一段无分支的
二．基本步骤
图3-1 仅含电阻和电压源的电路
第1步 选定各支路电流参考方向，如图3-1所示。
各节点KCL 方程如下：
1 04
31
=+-I I I 2 05
21=+--I I I 3 0632=-+I I I
4
0654=+--I I I
可见，上述四个节点的KCL 方程相互是不独立的。
如果选图3-1所示电路中的节点4为参考节点，则节点1、2、3为独立节点，其对应的KCL 方程必将独立，即：
1 04
31
=+-I I I 2 05
21=+--I I I
3 063
2=-+I I I
第2步 对（n －1）个独立节点列KCL 方程
U s3
3 3
第3步．对)1(--n b 个独立回路列关于支路电流的KVL 方程 Ⅰ：014445511=--++s s U I R U I R I R Ⅱ：05566222=--+-I R I R U I R s Ⅲ：033366444=+-+-I R U I R U I R s s 第4步．求解。
§5-7 二阶电路的零输入响应用二阶微分方程描述的电路为二阶电路。
C 0(0)u U = L 0(0)0i I ==L R C KVL:0(0)u u u t +++=≥2C C C LL L R L 2VAR :,,du d u du di i C u L LC u Ri RC dt dt dt dt=====2C CC 2C 0L C 000(0)(0)(0)0t d u du LC RC u t dt dt du I i u U dt C C +=⎧++=≥⎪⎪⎨⎪====⎪⎩210LCP RCP ++=1,2p =1. 12,p p 为一对不相等的负实根（R >， 12C 12()ee p tp t u t K K =+——过阻尼非振荡工作状态2．12,p p 为一对相等的负实根（R =， C 12()e e pt pt u t K K t =+——临界阻尼非振荡工作状态 3. 12,p p 为一对共轭复根（R <， 1,2d j p αω-± C 1α2d ()e (cos sin )tu t K t K t αωω-=+——欠阻尼振荡工作状态一．R >LL112R p L α=--222R p L α=--102R L α=>202R L α=> 121LCαα=，21αα>1. 表达式 12C 12()e e tt u t K K αα--=+12C1122e e t t du K K dtαααα--=-- 令0t =C 120(0)u K K U =+=C 112200t du K K dtαα==--=2010122121U U K K αααααα-∴==--122010C 2121()e e(0)t tU U u t t αααααααα--+=-≥--12C 120120L 2121()e e t tdu CU CU i t Cdt αααααααααα---==+-- 12002121()()t t U U e e L L αααααα---=+--121020L L 2121()()e e (0)()()t t U U di t u t Lt dt αααααααα--+==-≥--1. 曲线122010C 2121()e e(0)t tU U u t t αααααααα--+=-≥--前项 后项初值为正 初值为负 初值绝对值大 初值绝对值小 衰减慢 衰减快211211221211:ln2ln2t tt tααααααα=-==-2.能量转换：1C L1C L0,,t t u i t t u i<<>]Z]]二．R=122Rp pLα==--C12()e et tu t K K tαα--∴=+C1122e e et t tduK K t Kdtααααα---=--+令C1010C12200,(0)tt u K UK UduK K K Udtαα====⎫=⎧⎪⇒⎬⎨=-+==⎩⎪⎭C0()(1)e(0)tu t t U tαα-+∴=+≥C0()e(0)tLdu Ui t C t tdt Lα-+==-≥LC0()(1)e(0)tdiu t L t U tdtαα-+==--≥变化曲线与（一）相类似12112,2t t tαα===L L -能量转换与（一）相类似三．R <1,2d 2R p j L αω-±-±d ,2R Lαω==0ω=固有频率1. 表达式 C 1d 2d ()e (c o s s i n )tu t K t K tαωω-=+C1d 2d 1d d d 2d e (cos sin )(sin cos )t t du K t K t e K t K t dtαααωωωωωω--=-++-+ 10102012d d 0,0K U t K U K U K K ααωω=⎧==⎫⎪⇒⎬⎨=-+=⎭⎪⎩令 则： C 0d 0d d ()e(cos sin )tu t U t U t ααωωω-=+00d d d d 00e (cos sin )t U t t αωωαωωωωω-=+ （其中d 0sin ωβω=，0cos αβω=） 00d de sin()(0)tU t t αωωβω-+=+≥C 00L d dd d()e s i n ()ec o s ()tt du U i t CC t t dt ααωαωβωωβω--⎡⎤==-+++⎣⎦200d d d d00e sin()cos()t C U t t αωωαωβωβωωω-⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦β αωd ω0d dsin()(0)tU e t t L αωπω-+=+≥（其中0sin d ωβω=，0cos αβω=） 0L L 0d d()e sin()(0)t di u t LU t t dt αωωβω-+==-≥2. 曲线 00C d d()e sin()(0)tU u t t t αωωβω-+=+≥零值点：d d sin()0(1,2,3)t t k ωβωβπ+=+=±=即d ,2,3t ωπβπβπβ=---极值点，应为L ()i t 的零值点，即：d d sin()0(1,2,3)t t k k ωπωππ+=+=±=d 0,,2t ωππ=同理可作L ()i t ，L ()u t 的变化曲线-3. 能量转换 d C L d C L 0,;0,t u i t u i ωβωπβ<<<<-d C L ,t u i πβωπ-<<§5-8 一般二阶电路的分析例：已知S 10V U =，C (0)1V u =，L (0)1A i =，求0t +≥时的C ()u t 。
第五章 一阶电路和二阶电路§5-1 动态电路的方程及其初始条件一阶电路：用一阶微分方程描述的电路。
一．换路：指电路中开关的突然接通或断开，元件参数的变化，激励形式的改变等。
换路时刻0t （通常取0t ＝0），换路前一瞬间：0_t ，换路后一瞬间：0t +。
二．换路定则 c 0c 0()()u t u t +-= L 0L 0()()i t i t +-= C 0C 0()()i t i t +-≠， L 0L 0()()u t u t +-≠， R 0R 0()()i t i t +-≠， R 0R 0()()u t u t +-≠三．初始值的计算： 1. 求C 0L 0(),()u t i t --： ①给定C 0L 0(),()u t i t --；②0t t <时，原电路为直流稳态 ： C —断路 L —短路③0t t -=时，电路未进入稳态 ： 0C 0C ()()|t t u t u t --==， 0L 0L ()()|t t i t i t --== 2. 画0t +时的等效电路：C 00()()u t u t +-=，L 0L 0()()i t i t +-= 换路前后电压（流）不变的为电压（流）源C —电压源 L —电流源C 0()0u t -=， L 0()0i t -=C —短路 L —断路3. 利用直流电阻电路的计算方法求初始值。
例1已知：0t <时，原电路已稳定,0t =时，打开开关S 。
求：0t +=时，各物理量的初始值。
解： 1. 求C L (0),(0)u i --：0t -=时，C L (0)7.5V,(0)0.25A u i --==2. 画0t +=时的等效电路：3. 0t +=时：R1(0)0.2510u +=⨯= R27.5(0)0.5A 15i +== L R1C (0)(0)10(0)0u u u +++=-+-=2C L R (0)(0)(0)0.25i i i A +-+=-=-例2：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时，打开开关S 。
求：0t +=时，1(0),(0)i i ++。
解：1. 求C (0)u -：0t -=时：C 1111C (0)14(0)10(0)4(0)(0)(0)4(0)(0)2A (0)28Vu i i i i i i i u ---------==+⎧⎪+=⎪⎨==⎪⎪=⎩2. 作0t +=时的等效电路：0t +=时：11(0)(0)414(0)7(0)28i i i i +++++=⎧⎨=+⎩ 184(0)A,(0)A33i i ++∴==C (t ) _10i 1(0+) +_ +_7.5V +_C (0-)§5-2 一阶电路的零输入响应R C S K V L :()()(0)u t u t u t ++=≥ C C C R C VAR :,du dui Cu Ri RC dt dt=== C C S C (0)(0)?du RC u u t dt u +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩零输入响应：指输入为零，初始状态不为零所引起的电路响应。
零状态响应：指初始状态为零，而输入不为零所产生的电路响应。
完全响应：指输入与初始状态均不为零时所产生的电路响应。
一．RC 放电过程已知：0t -=时，电容已充电至0U ，0t =时，S 由a 合向b 。
求0t +≥后的C R C (),(),()u t u t i t 。
1. 定性分析：0t -=时，C 0(0)u U -=，R S 0(0)u U U -=-，S 0C (0)U U i R--= 0t +=时，C C 0(0)(0)u u U +-== R 0(0)u U +=-(0)C U i R+=- Uu C + _C UC ,t u ，R C ,u i ； C R C ,0,0,0t u u i →∞→→→ 2. 定量分析：0t +≥时，C C C 00(0)(0)du RC u t dt u U +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩ C ()et RCu t K -=令0t +=，C 0(0)1u K U +=⋅=C 0()e(0)tRCu t U t -+∴=≥R C 0()()e(0)t RCu t u t U t -+=-=-≥0R C ()()e(0)tRCU u t i t t R R-+==-≥()(0)e(0)t RCf t f t -++=≥3. 时间常数： RC τR ：由动态元件看进去的戴维南等效电阻[]τ⋅⎡⎤⎡⎤=⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦伏特库仑安培秒＝＝秒安培伏特安培 C 0:()u t τ的物理意义衰减到36.8％C 0()u t 所需时间C 0()e (0)t RCu t U t -+=≥_ u (t )+ C _u C (t 0+τ)=36.8%0C 00()et RCu t u -=00C 000C 0()e ee()0.368t t RCRC RCu t u U u t τττ+---+===⨯τ的几何意义：由0C 0[,()]t u t 点作C ()u t 的切线所得的次切距。
4t τ≥时，电路进入新的稳态,4C 0C 0C 0(4)()e 1.82%()0u t u t u t τ-+==≈ 211422()4e V (0)2s ()4e V (0)4st t u t t u t t ττ-+-+=≥==≥=可见，时间常数反映了物理量的变化快慢，τ越小，物理量变化越快。
二．RL 放磁过程已知0t -=时，L 0(0)i I -=， 求0t +≥时的L L (),()i t u t . 利用对偶关系： L CL C i u L C u iG RRC 串联：C C C 00(0)(0)du RC u t dt u U ++⎧+=⎪≥⎨⎪=⎩ RL 并联：LL L 00(0)(0)di GLi t dti I ++⎧+=⎪≥⎨⎪=⎩L 0()e(0)t GLi t I t -+=≥ L GL Rτ==_u L (t )+ _(t)0L ()e(0)tGLI u t t G-+=-≥()(0)e(0)tf t f t τ-++=≥综上所述，一阶电路的零输入响应变化模式相同，即()(0)e(0)tf t f t τ-++=≥故求一阶电路的零输入响应时，确定出(0)f +和τ以后，就可以唯一地确定响应表达式。
§5-3 一阶电路的零状态响应 一． R C 充电过程 已知C (0)0u =，求0t ≥时的C R C ,,u u i 。
1. 定性分析：0t +=时，(0)0C u += R S (0)u U +=SC (0)U i R+=C ,t u ，R C ,u i ； C S R C ,,0,0t u U u i →∞→→→2. 定量分析： C C S C (0)(0)0du RCu U t dtu +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩C C p C h ()()()u t u t u t =+Cp ()u t 为非齐次微分方程任一特解， Ch ()u t 为对应齐次微分方程的通解， cp u —强制响应，与输入具有相同形式， c p S ()u t A A U =⇒=，cp S ()u t U ∴= /ch ()et RCu t K -=—固有响应，与电路结构有关。
∴ C S ()e tRCu t U K -=+0t +令＝U+ _ C (t )+_U +_u (0)_C S S(0)0u U K K U +=+=⇒=- C S S S()e(1e)(0)ttRCRCu t U U Ut --+∴=-=-≥ R S C S ()()e tRCu t U u t U -=-= (0)t +≥ S R C ()tRCU u i t R R-== (0)t +≥ C Cp Ch S C ()()()e()(1e )(0)ttRCu t u t u t U K u t τ--+=+=+=∞-≥其中：S U 为稳态响应（C ()u ∞），et RCK -为暂态响应（必将衰减为0）RC τ=为时间常数C 0S ()(1e )t u t U τ-=- 0C 0S ()(1e)t u t U τττ+-+=-01S S S (1e )(1e )(1e )t tU U U ττ---⎡⎤=-+---⎢⎥⎣⎦[]C 0S C 0()63.2%()u t U u t =+-即充电过程中时间常数的物理意义为由初始值上升了稳态值与初始值差值的63.2%处所需的时间。
4t τ≥ 时，电路进入新的稳态。
3. 充电效率η()100%()()C R C W W W η∞⨯∞+∞u C (t 0t 0)22C C S 1()()22C W Cu U ∞=∞= 222S R CS 0()(e )2tRC U C W Ri dt R dt U R -∞∞∞===⎰⎰50%η∴=例：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时合上S ，求0t +≥时的C 0(),()u t u t 。
解：已知(0)0C u =1. C ()u ∞： t →∞时，C 2()V 3u ∞=2. 求τeq 23R =Ω2s 3τ∴=1.5C 2()(1e )V (0)3t u t t -+∴=-≥1.50C 12()1()eV (0)33t u t u t t -+=-=+≥)Ω二．RL 充磁过程已知：L (0)0i =。
求：0t +≥时的L ()i t 利用对偶关系RL 充磁过程 LL S L (0)(0)0di GLi I t dti +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩ L S L ()(1e)()(1e )(0)t tGLi t I i t τ--=-=∞-≥例：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时合上S ，求0t +≥时的L o (),()i t i t解：已知L (0)0i = 1. 求L ()i ∞ t →∞时L ()3A i ∴∞=2. 求τ102s 5L R τ∴===5Ω(t )i 0(tL (∞)5Ω5ΩR eq =5ΩL (t )I S =U S /2L ()3(1)A (0)ti t e t -+∴=-≥L L 2o 410()20.5e A (0)6t di i dt i t t -++==+≥。
