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《正多边形》一、教学目标:了解正多边形和圆的有关概念;理解并掌握正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识解决实际问题．二、教学重难点：重点:讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系三、自主学习：友情提示：动手尝试,并要求讲出画图的方法问题1:给你一个圆，你能把这个圆周四等分吗?问题2：你能把一个圆周五等分吗？请说出你的画法。
归纳：要把一个圆周进行等分，只要把圆心角进行等分就可以了.一般地,要把一个圆周n等分，只要把周角n等分即可，每一个圆心角的度数是 .问题3：顺次连结圆周上的四等分点，得到的是不是正方形呢?顺次连结圆周上的五等分点，得到的是不是正五边形呢？顺次连结圆周上的n等分点,得到的是不是正多边形呢?4、正多边形的有关概念正多边形的中心，正多边形的半径,正多边形的中心角,正多边形的边心距。
四、预习展示：问题1、2、3均要在黑板展示，每组找三人五、合作探究:正多边形的中心角、半径、边心距以及边长之间有什么关系呢友情提示：注意中心角与内角区别。
将中心角、半径、边心距放到一个三角形中讨论，问题将容易解决。
（1)若已知正三角形的边长为1，你能求出哪些未知的量？（2）正n边形的一个内角等于度，中心角等于度.3、有一个亭子，如图，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1m2)。
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3.7 正多边形教学目标：1、使学生理解正多边形概念；2、使学生了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形；过圆的n 等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形；3、通过正多边形定义教学培养学生归纳能力；4、通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力．教学重点：(1)正多边形的定义；(2)n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形；(3) 能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．教学难点：能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．教学过程：一、新课引入：同学们思考以下问题：1、等边三角形的边、角各有什么性质？2、正方形的边、角各有什么性质？[安排中下生回答]3、等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？[安排中上生回答：各边相等、各角相等]．各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．这就是我们今天学习的内容“正多边形和圆”．二、新课讲解：正多边形在生产实践中有广泛的应用性，因此，正多边形的知识对学生进一步学习和参加生产劳动都是必要的．因此本节课首先给出正多边形的定义，然后根据正多边形的定义和圆的有关知识推导出正多边形与圆的第一个关系定理，即n等分圆周就可得到圆的内接或外切正n边形，它是正多边形画图的理论依据，因此也是本节课的重点之一．同学回答：什么是正多边形？[安排中下生回答：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．]如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．幻灯展示图形：上面这些图形都是正几边形？[安排中下生回答：正三角形，正四边形，正五边形，正六边形．]矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？[安排中下生回答：矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．]哪位同学记得在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理？[安排记起来的学生回答：在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么其余量都相等．]要将圆三等分，那么其中一等份的弧所对圆心角度数是多少？要将圆四等分、五等分、六等分呢？[安排中下生回答：将圆三等分，其中每等份弧所对圆心角120°、将圆四等分，每等份弧所对圆心角90°、五等分，圆心角72°、六等分，圆心角60°]哪位同学能用量角器将黑板上的圆三等分、四等分、五等分、六等分？[接排四名上等生上黑板完成，其余学生在下面练习本上用量角器等分圆周．] 大家依次连结各分点看所得的圆内接多边形是什么样的多边形？[学生答：正多边形．]求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形．以幻灯所示五边形为例，哪位同学能证明这五边形的五条边相等？[安排中等生回答：]哪位同学能证明这五边形的五个角相等？[安排中等生回答：]前面的证明说明“依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形”的观察后的猜想是正确的．如果n等分圆周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正确呢？[安排学生们充分讨论]．因为在同圆中，弧等弦等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形的各边都相等．又n边形的每个内角对圆的(n-2)条弧，而每一内角所对的弧都相等，根据弧等、圆周角相等，证明了n边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性．定理：把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；为何要“依次”连结各分点呢？缺少“依次”二字会出现什么现象？大家讨论讨论看看．经过圆的五等分点作圆的切线，大家观察以相邻切线的交点为顶点的五边形是不是正五边形？PQ、QR、RS、ST分别是经过分点A、B、C、D、E的⊙O的切线．求证：五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．由弧等推得弦等、弦切角等，哪位同学能说明五边形PQRST的各角都相等？[安排中上生回答]哪位同学能证明五边形PQRST的各边都相等？[安排中等生回答．]前面同学的证明，说明“经过圆的五等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正五边形．”同样根据弧等弦等、弦切角等就可证明经过圆的n 等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n 个等腰三角形全等，从而证明了这个圆的以它n 等分点为切点的外切n 边形是正n 边形．(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形．（拓展讲解）定理(2)中少“相邻”两字行不行？少“相邻”两字会出现什么现象？同学们相互间讨论研究看看．例1 已知一个正多边形的内角为176.4°，这个正多边形是几边形？有没有内角为100°的正多边形？解：设正多边形的边数为n ，由内角为176.4°得(2)180176.4n n-⨯=，解得n=100 所以内角为176.4°的正多边形是100边形.设正n 边形的内角为100° ，则(2)180100n n-⨯= 解得n=4.5因为n 是正整数，所以不存在内角为100°的正多边形.例2 用直尺和圆规作一个正六边形.作法：(1)任意画一个圆，记圆心为O ；(2)在⊙O 上任取一点A ，自点A 起在⊙O 上依次截取长度等于半径OA 的弦，得到点B ，C ，D ，E ，F ；(3)顺次连接点A ，B ，C ，D ，E ，F ，A ．六边形ABCDEF 就是所求的正六边形．三、课堂小结：本堂课我们学习的知识：1、学习了正多边形的定义．2、n 等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n 边形．3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．四、布置作业教材P100．课后作业题．。
浙教版数学九年级上册3.7《正多边形》说课稿一. 教材分析《正多边形》是浙教版数学九年级上册第三章第七节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了多边形的基本概念和性质的基础上进行讲授的，旨在让学生了解并掌握正多边形的定义、性质及其计算方法。
通过本节内容的学习，为学生进一步研究圆、扇形等几何图形打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对于多边形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于正多边形的定义和性质，以及如何计算正多边形的边长和面积，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，自主探索正多边形的性质和计算方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解正多边形的定义、性质及其计算方法，能运用所学知识解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：正多边形的定义、性质及其计算方法。
2.教学难点：正多边形的性质和计算方法的推导过程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的正多边形图片，如足球、骰子等，引导学生思考：这些图形有什么共同的特点？从而引出正多边形的定义。
2.自主探究：让学生通过观察、操作、思考，总结正多边形的性质。
教师引导学生发现正多边形的边长、内角、外角等之间的关系。
3.小组合作：让学生分组讨论，探索如何计算正多边形的面积。
教师引导学生运用已知的正多边形性质，推导出计算公式。
4.讲解与演示：教师对学生的探究结果进行讲解和演示，让学生加深对正多边形性质和计算方法的理解。
2021年浙教版数学九年级上册3.7《正多边形》教案一. 教材分析《正多边形》是2021年浙教版数学九年级上册第三章第七节的内容，本节主要让学生了解正多边形的定义、性质以及计算方法。
通过学习正多边形，让学生感受数学与几何图形的联系，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但正多边形这一概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，要注重从学生已有的知识基础出发，通过直观演示、动手操作等方式，引导学生逐步理解正多边形的定义和性质。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握正多边形的定义、性质和计算方法，能够识别和判断正多边形。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学与几何图形的联系，增强对数学学科的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义、性质和计算方法。
2.难点：正多边形性质的证明和应用。
五. 教学方法1.采用直观演示法，让学生通过观察实物和图形，感知正多边形的特点。
2.采用动手操作法，让学生亲自动手制作正多边形，加深对正多边形概念的理解。
3.采用问题驱动法，引导学生思考和探讨正多边形的性质和计算方法。
4.采用合作学习法，让学生在小组内交流讨论，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备一些正多边形的实物模型，如正方形、正三角形等。
2.准备正多边形的图片，用于展示和分析。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
4.准备相关练习题和作业。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些正多边形的实物模型和图片，引导学生观察和思考：这些图形有什么特点？它们之间有什么联系？从而引入正多边形的概念。
2. 呈现（10分钟）教师简要讲解正多边形的定义和性质，引导学生通过观察和操作，发现正多边形的特点。
同时，教师给出正多边形的计算方法，让学生初步掌握。
课题3.7正多边形备课组：9数主备人：章华芳日期：执教者：学习目标1、了解正多边形和圆的有关概念2、理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，3、会应用多边形和圆的有关知识画多边形重点难点1.重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．课前自学课中交流课堂教学设计一、课前自学二、什么叫正多边形2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗其对称轴有几条，对称中心是哪一点想一想：菱形是正多边形吗矩形、正方形呢3、请画正三角形、正方形。
用直尺和圆规作它们的外接圆。
4、叫正多边形外接圆，圆内接正多边形。
为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距课前自学课中交流课堂教学设计二、课中交流例1：有一个亭子它的地基是半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积练习、1.如果一个正多边形的一个内角为135度，那么这个正多边形为。
2.半径为R的圆内接正三角形的面积。
3.分别求出半径为R 的圆内接正三角形，正方形的边长。
4、正八边形如下列图，点A，B，C是它的顶点，那么∠ABC ＝___________.当堂训练板书设计1 2 3 4 5 6教后反思课后作业附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约学校名录〔放大查看〕学校名录参见：:// zxxk /wxt/l i s t.aspx ClassID=3060。
2024年浙教版数学九年级上册3.7《正多边形》教学设计一. 教材分析《正多边形》是浙教版数学九年级上册3.7节的内容，主要介绍正多边形的定义、性质以及计算方法。
本节课的内容是学生进一步学习几何图形的知识，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
教材通过丰富的图片和实例，引导学生探索正多边形的性质，激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于正多边形的定义和性质，以及计算方法，学生可能比较陌生。
因此，在教学过程中，需要教师通过生动的实例和图片，引导学生理解正多边形的概念，并通过动手操作，让学生体验正多边形的性质。
三. 教学目标1.了解正多边形的定义和性质。
2.学会计算正多边形的面积和周长。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
4.激发学生对数学的兴趣和好奇心。
四. 教学重难点1.重点：正多边形的定义和性质，计算方法。
2.难点：正多边形面积和周长的计算。
五. 教学方法1.情境教学法：通过图片和实例，引导学生认识正多边形，激发学生的学习兴趣。
2.动手操作法：让学生动手剪贴正多边形，观察和探索正多边形的性质。
3.小组合作法：学生分组讨论，分享学习心得，培养学生的合作能力。
4.讲解法：教师讲解正多边形的定义、性质和计算方法，引导学生理解和掌握。
六. 教学准备1.准备正多边形的图片和实例。
2.准备正多边形的纸质模型，让学生动手操作。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
4.准备课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示正多边形的图片，如正方形、正三角形等，引导学生思考：这些图形有什么特点？它们之间有什么联系？从而引出正多边形的概念。
2.呈现（10分钟）教师讲解正多边形的定义和性质，如正多边形的定义、边数与内角的关系、对称性等。
同时，教师通过课件展示正多边形的性质，让学生直观地了解正多边形的特点。
3.操练（10分钟）教师分发正多边形的纸质模型，让学生动手剪贴和观察。
正多边形
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．
2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．
3．正多边形的画法．
教学目标
了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．
重难点、关键
1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系．
2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．
教学过程
一、复习引入
请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫正多边形？
2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．
二、探索新知
如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆
心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很
明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如
图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．
因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．
我们以圆内接正六边形为例证明．
如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．
∵AB=BC=CD=DE=EF
∴AB=BC=CD=DE=EF
又∴∠A=1
2BCF=1
2
（BC+CD+DE+EF）=2BC
∠B=1
2CDA=12
（CD+DE+EF+FA ）=2CD ∴∠A=∠B
同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF 的顶点都在⊙O 上
∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆． 为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心． 外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 例1．已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，•求正六边形的周长和面积．
分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的
长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA ，过O 点作OM ⊥AB 垂于M ，在Rt △AOM•中便可求得AM ，又应用垂径定理可求得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．
解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于
3606
=60°，•△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等
于它的半径．
F
D
E
C
B
A O
M
因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12
AB=12
a 利用勾股定理，可得边心距 OM=221()2
a a -=
12
3a
∴所求正六边形的面积=6×
12
×AB ×OM=6×
1
2
×a ×
32
a=323a 2
现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形． 例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm 的正五边形． 分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径． 解：正五边形的中心角∠AOB=
3605
︒
=72°， 如图，∠AOC=30°，OA=12
AB ÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm ）
画法（1）以O 为圆心，OA=2.55cm 为半径画圆；
（2）在⊙O 上顺次截取边长为3cm 的AB 、BC 、CD 、DE 、EA ． （3）分别连结AB 、BC 、CD 、DE 、EA ．
则正五边形ABCDE 就是所要画的正五边形，如图所示． 三、巩固练习
教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习．
四、应用拓展
例3．在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN ，其中D 、E 在AB 上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6． （1）求△ABC 的边AB 上的高h ． （2）设DN=x ，且h DN NF
h AB
-=，当x 取何值时，水池DEFN 的
面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1．85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．
h
F
D
E
C B A
N
G
分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题． 解：（1）由AB ·CG=AC ·BC 得h=86
10
AC BC AB ⨯= =4.8 （2）∵h=
h DN NF
h AB
-=且DN=x ∴NF=10(4.8)
4.8
x -
则S 四边形DEFN =x ·104.8（4.8-x ）=-25
12
x 2+10x
=-
2512（x 2-12025x ） =-2512 [（x-6025）2-3600625]
=-25x （x-2.4）2+12 ∵-25
x （x-2.4）2≤0
∴-25
x
（x-2.4）2+12≤12 且当x=2.4时，取等号
∴当x=2.4时，S DEFN 最大．
（3）当S DEFN 最大时，x=2.4，此时，F 为BC 中点，在Rt △FEB 中，EF=2.4，BF=3． ∴BE=22223 2.4DE EF -=-=1.8
∵BM=1.85，∴BM>EB ，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5 ∴AD=3.2，
由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:
.c
F
D E
C B A
G
此时，•AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．
五、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握：
1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．
2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系．
3．画正多边形的方法．
4．运用以上的知识解决实际问题．。
