高二数学竞赛班二试
第五讲 组合恒等式
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一、知识要点：
数学竞赛中组合数计算和组合恒等式的证明，是以高中排列、组合、二项式定理为基础，并加以推广和补充而形成的一类习题，它往往会具有一定的难度且灵活性较强。解决这类问题常常对学生良好的运算能力和思维的灵活性都有较高的要求。同时，此类问题的解决也有着自身特殊的解题技巧。因此，在各类数学竞赛中经常被采用。 1．基本的组合恒等式
简单的组合恒等式的化简和证明，可以直接运用课本所学的基本组合恒等式。事实上，许多竞赛中出现的较复杂的组合数记算或恒等式证明，也往往运用这些基本组合恒等式，通过转化，分解为若干个简单的组合恒等式而加以解决。课本中的组合恒等式有：
①r n r n n
C C -=； ②111r r r
n n n C C C +++=+；
③1
1k k n n kC nC --=； ④r m m r m
n r n n m C C C C --=；
⑤0122n n
n n n n C C C C ++++=L ；
⑥()0
1
2
10.n
n
n n n n C C C C -+++-=L
2．解题中常用方法
① 运用基本组合恒等式进行变换；
② 运用二项展开式作为辅助函数，通过比较某项的系数进行计算或证明； ③ 运用数学归纳法； ④ 变换求和指标；
⑤ 运用赋值法进行证明；
⑥ 建立递推公式，由初始条件及递推关系进行计算和证明； ⑦ 构造合理的模型。
二、经典例题
例1．求证：1231
232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L .
例1．证明：根据前面提到的基本的组合恒等式第三条，可得：
左边01211
11112n n n n n n nC nC nC nC n ------=++++=⋅=L 右边
例2．求和式
21
n
k n
k k C
=∑的值。
例2．基本思路：将2k n k C 改写为k n k kC ⋅，先将k n kC 用恒等式3提取公因式n ，然后再将1
1
k n kC --变形成为()1
1
111k k n n k C C -----+，而()1
11k n k C ---又可以继续运用上述恒等变形，这样就使得各
项系数中均不含有变动指标k 了。
解：
()2111
1
1
11
1
1
11
11n
n n
n
n
k k k k k n
n
n n n k k k k k k C
k kC k nC
n k C
n k C ------======⋅=⋅=⋅=-+⋅∑∑∑∑∑
()()1
121
1
1
211
1
11n
n
k k k k n n n n k k n k C
C
n n C C --------==⎡⎤⎡⎤=-⋅+=-⋅+⎣⎦⎣
⎦∑∑ ()()21212121
212111n n n n
k k k k n n n n k k k k n n C C n n C n C --------====⎡⎤=-⋅+=-+⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑
()()21212212n n n n n n n n ---=-+=+
例3．求
()
2004
20050
1k
k
k C =-∑的值。
例3．解：
()
()
2004
2004
12
2004
20052005200520050
111k
k k C C C C =-=-+-+-∑L
()()
()
()2004
1
1
2
2003200420042004200420042004
200411C C C C C
C =-+++-+-+L
1= 。
例4．设,m n N +
∈，求证：
()()()1
2
20
13313n k n
m k m k m
mn n -=+++=++-∑。
例4．基本思路：由两个连续自然数m k +与1m k ++的积，联想到可化为2
12m k C ++，进一
步运用
1111r r r r r r r r r k r r r k C C C C C C +++++++++=+++L L ，反复运用基本的组合恒等式2即可化简。
证明：
()()()1
2
221
20
12n m m m n k m k m k C
C C -+++=+++=+++∑L
()()22222222
231232m m m n m C C C C C C C C ++⎡⎤=++++++-+++⎣⎦L L L
()()33221123313
m n m n
C C m mn n +++=-=
++- 例5．当m n ≤时，求证()()110
m
n
r
r
m n
r
r m C C =⎧-⎪-=⎨⎪⎩∑
例5．基本思路：利用基本组合恒等式4化简原式左边各项，使得化简后仅有r m
n m C --中含有
变动指标r 。
证明：显然，当m n =时，原式左边()()11m
m
m
m
m m C C =-=-。
当m n <时，利用基本组合恒等式4可得：
()()m n m n =<
