2021秋-2021人教版高中数学选修1-2课件：第二章阶段复习课

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(2)(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种
多边形数．如三角形数 1,3,6,10，…，第 n 个三角形数为nn2＋1
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P(χ2≥k) k
0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828
附：χ2＝nnn111＋nn222＋－n＋n11n2n＋2212 注：此公式也可以写成K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d 解：(1)由已知得，样本中有 25 周岁以上组工人 60 名，25 周岁以下组工人 40 名．
回归直线方程的求解与应用、独立性检验中 K2 与相关系
数的求解与判断．
2．对独立性检验问题要准确记忆 K2 公式中各字母的
意义并准确计算．解决线性回归分析问题的关键是利用
“一点一式”求方程，即利用数据的“中心点”和已知的
公式．计算的准确性是解决此类问题最基本的要求．
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[例 1] (重庆高考)从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位：千元)与月储蓄 yi(单位：千元)的数据资 料，算得∑i1＝01xi＝80，∑i1＝01yi＝20，i∑1＝01xiyi＝184，∑i1＝01x2i ＝720.
据此可得 2×2 列联表如下：
生产能手 非生产能手 合计
25 周岁以上组 15
45
60
25 周岁以下组 15
25
40
合计
30
70
100
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所以得 χ2＝nnn11＋1nn222＋－n＋n11n2＋n221 ＝100×60×154×0×253－0×157×0 452＝2154≈1.79. 因为 1.79<2.706， 所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄 组有关”.

条对角线．因此凸 n 边形的对角线条数为 2
＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝12n(n－3)(n≥4 且 n ∈N*)．
类比推理
类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选 择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位 置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可 以类比得到空间中的相关结论．
例3 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为 a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B ，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体 性质的猜想．
形式应为：S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.
【思维总结】 四面体(三棱锥)很多性质都可以 由三角形的性质类比得出．
变式训练 3 已知在 Rt△ABC 中，AB ⊥AC，AD⊥BC 于 D，有A1D2＝A1B2＋A1C2 成立．那么在四面体 A－BCD 中，类比 上述结论，你能得到怎样的猜想，并说 明猜想是否正确及理由．
……
由此猜想 g(n)＝g(n－1)＋n. 将上述各式两边分别相加得
g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(n) ＝g(1)＋g(2)＋…＋g(n－1)＋2＋2＋3＋ 4＋…＋n. ∴g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n ＝2＋n－12n＋2 ＝n2＋2n＋2(n≥2)．
由此猜想 g(n)＝n2＋2n＋2(n≥2)．
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比 等进行简单的推理． 2．了解合情推理在数学发现中的作用．
课前自主学案
温故夯基 根据数列的前几项写出数列的第 n 项． (1)1,3,5,7,9，…，_2_n_－__1__，… (2)212，414，618，8116，…，_2_n_＋__21_n _，… (3)9,99,999,9 999，…，_1_0_n_－__1_，…

生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 用最少的悔恨面对过去。 不要对挫折叹气，姑且把这一切看成是在你成大事之前，必须经受的准备工作。 汗水是成功的润滑剂。 无所求则无所获。 竞争，其实就是一种变相的友谊，在对手的帮助下提高你自己，害怕竞争的人已经输给了对手，注定难取得大的成就。 一个华丽短暂的梦，一个残酷漫长的现实。 常说口里顺，常做手不笨。最淡的墨水，也胜过最强的记性。
君子看人背后，小人背后看人。远离那些背后说别人坏话的人，请记住，他（她）能说别人坏话，就能在暗地说你坏话！这就是俗话说的， 不怕真小人，就怕伪君子！ 思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 少一点预设的期待，那份对人的关怀会更自在。 如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。 当一个女人喜欢一个男人时，她最喜欢听他说谎言；当一个女人厌恶一个男人时，她最希望听他讲真话。 跌倒，撞墙，一败涂地，都不用害怕，年轻叫你勇敢。 奋斗的双脚在踏碎自己的温床时，却开拓了一条创造之路。 哪怕是最没有希望的事情，只要有一个勇敢者去坚持做，到最后就会拥有希望。 梯子的梯阶从来不是用来搁脚的，它只是让人们的脚放上一段时间，以便让别一只脚能够再往上登。 生活若剥去了理想、梦想、幻

• 5月31日是世界无烟日．有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏 病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为 继高血压之后的第二号全球杀手．这些疾病与吸烟有关的结论是怎样 得出的呢？若从数学角度区分，这里的疾病和吸烟就是彼此相关的两 个变量． • 如何用数学的方法来刻画这种变量之间的关系呢？本章要学习的统计 案例就是通过对一对变量使用线性回归的方法来研究变量之间的对应 关系．通过本章的学习，我们将知道如何研究变量之间的相关关系， 如何模拟变量之间的函数关系，如何检验两个变量之间的独立性．
• R2＝________________. • 在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的__________． • R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越 ________．
贡献率
Байду номын сангаас
好
残差分析
• 新知导学 • 7．在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是 否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据，然后，通过残差 ________________来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可 疑数据，这方面的分析工作称为残差分析．
• 回归分析问题有线性回归问题和非线性回归问题，对于非线性回归问题， 往往利用转换变量的方法转化为线性回归问题．
水平的
带状区域 窄
牛刀小试 1．设有一个回归方程为y＝2－2.5x，当变量 x 增加一个单 位时( ) A．y 平均增加 2.5 个单位 B．y 平均增加 2 个单位 C．y 平均减少 2.5 个单位
随机性
线性回归分析
• 思维导航 • 2．上图2中各点散布在一条直线附近，可否用这条直线对y随x的变化 作出近似估计？如果可以，这条直线怎样求？如何刻画这种估计的可 靠性？

答案
思考2
归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？ 答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论 之间的联系不是必然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们 已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所 以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确.
答案
梳理
(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察 、 分析 、 比较 、 联想，再进行 归纳 、 类比 ，然后提出 猜想 的推理，我们把它 们统称为合情推理.简言之，合情推理就是“合乎情理”的推理. (2)推理的过程
答案
梳理
(1)定义：由某类事物的 具部有分某对些象特征，推出该类事物的______ 全部 _对__象___都具有这些特征的推理，或者由 个概别括事出实 的推理，称一为般归结纳论推理.
(2)特征：由 到
，由 到
.
部分 整体
个别 一般
知识点二 类比推理
思考
科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征： (1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一 年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某 些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命 存在.他们使用了什么样的推理？ 答案 类比推理.
等差数列 an－an－1＝d(n≥2) an＝a1＋(n－1)d
等比数列 an÷an－1＝q(n≥2)
an＝a1qn－1
性质
若m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq
若m＋n＝p＋q， 则am·an＝ap·aq
跟踪训练3
若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝
a1＋a2＋…＋an n
解析 观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组 成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数 为6＋(n－1)×5＝5n＋1.

=2ab(p-q)2. 因为a,b同号,所以2ab(p-q)2≥0. 所以原不等式成立.
【方法技巧】转化与化归思想的内涵与应用 (1)内涵:转化与化归的思想就是在处理问题时,通过某 种转化过程,化归为一类已经解决或比较容易解决的问 题,最终使问题化繁为简、化难为易.
(2)应用:本章内容中转化与化归思想主要应用于以下 几个方面:归纳推理中特殊到一般的转化;演绎推理中 一般到特殊的转化;分析法中结论与条件的转化;反证 法中正难则反的转化;数学归纳法中无限与有限的转化 等.
【方法技巧】 1.归纳推理的特点及一般步骤
2.类比推理的特点及一般步骤
【变式训练】对命题“正三角形的内切圆切于三边的 中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面各 正三角形的位置是 ( ) A.各正三角形内的任一点 B.各正三角形的中心 C.各正三角形边上的任一点 D.各正三角形的某中线的中点
2.反证法的证题思想 否定结论,提出假设 ↓ 逻辑推理,导出矛盾 ↓ 否定假设,肯定结论
【变式训练】已知直线a与b不共面,c∩a=M,b∩c=N,a∩ 面α=A,b∩面α=B,c∩面α=C. 求证:A,B,C三点不共线. 【证明】假设A,B,C三点共线于直线l,
因为A,B,C∈α,所以l⊂α. 因为c∩l=C,所以c与l确定一平面β. 因为c∩a=M,所以M∈β.又A∈l, 所以a⊂β,同理b⊂β, 所以a,b共面,与已知a,b不共面矛盾, 故A,B,C三点不共线.
课 推理与证明
【网络体系】
【核心速填】 1.合情推理 (1)归纳推理:由_____到_____、由_____到_____的推理.
部分 整体 个别 一般 (2)类比推理:由_____到_____的推理. (3)合情推理:归纳特推殊理和特类殊比推理都是根据已有的事 实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比, 然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.

• [答案]C • [解析] ①反映的正是最小二乘法思想，故正确． • ②反映的是画散点图的作用，也正确． • ③解释的是回归方程＝x＋的作用，故也正确．
• ④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性 检验，以体现两变量的关系． • [点评] 线性回归分析的过程： • (1)随机抽取样本，确定数据，形成样本点 • (2) 由样本点形成散点图，判定是否具有线性相关 关系； • (3)由最小二乘法确定线性回归方程； • (4)由回归方程观察变量的取值及变化趋势．
^ x＋ a ^ 可以估计观测变量的取值和 ③通过回归方程^ y ＝b
• ④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回 变化趋势； 归方程，所以没有必要进行相关性检验． • 其中正确命题的个数是 (
)
• A．1 B．2 • C．3 D．4 • [分析] 由题目可获取以下信息： • ①线性回归分析； • ②散点图； • ③相关性检验等的相关概念及意义． • 解答本题可先逐一核对相关概念及其性质，然后 再逐一作出判1 (x1＋x2＋…＋xn)，y ＝n(y1＋y2＋…＋yn)， ∑i＝1xiyi＝x1y1＋x2y2 ^ 2 2 2 2 ^ ＋…＋xnyn， ∑i＝1xi ＝x1＋x2＋…＋xn.再由a＝ y －b n
^的 x 求出a
值，并写出回归直线方程．
^ ^ 2．回归直线中的截距a和斜率b都是通过样本估计而来
• 回归分析问题有线性回归问题和非线性回归问题， 对于非线性回归问题，往往利用转换变量的方法 进行转化，转变为线性回归问题．
• [例1] 有下列说法： • ①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线， 使之贴近这些样本点的数学方法； • ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的 关系是否可以用线性关系表示；

(2)特点：演绎推理是从 一般 到 特殊 的推理．
(3)模式：三段论．
2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
[点睛] 用集合的观点理解三段论 若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子 集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P.

[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
2．1.2 演绎推理
预习课本 P30～33，思考并完成下列问题
(1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？
[新知初探]
1．演绎推理
(1)概念：从一般性的原理 出发，推出某个特殊情况 下的 结论 ，我们把这种推理称为演绎推理．
演绎推理在几何中的应用
[典例] 如图所示，D，E，F 分别是 BC， CA，AB 边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求 证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提) 所以 DF∥AE.(结论)
D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论： 无限不循环小数是无理数
解析：选 B 对于 A，小前提与大前提间逻辑错误，不 符合演绎推理三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段 论形式且推理正确；对于 C，大小前提颠倒，不符合演 绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不 符合演绎推理三段论形式.
演绎推理在代数中的应用 [典例] 已知函数 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a＞1)，求证：函数 f(x)在 (－1，＋∞)上为增函数． [证明] 对于任意 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，若 f(x1) ＜f(x2)，则 y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提) 设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，

明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选

3．因为 a＋b≥2 ab(a>0，b>0)，所以 x＋1x ≥2(x>0)，且当 x＝_1，x＋1x(x>0)取最小值2_.
知新益能 综合法和分析法
综合法
分析法
定义
利用已__知__条__件__和某些数学 _定__义__、公___理__、_定__理__等，经过 一系列的_推__理__论___证__，最后推 导出所要证明的结论成立，这
用分析法去思考，寻找解题途径，用综合法进行 书写，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲 知”想“已知”(分析)，双管齐下，两面夹击，找到 沟通已知条件和结论的途径．
例3 已知 0<a≤1,0<b≤1,0<c≤1，求证： 1a＋＋abb＋＋cb＋c＋abcca≥1.
【思路点拨】 本题所要证明的不等式看 不出与已知条件有怎样的因果关系，故可 先采用分析法寻找该不等式成立的充分条 件是.
∴a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立．
方法感悟
方法技巧 1．综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的 已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间 的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、 结论，确定恰当的解题方法
第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条 件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符 号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有 清晰的思路，严密的逻辑，简洁的语言． 第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题 过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适 当的修饰，反思总结解题方法的选取．
法三：1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ba＋ab＋1
≥2＋2 ba·ab＝4，当且仅当 a＝b 时，
取“＝”号．
【思维总结】 综合法证明不等式所 依赖的主要是不等式的基本性质和已 知的重要不等式，其中常用的有如下 几个： (1)a2≥0(a∈R)．