圆知识点归纳

《圆》章节知识点复习
名词解释：
1.弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2.弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

3.半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧都叫做半圆。

4.等圆——能够重合的两个圆叫做等圆。

5.等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

6.圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。

7.圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

8.圆内接多边形——如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

9.外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形外心。

10.内心——三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

11.内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。

12.割线——直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆的割线。

13.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线，
这个点叫做切点。

14.切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到
圆的切线长。

15.圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距。

16.中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

17.中心角——正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

18.边心距——中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

19.扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

20.母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

一、圆的概念
集合形式的概念：
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；（补充）
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都
图1
A
B
相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系
1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；
2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；
3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；
2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；
3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）⇒无交点⇒d R r
>+；
外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r
=+；
相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r
-<<+；
内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r
=-
内含（图5）⇒无交点⇒d R r
<-
五、垂径定理
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径②AB CD
⊥③CE DE
=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD
图4
中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①AOB DOE ∠=∠； ②AB DE =；
③OC OF =； ④ 弧BA =弧BD
七、圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角
∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角
∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒
∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒ 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中
斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

D
B A
B A
O
它的内对角。

即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒
DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理 （1）切线判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠
推论1：圆的外切四边形的两组对边的和相等
十一、圆内正多边形的计算 定理：把圆分成n(n ≥3): ⑴依次连结各分n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切
线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边
形
推论1：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 推论2：正n 边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
l
O
推论3：正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形 推论4：正n 边形的面积S n =p n r n ／2 p 表示正n 边形的周长
推论5：如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角，由于这些角的和应为360°， 因此k (n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
特例：
（1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =； 正三角形面积√3a 2／4 ，a
表示边长
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::
OE AE OA =
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::2AB OB OA =.
十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S
：扇
形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=222rh r ππ+ （2）圆柱的体积：2V r h π=
3、圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表底=2Rr r ππ+
（2）圆锥的体积：21
3
V r h π=
C 1
D 1B
A。