鸡兔同笼教学案例1
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《鸡兔同笼》教学案例
高倩莲2010年1月
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。
如今这个问题是北师大教材五年级上册第五单元《尝试与猜想》中的内容。
在传统教材中，这一问题都是以提高题出现，面对的是少部分学有余力的学生。
在新教材中，此问题成为面向全体学生的教学内容。
不过《教师教学用书》中提到：教材选“鸡兔同笼”这个题材，主要不是解决“鸡兔同笼”问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略――列表。
而学生方面，有一些学生在课外书中已经学习了相关的内容，有的在参加奥数班中学习过简单的“鸡兔同笼”问题，但是都没有系统的进行学习。
因此，教学这一内容时，学生的程度会参差不齐，有的学生可能已经会做、会说，但很多学生不会做、不敢说。
因此，在上课之前，我设计了课前小研究，让学生通过参考书本的方法去，自主学习，初步探索“鸡兔同笼”问题的解决方法，同时也可以了解学生掌握的程度，真正做到以学定教。
上课时，我先介绍了1500年前《孙子算经》中记载的一道古题“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”并向学生说明：这就是我国数学史上著名的数学问题——鸡兔同笼问题。
然后问学生有没有信心挑战这种难题，以激发学生的好胜心。
出示例题“鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡、兔各有多少只？”后，我让4人学习小组一起交流小研究里的逐一举例法、取中列举法等列表枚举的方法，通过课前检查小研究，我还知道有些同学用了画图法、假设法等，这些方法，我都让学生做小老师一一上讲台展示、分析，然后再根据学生的汇报情况进行适当的点拨。
首先上台展示的是逐一举例的列表方法：
这种方法比较简单，学生一看就明白了逐一举例法其实是根据条件按一定的顺序（1只鸡、2只鸡、3只鸡……）去假设鸡、兔各有几只，然后算出鸡、兔一共有多少条腿，直至找到所合适的答案为止。
第二种上台展示的也是列表的方法，不同的是他先估计鸡、兔可能的范围，逐渐向正确答案靠拢。
第三种是取中列举法：先取总只数的平均数，再根据数据来确定举例的方向（如果腿多了就减少兔的只数）。
这种方法一般学生都能理解，也比较，所以我就在小老师说完后，再请了两个同学来说说他们的理解，以加深同学们的印象。
第四种是画图法，学生先用圆圈代表20个头，再假设全是鸡，共画40条腿，然后把剩下的14条腿补上，从而发现鸡与兔的数量。
我还向学生说明，画图法适用于数量较少的题目，数量较多时则比较麻烦，建议选用取中列举法。
第五种方法是假设法，“假设法”比较抽象，但有利于培养学生的逻辑推理能力。
为了让学生更容易理解，我曾经在奥数班用形象生动的“鸡扮兔”或“兔扮鸡”讲过，因些学生印象非常深刻，讲起来也头头是道：“鸡扮兔”就是调皮的鸡想扮成兔子用4条腿走路，但它只有两条腿，怎么办呢？鸡就把两只翅膀放下来当作前腿。
如果所有鸡都扮成兔子变成4条腿，则一共有20×4=80（条），比实际多了80－54=26（条），这多出来的26条腿其实是鸡的翅膀，一只鸡有两只翅膀，所以鸡有26÷（4—2）=13（只），则兔有20—13=7（只）。
“兔扮鸡”就是小兔子想扮成公鸡昂首挺胸走路的样子，就把两只前腿收起来。
如果所有兔子都扮成鸡变成2条腿，则一共有20×2=40（条），比实际少了54－40=14（条），这少了的14条腿其实是兔了的前腿，一只兔有两条前腿，所以兔有14÷（4—2）=7（只），则鸡有20—7=13（只）。
小老师讲完后，我还让同学们亲自用自己的两只手当作鸡的翅膀来学“鸡扮兔”，再把两只手收起来学“兔扮鸡”，经过亲身经历，学生就更容易明白“鸡扮兔”多出来的腿其实是鸡的翅膀，所以先求出鸡的只数；而“兔扮鸡”少了的腿其实是兔了的前腿，所以先求出兔的只数。
在详尽分析了各种方法后，我让学生独立尝试利用表格来解答第96页练一练的三道生活中的实际问题（第一题是模仿题，仍是鸡兔同笼问题；第二题转换成1角硬币与5角硬币，训练了学生的灵活思维；第三题是拓展题，答案有两个（大卡车用1辆，小卡车用8辆或大卡车用4辆，小卡车用3辆），通过这道题的训练也使学生明白了有些题目不止一个答案，因此在平时练习中要善于分析，多加钻研。
最后，我还给出了三道提高题，让学生根据自己的实际情况选择合适的方法去解答：
⑴龟和鹤的头共有40个，脚共有112只，小朋友，请你自己算一算，龟和鹤各多少只？
⑵停车场里共有100辆两轮摩托车和三轮摩托车，总共有215个轮
子。
停车场里两轮摩托车和三轮摩托车各多少辆？
⑶全班有38人去划船，租了8条船。
每条大船坐6人，每条小船坐4人，恰好每条船上都坐满。
问租了几条大船，几条小船？
通过检查发现，有部分同学选用了容易理解的列表法，也有思维能力较强的同学选用假设法，他们在汇报时思路清晰，很有条理地叙述了“龟当鹤”、“两轮摩托车当三轮摩托车”、“大船当小船”等方法。
“鸡兔同笼”向学生提供了现实、有趣、富有挑战性的学习素材，让学生展开交流，应用列表法、画图法、假设法等方法，从多角度思考，运用多种方法解题，使学生在具体情境中，根据自己的经验，逐步探索不同的方法，找到解决问题的策略，并在合作交流学习的过程中，积累解决问题的经验，掌握解决问题的方法，体现了学生是学习的主人。
在课堂上，老师关注每一个同学的发展，在交流探讨中，允许不同的学生采用不同的思维方法。
通过学习，使学生知道了解决问题的方法并不是唯一的，还懂得了假设的数学思想和列表的策略，不仅可以解答古代数学趣题——鸡兔同笼，还能解答我们身边的很多问题，体会到数学就在我们身边。
