第四章静态场中的边值问题.
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电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
n 1
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
第四章 静态场边值问题的解法
nπ nπ Fn ' sin( x) sh( y ) a a n 1
上 页 下 页
π 由边界条件（4） y a ,0 xa 100 sin x代入通解得 a
πx nπ 100 sin Fn ' sh(nπ) sin x a n1 a
比较系数 当n 1 时， 当n 1 时，
1 2
U0 O y d
0
x
d yd 2 d 0 y 2
上 页 下 页
返 回
由y=0,y=d时，2=0可知 由 x , 通解
n g ( y) A1 sin( y) d n
x
U0 n Cn sin( d y ) d y n1 由x=0边界条件， C sin( n y ) U U 0 y 1 n d 0 n d
F1 ' shπ 100
100 F1 ' shπ
Fn ' 0
100 π π ( x, y ) sin( x)sh y sh a a
上 页 下 页
若金属槽盖电位 ＝U 0 ，再求槽内电位分布
nπ nπ 通解 （x, y ) Fn sin （ x)sh( y ) a a n 1 傅立叶级数 当 y a 时， ＝U 0
返 回 上 页 下 页
例： 解：
试求长直接地金属槽内电位的分布。
边值问题（D 域内） (1)
x 0 , 0 y a 0
xa , 0 y a
0
(2)
(3)
接地金属槽的截面
y 0 , 0 x a 0
π y a ,0 xa 100 sin x a
设n=2m,
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π 由边界条件（4） y a ,0 xa 100 sin x代入通解得 a
πx nπ 100 sin Fn ' sh(nπ) sin x a n1 a
比较系数 当n 1 时， 当n 1 时，
1 2
U0 O y d
0
x
d yd 2 d 0 y 2
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返 回
由y=0,y=d时，2=0可知 由 x , 通解
n g ( y) A1 sin( y) d n
x
U0 n Cn sin( d y ) d y n1 由x=0边界条件， C sin( n y ) U U 0 y 1 n d 0 n d
F1 ' shπ 100
100 F1 ' shπ
Fn ' 0
100 π π ( x, y ) sin( x)sh y sh a a
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若金属槽盖电位 ＝U 0 ，再求槽内电位分布
nπ nπ 通解 （x, y ) Fn sin （ x)sh( y ) a a n 1 傅立叶级数 当 y a 时， ＝U 0
返 回 上 页 下 页
例： 解：
试求长直接地金属槽内电位的分布。
边值问题（D 域内） (1)
x 0 , 0 y a 0
xa , 0 y a
0
(2)
(3)
接地金属槽的截面
y 0 , 0 x a 0
π y a ,0 xa 100 sin x a
设n=2m,
电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
静态场及其边值问题的解PPT教案
并 选 择 有 限 远处为 电位参 考点。 例如， 选择ρ= a 的 点 为电位 参 考点，则有
(r ) l0 ln 2L C 20
C l0 ln 2L 20 a
(r ) l0 ln a 20
第13页/共152页
14
5. 电 位 的 微 分 方程
在 均 匀 介 质 中，有
D
E
grr
(o) 0
x
P
r
o
z E0
在 球 坐 标 系 中， 取极轴 与 的方 向一致 ，即 ， 则 有
E0
E0
ez E0
(P)
r E0
grr
r ez
grr
E0
E0r
cos
在 圆 柱 面 坐标 系中， 取 与 x轴方向 一致， 即 ，故
，而
r e ez z
(P)
ErE0 g0rr
r ex
z
(,, z)
L
R
z ' dl dz
y
x
-L
13
在 上 式 中 若令
， 则可 得到无 限长直 线电荷 的电位 。当
时 ， 上 式 可 写为
L R
L
(r ) l0 ln
2 L2 L
l 0
ln
2 L2 L
l 0
ln 2L
40 2 L2 L 20
20
L
当
时 ， 上 式 变 为无 穷大， 这是因 为电荷 不是分 布在有 限区域 内，而 将电位 参考点 选在无 穷远点 之故。 这时可 在上式 中加上 一个任 意常数 ，则有
2 (x) C2 x D2
第16页/共152页
17
电磁场思考题
第一章1.什么是矢量场的通量？通量的值为正、负或0分别表示什么意义？解答：矢量场F 穿出闭合曲面S 的通量为：dS e F dS F sn s ⎰⎰==··ψ 当⎰>s dS F 0·时，表示穿出闭合曲面S 的通量多于进入的通量，此时闭合曲面内必有发出矢量线的源，成为正通量源。
当⎰<s dS F 0·时，表示穿出闭合曲面S 的通量少于进入的通量，此时闭合曲面内必有汇集矢量线的源，成为负通量源。
当⎰=sdS F 0·时，表示穿出闭合曲面S 的通量等于进入的通量，此时闭合曲面内正通量源与负通量源的代数和为0，或者闭合面内无通量源。
2.什么是散度定理？它的意义是什么？解答：矢量分析中的一个重要定理：⎰⎰⋅=⋅∇v sdS FdV F 称为散度（高斯）定理。
意义：矢量场F 的散度F ⋅∇在体积V 上的体积分等于矢量场F 在限定该体积的闭合面S 上的面积分，是矢量的散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。
3.什么是矢量场的环流？环流的值为正、负或0分别表示什么意义？解答：矢量场F 沿场中的一条闭合回路C 的曲线积分，⎰⋅=Γc dl F ，称为矢量场F 沿闭合路径C 的环流。
⎰>⋅c dl F 0或⎰<⋅cdl F 0，表示场中有产生该矢量的源，称为漩涡源。
⎰=⋅cdl F 0，表示场中没有产生该矢量场的源。
4.什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？ 斯托克斯定理能用于闭合曲面吗？解答：在矢量场F 所在的空间中，对于任一以曲线C 为周界的曲面S ，存在如下重要关系式： ⎰⎰⋅=⋅⨯∇s cdl F dS F ，称为斯托克斯定理。
意义：矢量场F 的旋度F ⨯∇在曲面S 上的面积分等于矢量场F 在限定曲面的闭合曲线C 上的线积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲线积分之间的一个变换关系。
能用于闭合曲面。
5.无旋场和无散场的区别是什么？解答：无旋场F 的旋度处处为0，即0≡⨯∇F ，它是由散度源所产生的，它总可以表示为某一标量场的梯度，即()0=∇⨯∇u 。
边值问题
第二节 镜像法
1、导体与介质间边界的镜象法 、
1、导体与介质间边界的镜像法 、
是求解静态场的一种有效且直观的方法。 镜像法 是求解静态场的一种有效且直观的方法。 适用于求解某些涉及平面边界或圆形边界的边值问题。 适用于求解某些涉及平面边界或圆形边界的边值问题。 在两种不同媒质的边界外， 基本思想 在两种不同媒质的边界外，用虚设的场源 (电荷或电流)来代替边界上实际分布的感应电荷(或束缚电荷) 电荷或电流)来代替边界上实际分布的感应电荷(或束缚电荷) 或磁化电流对场的作用。镜像的个数、 或磁化电流对场的作用。镜像的个数、大小和位置由边界条件 确定。这样，可以撤去边界面，并将场源所在区域的媒质扩展 确定。这样，可以撤去边界面， 到整个空间，待求场则由场源及其镜象共同确定。 到整个空间，待求场则由场源及其镜象共同确定。 是以场源的镜像代替边界面上电荷或电流的作用， 实质 是以场源的镜像代替边界面上电荷或电流的作用， 将实际 上非均匀媒质的问题简化为均匀媒质来处理。 上非均匀媒质的问题简化为均匀媒质来处理。
注意： ，这是因为Q所发出的电力线并不全部 终止与导体球上，有一部分将终止于无穷远处之故。 Q受到导体球的作用力
如果导体不接地，原来又不带电，则其表面电势不 为零，而球面上的净感应电荷为零。
不接地金属球的镜像
设想导体球接地,且在中心放置点电荷
不破坏导体球面为等势面的条件
不接地金属球的镜像
任一点场强
边 值 问 题 基 本 解 法
实验法
实测法 模拟法 解析法 直接积分法 分离变量法 镜像法 格林函数法 复变变换法 有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 积分方程法
计算法
数值法
3、唯一性定理
解决边值问题的理论基础 内容：对于任一静态场(也包括准静态场)，满足一定边 内容 界条件的拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯一的，即在 区域V内给定自由电荷(或电流)分布，在V的边界S上给 定电势 或其法向导数 或者矢势A或 )的 值，则V内的场便被唯一地确定。 表明泊松方程(拉普拉斯方程)的解在什么条件 具有 唯一性.
静态场及其边值问题的解课件
qh 2 π rdrd q 2 2 32 0 0 2π (r h )
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l
R 电位函数 l ln ( z 0) 2π R
当z = 0 时，r r
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
S z
z 0
qh 2π( x 2 y 2 h 2 )3 2
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin S dS S 2π ( x 2 y 2 h 2 )3 2
像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则
像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中。 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场
区域 的边界条件来确定。
6.3.2 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
2
V
(0 )2 0
0 0
S
0 C
C 0
S
对于第一类边界条件：0
0
1 2
对于第二类边界条件：若 1 和 2 取同一点Q为参考点 ，则
0
Q
0
S1
C 0
0
1 2
C 0
对于第三类边界条件：0
1 2
6.3
镜像法
本节内容
6.3.1 镜像法的基本原理 6.3.2 接地导体平面的镜像 6.3.3 点电荷与无限大电介质平面的镜像 6.3.4 线电流与无限大磁介质平面的镜像 6.3.5 导体球面的镜像 6.3.6 导体圆柱面的镜像
静态场中的边值问题
方程（4-47）的通解为
(Amr m Bmr (m1) )Pm (cos ) m0
（4-52）
该式的系数由问题的边界条件确定。
勒让德多项式的前几项 ：
P0 (x) 1 P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
(
)
0
（4-27）
f
r (r)
r
r
f (r) r
2
0
1.当 0 时，（4-27）的解为
（4-28）
g() A0 B0
2.当 0 时，（4-27）的解为
g() Asin() Bcos()
如果所讨论的空间包含从0→2，因为 必须是单值 的，即，
（4-30） （4-31）
1.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) C0 ln r D0
2.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) Cnr n Dnr n
（4-32）
圆柱坐标中二维场的的通解
由于
(r,) ( A0 B0 )(C0 ln r D0 ) [ An cos(n) Bn sin(n)](Cnrn Dnrn ) n1
静态场边值问题解满足3个条件：
(1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立；
(2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立；
(3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法
（以电位函数的泊松方程为例）
(Amr m Bmr (m1) )Pm (cos ) m0
（4-52）
该式的系数由问题的边界条件确定。
勒让德多项式的前几项 ：
P0 (x) 1 P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
(
)
0
（4-27）
f
r (r)
r
r
f (r) r
2
0
1.当 0 时，（4-27）的解为
（4-28）
g() A0 B0
2.当 0 时，（4-27）的解为
g() Asin() Bcos()
如果所讨论的空间包含从0→2，因为 必须是单值 的，即，
（4-30） （4-31）
1.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) C0 ln r D0
2.当 n 0 时，（4-31）式的解为
f (r) Cnr n Dnr n
（4-32）
圆柱坐标中二维场的的通解
由于
(r,) ( A0 B0 )(C0 ln r D0 ) [ An cos(n) Bn sin(n)](Cnrn Dnrn ) n1
静态场边值问题解满足3个条件：
(1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立；
(2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立；
(3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法
（以电位函数的泊松方程为例）
第4章 静态场边致问题的解法_20091203
根据给定边界条件对边值问题分类：
第一类边值问题： 已知电位函数在全部边界面上的分布值
S f
n f
S
狄里赫利问题（Dirichlet）
第二类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的法向导数值 诺埃曼问题 （Neumann）
第三类边值问题：已知一部分边界面上的电位函数值,和另一 部分边界面上电位函数的法向导数．
2 0
φ(0, y) = 0 φ(a, y) = 0 φ(x, 0) = 0 φ(x, b) = U(x)
b b
0( x) U
0
0 0
0 x
0 U
0 0
a a
x
由于在X方向上有重复零点（x＝0和a点），因此电位函 数为三角函数，即：kx 2 0 且 k y 2 0 通解： f ( x) A1 sin kx x A2 cos kx x 待定常数： ① 当 x0 时 (0, y) f (0) g ( y) 0
(2)
kx j x 其中 x为实数
d2 f 2 k x f ( x) 0 dx2
通解： 或者
f ( x) Aekx x A2ekx x 1
(3)
双曲函数
f ( x) A1sh x x A2ch x x
同理可以求得 g ( y ) 和 h( z )
利用给定的边界条件确定积分常数，最终得函数的解。
x n x n b u0 sin Dn sin s h a n1 a a
b s h a U0 x b ( x, y ) sin s h b a a s h a
第四章静态场边值问题的解法精品PPT课件
nx
a
sinh
ny
a
U
sinh b
sin
x
a
sinh
y
a
a
16
当然也可以用三角函数的正交归一性进行处理，
第四章 静态场边值问题的解法
直角坐标中的分离变量法 镜像法 有限差分法
1
第三章我们已经知道，在边界条件已知的情况下（三类边
界条件：,,与 拉普拉斯方程 2＝0 有唯一解。
n n
求解边值问题，有两大类：一类是解析法，可以得到精确 解，其中分离变量法是最基本的解法； 另一类是数值法，如时域有限差
分法（FDTD），有限元（FEM），矩量法（MOM）等只 能得到近似解，但随着计算技术的进步，该方法优势十分 明显，因为其简单方便。
右边s
in
my在 b
b 0
d
y上积分＝ b 0 n1
Cn
sinhnasin
b
nbysin
my
b
dy
＝0bCn
sinhnasin2
b
nyd
b
y
b
0 Cn
sinhna1c
b
os2ny
b 2
dy
b 2Cn
sinhna
b
从而
b 2
C
n
sinh
na
b
2U 0b
n 2
sin
n
2
Cn
n
b
考虑到在 x 方向是有限区域，且0,y0
取
Xn
si
nhn
b
x，这是因为
选f A1sinh(xx)A2coshx(x)
当x0, f A10A2121A2 0
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（4-3） 上式成立的唯一条件是二项中每项都是常数，故有 d f ( x) （4-4） k f ( x)
2
dx 2
2 x
d 2 g ( y) 2 k y g ( y) 2 dy
（4-5） （4-6 ）
k x k y 为分离常数，是待定的常数，须满足
2 2 kx ky 0
1.当 k k 0时 方程（4-4）和(4-5)的解为
4.2 惟一性定理
惟一性定理：在每一类边界条件下，泊松方程或拉 普拉斯方程的解唯一
1 2
【反证法】 假如存在两个满足相同边界条件的不同 解 和 令
U 1 2
在场域 内，u满足拉普拉斯方程 U 在边界上，要么 U 0 （第一类边值问题），要么 n 0 （第二类边值问题）。 令格林第一恒等式（1-157）中的 U ，即
静态场边值问题解满足3个条件： (1) 对于场域的内点（既非边界点又不在媒质分界面 上的点）泛定方程成立； (2) 在不同媒质分界面的两侧，场量（或位函数）边 值关系（衔接条件）成立； (3) 对于场域的边界点，场量（或其位函数）符合 给定的边界条件。
边值型问题的分类方法 （以电位函数的泊松方程为例） 第一类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的 电位。为狄里赫利问题（Dirichlet）。 第二类边值问题的特征：已知全部边界上任一点的 电位的法向导数。称为诺埃曼问题(Neumann)。 第三类边值问题的特征是：已知部分边界上任一点 的电位和另一部分边界上任一点的电位的法向导数。 称为混合边值问题(Robbin)。
第四章 静态场中的边值问题
解边界值问题的方法： 1、理论计算方法 ◆ 解析法 ◆ 近似计算法 数值计算法 图解法
2、场的实验研究方法题 (1) 已知场源分布，求解电场或磁场。 (2) 已知电场（或电位）、磁场分布，反推场源。 二、边值型问题 边值型问题究竟是什么？ 边值型问题都有哪些类型？ 怎样保证边值型问题有且仅有惟一解？ （惟一性定理 ）
将式（4-2）代入式（4-1），得
g ( y) f ( x) f ( x) g ( y) 0
d 2 f ( x) d 2 g ( x) f ( x) , g ( y) dx 2 dy 2
用
f ( x) g ( y )
除上式，得
1 d 2 f ( x) 1 d 2 g ( x) 0 2 2 f ( x) dx g ( y) dy
f ( x) A sin(kx x) B cos(kx x)
g ( y) C sinh(kx y) D cosh(kx y)
(4-8) (4-9a）
或
g ( y ) C ek x y D e k x y
所以
( x, y) [ Asin(kx x) B cos(kx x)][C sinh(kx y) D cos(kx y)]
静态场边值型问题：已知场量（或其位函数）在场 域边界上的值（含法向导数），求解场域内部任一 点的场量。 定解条件=泛定方程+边界条件+初始条件。 衔接条件：在场域内，媒质参数必须是已知的，但 允许它们突变（即存在不同媒质的分界面）或渐变 （是空间坐标的函数）。 在不同媒质分界面的两侧，场量（或其位函数）应 满足边值关系，在偏微分方程定解问题中常被称为 衔接条件。
4.2 直角坐标中的分离变量法
◆分离变量法：通过偏微分方程求解边值问题。 ◆基本思想： 1.要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面相合， 或者至少分段地与坐标面相合； 2.在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个 函数的乘积，其中的每个函数分别仅是一个坐标的 函数。 3.通过分离变量将偏微分方程化为常微分方程求解。
(4-10a) (4-10b)
或
( x, y) [ Asin(kx x) B cos(kx x)][Cek y Dek y ]
x x
3.当 k 0 , k k 同理可得
2 y
2 x
2 y
0
时，
( x, y) [ Asinh(k y x) B cosh(k y x)][C sin(k y y) D cos(k y y)] （4-11a）
◆ 二维问题的分离变量过程： 若边界面形状适合用直角坐标表示，则在直角坐标 系中求解，以二维的拉普拉斯方程为例，求解电位 函数，设 (x, y) ，电位函数满足
2 2 2 0 2 x y
（4-1） （4-2）
待求的电位函数用二个函数的乘积表示为
f (x)g (y)
V
2 (U U U U )dV U
U ds n
因为 U 0 ，并且u（或u的法向导数）沿 处处等于 0，上式简化为 U dV 0
2
2
V
即u梯度等于0。故在场域内，u=常数。对于第一类 边值型问题，电位不可跃变，故在场域内，u=0， 从而 。 故对于第一类边值问题，电位的解惟一 对于第二类边值型问题，u未必是0，可以是任一常 数，但对于电场强度和电位移矢量来说，解仍然是 惟一的，因为常数的梯度恒等于0。
1 2
说明： ① 第一、二、三类边值问题是适定的 因为它们对边界条件提出的要求既是充分的也是必 要的。 求解时先判断问题的边界条件是否足够，当满足必 要条件时，则可断定解是唯一的。 用不同方法得到的形式上不同的解是等价的。 ② 定理说明：只要能够找一个满足边界条件的位函 数，且这个位函数又满足拉普拉斯方程，则这就是 所求的解。
2 x 2 y
f ( x) A0 x B0
g ( y) C0 x D0
方程（4-1）的解为
( x, y) ( A0 x B0 )(C0 x D0 )
2 2 2 k k k 0 2.当 x , y x 0
(4-7)
时, 方程（4-5）和(4-6)的解为